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2020年高中数学原创试题(7)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 03:37
tags:高中数学题

高中数学课堂怎样培养学生提问的能力-高中数学四心是什么


2020年数学原创试题(7)

函数创新题“
SHOW


1.已知函数
f(n)?log
(n?1)
(n?2)
(
n
为正整数),若存在正整数
k
满足:
f(1)?f(2)??? f(n)?k
,那么我们将
k
叫做关于
n
的“对整数”.当
n?[1,2010]
时,则“对
整数”的个数为 个.
解析:∵
f(n)?log
(n?1)
(n?2)
,
lg3lg4lg(n?2)
?????log
2
(n?2)
lg2lg3lg(n?1)

n?2?4,8,16,32,64,128,256,5 12,1024
满足要求,∴当
n?[1,2010]
时,则“对整数”的个

k?f(1)?f(2)???f(n)?
数为9个.
2.给出定义:若函数f(x)

D
上可导,即
f'(x)
存在,且导数
f' (x)

D
上也可导,则称
f(x)

D
上存在二 阶导函数,记
f''(x)?(f'(x))'
,若
f''(x)?0
D
上恒成立,则称
f(x)

D

为凸函数,给出下列 四个函数:
3

f(x)?sinx?cosx
;②
f(x)?l nx?2x
;③
f(x)??x?2x?1
;④
f(x)?x?e
.
x
其中
f(x)

(0,
?
2
)
上是凸函数的序号为 .
解析:由凸函数的定义可得该题即判断
f(x )
的二阶导函数
f''(x)
的符号.对于①
f'(x)?cosx?si nx
,
f''(x)??sinx?cosx
,在
x?(0,)
上, 恒有
f''(x)?0
;对于
2
11
?

f'(x )??2,f''(x)??
2
,在
x?(0,)
上,恒有
f''( x)?0
;对于
x2
x
2

f'(x)??3x?2
,
f''(x)??6x
,在
x?(0,)
上,恒有
f''(x )?0
;对于④
f'(x)?e
x
?xe
x
,
2
f''(x)?e
x
?e
x
?xe
x
?2e
x
?xe
x
,在
x?(0,)
上,恒有
f''(x)?0
,故填①②③.
2
k|x|
3.设函数
f(x)
的定义域 为
R
,若存在常数
k?0
,使
|f(x)|?
对一切实数< br>x
均成立,则
2010

f(x)
为“海宝”函数.给出下列 函数:
x
x
2

f(x)?x
;②
f(x)?s inx?cosx
;③
f(x)?
2
;④
f(x)?3?1
.
x?x?1
其中
f(x)
是“海宝”函数的序号为 .
k|x|k
2
?|x|(|x|?)?0
.若
x?0
,则解析:对于①,假设存在常数
k?0
,则
|x|?
20102010k?2010|x|
对一切实数
x
均成立,
k
不存在.
?
k|x|
对于②
|sinx?cosx|?|2sin(x?)|?
,即
k|x|?2
对一切实数
x
均成立,
k
不存
420 10
在.
对于③
|
?
?
?
x
|?
x
2
?x?1
|x|4|x|k|x|
,若
x?0
,则< br>k?2680
.
k
存在.
??
1
2
332010
|(x?)?|
24


对于④
|3?1|?1?
x
k|x|
?k|x|?2010
对一切实数
x
均成立,< br>k
不存在.
2010
故填③.
4.设函数
f(x)
定义域为
D
,若满足①
f(x)

D
内是单调函数;②存 在
[a,b]?D
使
f(x)

[a,b]
上的值域为[a,b]
,那么就称
y?f(x)
为“成功函数”.
2x
( 1)若函数
g(x)?log
a
(a?t)
(a?0,a?1)
是定 义域为
R
的“成功函数”,则
t
的取值范围
为 .
a
x
?a?3
(2)若
f(x)?
(a?0,a?1)
是定义域为
R
的“成功函数”,则
a
的取值范围为
lna
.
(3)若函数
f(x)?k?x?2< br>是“成功函数”,则实数
k
的取值范围为 .
2x< br>解析:(1)依题意,函数
g(x)?log
a
(a?t)
(a?0, a?1)
在定义域
R
为单调递增函数,且
t?0
,而
t?0
时,
g(x)?2x
不满足条件②,∴
t?0
,设存在
[m ,n]
,使得
g(x)

[m,n]
上的
2m
2m m
?
?
log
a
(a?t)?m
?
?
a? t?a
x2x
?
值域为
[m,n]
,∴
?
,∴m,n
是方程
(a)?a?t?0

?
2n2nn
?< br>?
?
a?t?a
?
log
a
(a?t)?n
1
两个不等实根,∴
??1?4t?0
,解得
0?t?
.
4
a
x
?a?3
?x
有两个不等实根.即
a
x?xlna?a?3?0
有(2)
f(x)
为成功函数
?f(x)?lna
xxx
两个不等实根.令
g(x)?a?xlna?a?3
,∴< br>g'(x)?alna?lna?(a?1)lna
,

g'(x)?0?x?0
.
①当
a?1
时,
x ?0
时,
g'(x)?0
;
x?0
时,
g'(x)?0,∴
g(x)
min
?g(0)?1?a?3?0

?a?2
,∴
1?a?2
.
②当
0?a?1
时,
x?0
时,
g'(x)?0
;
x?0
时,
g'(x )?0
,

g(x)
min
?g(0)?1?a?3?0
,∴
0?a?1
.
综上:
a?(0,1)?(1,2)
.
(3)∵
f(x)?k?x?2
是增函数,若
f(x)?k?x?2
是成功 函数,则存在实数
?
?
f(a)?a
?
a?k?a?2
?
?
a,b(?2?a?b)
,使
?
,∴
a,b
为方 程
x?k?x?2
的两个实
f(b)?b
?
?
?
b ?k?b?2
2
数根,从而方程
k?x?x?2
有两不等实根.令
x ?2?t
,则
k?t?t?2(t?0)
.
99
1
t?0
时,
k??2
;当
t?
时,
k??
.当
??k??2
时.直线
y?k
与曲线
44
2
2< br>y?t?t?2(t?0)
有两个不同交点,即方程
k?t
2
?t?2 (t?0)
有两个不等实根,故实数
k
9
的取值范围是
(?,?2]
.
4
5.已知
f(x)
是定义在
R
上的函数,< br>f(1)?10
,且对于任意
x?R
都有
f(x?20)?f(x) ?20
,
f(x?1)?f(x)?1
,若
g(x)?f(x)?1?x,则
g(10)?
.
解析:由
g(x)?f(x)?1 ?x

f(x)?g(x)?x?1
,从而有
g(x?20)?(x?20) ?1

?g(x)?x?1?g(x?20)?g(x)
.
g(x?1)?( x?1)?1?g(x)?x?1?1

?g(x?1)?g(x)
,则由
g (x)?g(x?20)?g(x?19)???g(x?1)
.

g(x)?g( x?1)
,即
g(x)
是周期为1的函数,
g(1)?f(1)?1?1?1 0
,
g(10)?10
.


6.若定义在
[?201 0,2010]
上的函数
f(x)
满足:对于任意
x
1
,x
2
?[?2010,2010]
,

f(x
1
? x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)?2009
.设
f(x)
的最大值、最小值分别为
M,N
,则
M?N
的值为 .
解析:令
x
1
?x
2
?0
,则
f(0 )?2f(0)?2009?f(0)?2009
,

x
1
?x, x
2
??x
,则
f(x?x)?f(x)?f(?x)?2009?f(x) ?f(?x)?2?2009
,

f(?x)?2009??(f(x)?2009 )
,∴
f(x)?2009
为奇函数,∴函数
f(x)?2009
关 于原

(0,0)
对称,函数
f(x)
关于点
(0,200 9)
对称.又设
?2010?x
1
?x
2
?2010
,不妨设
x
2
?x
1
?h(h?0)
,
f(h )?2009
,则
f(x
2
)?f(x
1
)?f(h)?2 009?f(x
1
)
,∴
f(x)

[?2010,201 0]
上单调递增,故
M?N?f(2010)?f(?2010)?2009?2?4018< br>.
a
x
7.设函数
f(x)?
x
(a?0,a?1 )
,
[m]
表示不超过实数
m
的最大整数,则函数
a?1
11
[f(x)?]?[f(?x)?]
的值域是 .
22
解析:
1111111111
[f(x)?]?[f(?x)?] ?[1?
x
?]?[
x
?]?[?
x
]?[?(?
x
)]
222
a?1
2
a?1a?1
2
a?12
1111111111

x
?(0,1)
,则
x??(?,)
,∴当
x
??(?,0)
时,
[?
x]?0
,
2222
a?1a?1a?1
2
a?1
2< br>11111111
[
x
?]??1
,当
x
??0时,
[?
x
]?[
x
?]?0
,
2
a?1a?1
2
a?1
2
a?1
2
1111111

x
??(0,)
时,
[?
x
]??1
,
[
x
?]?0
,
22
a?1a?1
2
a?12
11

[f(x)?]?[f(?x)?]
的值域是
{?1, 0}
.
22
32
8.记集合
T?{0,1,2,3,4,5,6}
,
M?{7?a
1
?7?a
2
?7a
3
? a
4
|a
i
?T,i?1,2,3,4}
,将
M
中 的元素按从大到小的顺序排列,则第2020个数是( )
A.
7?0?7?6?7?6
B.
7?0?7?5?7?6

C.
7?2?7?3?7?6
D.
7?0?7?6?7?5
< br>解析:用
[a
1
a
2
?a
k
]
p< br>表示
k

p
进制,则集合
3232
3232
M?{7
3
?a
1
?7
2
?a
2
?7a
3
?a
4
|a
i
?T,i?1,2,3,4}?{[a1
a
2
a
3
a
4
]
7
|a< br>i
?T,i?1,2,3,4}
,
M
中的最大数为
[666 6]
7
?[2400]
10
,在十进制中,从2400起从大到小顺序排列的 第2020个数
32
字是
2400?2009?391
,而
[391 ]
10
?[1066]
7
,则
M
中的数为
7?0? 7?6?7?6
.故选A.
23
9.已知集合
A?{x|x?a
0
?a
1
?7?a
2
?7?a
3
?7}
,其 中
a
i
?{0,1,2,3,4,5,6}
,
i?0,1,2,3 ,

a
3
?0
.若正整数
m,n?A
,且
m?n?2010
,
m?n
,则符合条件的正整数
m
有 个.
23
解析:用
[a
k?1
a
k
?a
0
]
p
表示
k

p
进制,则集合
A?{x |x?a
0
?a
1
?7?a
2
?7?a
3
?7}

?{[a
3
a
2
a
1
a
0
]
7
|a
i
?T,i?0,1,2,3}
,
A< br>中的最大数为
[6666]
7
?[2400]
10
,且
a
3
?0
,则最小
3
值为
7?343
,∴
A?{343,344,?,2400}
,若正整数
m,n?A
,且
m?n ?2010
,
m?n
,

n?343
时,
m?1 667
,则
n?1004
,∴符合条件的正整数
m

100 4?342?662
个.
10.如果对任意一个三角形,只要它的三边长
a,b,c
都在函数
f(x)
的定义域内,就有
f(a)
,
f(b) ,f(c)
也是某个三角形的三边长,则
f(x)
均为“
V
型函数” .则下列函数
:①
f(x)?x
;②
g(x)?sinx,x?(0,
?
)
;③
h(x)?lnx,x?[2,??)
,其中是“
V型函数”


的序号为
.
解析:设
a?b?c?0
,且
a?b?c
,则(1)
a?b?c
,
22

(b?c)?(a)?b?c?2bc?a?0
,∴
a?b? c
,选①;
(2)
lna?lnb?lnc,lnb?lnc?lnbc
,
a?b?c?lna?ln(b?c)?lnbc
,

lna?lnb?lnc
,∴选③.
?
5
?
1 1
?
11
(3)
a?,b?
,∴
a,b,c
能构成 三角形的三边,
sina?1,sinb?,sinc?
,
,c?
2612 22
sina?sinb?sinc
,∴
sina,sinb,sinc
不能 构成三角形的三边,∴不选②.
32
11.已知函数
f(x)?ax?bx?cx? d(a?0)
,当
0?x?1
时,
|f'(x)|?3
,试求
a
的最大值.
?
f'(0)?c
?
1
1
3?
2
解析:
f'(x)?3ax?2bx?c
,由
?
f '()?a?b?c
,得
3a?2f'(0)?2f'(1)?4f'()
.
4
2
?
2
?
?
f'(1)?3a?2b?c
11
22
32
又已知当
f(x)?8x?6x?24x?m(m
为常数) 满足题设条件,∴
a
的最大值为
8
.
12.对给定的整数
m
,符号
?
(m)
表示
{1,2,3}
中使
?(m)

m
能被3整除的唯一值,
那么
?
(2

?
(2

?
(2
2010

3|a| ?|2f'(0)?2f'(1)?4f'()|?|2f'(0)|?|2f'(1)|?|4f'()|?2 4
,∴
a?8
.
?1)?
?
(2
2010
?2)?
?
(2
2010
?3)?
. < br>2010
解析:由二项式定理知,
2
2010
2010
?4< br>1005
?(3?1)
1005
?3p?1
,即
2
2 010
被3除余1,
?1)?3,
?
(2
2010
?2) ?1,
?
(2
2010
?3)?2
,
?1)?
?
(2
2010
?2)?
?
(2
2010
?3)?6
.
13.设
f(x)
的定义域为
R
,若存在常数
M?0
,
|f(x)|?M|x|
对一切实数都成立,则称
f(x)
为“倍约束函数”,给出下列函数:
?
x?2
x
,x?0
x
2

f(x)?
2
;②
f(x)?
?
;③
f(x)?x
;④
f(x)
是定义在
R
上的
x?2x?4
?
f(x?1),x?0
奇函数,且满足对一切实数
x
1
, x
2
,均有
|f(x
1
)?f(x
2
)|?2|x
1
?x
2
|
成立.
其中为“倍约束函数”的有 个.
解析:①当
x?0
时,
|f(x)|?M|x|
对于任意的
M?0
恒成立;当
x?0
时,
x1
,∴,故①为“倍约束函数”;②当
x?0
时,
|?M|x |M?
3
x
2
?2x?4
|f(x)|?M|x|
对于任意 的
M?0
恒成立;当
x?0
时,
|x?2
x
|?M |x|
,
M?2
x
,
x?1
对任意的
M?1均成立;当
0?x?1
时,
f(x)?f(x?1)?(x?1)?2
, ∴
|f(x)|?M|x|
,
1
x?1

|(1?)?2 |?M
,实数
M
不存在,故②不是“倍约束函数”;③当
x?0
时,
x
|f(x)|?M|x|
恒成立;当
x?0
时,
x
2
?M|x|
,∴
M?|x|
,不存在满足题意的
M
,故 ③不
是“倍约束函数”;④当
x
2
?0
时,∵
f(x)
R
上的奇函数,∴
f(0)?0
,

|f(x1
)|?2|x
1
|
,∴
M?2
,故④是“倍约束函数 ”.故填2.
|f(x)|?|

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