全国高中数学联赛模拟试题 (2)

全国高中数学联赛模拟试题
一试
11、填空题
1、已知
x?lgx?10,y?10
y
?10.
则
x?y?
。
2、正方体棱长为
a
，与正方体一条对角线垂直的最大截面面积为 。
3．已知
sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)4sin(
?
?)s
?
in(
?
)
?
?
则
?
，
cos
?
cos
?
9cos(
?
?
?
?
?
)cos
?
的值是___________________
4．若
x是一个十进制四位整数，记
x
的各位数码之积为
T(x)
，各位数码之和 为
S(x)
，
p
为
素数，且
T(x)?p
k
，
S(x)?p
p
?5
，则
x
中的最小者是 。
x
2
y
2
5．设椭圆
2
?
2
?1
的一个焦点为
F
，点
P
在
y
轴上，
ab
直线
PF
交椭圆于点
M，N
，
PM?
?
1
MF，PN?
?
2
NF
，
则实数
?
1
?
?
2
?
。
y
P
M
F
o
N
x
6． 已知
a?(0,1)
的常数，
x?y?1,函数f(x,y)?ax?y的最大值为< br>
7．已知
a,b,c,d?N且满足342（abc d?ab?ad?cd?1)?379(bcd?b?d),

设M?a?10
3
?b?10
2
?c?10?d
则M的值为
8．已知99个数
a
1
, a,?
2
a
每个都只能取1或-1，则
a
1
a?
2
a
1
??a
3
?

a
1
?a
9
?a?
2
a
的最小值是
?a

a
93
二．解答题
x
4
?kx2
?1
,k、x?R
，9．已知
f(x)?
4
（1）求
f(x)
的最大值与最小值；（2）求所有实数，
2
x?x?1
使得 对任意三个实数
a、b、c
，存在一个三角形具有边长
f(a)、f(b)、f(c)
．
3
10、数列
{a
n
}
中，
a
n
?n?
22
?
(n
i?1
99
2
?i
2
)
2
，求该数列前
n
项和
S
n
。
11、双曲线
3x?y?24x?36?0
的右焦点为
F
，右准 线为
l,
椭圆
C
以
F
和
l
为其对应
的焦点及准线，过
F
做一条平行于
y?x
的直线，交椭圆
C
于点
A
和
B
。已知
C
的中心在
以
AB< br>为直径的圆内。求椭圆
C
的离心率的取值范围。

二试
一、
在凸四边形ABCD中, AD与BC不平行, 且存在圆
Γ
分别与边BC和AD
切于C、D, 再设AC与BD交于点P, 圆
Γ
与AB交于两个不同的点K、L, 求
证: 直线KP平分CD的充分必要条件是LC=LD.

二、求证：对于任意实数
a,b ,c
，都有：
1?
a
a
2
?b
2
?
b
b
2
?c
2
?
c
c
2
?a< br>2
?
32
.

2
三、求所有正整数
n
，存在
1,2,?,n
的一个排列，使得
a
i
?i
两两不 同。
2233
四、求所有质数
p
，使得存在整数
m,n
， 满足：
p?m?n,pm?n?4
。

参考答案：
一试
一、填空题
1、10.
令f(t)?t?10
t
,则f(t)是 严格递增函数,故存在唯一的实数y,使得y+10
y
?10,

0x

又lgx?1?
2、
,故1
10?x
0 ?x即,?(1x0?
x
)
1?0
1?0所以1010-x=y,,即x+y =10

33
2
a
.
4
当A、B、C、D、E、 F均为所在棱的中点时，正六边形ABCDEF，所在面与正方体对角
线垂直、且面积最大，正方形边长 为
232
2
33
2
a,故面积为6?(a)?a.

2424
3、
4

5
4、1399．
设这4个数 字是
a,b,c,d
，易知
p?3,S(x)?a?b?c?d?22,
并且 由
T(x)?3
k
知
a,b,c,d
为3的倍数或1。可以验证13 99是满足条件的最小整数。
2a
2
5、
?
2

b

?
1
?
?
2
?
x
N
c
?
x?x
N
?
?2x
M
x
N
x
M

??
2
M
c?x
M
c?x
N
c?c
?
x
M
?x
N
?
?x< br>M
x
N
y?k
?
x?c
?
?
2a< br>2
k
2
ca
2
k
2
c
2
? a
2
b
2
,x
M
x
N
?
由
?
22
得
x
M
?x
N
?
2
，
2222
22222
bx?ay?ab
b?akb?ak
?
2a
2
?
?
1
?
?
2
??
2.

b
6、1.
f(x,y)?ax?y?ax?y?ax?(1? x)?(a?1)x?1前一个等号成立,应有x?0,y?0,
当0?x?1,0?a?1时,g(x )?(a?1)x?1为减函数,x?0时,g(x)
max
?1
?
x?0< br>故
?
时,g(x)
max
?1
?
y?1

7、1949

?
由已知得1+
1
9+
1< br>4+
1
9
?a?
b?
1
1
c?
1< br>a
,连分数表示法唯一.

8、11
22
?
(a< br>1
?a
2
?
?
?a
99
)
2
?a
1
2
?a
2
?
?
?a
n
? 2
1?i?j?99
?
a
i
a
j
?(a
1
?
?
?a
n
)
2
?99?2
?
4 4个?1,


11.
使99+2
?
为完全平方数的最小正 整数为121,即当取55个1,

或
55
个
?1,4
个
4
可使
1a
1
?
?
?a
99
?1 ?1
?
的最小值为
二、解答题
(k?1)x
2
x
2
1
42
0??
x?1?2x
9、解：（1）
f(x)?1 ?
4
，而，所以
x?x
2
?1x
4
?x
2
?13
当
k?1
时，
f(x)
max
?
（2）
2f(x)
min
10、解：因为
k?2k?2
,f(x)
min
?1
；当
k?1
时，
f(x)
min
?,f(x)
max
?1

33
1
?f(x)
max
???k?4

2
a
n
?n?
?
(n
2
?i
2
)
2
?(n?99)
2
(n?98)
2
...(n?1)
2< br>n
2
(n?1)
2
...(n?98)
2
(n?99 )
23
i?1
99
=
1
[(n?100)
2
?(n?100)
2
]?(n?99)
2
?(n?98)
2
...(n?99)
2
，
400
1
(n?100)
2< br>?(n?99)
2
?(n?98)
2
...(n?99)
2< br>- 所以
S
n
?S
n?1
?
400
1
(n?99)
2
?(n?98)
2
...(n?99)
2
(n?100)
2
。
400
1
(n?100)
2
?(n?99)
2
?(n?98)
2
...(n?99)
2
= 即得
S
n
?
400
1
S
n?1
?(n ?99)
2
?(n?98)
2
...(n?99)
2
(n? 100)
2
，
400
1
(n?100)
2
?(n ?99)
2
?(n?98)
2
...(n?99)
2
}是常数数列，其首相为所以新数列
{S
n
?
400
11
S
1
??0?0
。所以
S
n
?(n?100)
2< br>?(n?99)
2
?(n?98)
2
...(n?99)
2< br>，
400400
99
n
2
2
即
S
n
?(n?100)?
?
(n
2
?i
2
)
2

400
i?1
(x?4)
2
y
2
?? 1,
于是
F
的坐标为
(0,0),
右准线
l
方程为 11、解：将双曲线方程变形为
412

x??3
。以
F
为极点，
Fx
为极轴建立极坐标系，记
e
为椭圆
C
的离心 率，则
C
的方程为
?
?
3e
?
5
?
,
令
?
?
或
,
我们有
|FA|?
1?e cos
?
4
4
3e3e
,|FB|?
。另一方面，设
C
22
1?e1?e
22
a
2
?c?3
（这里< br>a,b,c
分别为椭圆
C
的半长轴长、半短轴长和半的中心为
I,则
|FI|?c,
而
c
焦距）。利用余弦定理，可知
|AI|< br>2
?|FA|
2
?|FI|
2
?2|FA|?|FI|,|B I|
2
?|FB|
2
?|FI|
2
?2|FB|?|FI| ,

|AB|
2
?|FA|
2
?|FB|
2
?2|FA|?|FB|
。依题意，有
|AI|
2
?|BI|
2< br>?|AB|
2
。所以，应有
2c
2
?2(|FB|?|FA| )c?2|FA|?|FB|,
即
??
??
2
2
2
3e3e18e
a
3e
2
?
?2c?2c
?
?< br>?c?3,
故
c?
，由于。
2
1
??
c< br>1?e
2
22
e1?e
?
1?e
?
1?2
22
??
e
2
e
2
1
??
代入上式，可得。可解得
0?e?2?2

(1?e
2
)
2
(1?e
2
)(1?
1
e
2
)1?
1e
2
22

二试
一、
证明：

Q
M
D
P
A
KL
C
M
D
P
C
B
A
KL
B

设直线KP交CD于M, 由正弦定理不难得到

AKDMPAPD
???
(1) .
KBMCPBPC
另一方面, 设直线AD与BC交于Q, 将Menelaus定理用于对
△
QAC与截
线PBD以 及
△
QDB与截线PCA, 我们有
式相乘, 得
PAPDQABC
2
?
??
?1
. (2)
2
PCPBQBAD
但由圆幂定理, BC
2
=KB
?
LB, AD
2
=AK?AL, 代入(2)式并注意(1)式, 得
APCBQDDPBCQA
???1
,
???1
, 两
PCBQDAPBCQAD
DMQALB
???1
. 于是,
M CQBAL
M为CD的中点?
DM
MC
?1
?
DMQALB QAAL
???1
?
?
?QL平分∠AQB?LC=LD. 即
MCQBALQBLB
直线KP平分CD
? LC=LD.

二、
b
2
c
2
a
2
证明：令
x ?
2
,y?
2
,z?
2
，则
x,y,z?R
?
且
xyz?1
。
abc
原式
?1?
?
132
，
?
2
1?x
1
?A?1
。
z
不妨设x?y?z
，令
A?xy?
?
?
11
??
1? x1?x

1
1?
1
x
?
1?x
?1
，
1 ?x
左边
设
u?
1
?
1?x?y?xy
1
1?A?x?
A
x
，则
u?
?
0,
??
， 仅当
x?A
时
?
?
1?A
?
1
u?
1
1?A
。

?
11
?
?
?
?
?
?1?x1?y
?
??
2
??
?
11
?
?
?
?
?
?
1?xA
?
1?
??
x
??

112
???
A
1?x
1?
A< br>1?A?x?
x
x
A
2?x?
2
x
???1 ?
?
1?A
?
u
2
?2u.
A
A
1?A?x?
1?A?x?
x
x
构造函数，令
f
?
u
?
?
?
1?A
?
u
2
?2u?1,?
u?
?
0,
2
??
使
f
?
u
?
递增，
?
?
1?A
?
1
?
11
??
1?x1?y
2
?
1
?
f
??

?
1?A
??
1?A
令A?t
，则
?
121
??

1?x1
1?A< br>1?
A
?
22t
?
1?t
2
?
1? t
2
?
22t
?
1?t
1?t
22
?2?
1?t
1?t
2
?

?

?
12
?
32
??2
?
?< br>1?t
?
2
?
?
?
2
??
?
证毕。

三、
解：设
a
1
,a
2
,?,a
n
是具有上述性质的排列，则
32
.
2
?a
1
?1,a
2
?2,a
3
?3,?,a
n< br>?n
?
?
?
0,1,2,?,n?1
?