高中数学必做100题选修1-1

073. 已知
4?x
p:?2??2
,
q:x
2
?2x?1?m
2
?0(m?0)
,
3
若
?p是?q
的必要不充分条件，求实数
m
的取值
范围.
解：∵﹁p 是﹁q必要不充分条件，
∴
?
q?
?
p
，即
p?q
.
4?x
解
p:?2??2
得
?2?x?10
，
3
即：
p:?2?x?10
.
解
q:x
2
?2x?1?m
2
?0

变形为
[x?(1?m)][x?(1?m)]?0
，
解得
1?m?x?1?m
，
即
q:1?m?x?1?m
.
?
1?m??2
由
p?q
，则
?
，解得
m ?9
.
1?m?10
?
所以实数
m
的取值范围
m?9
。

074. 点
M(x,y)
与定点
F(4,0)
的距离和它到直线
254
的距离的比是常数，求M的轨迹.
45
25
解：设
d
是点
M
到直线
l:x?
的距离，
4
l:x?
根据题意得，
?
MF
4
?
? ?
点
M
的轨迹就是集合
P?
?
M?
?
，
d5
??
??
(x?4)
2
?y
2
4?
。 由此得
25
5
?x
4
将上式两边平方，并化简，
x
2
y
2
得
9x?25y?225
。即
? ?1
。
259
所以，点M的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6的
椭圆。
22

075. 双曲线的离心率等于
5
，且与椭 圆
2
x
2
y
2
??1
有公共焦点，求此双曲线的方 程.
94
x
2
y
2
解：椭圆根据题意得
??1
焦点为
F(?5,0)
，
94
双曲线的焦点为
F(?5,0 )
，
x
2
y
2
设双曲线的标准方程为
2
?
2
?1
，且有
c?5
。
ab
又由
e?
c5
，得
a?2
，
?a2
得
b
2
?c
2
?a
2
?5?4? 1
，
x
2
所求双曲线的方程为
?y
2
?1
。
4

076. 倾斜角为
?
的直线l经过抛物线< br>y
2
?4x
的焦
4
点，且与抛物线相交于A、B两点，求线段 AB的长.
解：设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，
A,B
到准线的距离分别
为
d
A
,d
B
，
由抛物线的定义可知
AF?d
A
?x
1
?1,BF?d
B
?x
2
?1
，
于是
AB?AF?BF?x
1
?x
2
?2
。
由已知得抛物线的焦点为
F(1,0)
，
斜率
k?tan?1
，
4
所以直线
AB
方程为
y?x?1
。
将
y?x?1
代入方程
y
2
?4x
，
得
(x?1)
2
?4x
，化简得
x
2
?6x?1?0
。
由求根公式得
x
1
?3?22,x
2
?3?22
，
于是
AB?x
1
?x
2
?2?8
。
所以，线段AB的长是8。
?

077. 当
?
从< br>0?
到
180?
变化时，方程
x
2
?y
2< br>cos
?
?1
表示的曲线的形状怎样变换？
解：当
?
?0
?
时，
cos0
?
?1
，方程
x
2
?y
2
?1
表示圆
心在原点的单位圆。
当
90< br>?
?
?
?0
?
时，
1?cos
?
? 0
，方程
x
2
?y
2
cos
?
?1
表示圆心在原点的单位圆。
当
?
?90
?
时，
cos9 0
?
?0
，方程
x
2
?1
，得
x??1< br>表
示与
y
轴平行的两条直线。
当
180
?
?
?
?90
?
时，
cos
?
?0
，方程< br>x
2
?y
2
cos
?
?1
表示焦点在
x
轴上的双曲线。
当
?
?180
?
时，
cos 180
?
??1
，方程
x
2
?y
2
?1< br>表示
焦点在
x
轴上的等轴双曲线。

078. 一座抛物线拱桥在某时刻水面的宽度为52米，
拱顶距离水面6.5米.
（1）建立如图所示的平面直角坐标系xoy，试求拱
桥所在抛物线的方程；
（2）若一竹排上有一4米宽6米高的大木箱，问此
木排能否安全通过此桥？
解：（1）设抛物线方程
x
2
??2py
.
由题意可知，抛物线过点
(26,?6.5)
，
代入抛物线方程，得
26
2
?13p
， 解得
p?52
，
所以抛物线方程为
x
2
??104y
.
（2）把
x?2
代入，求得
y??
而
6.5?6?0.5?
1
.
26
1
，所以木排能安全通过此桥.
26

079. 已知椭圆C的焦点分别为F
1
（
?2 2
，0）和
F
2
（2
2
，0），长轴长为6，设直线y=x +2交椭圆
C于A、B两点. 求：
（1）线段AB的中点坐标； （2）弦AB的长.
x
2
y
2
解：设椭圆C的方程为
2
?
2< br>?1
，由题意a=3，
ab
c=2
2
，于是b=
a< br>2
?c
2
=1.
x
2
∴ 椭圆C的方程为＋y
2
＝1．
9
?
y?x?2
?
联立方程组
?
x
2
，
2
?
?y?1
?
9
消y得10x
2
＋36x＋27＝0，
因为该二次方程的判别式
Δ
＞0，所以直线与椭圆
有两个不同的交点， < br>设A（x
1
，y
1
），B（x
2
，y
2），则x
1
＋x
2
＝
?
段AB的中点坐标为（
?,
）．

18
，故线
5
91
55

080. 在抛物线
y
2
?4x
上求一点P，使得点P到直
线
l:x?y?4? 0
的距离最短, 并求最短距离.
解：设与直线
l:x?y?4?0
平行， 且与抛物线
y
2
?4x
相切的直线为
x?y?k?0
.
?
x?y?k?0
由
?
2
， 消x得
y
2
?4y?4k?0
.
?
y?4x
∴
??4
2
?16k?0
，
解得
k?1
，即切线为
x?y?1?0
.
由
?< br>?
x?y?1?0
2
?
y?4x
，解得点
P(1,2 )
.
∴ 最短距离
d?

|4?1|
1
2
?1
2
?
32
.
2

x
2
y
2
081. 点M是椭 圆
??1
上的一点，F
1
、F
2
是
6436
左右焦点，∠F
1
MF
2
=60?，求△F
1
MF
2
的面积.
F
1

O
F
2

x
2
y
2
c?a
2
?b
2
?27
. 解：由得a=8，b=6，
??1
，
6436
根据椭圆定义，有
|MF
1
|?|MF
2
|?2a?16
.
在△F
1
MF
2
中，由余弦定理，得到
|F
1< br>F
2
|
2
?|MF
1
|
2
?|MF
2
|
2
?2|MF
1
|?|MF
2
|?c os?F
1
MF
2
.
即
(47)
2
?|MF
1
|
2
?|MF
2
|
2
?2| MF
1
|?|MF
2
|?cos60?

112?|MF
1
|
2
?|MF
2
|
2< br>?|MF
1
|?|MF
2
|
?(|MF
1
| ?|MF
2
|)
2
?3|MF
1
|?|MF
2|
，
?16
2
?3|MF
1
|?|MF
2< br>|
解得
|MF
1
|?|MF
2
|?48
.
△F
1
MF
2
的面积为：
S?
1
??48?sin60??123
2


1
|MF
1
|?|MF
2
|sin?F
1
MF
2
2
.

082.已知三点
P（5，2）、< br>F
1
（－6，0）、
F
2
（6，0）.
（1）求 以
F
1
、
F
2
为焦点且过点P的椭圆的标准方
程；
（2）设点P、
F
1
、
F
2
关于直线y＝x的对称 点分
别为
P
?
、
F
1
'
、
F2
'
，求以
F
1
'
、
F
2
'
为焦点且过点
P
?
的双曲线的标准方程。
x
2
y
2
解：（1）设所求椭圆方程为
2
?
2
?1
(a> b>0),
ab
其半焦距c=6，
2a?PF
1
?PF
2
?11
2
?2
2
?1
2
?2
2
?65

∴
a?35
,b
2
=a
2
-c< br>2
=9.
x
2
y
2
所以所求椭圆的标准方程为
??1
． < br>459
（2）点P(5,2)、F
1
(-6,0)、F
2
(6 ,0)关于直线y=x的
，，，
对称点分别为点P
(2，5)、F
1
(0，-6)、F
2
(0，6).
设所求双曲线的标准方程为
y
2
x
2
??1(a
1
?0,b
1
?0)
， 由题意知，半焦距
a
1
2
b
1
2

c
1
=6，
2a
1
?P
?
F
1
?
?P
?
F
2
?
?11
2
?2
2< br>?1
2
?2
2
，
?45
a
1
?2 5
,b
1
2
=c
1
2
-a
1
2< br>=36-20=16.
y
2
x
2
所以，所求双曲线的标准方程为
??1
．
2016

083. 已知函数
f
(< br>x
)
?xe
x
（
e
为自然对数的底）.
（1）求函数
f(x)
的单调递增区间；
（2）求曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线方程.
解：
f(x)?xe
x
?f
?
(x)?e
x
(x?1)
，因此有
（1）令
f
?
(x)?0?x??1
，即函数
f(x)
的单调递
增区间是
(?1,??)
；
（2）因为
f(1)?e
，
f
?
(1)?2e
，
所以曲线
y?f(x)
在点
(1,f(1))
处的切线方程为
y?e?2e(x?1)
，即
2ex?y?e?0
.

084. 设函数
f(x)??x
3
?2x
2
?3x
.
（1）求函数f(x)的单调区间；
（2）求函数f(x)的极大值和极小值.
解：∵ f′(x)=－x
2
+4x－3=－(x－3)(x－1),
（1）由f′(x)>0，解得：1由f′(x)<0，解得：x<1或x>3，
则函数f(x)的单调递增区间为（1, 3），
单调递减区间为（－∞，1）和（3，+∞）.
（2）由f′(x)=0，解得：x=1或x=3. 列表如下：
x
f′(x)
f(x)
(－∞，1)
—
单调递减
↘
1
0
(1, 3)
+
单调
0
↗
3
0
(3,+ ∞)
—
单调递
减
↘
1
3
4
?
递增
3
∴函数f(x)的极大值为0，极小值为－

4
.
3

085.已知函数
f(x)?
ax?6
的图象在点
x
2
?b
M(?1,f(?1))
处的切线方程为
x?2y?5? 0
.
（1）求函数
y?f(x)
的解析式；
（2）求函数
y?f(x)
的单调区间.
解：（1）
ax?6< br>，
x
2
?b
a(x
2
?b)?2x(ax?6)?f
?
(x)?
.
(x
2
?b)
2
f(x)?
又函数
f(x)
的图象在点
M(?1,f(?1))
处的 切线
方程为x+2y+5=0，
?
?1?2f(?1)?5?0,
即f(? 1)??2,f
?
(?1)??.
1
2
解得a?2,b?3,
(b?1?0,b??1舍去)

?
所求函数解析式为
f(x)?
（2）
2x?6
.
2
x?3
?2x
2
?12x?6
f
?
(x)?.

(x
2
?3)
2
?
令f
?
(x )?0,
解得
x
1
?3?23,x
2
?3?23.

当
x?3?23
或
x?3?23
时，
f?
(x)?0;

当
3?23?x?3?23
时，
f
?
(x)?0.

?f(x)?
2x?6
在
(??,3?23)
和
(3?23 ,??)
内
x
2
?3
是减函数，在
(3?23,3?23)
内是增函数.

086. 已知a为实数，
f(x)?(x
2
?4)(x?a)
，（1）
求导数
f
'< br>(x)
；
（2）若
f
'
(?1)?0
，求
f(x)
在
?
?2,2
?
上的最大值
和最小值；
（3）若
f(x)
在
(??,?2)
和
?
2,??
?
上都是增函
数，求a的取值范围.

解：（1）
因为
f(x)?(x
2
?4)(x?a)
=
x
3
?ax
2
?4x?4a
，
所以
f
'
(x)?3x
2
?2ax?4
.
（2）由
f
'
(?1)?0
，得
a?
1
，
2
此时有
f(x)?(x
2
?4)(x?),

所以
f
'
(x)?3x
2
?x?4

由< br>f
'
(x)?0
，得
x?
1
2
4
或
x??1
,又因为
3
4509
f()??,f(?1)?,f(?2 )?0,f(2)?0
，
3272

所以
f(x)
在
?
?2,2
?
上的最大值为
最小值为
?
（3）9
，
2
50
.
27
f
'
(x)? 3x
2
?2ax?4
的图象为开口向上且
过点（0，-4）的抛物线. ?
4a?8?0
由条件得
f
'
(?2)?0,f
'(2)?0,
即
?
，
8?4a?0
?
解得
?2?a?2
. 所以
a
的取值范围为
?
?2,2
?
.

087.用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个
无盖的容器，先在四角分 别截去一个小正方形，
然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问
该容器的高为多少时 ，容器的容积最大?最大容积
是多少?
解：设容器的高为x，容器的体积为V，
则V=（90-2x）（48-2x）x，（0 =4x
3
-276x
2
+4320x
∵V′=12 x
2
-552x+4320
令V′=12 x
2
-552x+43 20=0得x
1
=10，x
2
=36.
∵令V′>0得x>36或x<10 ；令V′<0得10?
函数在
(0,10)
上递增，在
(10,24)
上递减.
?
当x=10时，V有极大值
V(10)
=19600.
又
V(0)
=0，
V(24)
=0，
所以当x=10时，V有最大值
V(10)
=19600cm
3
.

2
088.已知函数
f(x)
?x
3< br>?ax
2
?bx?c
在
x??
与
3
x?1< br>时都取得极值，
（1）求a、b的值与函数
f(x)
的单调区间.
（2）若对
x?
?
?1,2
?
时，不等式
f(x)?c< br>2
恒成立，
求c的取值范围.
解：（1）
f(x)
?x3
?ax
2
?bx?c
，
?f
'
(x)?3x
2
?2ax?b
.
2
124
由
f
'(?)
??a?b?0
，
f
'
(1)
?3?2a?b? 0
93
3
1
得a＝
－
，b＝－2
2
f< br>'
(x)?3x
2
?x?2?(3x?2)(x?1)
，
?< br>当x变化
时，
f
'
(x)
、
f(x)
的变化 情况如下表：
x
f
'
(x)

2
(??,?)
3

＋
?
2
3

2
(?,1)
3

－
↘
1
0
(1,??)

0
极大值
＋
f(x)

?

极小值
?

c?
?
函数
f(x)
的
22

27
3
c?

2
递增区间是（－?，－
递减区间是（－
2
）和（1，＋?）；
3
2
，1）.
3
1
（2）
f(x)
＝ x
3
－
x
2
－2x＋c
x?
?
?1,2
?
，
2
2
22
3
又
f(?)
＝
c?
，
f(1)?c?
，
32
27
1
f(?1)?c?
，
f(2)
＝c+2.
2
?

f(2)
＝c+2为最大值.
要使
f( x)?c
2
在
x?
?
?1,2
?
恒成立，
只需
c
2
?f(2)
＝c+2，
解得c?－1或c?2.