高中数学模拟考试题(三)

高中数学模拟考试题（三）
数学Ⅰ试题













注 意 事 项
考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求
1.本试卷共4页，包含填 空题（第1题——第14题）、解答题（第15题——第20题）。本卷满分
160分，考试时间为12 0分钟。考试结束后，请将本卷和答题卡一并交回。
2.答题前，请您务必将自己的姓名、准考证号用 0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的
规定位置。
3.请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符。
4 .请在答题卡上按照晤顺序在对应的答题区域内作答，在其他位置作答一律无效。作答必须用0.5
毫米 黑色墨水的签字笔。请注意字体工整，笔迹清楚。
5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗。
6.请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。
参考公式：
锥体的体积公式: V
锥体
=
1
Sh，其中S是锥体的底面积，h是高。
3
一 、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分。请把答案填写在答题卡相应的位
．．．．．．．
置上.
．．
1、设集合A={-1,1,3}，B={a+2,a
2
+4},A∩B={3}，则实数a=______▲_____.
[解析] 考查集合的运算推理。3
?
B, a+2=3, a=1.
2、设复数z满足z (2-3i)=6+4i（其中i为虚数单位），则z的模为______▲_____.
[解析] 考查复数运算、模的性质。z(2-3i)=2(3+2 i), 2-3i与3+2 i的模相等，z的模为2。
3、盒子中有大小相同的3只白球，1只黑球，若从中随机地摸出两只球， 两只球颜色不同
的概率是_ ▲__.
[解析]考查古典概型知识。
p?
3
?
1

62< br>4、某棉纺厂为了了解一批棉花的质量，从中随机抽取
了100根棉花纤维的长度（棉花纤维的长 度是棉花质
量的重要指标），所得数据都在区间[5,40]中，其频率
分布直方图如图所示， 则其抽样的100根中，有_▲___
根在棉花纤维的长度小于20mm。
[解析]考查频率分布直方图的知识。

100×（0.001+0.001+0.004）×5=30
5、设函数f (x)=x(e
x
+ae
-x
)(x
?
R)是偶函数，则实 数a=_______▲_________
[解析]考查函数的奇偶性的知识。g(x)=e
x
+ae
-x
为奇函数，由g(0)=0，得a=－1。
x
2< br>y
2
??1
上一点M，点M的横坐标是3，则M到6、在平面直角坐标系xOy 中，双曲线
412
双曲线右焦点的距离是___▲_______
[解析]考查双曲线的定义。
MF4
MF=4。
?e??2
，d
为点M到右准线
x?1
的距离，
d
=2，
d2
7、右图是一个算法的流程图，则输出S的值是______▲_______

[解析] 考查流程图理解。
1?2?2?
2
?2
4
?31?33,
输 出
S?1?2?2
2
??2
5
?63
。
8、函数 y=x
2
(x>0)的图像在点(a
k
,a
k
2
) 处的切线与x轴交点的横坐标为a
k+1
,k为正整数，a
1
=16，
则a
1
+a
3
+a
5
=____▲_____
[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。
2
在点(a
k
,a
k
2
)处的切线方程为：
y?a
k
?2a
k
(x?a
k
),
当
y?0
时，解得
x?
a
k
，
2
所以
a
k?1
?
a
k
,a
1
?a
3
?a
5
?16?4?1?21
。 < br>2
22
9、在平面直角坐标系xOy中，已知圆
x?y?4
上有且仅有 四个点到直线12x-5y+c=0的
距离为1，则实数c的取值范围是______▲_____
[解析]考查圆与直线的位置关系。 圆半径为2，
圆心（0，0）到直线12x-5y+c=0的距离小于1，
|c|
。
?1
，
c
的取值范围是（-13，13）
13
10、定义在区间
?
0,
?
?
?
?
?
上的函数y=6cosx的图像 与y=5tanx的图像的交点为P，过点P作
2
?
PP
1
⊥x轴于 点P
1
，直线PP
1
与y=sinx的图像交于点P
2
,则 线段P
1
P
2
的长为_______▲_____。
[解析] 考查三角函数的图象、数形结合思想。线段P
1
P
2
的长即为sinx的值，
且其中的x满足6cosx=5tanx，解得sinx=
22
。线段P
1< br>P
2
的长为
33
2
?
2
11、已知函数< br>f(x)?
?
x?1,x?0
,则满足不等式
f(1?x)?f(2x )
的x的范围是__▲___。
x?0
?
1,

2< br>?
1?x?2x
[解析] 考查分段函数的单调性。
?
?x?(?1,2?1)

?
2
?
1?x?0
?
x
2
x
3
12、设实数x,y满足 3≤
xy
≤8，4≤≤9，则
4
的最大值是 ▲ 。
yy
2
[解析] 考查不等式的基本性质，等价转化思想。
x
2
2
x
3
x
2
2
1
111
x
3
()?[16,81]
，
2
?[,]
，
4
?( )?
2
?[2,27]
，
4
的最大值是27。
yyyxy
xy83
y

13、在锐角三角形ABC，A、B、C的 对边分别为a
、
b
、
c，
ba
??6cosC
，则
ab
tanCtanC
=____▲_____。
?
tanAtanB
[解析] 考查三角形中的正、余弦定理三角函数知识的应用，等价转化思想。一题多解。
（方法一）考虑已知条件和所求结论对于角A、B和边a、b具有轮换性。
当A=B或a=b 时满足题意，此时有：
cosC?
C2
11?cosC1
2
C
，
tan
，
??
，
tan?
22
321?co sC2
tanA?tanB?
1
tan
C
2
?2
，
tanCtanC
= 4。
?
tanAtanB
a
2?b
2
?c
2
3c
2
ba
2222
2 2
6ab??a?b,a?b?
（方法二）
??6cosC?6abcosC?a?b
，
2ab2
ab
tanCtanCsinCcosBsinA?sinBc osAsinCsin(A?B)1sin
2
C
???????
tanAta nBcosCsinAsinBcosCsinAsinBcosCsinAsinB
1c
2< br>c
2
c
2
????4
由正弦定理，得：上式=
?< br>2
1
cosCab
(a
2
?b
2
)
1
?
3c
6
62

14、将边长为1m正三角形薄片，沿一 条平行于底边的直线剪成两块，其中一块是梯形，记
2
(梯形的周长）
S?
, 则S的最小值是____▲____。
梯形的面积
[解析] 考查函数中的建模应用，等价转化思想。一题多解。

22
(3?x)4(3? x)
设剪成的小正三角形的边长为
x
，则：
S???(0?x?1)

2
133
1?x
?(x?1)??(1?x)
22
（方法一 ）利用导数求函数最小值。
4(3?x)
2
4(2x?6)?(1?x
2< br>)?(3?x)
2
?(?2x)
S(x)???
，
S
?
(x)?

222
1?x(1?x)
33
4(2x?6) ?(1?x
2
)?(3?x)
2
?(?2x)4?2(3x?1)(x?3)
????

2222
(1?x)(1?x)
33
1
S
?
(x)?0,0?x?1,x?
，
3
11
当
x?(0,]
时，
S
?
(x)?0,
递减；当
x?[,1)
时，
S
?
(x)?0,
递增；
33
故当
x?
323
1
时，S的最小值是。
3
3
（方法二）利用函数的方法求最小值。
4t
2
41< br>111
?
2
??
令
3?x?t,t?(2,3),?(,)< br>，则：
S?

86
t32
3
?t?6t?8
3
???1
t
2
t
故当
?

二、解答题： 本大题共6小题，共计90分，请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文
字说明、证明或演算步骤.
15、（本小题满分14分）
在平面直角坐标系xOy中，点A(－1,－2)、B(2,3)、C(－2,－1)。
(1)求以线段AB、AC为邻边的平行四边形两条对角线的长；
(2)设实数t满足(
AB?tOC
)·
OC
=0，求t的值。 < br>[解析]本小题考查平面向量的几何意义、线性运算、数量积，考查运算求解能力。
满分14分。
（1）（方法一）由题设知
AB?(3,5),AC?(?1,1)
，则
1
t
323
31
。
,x?
时，S的最小值是3
83
AB?AC?(2,6),AB?AC?(4,4).

所以
|AB?AC|?210,|AB?AC|?42.

故所求的两条对角线的长分别为
42
、
210
。
（方法二）设该平行四边形的第四个顶点为D，两条对角线的交点为E，则:
E为B、C的中点，E（0，1）
又E（0，1）为A、D的中点，所以D（1，4）
故所求的两条对角线的长分别为BC=
42
、AD=
210
； < br>（2）由题设知：
OC
=(－2,－1)，
AB?tOC?(3?2t,5?t )
。
由(
AB?tOC
)·
OC
=0，得：
(3 ?2t,5?t)?(?2,?1)?0
，
从而
5t??11,
所以
t??
2
11
。
5
11
或者：
AB·OC ?tOC
，
AB?(3,5) ,
t?
AB?OC
??
5
|OC|
2

16、（本小题满分14分）
如图，在四棱锥P-ABCD中，PD⊥平面ABCD，PD= DC=BC=1，AB=2，
AB∥DC，∠BCD=90
0
。
(1)求证：PC⊥BC；
(2)求点A到平面PBC的距离。
[解析] 本小题 主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考查几何体的体积，考查空
间想象能力、推理论证能力和 运算能力。满分14分。
（1）证明：因为PD⊥平面ABCD，BC
?
平面ABCD，所以PD⊥BC。
由∠BCD=90
0
，得CD⊥BC，
又PDDC=D，PD、DC
?
平面PCD，
所以BC⊥平面PCD。
因为PC
?
平面PCD，故PC⊥BC。
（2）（方法一）分别取AB、PC的中点E、F，连DE、DF，则：
易证DE∥CB，DE∥平面PBC，点D、E到平面PBC的距离相等。
又点A到平面PBC的距离等于E到平面PBC的距离的2倍。
由（1）知：BC⊥平面PCD，所以平面PBC⊥平面PCD于PC，
因为PD=DC，PF=FC，所以DF⊥PC，所以DF⊥平面PBC于F。
易知DF=
2
，故点A到平面PBC的距离等于
2
。
2

（方法二）体积法：连结AC。设点A到平面PBC的距离为h。
因为AB∥DC，∠BCD=90
0
，所以∠ABC=90
0
。 < br>从而AB=2，BC=1，得
?ABC
的面积
S
?ABC
?1
。
由PD⊥平面ABCD及PD=1，得三棱锥P- ABC的体积
V?
11
S
?ABC
?PD?
。
33
因为PD⊥平面ABCD，DC
?
平面ABCD，所以PD⊥DC。 < br>又PD=DC=1，所以
PC?PD
2
?DC
2
?2
。
2
。
2
由PC⊥BC，BC=1，得
?PBC
的面积
S
?PBC
?
由
V
A?PBC
?V
P?A BC
，
S
1
3
1
，得
h?2
，
?h?V?
PBC
3
故点A到平面PBC的距离等于
2
。

17、（本小题满分14分）
某兴趣小组测量电视塔AE的高度H(单位：m）， 如示意图，垂直放置的标杆BC的高度h=4m，
仰角∠ABE=
?
，∠ADE=?
。
(1)该小组已经测得一组
?
、
?
的值，tan
?
=1.24，tan
?
=1.20，请据此算出H的值；
(2) 该小组分析若干测得的数据后，认为适当调整标杆到电视塔的距离d
（单位：m），使
?
与
?
之差较大，可以提高测量精确度。若电视塔的
实际高度为125m，试问d为多 少时，
?
-
?
最大？
[解析] 本题主要考查解三角形的知识、两角差的正切及不等式的应用。
（1）
HH
h
H
?tan
?
?AD?
，同理：
AB?
，
BD?
。
ADtan
?
tan
?
tan
?
HH hhtan
?
4?1.24
????124
。，解得：
H?

tan
?
tan
?
tan
?
tan
??tan
?
1.24?1.20
AD—AB=DB，故得
因此，算出的电视塔的高度H是124m。
（2）由题设知
d?AB
，得
tan
?
?
HHhH?h
,tan
?
???
，
dADDBd

HH?h
?
tan
?
?tan
?
hdh
d

tan(
??
?
)??
d
?
2
?
HH?hH(H?h)< br>1?tan
?
?tan
?
1??
d?H(H?h)
d ?
ddd
H(H?h)
（当且仅当
d?H(H?h)?125?121?55 5
时，取等号）
d??2H(H?h)
，
d
故当
d?55 5
时，
tan(
?
?
?
)
最大。
因为< br>0?
?
?
?
?
?
2
，则
0?
?
?
?
?
?
2
，所以当
d?555
时，
?
-
?
最大。
故所求的
d
是
555
m。

18、（本小题满分16分）
x
2
y
2
??1
的 左、右顶点为A、B，右焦点为在平面直角坐标系
xoy
中，如图，已知椭圆
95F。设过点T（
t,m
）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M
(x
1< br>,y
1
)
、
N(x
2
,y
2
)，其中
m>0,
y
1
?0,y
2
?0
。
（1）设动点P满足
PF?PB?4
,求点P的轨迹；
（2）设
x
1
?2,x
2
?
22
1
，求点T的坐标；
3
（3）设
t?9
,求证：直线MN必过x轴上的一定点（其坐
标与m无关 ）。
[解析] 本小题主要考查求简单曲线的方程，考查方直线与椭圆的方程等基础知识。考查运算求解能力和探究问题的能力。满分16分。
（1）设点P（x，y），则：F（2，0）、B（3，0）、A（-3，0）。
22
由
PF?PB?4
，得
(x?2)?y?[(x?3)?y]?4,
化简得
x?
2222
9
。
2
故所求点P的轨迹为直线x?
（2）将
x
1
?2,x
2
?
9
。
2
15120
分别代入椭圆方程，以及
y
1
?0,y
2
?0
得：M（2，）、N（，
?
）
3
339
1
y?0x?3
直线MTA方程为：，即
y?x?1
，
?
5
3
?0
2?3
3

直线NTB 方程为：
55
y?0x?3
，即
y?x?
。
?
2 01
62
??0?3
93
?
x?7
?
联立方程组， 解得：
?
10
，
y?
?
3
?
所以点T的 坐标为
(7,
10
)
。
3
（3）点T的坐标为
(9,m)

y?0x?3m
，即
y??(x?3)
，
m?09?312
y?0x?3m
直线NTB 方程为：，即
y?(x?3)
。
?
m?09?36
直线MTA方程 为：
x
2
y
2
??1
联立方程组，同时考虑到
x< br>1
??3,x
2
?3
， 分别与椭圆
95
3(80? m
2
)40m3(m
2
?20)20m
,)N(,?)
。 解得：
M(
、
2222
80?m80?m20?m20?m
20m3 (m
2
?20)
y?x?
22
20?m20?m
?
（方法一）当
x
1
?x
2
时，直线MN方程为：
2240m20m
3(80?m)3(m?20)
?
?
22
2
80?m20?m
80?m20?m
2
令
y?0
，解得：
x?1
。此时必过点D（1，0）；
当
x
1
?x
2
时，直线MN方程为：
x?1
，与x轴交点为D （1，0）。
所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）。
240?3m
2< br>3m
2
?60
?
（方法二）若
x
1
?x2
，则由及
m?0
，得
m?210
，
22
8 0?m20?m
此时直线MN的方程为
x?1
，过点D（1，0）。
若x
1
?x
2
，则
m?210
，直线MD的斜率
k
MD
40m
2
10m
80?m
，
??
240?3m
2
40?m
2
?1
2
80?m
直线N D的斜率
k
ND
?20m
?m
2
?
10m
，得
k?k
，所以直线MN过D点。
?
20
MDND
3m
2
?60
40?m
2
?1
20?m
2
因此 ，直线MN必过
x
轴上的点（1，0）。

19、（本小题满分16分）
设各项均为正数的数列
?
a
n
?
的前n项和为
S
n
，已知
2a
2
?a
1
?a
3
，数列
的等差数列。
（1）求数列
?
a
n
?
的通项公式（用
n,d
表示）；
（2）设
c
为实数，对满足
m?n?3k且m?n
的任意正整数
m,n,k
，不 等式
S
m
?S
n
?cS
k
都成立。求证：
c
的最大值为
?
S
?
是公差为
d
n
9。
2
[解析] 本小题主要考查等差数列的通项、求和以及基本不等式等有关知识，考查 探索、分
析及论证的能力。满分16分。
（1）由题意知：
d?0
， S
n
?S
1
?(n?1)d?a
1
?(n?1)d
2a
2
?a
1
?a
3
?3a
2?S
3
?3(S
2
?S
1
)?S
3
，
3[(a
1
?d)
2
?a
1
]
2
?(a
1
?2d)
2
,

化简，得：
a
1
?2a
1
?d?d
2
?0,a
1
?d,a
1
?d
2

S
n
?d?(n?1)d?nd,S
n
?n
2
d
2
，
22222
当
n?2时，
a
n
?S
n
?S
n?1
?nd?(n?1 )d?(2n?1)d
，适合
n?1
情形。
2
故所求
a
n
?(2n?1)d

（2）（方法一）
m
2
?n
2
S
m
?S
n
?cS
k
?md?nd?c?kd?m?n?c?k
，
c?
恒成立。
k
2
222222222
m
2?n
2
9
?
， 又
m?n?3k且m?n
，
2(m?n)?(m?n)?9k?
2
k2
2222
故
c?
99
，即
c
的最大值为。
2
2
22
（方法二） 由
a
1
?d
及
S
n
?a
1
?(n ?1)d
，得
d?0
，
S
n
?nd
。
于是，对满足题设的
m,n,k
，
m?n
，有
(m?n)
2
2
9
22
9
S
m
?S
n
?(m?n)d?d?dk?S
k
。
222
222

9
。
2
33
9另一方面，任取实数
a?
。设
k
为偶数，令
m?k?1,n?k ?1
，则
m,n,k
符合条件，
222
31
222223
222
且
S
m
?S
n
?(m?n)d?d[ (k?1)?(k?1)]?d(9k?4)
。
222
所以
c
的最 大值
c
max
?
22
于是，只要
9k?4?2ak
，即当
k?
2
1
22
时，
S
m
?S
n
?d?2ak?aS
k
。
2
2a?9
所以满足条件的
c?
因此
c
的最大值为

99
，从而
c
max
?
。
22
9
。
2
20、（本小题满分16分）
设
f (x)
是定义在区间
(1,??)
上的函数，其导函数为
f'(x)
。如果存在实数
a
和函数
h(x)
，其中
h(x)
对任意的
x?(1,??)
都有
h(x)
>0，使得
f'(x)?h(x)( x
2
?ax?1)
，则称
函数
f(x)
具有性质
P (a)
。
(1)设函数
f(x)
?lnx?
b?2
(x? 1)
，其中
b
为实数。
x?1
(i)求证：函数
f(x)
具有性质
P(b)
； (ii)求函数
f(x)
的单调区间。
(2)已知函数
g(x)
具 有性质
P(2)
。给定
x
1
,x
2
?(1,??) ,x
1
?x
2
,
设
m
为实数，
?
?mx
1
?(1?m)x
2
，
?
?(1?m)x
1
?mx
2
，且
?
?1,
?
?1
， 若|
g(
?
)?g(
?
)
|<|
g(x
1
)?g(x
2
)
|，求
m
的取值范围。
[解析] 本小题主要考查函数的概念、性质、图象及导数等基础知识，考查灵活运用数形结
合 、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满分16分。
（1）(i)
f '(x)
?
1b?21
??(x
2
?bx?1)

22
x(x?1)x(x?1)
1
?0
恒成立，
2
x(x?1)
∵
x?1
时，
h(x)?
∴函数
f(x)< br>具有性质
P(b)
；

b
2
b
2(ii)（方法一）设
?
(x)?x?bx?1?(x?)?1?
，
?< br>(x)
与
f'(x)
的符号相同。
24
b
2
当
1??0,?2?b?2
时，
?
(x)
?0
，
f'(x)
?0
，故此时
f(x)
在区间
(1,??)
上递 增；
4
2
当
b??2
时，对于
x?1
，有
f'(x)
?0
，所以此时
f(x)
在区间
(1,??)
上递增；
当
b??2
时，
?
(x)
图像开口向上，对称轴
x?
b
??1
，而
?
(0)?1
，
2< br>对于
x?1
，总有
?
(x)
?0
，
f'(x )
?0
，故此时
f(x)
在区间
(1,??)
上递增； < br>（方法二）当
b?2
时，对于
x?1
，
?
(x)?x
2
?bx?1?x
2
?2x?1?(x?1)
2
?0

所以
f'(x)
?0
，故此时
f(x)
在区间< br>(1,??)
上递增；
当
b?2
时，
?
(x)图像开口向上，对称轴
x?
b
?1
，方程
?
(x)?0
的两根为：
2
b?b
2
?4b?b
2
?4
b?b
2
?4b?b
2
?42
,
，而
?1,??( 0,1)

2
22
22
b?b?4
b?b
2
?4b?b
2
?4
)
时，
?
(x)
?0
，
f'(x)
?0
，故此时
f(x)
在区间
(1,)
当
x?(1,
22
b?b
2
?4
,??)
上递增。 上递减；同理得：
f(x)
在区间
[
2
综上所述，当
b?2
时，
f(x)
在区间
(1,??)
上递增；
2
2
当
b?2
时，
f(x)
在
(1,
b?b?4
)
上递减；
f(x)
在
[b?b?4
,??)
上递增。
2
2
(2)（方法一）由题意， 得：
g'(x)?h(x)(x?2x?1)?h(x)(x?1)

又
h( x)
对任意的
x?(1,??)
都有
h(x)
>0，
所以 对任意的
x?(1,??)
都有
g
?
(x)?0
，
g(x)
在
(1,??)
上递增。
又
?
?
??x
1
?x
2
,
?
?
?
?(2m?1 )(x
1
?x
2
)
。
当
m?
22
1
,m?1
时，
?
?
?
，且
?
?x1
?(m?1)x
1
?(1?m)x
2
,
?
? x
2
?(1?m)x
1
?(m?1)x
2
，
2

综合以上讨论，得：所求
m
的取值范围是（0，1）。
（方法二 ）由题设知，
g(x)
的导函数
g'(x)?h(x)(x?2x?1)
，其 中函数
h(x)?0
对于任
意的
x?(1,??)
都成立。所以，当
x?1
时，
g'(x)?h(x)(x?1)?0
，从而
g(x)< br>在区间
2
2
(1,??)
上单调递增。
①当
m?( 0,1)
时，有
?
?mx
1
?(1?m)x
2
?m x
1
?(1?m)x
1
?x
1
，
?
?m x
1
?(1?m)x
2
?mx
2
?(1?m)x
2
?x
2
，得
?
?(x
1
,x
2
)
，同理可得
?
?(x
1
,x
2
)
，所以< br>由
g(x)
的单调性知
g(
?
)
、
g(?
)
?(g(x
1
),g(x
2
))
， 从而有|
g(
?
)?g(
?
)
|<|
g(x< br>1
)?g(x
2
)
|，符合题设。
②当
m?0时，
?
?mx
1
?(1?m)x
2
?mx
2< br>?(1?m)x
2
?x
2
，
?
?(1?m)x1
?mx
2
?(1?m)x
1
?mx
1
?x< br>1
，于是由
?
?1,
?
?1
及
g(x)的单调性知
g(
?
)?g(x
1
)?g(x
2
)?g(
?
)
，所以|
g(
?
)?g(
?
)
|≥|
g(x
1
)?g(x
2
)
|，与题设不符 。
③当
m?1
时，同理可得
?
?x
1
,
?
?x
2
，进而得|
g(
?
)?g(
?
)
|≥|
g(x
1
)?g(x
2
)
|，与题设
不符。
因此综合①、②、③得所求的
m
的取值范围是（0，1）。


数学Ⅱ（附加题）
21.[选做题]本题包括A、B、C、D四小题，请选定其中 两题，并在相应的答题区域内作答。
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．

若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
A． 选修4-1：几何证明选讲
（本小题满分10分）
AB是圆O的直径，D为圆O上一点，过 D作圆O的切线交
AB延长线于点C，若DA=DC，求证：AB=2BC。
[解析] 本题主要考查三角形、圆的有关知识，考查推理论证
能力。
（方法一）证明：连结OD，则：OD⊥DC，
又OA=OD，DA=DC，所以∠DAO=∠ODA=∠DCO，
∠DOC=∠DAO+∠ODA=2∠DCO，
所以∠DCO=30
0
，∠DOC=60
0
，
所以OC=2OD，即OB=BC=OD=OA，所以AB=2BC。
（方法二）证明：连结OD、BD。
因为AB是圆O的直径，所以∠ADB=90
0
，AB=2 OB。
因为DC 是圆O的切线，所以∠CDO=90
0
。
又因为DA=DC，所以∠DAC=∠DCA，
于是△ADB≌△CDO，从而AB=CO。
即2OB=OB+BC，得OB=BC。
故AB=2BC。

B． 选修4-2：矩阵与变换
（本小题满分10分）
在平面直角坐标系xOy中，已知点A(0 ,0)，B(-2,0)，C(-2,1)。设k为非零实数，矩阵
M=
?
A
O
B
C
D
?
k0
??
01
?
,N =，点A、B、C在矩阵MN对应的变换下得到点分别为A
1
、B
1
、C1
，
???
?
01
??
10
?
△A< br>1
B
1
C
1
的面积是△ABC面积的2倍，求k的值。
[解析] 本题主要考查图形在矩阵对应的变换下的变化特点，考查运算求解能力。满分10分。 解：由题设得
MN?
?
?
k0
??
01
??< br>0k
?

?
?????
?
01
??
10
??
10
?

由
?
?
0k
??
0?2?2
??
00k
?
，可知A
1
（0， 0）、B
1
（0，-2）、C
1
（
k
，-2）。
?
?????
?
10
??
001
??
0?2?2< br>?
计算得△ABC面积的面积是1，△A
1
B
1
C
1
的面积是
|k|
，则由题设知：
|k|?2?1?2
。
所以k的值为2或-2。

C． 选修4-4：坐标系与参数方程
（本小题满分10分）
在极坐标系中，已知圆ρ=2cosθ与直线3ρcosθ+4ρsi nθ+a=0相切，求实数a的值。
[解析] 本题主要考查曲线的极坐标方程等基本知识，考查转化问题的能力。满分10分。
解：
??2
?
cos
?
，圆ρ=2cosθ的普通方程为：
x?y?2 x,(x?1)?y?1
，
直线3ρcosθ+4ρsinθ+a=0的普通方程为：
3x?4y?a?0
，
22222
又圆与直线相切，所以

D． 选修4-5：不等式选讲
（本小题满分10分）
|3?1?4?0?a|
3?4
22
?1,
解得：
a?2
，或
a??8
。
33
设a、b是非 负实数，求证：
a?b?ab(a
2
?b
2
)
。
[解析] 本题主要考查证明不等式的基本方法，考查推理论证的能力。满分10分。
332 222
（方法一）证明：
a?b?ab(a?b)?aa(a?b)?bb(b?a)

?(a?b)[(a)
5
?(b)
5
]

?(a? b)
2
[(a)
4
?(a)
3
(b)?(a)
2< br>(b)
2
?(a)(b)
3
?(b)
4
]

2432234
因为实数a、b≥0，
(a?b)?0,[(a)?(a)(b)?( a)(b)?(a)(b)?(b)]?0

33
所以上式≥0。即有
a?b ?ab(a
2
?b
2
)
。
（方法二）证明：由a、b是非负实数，作差得
a
3
?b
3
?ab(a
2
?b
2
)?a
2
a(a?b)?b
2
b(b?a)
?(a?b)[(a)
5
?(b)
5
]

当
a?b
时，
a?
当
a?b
时，
a?
33
所以
a?b?
b
，从而
(a)
5
?(b)
5
，得
(a?b)[(a)
5
?(b)
5
]?0
；
b
，从而
(a)
5
?(b)
5
，得
(a?b)[(a)
5
?(b)
5
]?0
；
ab(a
2
?b
2
)
。

[必做题 ]第22题、第23题，每题10分，共计20分。请在答题卡指定区域内作答，解答时
．．．．．．．
应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

22、（本小题满分10分）
某工厂生产甲、乙两种产品，甲产品的一等品率为80%，二等品率为20%；乙产品的一等
品率为90 %，二等品率为10%。生产1件甲产品，若是一等品则获得利润4万元，若是二
等品则亏损1万元；生 产1件乙产品，若是一等品则获得利润6万元，若是二等品则亏损2
万元。设生产各种产品相互独立。
（1）记X（单位：万元）为生产1件甲产品和1件乙产品可获得的总利润，求X的分布列；
（2）求生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率。
[解析] 本题主要考查概率的有关知识，考查运算求解能力。满分10分。
解：（1）由题设知，X的可能取值为10，5，2，-3，且
P（X=10）=0.8×0.9=0.72， P（X=5）=0.2×0.9=0.18，
P（X=2）=0.8×0.1=0.08， P（X=-3）=0.2×0.1=0.02。
由此得X的分布列为：
X
P
10
0.72
5
0.18
2
0.08
-3
0.02
（2）设生产的4件甲产品中一等品有
n
件，则二等品有
4?n
件。
由题设知
4n?(4?n)?10
，解得
n?
又
n?N
，得
n?3
，或
n?4
。
3
?0.8
3
?0.2?0.8
4
?0.8192
所求概率为
P?C
4
14
，
5
答：生产4件甲产品所获得的利润不少于10万元的概率为0.8192。

23、（本小题满分10分）
已知△ABC的三边长都是有理数。
（1）求证cosA是有理数；（2）求证：对任意正整数n，cosnA是有理数。

[解析] 本题主要考查余弦定理、数学归纳法等基础知识，考查推理论证的能力与分析 问题、
解决问题的能力。满分10分。
b
2
?c
2
?a< br>2
（方法一）（1）证明：设三边长分别为
a,b,c
，
cosA?< br>，∵
a,b,c
是有理数，
2bc
分母
2bc
为正有理数，又有理数集对于除法的具有封闭性，
b
2
?c
2
?a
2
是有理数，
b
2?c
2
?a
2
∴必为有理数，∴cosA是有理数。
2bc
（2）①当
n?1
时，显然cosA是有理数；
当
n?2
时，∵
cos2A?2cos
2
A?1
，因为cosA是有理 数， ∴
cos2A
也是有理数；
②假设当
n?k(k?2)
时， 结论成立，即coskA、
cos(k?1)A
均是有理数。
当
n?k?1
时，
cos(k?1)A?coskAcosA?sinkAsinA
，
1
cos(k?1)A?coskAcosA?[cos(kA?A)?cos(kA?A)]
，
2
11
cos(k?1)A?coskAcosA?cos(k?1)A?cos(k ?1)A
，
22
解得：
cos(k?1)A?2coskAcosA?co s(k?1)A

∵cosA，
coskA
，
cos(k?1)A< br>均是有理数，∴
2coskAcosA?cos(k?1)A
是有理数，
∴
cos(k?1)A
是有理数。
即当
n?k?1
时，结论成立。
综上所述，对于任意正整数n，cosnA是有理数。
（方法二）证明：（1）由AB、BC、AC为有理数及余弦定理知
AB
2
?AC
2
?BC
2
是有理数。
c osA?
2AB?AC
（2）用数学归纳法证明cosnA和
sinA?sinnA< br>都是有理数。
①当
n?1
时，由（1）知
cosA
是有理数 ，从而有
sinA?sinA?1?cosA
也是有理数。
②假设当
n?k (k?1)
时，
coskA
和
sinA?sinkA
都是有理数。
当
n?k?1
时，由
cos(k?1)A?cosA?coskA?sinA ?sinkA
，
2
sinA?sin(k?1)A?sinA?(sinA?cos kA?cosA?sinkA)?(sinA?sinA)?coskA?(sinA?sinkA)?cosA
，
及①和归纳假设，知
cos(k?1)A
和
sinA?sin( k?1)A
都是有理数。
即当
n?k?1
时，结论成立。
综合①、②可知，对任意正整数n，cosnA是有理数。