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高中数学涂色问题好题集锦大全

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 03:38
tags:高中数学题

高中数学资料站-关于高中数学的歌曲的歌谣


书就是社会,一本好书就是一个好的世界,好的社会。它能陶冶人的感情和气质,使人高尚。 ------ 波罗果夫

数学中涂色问题
整理:高三数学组 2009年4月
与涂色问题有关的试题新颖有趣, 近年已经在高考题中出现,其中包含着丰富的数学思想。解
决涂色问题方法技巧性强且灵活多变,因而这 类问题有利于培养学生的创新思维能力、分析问题
与观察问题的能力,有利于开发学生的智力。本文拟总 结涂色问题的常见类型及求解方法
一.区域涂色问题
w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

1、 根据分步计数原理,对各个区域分步涂色,这是处理染色问题的基本方法。
例1、 用5种不同的颜色 给图中标①、②、③、④的各部分涂色,每部分只涂一种颜色,
相邻部分涂不同颜色,则不同的涂色方法 有多少种?










分析:先给①号区域涂色有5种方法,再给②号涂色有4种方法,接着给 ③号涂色方法有3种,
由于④号与①、②不相邻,因此④号有4种涂法,根据分步计数原理,不同的涂色 方法有
别计算出两种情形的种数,再用加法原理求出不同涂色方法总数。
例4用红、黄、蓝、 白、黑五种颜色涂在如图所示的四个区域内,每个区域涂一种颜色,相邻两
个区域涂不同的颜色,如果颜 色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?
分析:可把问题分为三类:
(1) 四格涂不同的颜色,方法种数为
(2) 有且仅两个区域相同的颜色,
(3) 即只
有一组对角小方格涂相
同的颜色,涂法种数为
A
5
4

2
3
2
1
4
2CA
5)
1
5
2
4

两组对角小方格分别涂相同的颜色,涂法种数为
A
5

因此,所求 的涂法种数为
2122
A
5
?2C
5
A
4
?A
5
?260

4、 根据相间区使用颜色的种类分类
例5如图, 6个扇形区域A、B、C、D、E、F,现给这6个区域着色,要求同一区域涂
同 一种颜色,相邻的两个区域不得使用同一种颜色,现有4种不同的颜色可
当相间区域A、C、E着同一种 颜色时,
有4种着色方法,此时,
B、D、F各有3种着色方法,
此时,B、D、F各有3种着色方法
故有
4?3?3?3?108

种方法。


F有
3?2?2
种着色方法,故共有
C
3
A
4
3
5?4?3?4?240

2、 根 据共用了多少种颜色讨论,分别计算出各种出各种情形的种数,再用加法原理求出不
同的涂色方法种数。
例2、四种不同的颜色涂在如图所示的6个区域,且相邻两个区域不能同色。
分析:依题意只能选用4种颜色,要分四类:
(1)②与⑤同色、④与⑥同色,则有
(2)③与⑤同色、④与⑥同色,则有
(3)②与⑤同色、③与⑥同色,则有

(4)③与⑤同色、② 与④同色,则有
4
A
1
解(1)

C
D
E
F
2
B
A
A
4
4




4
4
4

A
4
4

A
4




(2)当相间区域A、C 、E着色两不同的颜色时,有
C
3
22
2
种着色方法,此时B、D、
A
4
A
;(5)②与④同色、③与⑥同色,则有
A
4
4
?3?2?2?432
种着色方法。
3

所以根据加法原理得涂色方法总数为5
A
4
=120
例3、如图所示,一个地区分为5个行政区域,
现给地图着色,要求相邻区域不得使用同一颜色,
现有4种颜色可供选择,则不同的着方法共有多少种?
分析:依题意至少要用3种颜色
1) 当先用三种颜色时,区域2与4必须同色,
2)
3)
4)
区域3与5必须同色,故有
A
4
种;
当用四种颜色时,若区域2与4同色,
则区域3与5不同色,有
A
种;若区 域3与5同色,则区域2与4不同色,有
种,故用四种颜色时共有2
34
+2
A
4
=24+2
?
24=72
A
4
(3) 当相间区域A、C、E着三种不同的颜色时有
A
4
种着色方法,此时B、D、F
各有2种着色方法。此时共有
A
4
3
2
1
4
?2?2?2?192
种方法。
5
故总计有108+432+192=732种方法。
说明:关于扇形区域区域涂色问题还可以用数列中的递推公来解决。
如:如图, 把一个圆分成
n(n?2)
个扇形,每个扇形用红、白、蓝、黑四色之
一染色,要求相 邻扇形不同色,有多少种染色方法?
解:设分成n个扇形时染色方法为
a
n

3
A
1
A
2
A
3
A
n
?


4
4
A
4
4
(1) 当n=2时
A
4
4
种。由加法原理可知满足题意的着色方法共有
2
A
1

A
2

A
4
=12种,即
a
2
=12
(2)当分成n个扇形,如图,
A
1

A
2
不同色,
A
2

A
3
不同
色,
?

A
n?1

A
4
A
3、 根据某两个不相邻区域是否同色分类讨论,从某两个不相邻区域 同色与不同色入手,分

A
n
不同色,共有
4?3
n?1< br>种染色方法, 但由于
A
n

A
1

无论掌握哪一种知识,对智力都是有用的,它会把无用的东西抛开而把好的东西保留住。 -----达 · 芬奇


书就是社会,一本好书就是一个好的世界,好的社会。它能陶冶人的感情和气质, 使人高尚。 ------ 波罗果夫
A
n

A
1
同色 的情形;
A
n

A
1
同色时,可把
A
n< br>、
A
1
看成一个扇形,与前
n?2
个扇形加在一起为
n?1
个扇形,此时有
a
n?1
种染色法,故有如下递推关系:
邻,所以应排除
(2)使用三种颜色涂色,则必须将一组对边染成同色,故有
C< br>4
C
2
A
3
种,
(3)使用二种颜色时,则两组对边必须分别同色,有
因此,所求的染色方法数为
2

A
4
112
a
n
?4?3
n?1
?a
n?1
41122
A
4
?C
4
C
2
A
3
?A
4
?84

?a
n
??a
n?1
?4?3
n?1
??(? a
n?2
?4?3
n?2
)?4?3
n?1


?a
n?2
?4?3
n?2
?4?3
n?1
??a
n?3
?4?3
n?3
?4?3
n?2
?4?3
n ?1
?
?
?4?[3
n?1
?3
n?2
?
?
?(?1)
n
?3]
?(?1)?3?3
nn
解法二:涂 色按AB-BC-CD-DA的顺序进行,对AB、BC涂色有
4?3?12
种涂
色方 法。
由于CD的颜色可能与AB同色或不同色,这影响到DA颜色的选取方法数,故分类讨
论: 当 CD与AB同色时,这时CD对颜色的选取方法唯一,则DA有3种颜色可供
选择CD与AB不同色时, CD有两种可供选择的颜色,DA也有两种可供选择的颜色,
从而对CD、DA涂色有
1?3? 2?2

二.点的涂色问题
方法有:(1)可根据共用了多少种颜色分类讨论,(2 )根据相对顶点是否同色分类讨论,(3)
将空间问题平面化,转化成区域涂色问题。
例6、 将一个四棱锥
S?ABCD
的每个顶点染上一种颜色,并使同一条棱的两端点异色,
如 果只有5种颜色可供使用,那么不同的染色方法的总数是多少?
解法一:满足题设条件的染色至少要用三种颜色。
(1)若恰用三种颜色,可先从五种颜色中 任选一种染顶点S,再从余下的四种颜色中任
选两种涂A、B、C、D四点,此时只能A与C、B与D分 别同色,故有
C
5
A
4
12

顶点的棱涂不同的颜色,问有多少种不同的涂色方法?
解:(1)若恰用三种 颜色涂色,则每组对棱必须涂同一颜色,而这三组间的颜色不同,故

A
6
种 方法。
3
?7
种涂色方法。
由乘法原理,总的涂色方法数为
12?7?84

8、用六种颜色给正四面 体
A?BCD
的每条棱染色,要求每条棱只染一种颜色且共
(2)若恰用四种颜色涂色 ,则三组对棱中有二组对棱的组内对棱涂同色,但组与组之间不同色,
故有
C
6
A
6
种方法。
(3)若恰用五种颜色涂色,则三组对棱中有一组对棱涂同一种颜色 ,故有
C
3
A
6
种方法。
(4)若恰用六种颜色涂色,则有
6
种不同的方法。
A
6
15
34
?60

方法。
(2)若 恰用四种颜色染色,可以先从五种颜色中任选一种颜色染顶点S,再从余下的四种
颜色中任选两种染A与 B,由于A、B颜色可以交换,故有
2
种染法;再从余下的两种颜色中任
A
4
综上,满足题意的总的染色方法数为
选一种染D或C,而D与C,而D与C中另一个 只需染与其相对顶点同色即可,故有
324156
A
6
?C
3
A
6
?C
3
A
6
?A
6
?4080种。
CACC?240
种方法。
(3)若恰用五种颜色染色,有
5
A
5
?120
种染色法
1
5
2
4
1
2
1
2
三.面涂色问 题
例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜色,将一个正方体的6个面涂色,每两个具有公共棱< br>的面涂成不同的颜色,则不同的涂色方案共有多少种?
分析:显然,至少需要3三种颜色,由于 有多种不同情况,仍应考虑利用加法原理
原理分步进行讨论
解:根据共用多少种不同的颜色分类讨论
(1)用了六种颜色,确定某种颜色所涂面为下底面 ,则上底颜色可有5种选择,在上、下底
已涂好后,再确定其余4种颜色中的某一种所涂面为左侧面,则 其余3个面有3!种涂色方
案,根据乘法原理
n
1
综上所知,满足题意的染色 方法数为60+240+120=420种。
解法二:设想染色按S—A—B—C—D的顺 序进行,对S、A、B染色,有
5?4?3?60

染色方法。
由于C点的颜色可能与A同色或不同色,这影响到D点颜色的选取方法数,故分类讨论:
C与A同色时(此时C对颜色的选取方法唯一),D应与A(C)、S不同色,有3种选择;
C与A不同 色时,C有2种选择的颜色,D也有2种颜色可供选择,从而对C、D染色有
?5?3!?30

5
1?3?2?2?7
种染色方法。由乘法原理,总的染色方法是
60?7? 420

解法三:可把这个问题转化成相邻区域不同色问题:如图,
D
对这五个区域用5种颜色涂色,有多少种不同的涂色方法?
A
二.线段涂色问题
S
对线段涂色问题,要注意对各条线段依次涂色,主要方法有:
C
6) 根据共用了多少颜色分类讨论
B
7) 根据相对线段是否同色分类讨论。
例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边,每条边只涂一种颜色 ,
且使相邻两边涂不同的颜色,如果颜色可以反复使用,共有多少种不同的涂色方法?
解法一 :(1)使用四颜色共有
(2)共用五种颜色,选定五种颜色有
C
6
,确定< br>?6
种方法,必有两面同色(必为相对面)
为上、下底面,其颜色可有5种选择,再确定 一种颜色为左侧面,此时的方法数取决于右侧
面的颜色,有3种选择(前后面可通过翻转交换)
5
n
2
?C
6
?5?3?90
;(3)共用四种颜色,仿 上分析可得
423
n
3
?C
6
C
4
?9 0
;(4)共用三种颜色,
n
4
?C
6
?20
< br>例10、四棱锥
P?ABCD
,用4种不同的颜色涂在四棱锥的各个面上,要求相邻不同 色,
有多少种涂法?


A
4
4
种;
无论掌握哪一种知识,对智力都是有用的,它会把无用的东西抛开而把好的东西保留住。 -----达 · 芬奇


书就是社会,一本好书就是一个好的世界,好的社会。它能陶冶人的感情和气质, 使人高尚。 ------ 波罗果夫


P


1
2

?


5

D

C
4
3

解:这种面的涂色问题可转化为区域涂色问题,如右图,区域
A
B
1、2、3、4相当于四个侧面,区域
5相当于底面;根据共用颜色多少分类:
(1) 最少要用3种颜色,即1与3同色、2与4同色,此时有
A
3
4
种;
(2) 当用4种颜色时,1与3同色、2与4两组中只能有一组同色,此时有
C
14
2
A
4

故满足题意总的涂色方法总方法交总数为
A
314
4
?C
2
A
4
?72

用三种不同的颜色填涂如右图3
?3
方格中的9个区域,要求
每行、每列的三个区域都不同色,则不同的填涂方法种数共有( D )

A、48、 B、24 C、12 D、6




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