高中数学学业水平考试试题(附答案)

高中数学学业水平考试试题

(满分：100 时量：120分钟)
一、选择题：本大题共20小题，每小题2分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项符合题 目要求。
1、如果集合
P?xx??1
，那么
A．
0?P
B．
?
0
?
?P
C．
??P
D．
?
0
?
?P

??
5?
的值等于
6
11
A．
3
B．
?
3
C． D．
?

22
22
2、
cos
3、数列0，0，0，0…，0，…
A．是等差数列但不是等比数列 B．是等比数列但不是等差数列
C．既是等差数列又是等比数列 D．既不是等差数列又不是等比数列
4、下列函数中与y=x是同一个函数的是
2
A．
y?(x)
B．
y?
x
C．
y?
3
x
3
D．
y?
2
x
x
2

5、点（0，5）到直线y=2x的距离是
3
A．
5
B．
5
C． D．
5

2
2
2
6、直线x+2y+3=0的斜率和在y轴上的截距分别是
A．
?
1
和－3 B．
1
和－3 C．
?
1
和
3
D．
?
1
和
?
3

222222
7、已知下列四个命题
①垂直于同一条直线的两条直线平行
②垂直于同一条直线的两个平面平行
③垂直于同一条直线的一条直线和一个平面平行
④垂直于同一平面的两条直线平行
其中真命题有
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
8、若
f(10)?x
，则f（3）等于
A．lg3 B．log
3
10 C．10
3
D．3
10

9、函数
y?2
1
1?x
x
的值域为


A．
yy?0

C．R
????
D．
?
yy?R且y?0
?

B．
yy?0且y?1

10、在右图的正方体中，M、N分别为棱BC和 棱CC
1
的中点，则异面直线AC和MN所成
的角为
A．30°
C．60°

1

B．45°
D．90°

11、满足a=4，b=3和A=45°的△ABC的个数为
A．0个 B．1个 C．2个 D．无穷多个
12、若log
2
a+log
2
b=6，则a+b的最小值为
A．
26
B．6 C．
82
D．16
13、关于x的方程ax
2
+2x+1=0至少有一个负的实根的充要条件是
A．0≤a≤1 B．a≤1 C．a＜1 D．a≤1且a≠0
14、
(
x
?
3
1
)
8
的展开式中的常数项为
2
x
A．–28 B．–7 C．7 D．28
15 、平行于底面的平面截棱锥所得截面的面积与底面面积之比为1:2，则此截面把侧棱分成
的两线段的长 度比为
A．1:2 B．1:
2
C．
(2?1)
:1 D．1:4
16、点A分有向线段
A．
所成的比为
?
1
，则点B分有向线段
2
所成的比为
1

2
B．2 C．1 D．–1
1? 1
17、将函数
y?cos(x?)
的图象经过怎样的平移，可以得到函数
y ?cosx
的图象
262
?
个单位 B．向左平移
?
个单位
63
?
个单位
?
C．向右平移个单位 D．向左平移
3
12
218、若不等式
x?ax?b?0
的解为1＜x＜2，则不等
A．向左平移
式ax
2
+bx+1＜0的解为
A．1＜x＜3
C．–

1
＜x＜1
3
1

3
1
D．x＜–1或x＞
3
B．x＞1或x＜–
D．120
19、四个不同的小球放入编号为1，2，3，4的四个盒子中，则恰有一个空盒的放法种数为
A．144 B．24 C．36
20、圆心在曲线x
2< br>=2y(x>0)上，并且与抛物线x
2
=2y的准线及y轴都相切的圆的方程是
22
22
1
A．
x?y?x?2y??0
B．
x?y?x?2y?1?0

4
22
22
1
C．
x?y?x?2y?1?0
D．
x?y?2x?y??0

4
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分，把答案填在题中横线上。
21、不等式
9?x?2x?1?0
的解集为 。
22、球的表面积扩大到原来的2倍，则球的体积扩大到原来的 倍。
2 3、一个口袋内装有大小相等的2个白球和3个黑球，从中摸出2个球，则摸到2个黑球的
概率为 。
24、经过圆
x?y?4
上任一点P作x 轴的垂线，垂足为Q，则线段PQ中点轨迹的普通
2

22

方程为 。
?
y?x?
25、变量x，y满足约束条件：
?
x?y?1
则2x+y的最大值为 。
?
y?1?0
?
三、解答 题：本大题共6小题，共45分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
26、已知α、β为锐 角，且
sin??
5
,sin??
10
，求α+β的值。（8分）
510









27、已知a=(3,4),b=(2,–1)。求使得（a+xb）与（a–b）垂直的实 数x。（8分）









28、某人存入银行a元钱，三个月后本利和为b元钱，若每月利息按复利计算（上月利息要
计入下月本金），求：
①银行的月利率；
②一年后的本利和。（6分）







29、已知函数
f(x)? log
a
1?x
(a?0,a?1)

1?x
①求f(x)的定义域；
②判断f(x)的奇偶性，并予以证明；
③求使f(x)>0的x的取值范围。（8分）






3

30、如图，已知矩形ABCD和矩形CDEF所在 平面互相垂直，AD=DE=1。①如果AB=2，P
为AB中点，求点P到平面CDEF的距离及二面 角D—EC—P的正切值。②设AB=a，问在线段
AB上是否存在点P使得EP⊥PC，并说明理由。 （8分）










2
x
31、已知椭圆，过点B作
?y
2
?1< br>及点B（0，–2）
2
直线m与椭圆交于C、D两点。①试确定直线m的斜率k的取值范 围。②若直线m经过椭圆的
左焦点F
1
，椭圆的右焦点为F
2
。求△ CDF
2
的面积。（7分）
















4

参考答案
一、选择题

题1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20
号
答D B A C B D B A B C B D B C C C C B A D
案

二、填空题
x
2
1103
?y
2
?1
25、3 21、
?x?
22、
22
23、 24、
4
2310
三、解答题
26解：∵
?
、
?
为锐角，且
sin
?
?
510
,sin
?
?

510
∴
cos
?
?
25310

cos
?
?
1分
510
∴
c os(
?
?
?
)?cos
?
?cos
?
? sin
?
?sin
?
2分
=
650502
??
3分
50502
00
又∵
0?
?
?
?
?180
4分
∴
?
?
?
?45
5分
27：
0

即（3+2x）+5（4-x）=0 4分
解得：
x?
23
5分
3
28解：设银行的月利率为r，则第n月后本利和为a（1+r）
n
1分
①∵a(1+r)
3
=b
∴
r?1?
3
b
3分
a
b
4
b
4
②
a(1?r)?a?()?
3
5分
a
a
12
5

4
b
b< br>答：银行的月利率为
r?1?
3
；一年后的本利和为
3
6分
a
a
29解：①由对数函数的定义域知
1?x
1?x
?0

解得： －1故函数f(x)的定义域为（－１，1） 2分
②
f(?x)?log
1?x
a
1?x


?log
1?x
?1
a
(
1?x
)


??log
1?x
a
1?x

=－f(x)
所以，函数f(x)是奇函数 4分
③< br>log
1?x
a
1?x
?0?log
1?x
a
1?x
?log
a
1

当a>1时，由对数函数的单调性知
1?x
1?x
?1

解得：0 当00?
1?x
1?x
?1

解得：－130解：①过P作PQ⊥CD于Q，则PQ=AD=1
∵平面ABCD⊥平面CDEF
∴PQ⊥平面CDEF
∴点P到平面CDEF的距离为1。
过P作PR⊥EC于R，连结QR，则QR⊥EC
∴∠PRQ为二面角D—EC—P的平面角
∵
QR?
5
5

△PQR中，PQ⊥QR
∴tan∠PRQ=
PQ
QR
?5

②假定线段AB上存在点P使得EP⊥PC
连结PD，由ED⊥平面ABCD知
EP⊥PC
?
PD⊥PC
设∠BCP=
?
，则
BP=tan
?

AP=cot
?

6

5分
7分
1分
2分
4分
5分

∵AB=AP+PB
∴tan
?
+cot
?
=a 6分
∵tan
?
+cot
?
≥2
∴当a≥2时存在点P使EP⊥PC 7分
当0（31）解：
①设直线m的方程为y=kx－2 1分
代入椭圆方程得：
整理得：
1
2
x?(kx?2)
2
?1

2
(2k
2
?1)x
2
?8kx?6?0
2分
由△>0，即
(?8k)
2
?4?6?(2k
2
?1)?0
3分
得：
k?
2
3

2
66
或k??
5分
22
即：
k?
②将左焦点坐标（－1，0）代入y=kx－2得
k=－2 6分
代入椭圆方程，整理得
9x
2
+16x+6=0
解得：
x
1
?
?8?10?8?10

x
2
?

99
210

9
410
8分
9
∴
x
2
?x
1
?
∴
y
2
?y
1
?k? x
2
?x
1
?
又∵|F
1
F
2
| =2
∴
S
?CDF
2
?



1410
F
1
F
2
?y
2
?y
1
?
9分
29
7