高中数学平面向量习题集与答案解析

第二章 平面向量
一、选择题
1．在△
A BC
中，
AB
＝
AC
，
D
，
E
分 别是
AB
，
AC
的中点，则( )．
A．
AB
与
AC
共线
C．
AD
与
AE
相等
2．下列命题正确的是( )．
A．向量
AB
与
BA
是两平行向量
B．若
a，
b
都是单位向量，则
a
＝
b

C．若
AB
＝
DC
，则
A
，
B
，
C
，
D
四点构成平行四边形
D．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同
3．平面直角坐标系中，
O
为坐标原点，已知两点
A
(3，1)，
B
(－1，3)，若点
C
满足
OC
＝
??
OA＋
??
OB
，其中
?
，
?
∈R，且
?
＋
?
＝1，则点
C
的轨迹方程为( )．
A．3
x
＋2
y
－11＝0
C．2
x
－
y
＝0








B．(
x
－1)
2< br>＋(
y
－1)
2
＝5

D．
x
＋2
y
－5＝0


B．
DE
与
CB
共线
D．
AD
与
BD
相等
(第1题)


4．已知
a
、
b
是非零向量且满足(
a
－2
b
)⊥
a
，(
b
－2
a
)⊥
b
，则
a
与
b
的夹角是( )．
A．
?

6
B．
?

3
C．
2?

3
D．
5?

6
5．已知四边形
ABCD是菱形，点
P
在对角线
AC
上(不包括端点
A
，
C
)，则
AP
＝( )．
A．λ(
AB
＋
AD
)，λ∈(0，1)
C．λ(
AB
－
AD
)，λ∈(0，1)






B．λ(
AB
＋
BC
) ，λ∈(0，
D．λ(
AB
－
BC
)，λ∈(0，
2
)
2
2
)
2
6．△
ABC
中，
D< br>，
E
，
F
分别是
AB
，
BC
，AC
的中点，则
DF
＝( )．
A．
EF
＋
ED
B．
EF
－
DE

第 1 页 共 11 页

C．
EF
＋
AD
D．
EF
＋
AF

7．若平面向量
a
与
b
的夹角为60°，|
b
|＝4，(
a
＋2
b
)·(
a
－3
b
)＝－72，则向量
a
的模
为( )．
A．2 B．4 C．6 D．12
8．点
O
是 三角形
ABC
所在平面内的一点，满足
OA
·
OB
＝
OB
·
OC
＝
OC
·
OA
，则点
O是△
ABC
的( )．
A．三个内角的角平分线的交点
C．三条中线的交点




B．三条边的垂直平分线的交点
D．三条高的交点
9．在四边形
ABCD
中，
AB
＝
a
＋2
b
，
BC
＝－ 4
a
－
b
，
CD
＝－5
a
－3
b
，其中
a
，
b
不共线，则四边形
ABCD
为( )．
A．平行四边形 B．矩形 C．梯形 D．菱形
10．如图，梯形< br>ABCD
中，|
AD
|＝|
BC
|，
EF
∥
AB
∥
CD
则相等向量是( )．
A．
AD
与
BC

C．
AC
与
BD

二、填空题


B．
OA
与
OB

D．
EO
与
OF

(第10题)

11． 已知向量
OA
＝(
k
，12)，
OB
＝(4，5)，
OC
＝(－
k
，10)，且
A
，
B
，
C
三点共线，
则
k
＝ ．
12．已知向量
a
＝(
x
＋3，
x
2
－3
x
－4)与< br>MN
相等，其中
M
(－1，3)，
N
(1，3)，则
x
＝ ．
13．已知平面上三点
A
，
B
，
C
满足|
AB
|＝3，|
BC
|＝4，|
CA< br>|＝5，则
AB
·
BC
＋
BC
·
CA
＋
CA
·
AB
的值等于 ．
14．给定两 个向量
a
＝(3，4)，
b
＝(2，－1)，且(
a
＋mb
)⊥(
a
－
b
)，则实数
m
等
第 2 页 共 11 页

于 ． 15．已知
A
，
B
，
C
三点不共线，
O
是△
ABC
内的一点，若
OA
＋
OB
＋
OC＝0，则
O
是△
ABC
的 ．
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16．设平面内有四边形
ABCD< br>和点
O
，
OA
＝
a
，
OB
＝
b
，
OC
＝
c
,
OD
＝
d
， 若
a
＋
c
＝
b
＋
d
，则四边形
A BCD
的形状是 ．
三、解答题
17．已知点
A
(2，3)，
B
(5，4)，
C
(7，10)，若点
P
满足
AP
＝
AB
＋λ
AC
(λ∈R)，试求 λ
为何值时，点
P
在第三象限内？








18．如图，已知△
ABC
，
A
(7，8)，
B
(3，5)，
C
(4，3)，
M
，
N
，
D
分别是
AB
，
AC
，
BC
的中点，且
MN
与
AD
交于
F
，求
DF< br>．







(第18题)

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< br>19．如图，在正方形
ABCD
中，
E
，
F
分别为< br>AB
，
BC
的中点，求证：
AF
⊥
DE
(利 用向
量证明)．









20．已知向量
a
＝(cos θ，sin θ)，向量
b
＝(
3
，－1)，则|2
a
－
b
|的最大值．
(第19题)

第 5 页 共 11 页

参考答案
一、选择题
1．B
解析：如图，
AB
与AC
，
AD
与
AE
不平行，
AD
与
B D
共线反
向．
2．A
解析：两个单位向量可能方向不同，故B不对．若< br>AB
＝
DC
，可能
A
，
B
，
C，
D
四点
共线，故C不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D也 不对．
3．D
解析：提示：设
OC
＝(
x
，
y
)，
OA
＝(3，1)，
OB
＝(－1，3)，
??
OA
＝(3
?
，
?
)，
??
OB
＝(－
?
，3
?
)，又
?
OA
＋
??
O B
＝(3
?
－
?
，
?
＋3
?
)，
∴ (
x
，
y
)＝(3
?
－
?
，
?
＋3
?
)，∴
?
(第1题)

?
x＝3
?
－
?
，又
?
＋
?
＝1，由此得到答案为D．
?
y＝
?
＋3
?
4．B
解析：∵(
a< br>－2
b
)⊥
a
，(
b
－2
a
)⊥< br>b
，
∴(
a
－2
b
)·
a
＝a
2
－2
a
·
b
＝0，(
b
－2a
)·
b
＝
b
2
－2
a
·
b
＝0，
∴
a
2
＝
b
2
，即|
a
|＝|
b
|．∴|
a
|
2
＝2|
a||
b
|cos θ＝2|
a
|
2
cosθ．解得cos θ＝
∴
a
与
b
的夹角是
5．A
解析：由平行四边形法则，
AB
＋
AD
＝
AC
，又
AB
＋
BC＝
AC
，由 λ的范围和向量
数乘的长度，λ∈(0，1)．
6．D
1
．
2
π
．
3
第 6 页 共 11 页

解析：如图，∵
AF
＝
DE
，
∴
DF
＝
DE
＋
EF
＝
EF
＋
AF
．

(第6题)
7．C
解析：由(
a
＋2
b
) ·(
a
－3
b
)＝－72，得
a
2
－
a< br>·
b
－6
b
2
＝－72．
而|
b
|＝4，
a
·
b
＝|
a
||
b
|cos 60°＝2|
a
|，
∴ |
a
|
2
－2|
a
|－96＝－72，解得|
a
|＝6．
8．D
解析：由 < br>OA
·
OB
＝
OB
·
OC
＝
OC< br>·
OA
，得
OA
·
OB
＝
OC
·< br>OA
,
即
OA
·(
OC
－
OB
)＝0，
故BC
·
OA
＝0，
BC
⊥
OA
，同理可证AC
⊥
OB
，
∴
O
是△
ABC
的三条高的交点．
9．C
解析：∵
AD
＝
AB
＋
BC
＋
CD
＝－8
a－2
b
＝2
BC
，∴
AD
∥
BC
且|
AD
|≠|
BC
|．
∴ 四边形
ABCD
为梯形．
10．D
解析：
AD
与
BC
，
AC
与
BD
，
OA
与
OB
方向都不相同，不是相等向量．
二、填空题
11．－
2
．
3
解析：
A
，
B
，
C
三点共线等价于
AB< br>，
BC
共线，
?
AB
＝
OB
－
O A
＝(4，5)－(
k
，12)＝(4－
k
，－7)，
B C
＝
OC
－
OB
＝(－
k
，10)－(4，5)＝ (－
k
－4，5)，
第 7 页 共 11 页

又
A
，
B
，
C
三点共线，
∴ 5(4－
k
)＝－7(－
k
－4)，∴
k
＝－
12．－1．
解析：∵
M
(－1，3)，
N
(1，3)，
∴
MN
＝(2，0)，又
a
＝
MN
，
2
．
3
?
x＋3＝2
?
x＝－1
∴
?
2
解得
?

x＝－1或x＝4
x－3x－4＝0
?
?
∴
x
＝－1．
13．－25．
解析：思路1：∵
AB
＝3，
BC
＝4，
CA
＝5，
∴ △
ABC
为直角三角形且∠
ABC
＝90°，即
AB
⊥
BC
，∴
AB
·
BC
＝0，
∴
AB
·BC
＋
BC
·
CA
＋
CA
·
AB
＝
BC
·
CA
＋
CA
·
AB

＝
CA
·(
BC
＋
AB
)
＝－(
CA
)
2
＝－
CA

＝－25．
思路2：∵
AB
＝3，
BC
＝4，
CA
＝5，∴ ∠
ABC
＝90°，
BC
34
∴ cos∠
CAB
＝＝，cos∠
BCA
＝＝．
55
CA< br>CA
2
AB
根据数积定义，结合图(右图)知
AB
·
BC
＝0，
BC
·
CA
＝
BC
·
CA< br>cos∠
ACE
＝4×5×(－
4
)＝－16，
5
第 8 页 共 11 页
D
(第13题)

CA
·
AB
＝
CA
·
AB
cos∠
BAD
＝3×5×(－
3
)＝－9．
5
∴
AB
·
BC
＋
BC
·
CA
＋
CA
·
AB
＝0―16―9＝－25．
14．
23
．
3
解析：
a
＋
mb
＝(3＋2
m
，4－
m
)，
a
－
b
＝( 1，5)．
∵ (
a
＋
mb
)⊥(
a
－
b
)，
∴ (
a
＋
mb
)·(
a
－
b
) ＝(3＋2
m
)×1＋(4－
m
)×5＝0
?
m
＝
15．答案：重心．
解析：如图，以
OA
，
OC
为邻边作
□
AOCF
交
AC
于
点
E
，则
O F
＝
OA
＋
OC
，又
OA
＋
OC
＝－
OB
，
(第15题)
23
．
3

∴
OF
＝2
OE
＝－
OB
．
O
是△
ABC
的重心．
16．答案：平行四边形．
解析：∵
a
＋
c
＝
b
＋
d
，∴
a
－
b
＝
d
－
c
，∴
BA
＝
CD
．
∴ 四边形
ABCD
为平行四边形．
三、解答题
17．λ＜－1．
解析：设点
P
的坐标为(
x
，
y
)，则
AP
＝(
x
，
y
)－(2，3)＝(< br>x
－2，
y
－3)．
AB
＋λ
AC
＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］
＝(3，１)＋λ(5，7)
＝(3＋5λ，１＋7λ)．
∵
AP
＝
AB
＋λ
AC
，
∴ (
x
－2，
y
－3)＝(3＋5λ，1＋7λ)．
第 9 页 共 11 页

?
x?2?3?5
?
?
x?5?5
?
∴
?
即
?

y?3?1?7
?
y?4?7< br>?
?
?
?
5?5
?
?0
要使点
P< br>在第三象限内，只需
?
解得

λ＜－1．
?
4 ?7
?
?0
18．
DF
＝(
7
，2)．
4
解析：∵
A
(7，8)，
B
(3，5)，
C
(4，3)，
AB
＝(－4，－3)，
AC
＝(－3，－5)．
(第18题)

又
D
是
BC
的中点，
∴
AD
＝
11
(
AB
＋
AC
) ＝(－4－3，－3－5)
22
17
(－7，－8)＝(－，－4)．
22
＝
又
M
，
N
分别是
AB
，
AC
的中点，
∴
F
是
AD
的中点，
∴
DF
＝－< br>FD
＝－
1177
AD
＝－(－，－4)＝(，2)．
22 24
11
b
，
ED
＝
b
－
a
．
22
19．证明：设
AB
＝
a
，
AD
＝< br>b
，则
AF
＝
a
＋
∴
AF
·ED
＝(
a
＋
11113
b
)·(
b
－
a
)＝
b
2
－
a
2
＋
a
·
b
．
22224
又
AB
⊥
AD
，且
AB
＝
AD
，∴
a
2
＝
b
2< br>，
a
·
b
＝0．
∴
AF
·
ED
＝0，∴
AF
⊥
ED
．
本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．
20．分析：思路1：2
a
－
b
＝(2cos θ－
3
，2sin θ＋1)，
∴ |2
a
－
b
|
2
＝(2cos θ－
3
)
2
＋(2sin θ＋1)
2
＝8＋4sin θ－4
3
cos θ．
又4sin θ－4
3
cos θ＝8(sin θcos
(第19题)

πππ
－cos θsin)＝8sin(θ－)，最大值为8，
333
∴ |2
a
－
b
|
2
的最大值为16，∴|2
a
－
b
|的最大 值为4．
思路2：将向量2
a
，
b
平移，使它们的起点与原点重合 ，则|2
a
－
b
|表示2
a
，
b
终点间< br>第 10 页 共 11 页

的距离．|2
a< br>|＝2，所以2
a
的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点
P
，
b
的终点是
该圆上的一个定点
Q
，由圆的知识可知，|
PQ
|的最大值为直径的长为4．
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