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一篇收全高中数学解题基本方法【考生必看,错过遗憾】
一、 配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形(配成“完全平方”)的技巧,通过配
方找到已知和未知的联系,从而化繁
为简。何时配方,需要我们适当预测,并且合理运用“裂项”与“添
项”、“配”与“凑”的技巧,从而完成配方。
有时也将其称为“凑配法”。
最常见的配方
是进行恒等变形,使数学式子出现完全平方。它主要适用于:已知或者未知中含有二次方程、二次不
等式
、二次函数、二次代数式的讨论与求解,或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。
配方法使用的
最基本的配方依据是二项完全平方公式(a+b)2=a2+2ab+b2,将这个公式灵活运用,可得到各种基
本配方形式,如:
Ⅰ、再现性题组:
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Ⅱ、示范性题组:
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二、换元法
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三、待定系数法
要确定变量间的函数关系,设出某些未知
系数,然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法,其理
论依据是多项式恒等,也就是利
用了多项式f(x)g(x)的充要条件是:对于一个任意的a值,都有f(a)g(a);或者
两个多
项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的关键是依据已知,正确列出等式或方程。使用待定
系数法,就是把具有某种确定形式的数学问题,
通过引入一些待定的系数,转化为方程组来解决,要判断
一个问题是否用待定系数法求解,主要是看所求解的数学
问题是否具有某种确定的数学表达式,如果具有
,就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、
求函数式、求复数、解析几何中求曲
线方程等,这些问题都具有确定的数学表达形式,所以都可以用待定系数法求
解。
使用待定系数法,它解题的基本步骤是:
第一步,确定所求问题含有待定系数的解析式;
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第二步,根据恒等的条件,列出一组含待定系数的方程;
第三步,解方程组或者消去待定系数,从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程,主要从以下几方
面着手分析: ①利用对应系数相等列方程;
②由恒等的概念用数值代入法列方程; ③利用定义本身的属性列方程; ④利用几何条件列方程。
比如在求圆锥曲线的方程时,我们可以用待定系数法求方程:首先设所求方程的形式,其中含有待定的系
数;再把
几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组;最后解所得的方程或方程组求出未知的系
数,并把求出的系
数代入已经明确的方程形式,得到所求圆锥曲线的方程。
Ⅰ、再现性题组:
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四、定义法
所谓定义法,就是直接用数
学定义解题。数学中的定理、公式、性质和法则等,都是由定义和公理推演出来。定义
是揭示概念内涵的
逻辑方法,它通过指出概念所反映的事物的本质属性来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结果,
它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。简单地说,定义是基本概念
对数学实体的高度抽象。
用定义法解题,是最直接的方法,本讲让我们回到定义中去。
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焦点、准线、离心率等问题,常用定义法解决;求圆锥曲线的方程,也总是利用圆锥曲线的
定义求解,但要注意椭圆、双曲线、抛物线的两个定义的恰当选用。
Ⅲ、巩固性题组:
五、数学归纳法
归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。归纳推理分完
全归纳推理与不完全归纳推理两种。不完全归纳推
理只根据一类事物中的部分对象具有的共同性质,推断
该类事物全体都具有的性质,这种推理方法,在数学推理论
证中是不允许的。完全归纳推理是在考察了一
类事物的全部对象后归纳得出结论来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的一种推
理方法,在解数学题中有着广泛的应用。它是一个递
推的数学论证方法,论证的第一步是证明命题在n=
1(或n0)时成立,这是递推的基础;第二步是假设在n=k时命
题成立,再证明n=k+1时命题也
成立,这是无限递推下去的理论依据,它判断命题的正确性能否由特殊推广到一
般,实际上它使命题的正
确性突破了有限,达到无限。这两个步骤密切相关,缺一不可,完成了这两步,就可以断
定“对任何自然
数(或n≥n0且n∈N)结论都正确”。由这两步可以看出,数学归纳法是由递推实现归纳的,属于
完
全归纳。
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br>运用数学归纳法证明问题时,关键是n=k+1时命题成立的推证,此步证明要具有目标意识,注意与最终
要达到的
解题目标进行分析比较,以此确定和调控解题的方向,使差异逐步减小,最终实现目标完成解题
。
运用数学归纳法,可以证明下列问题:与自然数n有关的恒等式、代数不等式、三角不等式、数列
问题、几何问题、
整除性问题等等。
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六、参数法
参数法是指在解题过程中,通过适当引入一些与题目研究的数学对象
发生联系的新变量(参数),以此作为媒介,
再进行分析和综合,从而解决问题。直线与二次曲线的参数
方程都是用参数法解题的例证。换元法也是引入参数的
典型例子。
辨证唯物论肯定了事物之
间的联系是无穷的,联系的方式是丰富多采的,科学的任务就是要揭示事物之间的内在联
系,从而发现事
物的变化规律。参数的作用就是刻画事物的变化 状态,揭示变化因素之间的内在联系。参数体现
了近代
数学中运动与变化的思想,其观点已经渗透到中学数学的各个分支。运用参数法解题已经比较普遍。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数,沟通已知和未知之间的内在联系,利用参数提供的信息,顺利地解答问
题。
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七、反证法
与前面所讲的方法不同,反证法是属于“间接证明法”一类,是从反面的角度思
考问题的证明方法,即:肯定题设
而否定结论,从而导出矛盾推理而得。法国数学家阿达玛(Hadam
ard)对反证法的实质作过概括:“若肯定定理的假
设而否定其结论,就会导致矛盾”。具体地讲,反
证法就是从否定命题的结论入手,并把对命题结论的否定作为推
理的已知条件,进行正确的逻辑推理,使
之得到与已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题等
相矛,矛盾的原因是假设不成立
,所以肯定了命题的结论,从而使命题获得了证明。
反证法所依据的是逻辑思维规律中的“矛盾律”
和“排中律”。在同一思维过程中,两个互相矛盾的判断不能同时
都为真,至少有一个是假的,这就是逻
辑思维中的“矛盾律”;两个互相矛盾的判断不能同时都假,简单地说“A
或者非A‖,这就是逻辑思维
中的“排中律”。反证法在其证明过程中,得到矛盾的判断,根据“矛盾律”,这些
矛盾的判断不能同时
为真,必有一假,而已知条件、已知公理、定理、法则或者已经证明为正确的命题都是真的,
所以“否定
的结论”必为假。再根据“排中律”,结论与“否定的结论”这一对立的互相否定的判断不能同时为假,
必有一真,于是我们得到原结论必为真。所以反证法是以逻辑思维的基本规律和理论为依据的,反证法是可信的。
反证法的证题模式可以简要的概括我为“否定→推理→否定”。即从否定结论开始,经过正确无误的推理
导致逻辑
矛盾,达到新的否定,可以认为反证法的基本思想就是“否定之否定”。应用反证法证明的主要
三步是:否定结论
→ 推导出矛盾 → 结论成立。实施的具体步骤是:
第一步,反设:作出与求证结论相反的假设;
第二步,归谬:将反设作为条件,并由此通过一系列的正确推理导出矛盾;
第三步,结论:说明反设不成立,从而肯定原命题成立。
在应用反证法证题时,一定要用到
“反设”进行推理,否则就不是反证法。用反证法证题时,如果欲证明的命题的
方面情况只有一种,那么
只要将这种情况驳倒了就可以,这种反证法又叫“归谬法”;如果结论的方面情况有多种,
那么必须将所
有的反面情况一一驳倒,才能推断原结论成立,这种证法又叫“穷举法”。
在数学解题中经常使用反
证法,牛顿曾经说过:“反证法是数学家最精当的武器之一”。一般来讲,反证法常用来
证明的题型有:
命题的结论以“否定形式”、“至少”或“至多”、“唯一”、“无限”形式出现的命题;或者否
定结论
更明显。具体、简单的命题;或者直接证明难以下手的命题,改变其思维方向,从结论入手进行反面思考,
问题可能解决得十分干脆。
Ⅰ、再现性题组:
1.
已知函数f(x)在其定义域内是减函数,则方程f(x)=0 ______。
A.至多一个实根
B.至少一个实根 C.一个实根 D.无实根
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