2014年全国高中数学联赛试题及解答

2014年全国高中数学联合竞赛试题（A卷）
一试

一、填空题（本大题共8小题，每小题8分，共64分）
11
1. 若正数
a,b
满足
2?log
2
a?3?log
3
b?log6
?
a?b
?
，则
?
的值为________． 答案：设连等式值为
k
，则
a?2
k?2
,b?3
k? 3
ab
,a?b?6
，可得答案108
k
分析：对数式恒等变形问题，集训队讲义专门训练并重点强调过
?
3
?
2. 设集合
?
?b|1?a?b?2
?< br>中的最大元素与最小你别为
M,m
，则
M?m
的值为______．
a
??
3333
答案：
?b??2?5
，
?b?? a?23
，均能取到，故答案为
5?23

a1aa
分析：简单最值问题，与均值、对勾函数、放缩有关，集训队讲义上有类似题
3. 若函数
f
?
x
?
?x
2
?ax?1
在
[0,??)
上单调递增，则实数
a
的取值范围是______．
答案：零点分类讨论去绝对值，答案
?
?2,0
?

分析：含绝对值的函数单调性问题，集训队讲义专门训练并重点强调过
2
?
n?2
?
a
2014
a
n
?
n?N
*?
，则
?
______． 4. 数列
?
a
n
?
满足
a
1
?2
，
a
n?1
?
n ?1
a?a???a
122013
2
?
n?2
?
a
答案：
n?1
?
，迭乘得
a
n
?2
n?1
?
n?1
?
，
S
n
?2?2?3?2
2< br>?4???2
n?1
?
n?1
?
，
a
n
n?1
2015
乘以公比错位相减，得
S
n
?2
n
n
，故答案为．
2013
分析：迭乘法求通项，等差等比乘积求前
n
项和，集训队讲义专门训练并重 点强调过


5. 正四棱锥
P?ABCD
中，侧面是边长为1的 正三角形，
M,N
分别是边
AB,BC
的中点，则异面直线
MN与
PC
之间的距离是________．
????
12
答案：
OB
为公垂线方向向量，故距离为
OB?

24
分析：异面直线距离，也可以用向量法做，集训队讲义专门练并重点强调过

6. 设椭圆
?
的两个焦点是
F
1
,F
2
，过点
F
1
的直线与
?
交于点
P,Q
．若
PF
2
?FF
12
，且
3PF
1
?4QF
1
，则
椭圆
?
的短轴与长轴的比值为________．
答案：不 妨设焦点在
x
轴（画图方便），设
PF
1
?4,QF
1?3
，焦距为
2c
，
2a?2c?4
，
26
．
7
分析：椭圆中常规计算，与勾股定理、解三角形、斯特瓦尔特等有关，集训队讲义训练过相关
可得△
PQF
2
三边长为
7,2c?1,2c
，过
F
2
作高，利用勾股可得
c?5
，进而可得答案

7. 设等边三角形
ABC
的内切圆半径为2，圆心为
I
．若点P
满足
PI?1
，则△
APB
与△
APC
的面 积之
比的最大值为________．
S
sin?PAB
答案：
A PB
?
，又两角和为60°，故只需
?PAB
最大，即
AP
与
?
?
I,1
?
切于对称轴右侧
S
APC
sin?PAC
3?5
利用两角和、两角差正弦计算即可，答案
2
分析：平面几何最值、面积、三角函数、轨迹

8. 设
A,B,C,D
是空间中四个不共面的点，以1
的概率在每对点之间连一条边，任意两点之间是否连边是
2
相互独立的，则A,B
之间可以用空间折线（一条边或者若干条边组成）连结的概率为_______．
答案：总连法64种，按由
A
到
B
最短路线的长度分类．长度为1，即
AB
连其余随意，32种；
长度为2，即
AB
不连，
ACB
或
ADB
连，其余随意，
ACB
连8种，故共
8? 8?2?14
种
（一定注意
ACB,ADB
同时连被算了2次， 根据
CD
是否连有2种情形）；长度为3，两种情形
483
考 虑
ACDB
，
ACDB
连、
AB,CB,AD
均不连只有1 种，故连法为2种；综上，答案
?

644
分析：组合计数，分类枚举，难度不大但容易算错，集训队讲义训练过类似题目

二、解答题（本大题共3小题，共56分）
9. （本题满分16分）平面直角坐 标系
xOy
中，
P
是不在
x
轴上的一个动点，满足条件：过
P
可作抛物
线
y
2
?4x
的两条切线，两切点连线
l
P
与
PO
垂直．设直线
l
P
与直线PO
，
x
轴的交点分别为
Q,R
．
（1）证明：
R
是一个定点；
PQ
（2）求的最小值．
QR
答案：（1）设
P
?
a,b
?
，
A
?
x
1
,y
1
?
,B
?
x
2
,y
2
?
，
a?0,b?0
，
PA:yy
1?2
?
x?x
1
?
，
PB:yy
2
? 2
?
x?x
2
?

故
A,B
两点均适合方 程
by?2
?
a?x
?
，利用垂直，可得
a??2
，故交点为定点
?
2,0
?

PQ
1
bb
?
（2）∵
a??2
，故
k
PO
??,k
PR??
，设
?OPR?
?
，则
?
为锐角，，利用两角差
QRtan
?
24
PQ
8?b
2
的正切公式，可得
??22
．
QR2b
分析：涉及圆锥曲线切点弦方程、两直线夹角公式、不 等式求最值，集训队讲义专门训练并重点过




10. （本 题满分20分）数列
?
a
n
?
满足
a
1
?
，
a
n?1
?arctan
?
seca
n
?
n?N
*
．求正整数
m
，使得
6
1
．
sina
1
?sina
2
???sina
m
?100
?
??
?
3n?2
答案：由反函数值域，知
a< br>n
?
?
?,
?
，
tan
2
a
n?1
?sec
2
a
n
?tan
2
a
n
?1???tan
2
a
1
?n?1?
，
22?
3
?
tana
m
tana
1
tana
2
tana
m
tana
1
tana
2
tana< br>1
1
sina
1
?sina
2
?
?
?sina
m
??
?
??
?
??

sec a
1
seca
2
seca
m
tana
2
t ana
3
tana
m?1
tana
m?1
3m?1
故
m?3333

分析：涉及简单反三角函数、数列通项公式求法，集训队讲义对类似题目进行过训练








?
??

11. （本题满分20分）确定所有的复数
?
，使得对任意复数
z
1
,z
2
?
z
1
, z
2
?1,z
1
?z
2
?
，均有
22< br>?
z
1
?
?
?
?
?
z
1< br>?
?
z
2
?
?
?
?
?
z< br>2
．
答案：转换命题为计算存在
z
1
,z
2
使得相等时的充要条件
存在
z
1
,z
2
使得相等，记< br>f
?
z
?
?
?
z?
?
?
?
?
z
，
f
?
z
1
?
?f
?
z
2
?
?
?
z
1
?z
2
?2
?
??
z
1
?z
2
?
?
?
z
1
?z
2
?0
，
则
?
z1
?z
2
??
?
z
1
?z
2
?2
?
??
z
1
?z
2
?
，故
?
?z
1
?z
2
?2
?
?2
?
?z
1
?z
2
?2a?2
，
故
?
?2
；
若
?
?2
，令
z< br>1
??
2
??
??
?
2
22
计算< br>z
1
?z
2
??
?
,z
1
?z2
?2
?
i,z
1
?z
2
??2
?< br>i
并代入，知
f
?
z
1
?
?f
?< br>z
2
?
．
?
?
i,z
2
???
?
?
i
，其中
0?
?
?1?
?，则
z
1
?z
2
，
?
?
2
?
?
i??
?
2
?
?
?1
，
综上，满足条件的
?
为
?
?Z,
?
?2

二试

abc1
?
． 一、（本题满分40分）设 实数
a,b,c
满足
a?b?c?1
，
abc?0
．求证：
ab?bc?ca?
24
1
1
答案：不妨设不妨设
a?b? c?0
，则
a?
，
c?
．
3
c
?
3
?
bbc
abc
1?c
??
，
ab?
，
ab?
，故有
ab?bc?ca??c
?
1?c
??ab
?
ab?
?
??
32
22
2
2
2
?
1?c
?
1?
?
?
c
?cc
?
13ccccc
，
c
?
1?c
??ab
?
ab??c1?c???????
??
???
???< br>2
?
44222424
????
111
由于
?c?0 ,3cc???
3
9c?2c
，故
3cc?c?2c?1?0
，故原 不等式成立．
333

abcabc
1
?ab??c
?
1?c
?
， 方法 2：不妨设
a?b?c?0
，则
a?
，固定
c
，设
f
?
b
?
?ab?bc?ca?
22
3
?
c11c
?
，
f
?
b
?
递增
?f
?
?
b
?
?0
，
f
?
?
b?
?
?
a?b
?
???a?b?a?b1?
????< br>??
??
22
ab
?
4ab
?
c
?
f
?
b
?
?0?1??0?c?4ab
，因为
4a ?1,b?c
，故成立，
4ab
故
f
?
b
?递增，令
b
增大至
a
；
a
2
c1
2 2
?a
2
?2a
?
1?2a
?
?a
?1?2a
?
， 题目转化为
2a?c?1
，
a?c
，记
g
?
a
?
?a?2ac?
22
2
1
6a?2a1
1
15
??
?1
，得
a?
， g
?
?
a
?
??6a?2??
?
6a?2?
?
?1
?
，由于
a?
，令
2
32< br>41?2a
4a
?
1?2a
?
?
151
?< br>?
41?2a
?
1
3
1
?
115
? ?
1
?
1
a?
?
,
?
时
g
?
?
a
?
?0
，
a?
?
,
?< br>时
g
?
?
a
?
?0
，故
g
?
a
?
在或处有最大值，验证知
g
max
?g
??
?

2
3
?
332
??
322
? ?
2
?
4

分析：一道偏函数化的不等式题，可以将其放缩为一元函数，也可以拿导数与调整法很快做出来，
集训队讲义上两种方法都训练过．



二、（本题满分40分） 在锐角三角形
ABC
中，
?BAC?60
?
，过点
B,C< br>分别作三角形
ABC
的外接圆的切线
BD,CE
，且满足
BD ?CE?BC
．直线
DE
与
AB,AC
的延长线分别交于点
F,G
．设
CF
与
BD
交于点
M
，
CE< br>与
BG
交于点
N
．证明：
AM?AN
．
A

答案：设△
ABC
三边为
a,b,c
，则BD?CE?a
，先计算
AM
，
∵
?BFD??ABC,?BDF??DBC??BAC
，
ac
∴ △
BFD
∽△
CBA
．由比例可知
DF?
，
b
BMBCbab
故，故由余弦定理知
??
，故
BM?< br>BDDF
ab
c
2
b?c
ab
??
AM2
?c
2
?
?
?2c?cos
?
A?B
?

?
2
?c
?
bb?c
?
?
ab
?
2abc
?c
2
?
?
cosC
，整 理可得此式关于
b,c
对称
?
?
b?cb?c
??
2
故可知
AM?AN
2

分析：由于一旦
a,b,c
三边确定则图形固定，
所以通过相似、比例、余弦定理计算的思路比较显然



B

C

M

N

D

E

G

F

三、（本题满分50 分）设
S?
?
1,2,3,?,100
?
．求最大的整数
k
，使得
S
有
k
个互不相同的非空子集，具有
性质：对这k
个子集中任意两个不同子集，若它们的交非空，则它们交集中的最小元素与这两个子集中的
最大元素均不相同．
答案：一方面，取包含1的、至少含2个元素的所有子集，共
2
99
?1
个，显然满足题意；
另外归纳证对于
S?
?
1 ,2,3,?,n
?
，任取
2
n?1
?
n?3
?< br>个子集，均存在两个的交集中最小的等于某个中最大的
当
n?3
时，将7个非 空子集分为三类：
?
3
??
1,3
??
2,3
?< br>，
?
2
??
1,2
?
，
?
1
??
1,2,3
?
．任取四个必有两个同类．
假设
n?k
时命题成立，当
n?k?1
时，如果取出的
2
k
个子集中至少有< br>2
k?1
个不含
k?1
，利用归纳假设知成
立；如果不含< br>k?1
的不足
2
k?1
，则至少有
2
k?1
?1
个含有
k?1
，而
S
含有
k?1
的子集共2
k
个，可以配成
2
k?1

对，使得每对中除了公共 元素
k?1
外，其余恰为1到
n
的互补子集，这样，如果选出
2k?1
?1
个，则必有两
个除
k?1
外不交，故命题成立．
综上，
k
的最大值为
2
99
?1
．
分析：集合中的组合最值问题，比较常规的一道题，类似感觉的题集训队讲义在组合中的归纳法中有过





四、（本题满分50分）设整数
x1
,x
2
,?,x
2014
模2014互不同余，整数
y
1
,y
2
,?,y
2014
模2014也互不同余．证< br>明：可将
y
1
,y
2
,?,y
2014
重新 排列为
z
1
,z
2
,?,z
2014
，使得
x
1
?z
1
,x
2
?z
2
,?,x2014
?z
2014
模4028互不同余．
答案：不妨设
x
i
?y
i
?i
?
mod2014
?
，i?1,2,?,2014
．下面对
y
i
序列进行1007次调整从而构 成
z
i
序列：
若
x
i
?y
i
与
x
i?1007
?y
i?1007
模4028不同余，则
y
i
,y
i?1007
不调整；否则，交换
y
i
,y
i?1007
位置，
i?1,2,?,2014
．
下证，进行1007次调整后，得到的
z
i
序列一定满足条件．
任 意挑选一列
x
i
?z
i
?
i?1,2,?,1007
?
，
只需证其与
x
i?1007
?z
i?1007、
x
j
?z
j
?
j?1,2,?,1007,j?i< br>?
、
x
j?1007
?z
j?1007
模4028不 同余即可
由
z
i
构造方法，
x
i
?z
i
与
x
i?1007
?z
i?1007
不同余是显然的，因为 不可能调整前后均同余，故只需看另两个；
首先，对于不同的
i,j
，
2i
与
2j
模4028不同余，否则会导致
i?j
?
mod20 14
?
．
若
y
i
,y
j
均未调整，则< br>x
i
?z
i
?2i
?
mod2014
?，
x
j
?z
j
?x
j?1007
?z
j?1007
?2j
?
mod2014
?
，故成立；
若< br>y
i
,y
j
均已调整，则
x
i
?z
i
?2i?1007
?
mod2014
?
，
x
j< br>?z
j
?x
j?1007
?z
j?1007
?2j? 1007
?
mod2014
?
，故成立；
若只有一个被调整过，不 妨设
y
i
未调整、
y
j
已调整，则
x
i< br>?z
i
?2i
?
mod2014
?
，
x< br>j
?z
j
?x
j?1007
?z
j?1007
?2j?1007
?
mod2014
?
，
若
4028| 2
?
i?j
?
?1007
，则
1007|
?
i?j
?
，矛盾，故同样成立．
综上，构造的
z
i
序列满足条件．

2014高中联赛试题分析
今年高中联赛刚刚比过，试题让许多人大吃一惊．我们先来看看近几年联赛试题的知识点分类：
题号
1
2
3
2014
类别
代数
代数
代数
代数
几何
几何
几何
组合
几何
知识点 类别
2013
知识点
集合
类别
2012
知识点 类别
2011
知识点
集合
函数值域
计算变形
三角函数
计数
立体几何
解析几何
组合数
函数分析
数列
解析几何
平面几何
数论与函数
数列综合
组合最值
计算变形 代数
集合
函数
数列
几何 解析几何 代数
几何 解析几何 代数 三角函数 代数
代数 三角函数 代数 不等式 代数
填
空
题
4
5
6
7
8
几何 立体几何 几何 解析几何 代数
函数
概率
几何 立体几何 组合
代数 不等式 几何
立体几何 代数
解析几何 组合
解
答
题
加
试< br>论16.7%，组合19.3%．这方面和历年情况差不多，但具体的知识点差别极大．
一试第 7题填空题可谓出人意表，虽然解答是用三角函数的方法处理的，对比历年试题，这题毫无疑
问也是顶替 了三角函数的位置．但本题却是一道彻头彻尾的平面几何题．从图中不难看出，最值情况在相
切时取到， 剩下的只是利用三角函数处理了一下计算上的问题．
其余填空题中，第1~6题和往年出题风格类似， 第8题概率计算略显突兀，本题几乎不需要用到计数
的技巧，而是用单纯枚举的方法即可解决．放在填空 题最后一题的位置不免显得难度不够．
一试三道解答题中，第9题和第10题均不太难，所考知识点也 和往年类似，无需多说．第11题又再
次爆了冷门，考了一道复数问题．联赛已经多年没有考复数的大题 了，许多学生都没有准备．可以说，这
次一下戳中了学生的罩门．相信本题最终的得分率不容乐观． < br>而本次试题中最特殊的要数加试中的平面几何题了．一反从1997年开始保持到如今的惯例，没有将平面几何题放在加试的第一题．而且本题实则为《中等数学》2012年第12期中的数学奥利匹克高中训练
题中的原题，这无疑又让此题失色不少．
今年的加试第一题放了一道不等式问题，虽然近几年 不等式考察得较少，但是不等式一直是数学竞赛
中的热门，在历年联赛中多有出现．考虑到本题难度并不 大，放在联赛加试第一题还是非常合适的．
加试第三题组合最值问题的出题风格一如既往，可以从很极 端的情况下猜出答案，再进行证明．值得



平面几何 代数 计算变形 代数 三角函数 几何
概率计数 代数
解析几何 代数
数列
复数
不等式
数列
数列
组合 概率 数论
9 代数 函数分析 代数
数列 代数 10 代数
11 代数
1
2
3
4
代数
几何
组合
数论
几何 解析几何 代数
代数 函数分析 几何 解析几何 几何
几何 平面几何 几何 平面几何 几何
数列 数论 整除 其他 平面几何 代数
组合最值 组合 组合最值 组合 组合几何 代数
同余 数论 整除 组合 抽屉原理 组合
从试题类型来看，今年代数、几何、数论、 组合4部分所占的比例为：代数37.3%，几何26.7%，数

一提的是本题题干描述 有歧义，最后一句“则它们交集中的最小元素与这两个子集中的最大元素均不相同”
中，记最小元素为a ，两个最大元素为b和c．本句话中到底是指a、b、c这3个数互不相同还是指
a?b
且a?c
，无疑是容易让人误解的．希望今后联赛试题中能避免出现这种情况．
加试第四题 虽说考察的是数论中的同余知识，但更多考察的是构造法技巧，这也符合联赛加试中试题
综合各方面知识 的出题思想．从难度上来说本题难度不算太大，只要能从较小的数开始构造并寻找规律，
找出2014的 构造并不显得困难．但本题的出题背景无疑和以下题目相关：“n为给定正整数，
?
x
1
,x
2
,?,x
2n
?
和
?
y
1
,y
2
,?,y
2n
?
均为1~2n的一个排列，则x
1
?y
1
,x
2
?y
2
,?,x< br>2n
?y
2n
这2n个数不可能模2n互不同余．”
总的说来，本次 联赛考察的知识点和往年比差别较大，但从试卷难度来说，和前两年是相当的．预计
今年联赛的分数线可 能比去年略低．