(完整word版)高中数学竞赛题1

竞赛题1

2019年11月18日

一．填空题（共40小题）
1．设数列{a
n
}满足
项之和为 ．
2．正项数列{a
n
}满足：
的取值范围是
3．记 数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知2S
n
﹣a
n
+1＝n（a
n
+1），且a
2
＝5，若m＞
数m的取值 范围 ．
4．已知数列{a
n
}满足：
5．已知数列{a
n
}的前n项和是S
n
，且
，则a
2019
＝
，则a
n
＝ ．（写出两个即可）
，则实
，设T
n
＝a
1
?a
2
?…?a
n
，若，则λ
， 则数列{a
n
}的前2020
6．已知两个等差数列{a
n
}、{b
n
}，它们的前n项和分别是S
n
、T
n
，若＝，则
＝ ．
7．已知数列{a
n
}的通项公式
＝ ． ，则|a
1
﹣a
2
|+|a
2
﹣a
3
|+|a
3
﹣a
4
|+…+|a
9
﹣a
10
|
8．若存在无穷数列{a
n
}，{b
n
}满足：对于任意n∈N
+
，a
n+1
，b
n+1
是方程x
2
﹣（ a
n
+b
n
）x+
＝0的两根，且a
10
＝1，b
1
＞0，则b
1
＝ ．
9．已知y＝f（x），，对任意实数x，y满足：f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣3
（Ⅰ）当n∈N
*
时求f（n）的表达式；
（Ⅱ）若b
1
＝1，b
n+1
＝
（Ⅲ）记
，求b
n
；
，试证c
1
+c
2
+…+c
2014
＜89． < br>10．设数列{a
n
}满足：a
4
＝4，（a
n+1
﹣a
n
﹣2）（?2a
n+1
﹣a
n
）＝0（n∈N
*
），则a
1
的值小于4的
概率为 ．
第1页（共30页）

11．已知两个等差数列{an
}和{b
n
}的前n项和分别为A
n
和B
n
，且
为整数的个数是 ．
12．已知函数．
＝，则使得
（Ⅰ）求f（x）+f（1﹣x），x∈R的值；
（Ⅱ）若数列{a
n
} 满足an＝f（0）+f（）+f（）+…+f（
数列{a
n
} 的通项公式；
（Ⅲ）若数列 {b
n
} 满足b
n
＝2
n+1
?a
n
，S
n
是数列 {b
n
} 的前n项和，是否存在正实数k，
使不等式knS
n
＞4 b
n
对于一切的n∈N
*
恒成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，
请说明理由．
13．在某个QQ群中有n名同学在玩一种叫“数字哈哈镜”的游戏．这些同学 编号依次为1，
2，3，…，n．在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对（p，q）表示．规则如下：编 号为
k的同学看到的像为（a
k
，a
k+1
），且满足a
k +1
﹣a
k
＝k（k∈N
*
），已知编号为1的同学看到
的 像为（5，6），则编号为4的同学看到的像为 ；某位同学看到的像为（195，q），
其中q的值被遮住了，请你帮这位同学猜出q＝ ．
14．已知数列{a
n
}中，a
n
＞0且a
n
2< br>﹣2a
n
S
n
+1＝0，其中S
n
为数列{a
n
}的前n项和．
（1）求证：{S
n
2
}是等差数列；
（2）求证：a
n
＞a
n+1
（n∈N
*
）．
15．求和：＝ ．
）+f（1）（n∈N
*
），求
16 ．已知数列{a
n
}中，a
1
＝2，n∈N
*
，a
n
＞0，数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且满足a
n+1
＝
．
（1）求{S
n
}的通项公式；
（2）设{b
k
}是{S
n
}中的按从小到大顺序组成的整数数列．
①求b
3
；
②存在N（N∈N
*
），当n≤N时，使得在 {S
n
}中，数列{b
k
}有且只有20项，求N的范围．
17．正整数按下列所示的规律排列，则上起2007，左起2008列的数是 ．
第2页（共30页）

18．已知数列{a< br>n
}的前n项和为S
n
，a
1
＝1，a
2
＝ 2，a
n+2
＝
足2019≤S
m
≤3000的正整数m的所有取值 为 ．
19．数列{a
n
}的前n项和为S
n
，数列{b
n
}的前n项和为T
n
，满足a
1
＝2，
，且a< br>n
b
n
＝n+1．若对任意n∈N
*
，λ≤T
2n< br>﹣T
n
恒成立，
则实数λ的最大值为 ．
20．已知等差数 列{a
n
}满足a
1
+a
6
+a
11
＝2 π，则cos（a
3
+a
9
）的值为
21．已知数列{ a
n
}满足a
n+1
＝3a
n
+10，b
n
＝a
n
﹣4（n+1），若b
n+1
＞b
n
，则数列{a
n
}的首项的
取值范围为 ．
22．已知正项数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且，则
则满
＝ ．
23． 已知函数，数列{a
n
}满足a
n
＝f（n）（n∈N*），且数列{an
}
是单调递增数列，则实数a的取值范围是 ．
24．定义“等和数 列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那
么这个数列叫做等和数列，这个 常数叫做该数列的公和．已知数列{a
n
}是等和数列，且
a
1
＝2 ，公和为5，这个数列的前2n﹣1项和S
2n
﹣
1
＝ ．
25．若数列{a
n
}满足a
n+1
＝，且对任意n∈N*，有a
n+1
＞a
n
，则a
1
的取值范围是 ．
26． 已知数列{a
n
}，若a
n
═﹣n
2
+kn+4，且对于任 意n∈N
*
，都有a
n+1
＜a
n
，则实数k的取值
范围是 ．
27．设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若S
3
＝9，S
5
＝25，则a
2019
＝ ．
28．已知数列{b
n
}是首项为﹣6，公差为1的等差数列，数列{a
n
}满足a
n+1
﹣a
n
＝2
n
（n∈N*）第3页（共30页）

且a
1
＝b
9
，则数列{}的最大值为 ．
29．已知数列{a
n
}满足，则{a
n
}的前10项和为 ．
30．正项等比数列{a
n
}中，存在两项a
m
，a
n
（m，n∈N
*
）使得a
m
，a
n
＝16a
1
2
，且a
7
＝a
6
+2a
5
，
则的最小值为
31．已知两个等差数列{a
n
}和{b
n}的前n项和分别为S
n
和T
n
，且
整数的正整数n的个数是 ．
32．若数列{a
n
}满足
{
＝，则使得为
（n∈N， d为常数），则称数列{a
n
}为调和数列，已知数列
}为调和数列，且x
1
+x
2
+…+x
20
＝200，则x
5
+x
16
＝ ．
33．已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若1≤a
1
≤3，3≤a
1
+S
3
≤6，则
是 ．
的取值范围
34．设等差数列{a
n
}的前n项和 为S
n
，若﹣1＜a
4
＜3，﹣3＜a
10
＜1，则S12
的取值范围
为 ．
35．由正整数组成的数列{a
n}、{b
n
}中分别为递增的等差数列、等比数列．a
1
＝b
1
＝1，记
c
n
＝a
n
+b
n
，若存在正整 数k（k≥2）满足c
k
﹣
1
＝100，c
k+1
＝100 0，则c
k
＝ ．
36．正项数列{a
n
}的前n项和S
n
满足S
n
＝
a
n
＞k成立，则整数k的最大值为 ．
37．已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且a
n< br>＞0，，若不等式
．若对于任意的n∈N
*
，都有
．对任意的n∈N< br>*
恒成立，则k的取值范围是 ．
38．已知点列P
1
（1 ，y
1
），P
2
（2，y
2
），P
3
（3 ，y
3
），…，P
n+1
（n+1，y
n+1
）在x轴的投 影
为Q
1
，Q
2
，…，Q
n+1
，且点P
n+1
满足y
1
＝1，直线P
n
P
n+1
的斜率k
形P
1
Q
1
Q
n+1
P
n+1
的 面积为 ．
39．已知数列{a
n
}是公差为d的等差数列，S
n
是其前项和，若{
差数列，则{a
n
}的通项为 ．
第4页（共30页）

＝2
n
．则多边
}也是公差为d的等

40 ．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，
但其内部却是有 规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基于一个不断迭代的方程式，
即一种基于递归的反馈系统．下 面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图1，线段
AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D， 使得AC＝DB＝，以CD为一边在线
段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的 图形；对图2中的最上
方的线段EF作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一 系列图
形：
记第n个图形（图1为第1个图形）中的所有线段长的和为S
n
，现给出有关数列{S
n
}的
四个命题：
①数列{S
n
}是等比数列；
②数列{S
n
}是递增数列；
③存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有S
n
＞2018；
④存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有S
n
＜2018．
其中真命题的序号是 （请写出所有真命题的序号）．
第5页（共30页）

竞赛题1

参考答案与试题解析

一．填空题（共40小题）
1．设数列{a
n
}满足
项之和为 9
1010
﹣1 ．
【解答】解：由题意，
当n＝1时，a
3
＝2a
2
+3a
1
，即2a
2
+9＝19，
∴a
2
＝5．
将递推式两边同时加上a
n+1
，可得：
a
n+2
+a< br>n+1
＝3a
n+1
+3a
n
＝3（a
n+1
+a
n
）．
构造数列b
n
＝a
n+1
+a
n
，
则有b
1
＝a
2
+a
1
＝5+3＝8，
很明显数列{b
n
}是以8为首项，3为公比的等比数列．
∴b
n
＝8?3
n1
，n∈N*．
﹣
，则数列{ a
n
}的前2020
∴S
2020
＝a
1
+a2
+a
3
+a
4
+a
5
+a
6
+…+a
2019
+a
2020

＝b
1
+b< br>3
+b
5
+…b
2019

＝8+8?3
2
+8?3
4
+…+8?3
2018

＝8×（1+9+9
2
+…+9
1009
）
＝8×
＝9
1010
﹣1．
故答案为：9
1010
﹣1．
【点评】本题主要考查三项递推式的变形及构 造新数列的问题，然后转化数列求和．考
查了等比数列求和问题．本题属综合性较强的中档题．
2．正项数列{a
n
}满足：
的取值范围是 （﹣10，11）
【解答】解：，
，设T
n
＝a
1
?a
2
?…?a
n
，若，则λ

n＝2k（k∈N
*
）时，可得： a
2k+1
a
2k
＝2
2k
．
第6页（共30页）

n＝2k﹣1（k∈N
*
）时，可得：＝2
2k1
，
﹣< br>∴a
2k
﹣
1
a
2k+1
＝2，∴a
1a
3
?…?a
19
＝2
5
．
n＝2k+1（ k∈N
*
）时，可得
∴a
2k
a
2k+2
＝24k+1
，
∴a
2
a
3
?…?a
20
＝2
5+13+
设T
n
＝a
1
?a
2
? …?a
n
，
∴2
110
＞
…
+37
＝2< br>2k+1
．
＝
，
＝2
105
．
，化为：λ
2
﹣λ＜110，
解得：﹣10＜λ＜11．
则λ的取值范围是（﹣10，11）．
故答案为：（﹣10，11）．
【点评】本 题考查了数列递推关系、分类讨论方法、方程与不等式的解法、等差数列的
通项公式与求和公式，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题．
3．记数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知2S
n
﹣a
n
+1＝n（a
n
+1），且a
2
＝5，若m＞
数m的取值范围 m＞2 ．
【解答】解：∵当n＝2时， 2（a
1
+a
2
）﹣a
2
+1＝2×（a
2
+1）；
∴解得a
1
＝3；
∵2S
n+1
﹣a
n+1
+1＝（n+1）（a
n+1
+1）…①
2S
n
﹣a
n
+1＝n（a
n
+1）…②
∴①﹣②，整理可得
∵
化简为，即a
n
＝2n+1；
；
；
；
，则实
∴数列{a
n
}是以3为首项，2为公差的等差数列；
令＝；
第7页（共30页）

则
当n＝1时，可知T
2
＞T
1
；
当n≥2时，可知T
n+1
＜T
n
；
∴数列{T
n
}的最大项为T
2
＝2；
∴实数m的取值范围是：m＞2．
；
【点评】本题考查了通过递推式求通项公式， 判断数列的递增递减，涉及累加法，作差
法，属中档题．
4．已知数列{a
n
}满足：
【解答】解：由
，
∴
又
∴
∴
∴
故答案为：
为等差数列，
＝1，
，
，
．
．
＝1，
得
，则a
2019
＝
【点评】本题考查数列递推公式，等差数列知识，属于中档题．
5．已知数列{a
n
}的前n项和是S
n
，且
出两个即可）
【解答】解：由已知，得
4S
1
＝（a
1
+1）
2
，
∴（a
1
﹣1）
2
＝0，
∴a
1
＝1．
又由得
n
，则a
n
＝ （﹣1）
﹣
1
或2n﹣1． ．（写
第8页（共30页）

4S
n
＝（a
n
+1）
2
﹣（a
n
﹣
1
+1）
2
，
即（a
n
﹣1）
2
＝，
∴a
n
﹣1＝a
n
﹣
1
+1或a
n
﹣1＝﹣（a
n
﹣1
+1），
即a
n
﹣
a
n
﹣
1＝2（常数）或（常数），
当a
n
﹣
a
n
﹣
1
＝2（常数）时，数列{a
n
}是以1为首项，2为公差的等差数列，所以a
n
＝1+2
（n﹣1）＝2n﹣1；
当（常数）时，数列{a
n
}是以1为首项，﹣1为公比的等比数列，所以
．
故答案为：（﹣1）
n
﹣
1
或2n﹣1．
【点评】此题是常规题型，考察了递推关系以及等差和等比数列定义，属于较容易的题
目． < br>6．已知两个等差数列{a
n
}、{b
n
}，它们的前n项和分别是S
n
、T
n
，若＝，则
＝ ．
【解答】解：因为＝，所以 设S
n
＝（2n
2
+3n）k，T
n
＝（3n
2< br>﹣n）k，
则＝＝＝＝＝×
＝．
故答案为：．
【点评】本题考查 了等差数列的前n项和，考查了等差数列前n项和与二次函数的关系．属
于基中档题．
7．已知数列{a
n
}的通项公式
101 ．
第9页（共30页）

，则|a
1
﹣a
2
|+|a
2
﹣a3
|+|a
3
﹣a
4
|+…+|a
9
﹣a10
|＝

【解答】解：令b
n
＝|a
n
﹣a
n+1
|＝|4n﹣11|，
则所求式子为{b
n
}的前9项和s
9
．
其中b
1
＝7，b
2
＝3，
从第三项起，是一个以1为首项，4为公差的等差数列，
∴
故答案为：101． < br>【点评】本题考查的是数列求和，关键在于把所求式子转换成为等差数列的前n项和，
另外，带有 绝对值的数列在求和时要注意里面的特殊项．
8．若存在无穷数列{a
n
}，{b< br>n
}满足：对于任意n∈N
+
，a
n+1
，b
n+1
是方程x
2
﹣（a
n
+b
n
）x+
＝0的 两根，且a
10
＝1，b
1
＞0，则b
1
＝ 512 ．
【解答】解：a
n+1
，b
n+1
是方程x
2
﹣（ a
n
+b
n
）x+
a
n+1
+b
n+1< br>＝（a
n
+b
n
），a
n+1
b
n+1＝，
＝0的两根，可得
，
即有a
n+1
+b
n+ 1
＝（a
1
+b
1
），a
n+1
b
n+1
＝（a
1
b
1
），
若a
1
，b
1
＞0，可得a
n
，b
n
＞0，
由a
n+1+b
n+1
≥2，可得（a
1
+b
1
）≥2（a
1
b
1
），
对于给定的a
1
，b
1
，这显然是不可能的对于任意的n成立； < br>同样可以证明a
n
＞0，b
n
＞0，也不可能同时成立，所以a
10
＝1，可得b
10
＝0，
倒推可得a
1
+b
1
＝2
9
（a
10
+b
10
），a
1< br>b
1
＝（a
10
b
10
）
故答案为：512 ．
【点评】本题考查了数列递推关系、等比数列的通项公式、分类讨论方法，考查了推理
能力 与计算能力，属于难题．
9．已知y＝f（x），，对任意实数x，y满足：f（x+y）＝f（x）+f（y）﹣3
，所以a
1
＝0，b
1
＝2
9
＝512．
（Ⅰ）当n∈N
*
时求f（n）的表达式；
（Ⅱ）若b
1
＝1，b
n+1
＝，求b
n
；
第10页（共30页）

（Ⅲ）记，试证c
1< br>+c
2
+…+c
2014
＜89．
﹣3＝2×4﹣3＝5． 【解答】（I）解：令x＝y＝，则f（1）＝2
∴f（n+1）﹣f（n）＝5﹣3＝2．
∴f（n）＝f（1）+2（n﹣1）＝2n+3．
（II）解：∵b
n+1
＝
∴
∴
＝+
（n∈N
*
）．
＝．∵
+2+…+
++…+
，∴＝2n+1．
＝1+3+5+…+（2n﹣1）＝n
2
．
（III）证明：c
n
＝
∴c
1
+c
2
+…+c
2014
＜1+
＝
＝

，
﹣1＜2×45﹣1＝89．
【点评】本题考 查了抽象函数的性质、等差数列的通项公式、“累加求和”，考查了放缩
法、不等式的性质，考查了推理 能力与计算能力，属于难题．
10．设数列{a
n
}满足：a
4
＝ 4，（a
n+1
﹣a
n
﹣2）（?2a
n+1
﹣a
n
）＝0（n∈N
*
），则a
1
的值小于4的
概率为 ．
【解答】解：若，（a
n+1
﹣a
n
﹣2）（?2a
n+1
﹣a
n
）＝0，
则a
n+1
﹣a
n
﹣2 ＝0或2a
n+1
﹣a
n
＝0，
即a
n+1
﹣a
n
＝2或2a
n+1
＝a
n
，
分别取n＝1，2，
则a
3
﹣a
2
＝2，a
2< br>﹣a
1
＝2或a
2
＝2a
3
，a
1
＝2a
2
，
当a
3
＝8时，a
2
＝6或a
2
＝16，
当a2＝6时，a
1
＝4或a
1
＝12，
当a
2
＝16时，a
1
＝14或a
1
＝32，
则a
1
的值小于4的概率为，
故答案为：
【点评】本题主要考查数列的递推公式的应用，以及古典概型的概率计算，综合性较强．
第11页（共30页）

11．已知两个等差数列{a< br>n
}和{b
n
}的前n项和分别为A
n
和B
n
，且
为整数的个数是 7 ．
＝，则使得
【解答】解：∵＝＝＝，
∴＝＝＝＝＝5+．
∴要使∈Z，只要∈Z即可，
∴n+1为24的正约数，即2，3，4，6，8，12，24，共有7个．
故答案为：7．
【点评】本题主要考查等差数列通项公式以及前n项和公式的应用，利用等差数列的性
质进行转 化是解决本题的关键．
12．已知函数．
（Ⅰ）求f（x）+f（1﹣x），x∈R的值；
（Ⅱ）若数列{a
n
} 满足an＝f（0）+f（）+f（）+…+f（
数列{a
n
} 的通项公式；
（Ⅲ）若数列 {b
n
} 满足b
n
＝2
n+1
?a
n
，S
n
是数列 {b
n
} 的前n项和，是否存在正实数k，
使不等式knS
n
＞4 b
n
对于一切的n∈N
*
恒成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，
请说明理由．
【解答】解：（Ⅰ）∵数
∴f（x）+f（1﹣x）
＝+
，
）+f（1）（n∈N
*
），求
＝+＝1
第12页（共30页）

（Ⅱ）∵a
n
＝f（0）+f（）+f（）+…+f（
∴
由（Ⅰ），知f（x）+f（1﹣x）＝1
∴①+②，得2a
n
＝（n+1），∴．
）+f（1）（n∈N
*
），①
，②
（Ⅲ）∵b
n＝2
n+1
?a
n
，∴b
n
＝（n+1）?2
n
，
∴S
n
＝2?2
1
+3?2
2
+4 ?2
3
+…+（n+1）?2
n
，③
2S
n
＝2 ?2
2
+3?2
3
+4?2
4
+…+（n+1）?2
n+1
，④
③﹣④，得﹣S
n
＝4+2
2
+2
3
+…+2
n
﹣（n+1）?2
n+1
，
即，要使不等式 knS
n
＞4b
n
对于一切的n∈N
*
恒成立，
即kn
2
﹣2n﹣2＞0对于一切的n∈N
*
恒成立．
∴k
令f（n）＝
对一切的n∈N
*
恒成立，
＝＝， < br>∵（n+1）+
∴（n+1）+
∴f（n）
min
＝
在n∈N
*
是单调递增的，
的最小值为2+＝，
＝4，
∴k＞4． < br>【点评】本题考查数列通项公式的求法，探索满足条件的实数的取值范围．解题时要认
真审题，仔 细解答，注意倒序相加法、错位相减法的合理运用．
13．在某个QQ群中有n名同学在玩一种叫“数 字哈哈镜”的游戏．这些同学编号依次为1，
2，3，…，n．在哈哈镜中，每个同学看到的像用数对（ p，q）表示．规则如下：编号为
k的同学看到的像为（a
k
，a
k+1），且满足a
k+1
﹣a
k
＝k（k∈N
*
），已知编 号为1的同学看到
的像为（5，6），则编号为4的同学看到的像为 （11，15） ；某位同学看到的像为（195，
q），其中q的值被遮住了，请你帮这位同学猜出q＝ 215 ．
【解答】解：（1）由题意规律，编号为1的同学看到的像是（5，6），
∴编号为2的同学看到的像是（6，8），
第13页（共30页）

编号为3的同学看到的像是（8，11），
编号为4的同学看到的像是（11，15）．
（2）设编号为n的同学看到的像是（b
n
，a
n
），
则 b
1
＝5，a
1
＝6，当n≥2时，b
n
＝a
n< br>﹣
1
．
由题意a
n
﹣b
n
＝n，∴an
﹣a
n
﹣
1
＝n（n≥2）．
∴a
n﹣a
1
＝（a
2
﹣a
1
）+（a
3
﹣ a
2
）+…+（a
n
﹣a
n
﹣
1
）
＝2+3+…+n＝．
，
，
当＝195时，n＝20，
＝
故答案为：（11，15），215．
【点评】本题以QQ作为背景、以数字哈哈 镜面游戏规则形式给出信息，考查学生阅读
信息、搜集信息、加工信息的能力．考查灵活运用数列知识分 析问题与解决问题的能力．
14．已知数列{a
n
}中，a
n
＞0 且a
n
2
﹣2a
n
S
n
+1＝0，其中S
n
为数列{a
n
}的前n项和．
（1）求证：{S
n
2
}是等差数列；
（2）求证：a
n
＞a
n+1
（n∈N
*
）． < br>【解答】证明：（1）∵a
n
2
﹣2a
n
S
n
+1＝0，a
n
＝S
n
﹣S
n
﹣
1
（n ≥2）
∴（S
n
﹣S
n
﹣
1
）
2
﹣2（S
n
﹣S
n
﹣
1
）S
n
+1＝0 ?S
n
2
﹣S
n
﹣
1
2
＝1
故{S
n
2
}成等差数列．
（2）∵a
1
2﹣2a
1
2
+1＝0，a
1
＞0
∴a
1
＝S
1
＝1
∴S
n
2
＝1+（n﹣1）＝n
故
∴

＝（n∈N
*
）
．
【点评】本题是中档题，考查数列的判断，数 列通项公式的求法，放缩法的应用，对通
项公式的理解能力的考查，是本题的难点．
第14页（共30页）

15．求和：
【解答】 解：
∴S
n
＝a
1
+a
2
+a
3
+…+a
n

＝2（
＝2×
＝2（1﹣
故答案：
）＝
．
．

＝
，
．
）
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
16．已知数列{a< br>n
}中，a
1
＝2，n∈N
*
，a
n
＞0， 数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且满足a
n+1
＝
．
（1）求{S
n
}的通项公式；
（2）设{b
k
}是{S
n
}中的按从小到大顺序组成的整数数列．
①求b
3
；
②存在N（N∈N
*
），当n≤N时，使得在 {S
n
}中，数列{b
k
}有且只有20项，求N的范围．
【解答 】解：（1）∵a
n+1
＝S
n+1
﹣S
n
，
∴ （S
n+1
﹣S
n
）（S
n+1
+S
n
﹣ 2）＝2；
即（S
n+1
）
2
﹣（S
n
）
2
﹣2（S
n+1
﹣S
n
）＝2，
∴（S
n+ 1
﹣1）
2
﹣（S
n
﹣1）
2
＝2，且（S
1
﹣1）
2
＝1，
∴{（S
n
﹣1）
2
}是首项为1，公差为2的等差数列，
∴S
n
＝1+．
（2）①n＝1时，S
1
＝1+1＝2＝ b
1
，n＝5时，S
5
＝1+3＝4＝b
2
，n＝13时， S
13
＝1+5＝6
＝b
3
．
②∵2n﹣1是奇数，S< br>n
＝1+
∴n＝2k
2
﹣2k+1，
当k＝20时，n＝761；当k＝21时，n＝841；
∴存在N∈[761，840]， 当n≤N时，使得在{S
n
}中，数列{b
k
}有且只有20项．
【点评】本题考查了变形转化为等差数列的方法，考查了等差数列的通项公式、分类讨
第15页（共30 页）

为有理数，则＝2k﹣1，

论的思想方法，考察了推理能力与计算能力，属于难题．
17．正整数按下列所示的规律排列，则上起2007，左起2008列的数是 4030056（即2007
×2008） ．

【解答】解：这些数字排成的是一个正方形
上起2007，左起2008列的数是一个200 8乘以2008的正方形的倒数第二行的最后一个数
字
所以这个数是2008×（2008﹣1）＝4030056．
答案：4030056．
【点评】本题考查数列的性质和应用，解题时要注意培养观察能力和分析能力．
18．已知数 列{a
n
}的前n项和为S
n
，a
1
＝1，a
2< br>＝2，a
n+2
＝
足2019≤S
m
≤3000的正整数m的 所有取值为 20，21 ．
【解答】解：由a
n+2
＝知，
则满
数列{a
n
}的所有奇数项构成以1为首项，以2为公差的等差数列，
所有偶数项构成以2为首项，以2为公比的等比数列，
则当n为奇数时，，当n为偶数时，．
当m为偶数时，S
m
＝（a
1
+a
3
+…+am
﹣
1
）+（a
2
+a
4
+…+a
m
）
＝＝，
由2019≤≤3000，解得m＝20；
当m为奇数时，S
m
＝S
m
﹣
1
+a
m
＝
第16页（共30页）

＝．
由2019≤
故答案为：20，21．
≤3000，解得m＝21．
【点评】本题考查数列的分组求和，正确求出数列通项是关键，是中档题．
19．数列{a< br>n
}的前n项和为S
n
，数列{b
n
}的前n项和为T
n
，满足a
1
＝2，
，且a
n
b
n
＝n +1．若对任意n∈N
*
，λ≤T
2n
﹣T
n
恒成立，则实数λ的最大值为 ．
【解答】解：当n＝1时，3S
1
＝（1+m）a< br>1
＝3a
1
，则m＝2，3S
n
＝（n+2）a
n< br>，
当n≥2时，3S
n
﹣
1
＝（n+1）a
n﹣
1
，
∴3a
n
＝（n+2）a
n
﹣（n+ 1）a
n
﹣
1
，
∴，∴，
∴
∴
∴
，
（当且仅当n＝1时等号成立），
故答案为：．
【点评】本题主要考 查已知S
n
求a
n
，累乘法，主要考查计算能力，属于中档题．
2 0．已知等差数列{a
n
}满足a
1
+a
6
+a
1 1
＝2π，则cos（a
3
+a
9
）的值为 ﹣
【解答 】解：由等差数列{a
n
}满足a
1
+a
6
+a
1 1
＝2π，
∴3a
6
＝2π，解得a
6
＝
又a< br>3
+a
9
＝2a
6
＝，
＝﹣，
，
则cos（a
3
+a
9
）＝cos
故答案为：﹣．
【点评】本题考查了等差数列的性质、三角函数求值，考查了推理能力与计算能力，属
第17页（共3 0页）

于中档题．
21．已知数列{a
n< br>}满足a
n+1
＝3a
n
+10，b
n
＝a
n
﹣4（n+1），若b
n+1
＞b
n
，则数列{a
n}的首项的
取值范围为 （﹣3，+∞） ．
【解答】解：数列{a
n
}满足a
n+1
＝3a
n
+10，b
n
＝a
n﹣4（n+1），
由于b
n+1
＞b
n
，
所以3a
n
+10﹣4n﹣8＞a
n
﹣4n﹣4，
整理得2a
n
＞﹣6，
当n＝1时，a
1
＞﹣3．
故答案为：（﹣3，+∞）
【点评】本题考查的知识要点：数列的递推关系式的应用，主要考 查学生的运算能力和
转换能力及思维能力，属于基础题型．
22．已知正项数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且，则
＝ ．
【解答】解：正项数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且
当n＝1时，a
1
＝1，
当n≥2时，
①﹣②得：
整理得a
n
﹣a
n
﹣
1
＝2（常数），
所以a
n
＝1+2（n﹣1）＝2n﹣1．
所以，
，②
，
，①
所以，
故＝
＝1﹣
故答案为：．
．
第18页（共30页）

【点评】本题考查的知识要点： 数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和
中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及 思维能力，属于基础题型．
23．已知函数，数列{a
n
}满足a
n
＝f（n）（n∈N*），且数列{a
n
}
是单调递增数列，则实数a的取值范围是 ．
【解答】解：依题意，∵数列{a
n
}满足a
n
＝f（n）且a
n+1
＞a
n
，n∈N
*
，∴分段函数f（x）
在 N*上单调递增，
所以，解得，
故答案为：（，8）．
【点评】本题考查了分段函数的应用、一次函数和指数函数的单调性，属于中档题．
24．定 义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那
么这个数列叫做等和 数列，这个常数叫做该数列的公和．已知数列{a
n
}是等和数列，且
a
1< br>＝2，公和为5，这个数列的前2n﹣1项和S
2n
﹣
1
＝ （k∈N
+
） ．
【解答】解：根据题中的信息，已知数列{a
n
}是等和数列，且a
1
＝2，公和为5，所以a
2
＝3，a
3
＝2，a
4
＝3，
所以当n为偶数时S
n
＝2+3+2+3+… +2+3+2＝
当n为奇数时，S
n
＝2+3+2+3+…+2+3＝
．
．
所以（k∈N
+
）．
故答案为：（k∈N
+
）
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的 求法及应用，分类讨论思想的应用，
第19页（共30页）

数列的求和的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．
25．若数列{a
n
}满足a
n+1
＝
．
【解 答】解：数列{a
n
}满足a
n+1
＝
所以
当n＝1时，< br>，
，整理得，
，对任意n∈N*，有a
n+1
＞a
n
，
，且对任意n∈ N*，有a
n+1
＞a
n
，则a
1
的取值范围是
所以，
解得
当n＝2时，a
3
＞a
2
，
所以
①．
，整理得，
化简得，
解得
由①②得
故答案为：

．
②，
【点评】本 题考查的知识要点：数列的单调性的应用，高次不等式的解法的应用，主要
考查学生的运算能力和转换能 力及思维能力，属于基础题型．
26．已知数列{a
n
}，若a
n
═﹣n
2
+kn+4，且对于任意n∈N
*
，都有a
n+1
＜a
n
，则实数k的取值
范围是 k＜3 ．
【解答】解：数列{a
n
}，若a
n
═﹣n
2
+kn+4，则：数列{a
n}，若a
n+1
═﹣（n+1）
2
+k（n+1）
+4， 所以a
n+1
＜a
n
，整理得﹣（n+1）
2
+k（n +1）+4﹣（﹣n
2
+kn+4）＜0，
化简得：k＜2n+1，
由于 对于任意n∈N
*
，都有a
n+1
＜a
n
恒成立，
所以k＜（2n+1）
min
，
第20页（共30页）

即当n＝1时，k＜3．
故答案为：k＜3．
【点评】 本题考查的知识要点：数列的通项公式的应用，数列的单调性的应用，主要考
查学生的运算能力和转换能 力及思维能力，属于基础题型．
27．设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若S
3
＝9，S
5
＝25，则a
2019
＝ 4037 ．
【解答】解：依题意，数列{a
n
}是等差数列，所以S
2n
﹣
1
＝（2n﹣1）a
n
，
所以S
3
＝ 3a
2
＝9，所以a
2
＝3，S
5
＝5a
3
＝25，所以a
3
＝5，
所以数列{a
n
}的公差d＝a
3
﹣a
2
＝5﹣3＝2，
所以a
2019
＝a
2
+（2019﹣2）×d＝3+2017×2＝4037．
故答案为：4037．
【点评】本题考查了等差数列的前n项和公式，考查了等差数列的通项公式，属于基础
题． < br>28．已知数列{b
n
}是首项为﹣6，公差为1的等差数列，数列{a
n}满足a
n+1
﹣a
n
＝2
n
（n∈N*）
且 a
1
＝b
9
，则数列{}的最大值为 ．
【解答】解：已知数列 {b
n
}是首项为﹣6，公差为1的等差数列，则b
n
＝﹣6+（n﹣1）＝
n﹣7．
由于且a
1
＝b
9
，所以a
1
＝2．
数 列{a
n
}满足a
n+1
﹣a
n
＝2
n
（ n∈N*）
所以
…，
，
所以
则：＝
，
，
，
则．
当n＝8时．
第21页（共30页）

故答案为：．
【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求 法及应用，数列的递推关系式的应
用，叠加法的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力， 属于基础题型．
29．已知数列{a
n
}满足，则{a
n
}的前10项和为 ﹣ ．
【解答】解：∵数列{a
n
}满足，
∴a
2
＝＝，a
3
＝0，a
4
＝，
∴数列{a
n
}是周期为3的周期数列，
∵则{a
n
}的前10项和为：﹣
故答案为：﹣．
．
【 点评】本题考查数列的前63项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意递推思
想的合理运用．
30．正项等比数列{a
n
}中，存在两项a
m
，a
n（m，n∈N
*
）使得a
m
，a
n
＝16a
1
2
，且a
7
＝a
6
+2a
5
，
则 的最小值为 6
?【解答】解：∵正项等比数列{a
n
}中，存在两项a
m
，a
n
（m，n∈N
*
）使得a
m
?a
n
＝
q
m1
?q
n1
＝16a
1
2
，
﹣﹣
∴q
m+n2
＝16＝
﹣
，即q
m+n
＝2
4
?q
2
．
且a
7
＝a
6
+2a
5
，∴a
1
q
6
＝a
1
q
5
+2a
1
q
4
，即 q
2
＝q+2，
∴正整数 q＝2，m+n＝6．
∴
6，
当且仅当
故
＝时，等号成立，
＝（?+）＝（1+++25）＝+（+）≥+?10＝
的最小值为6，
故答案为：6．
【点评】本题主要考查等比数列的定义和性质，基本不等式的应用，属于中档题．
第22页（共30页）

31．已知两个等差数列{a< br>n
}和{b
n
}的前n项和分别为S
n
和T
n
，且
整数的正整数n的个数是 5 ．
＝，则使得为
【解答】解：＝＝＝＝＝2+．
n＝1，3，7，15，31时，
∴使得为整数的正整数n的个数是5．
故答案为：5．
【点评】本题考查了等差数 列的通项公式与求和公式及其性质，考查了推理能力与计算
能力，属于中档题．
32．若数列 {a
n
}满足
{
（n∈N，d为常数），则称数列{a
n
} 为调和数列，已知数列
}为调和数列，且x
1
+x
2
+…+x
20
＝200，则x
5
+x
16
＝ 20 ．
}为调和数列， 【解答】解：由数列{
可得﹣＝x
n+1
﹣x
n< br>＝d（n∈N，d为常数），
∴{x
n
}是公差为d的等差数列，
又x
1
+x
2
+…+x
20
＝200＝
∴x
1
+x
20
＝20，
又x
5
+x
16
＝x
1
+x
20
，
∴x
5
+x
16
＝20．
故答案为：20．
【 点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的定义和性质，以及求和公式，
考查运算能力，属于 基础题．
33．已知等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若1≤ a
1
≤3，3≤a
1
+S
3
≤6，则的取值范围是 [0，
（x
1
+x
20
），
第23页（共30页）

] ．
【解答】解：依题意，数列{a
n}是等差数列，所以S
3
＝3a
2
，
因为3≤a
1
+S
3
≤6，
∴3≤a
1
+3a
2
≤6，
又1≤a
1
≤3，所以1≤6，
所以0≤≤，
故答案为：[0，]．
【点评】本题考查了等差数列的前n项和，等差中项的性质，不等式的解法，属于基础
题． < br>34．设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若﹣1＜a
4
＜3，﹣3＜a
10
＜1，则S
12
的取值范围为 （﹣
22，26） ．
【解答】解：∵S
12
＝
又﹣1＜a
4
＜3，﹣3＜a
10
＜1，
∴S
12
∈（﹣22，26）．
故答案为：（﹣22，26）．
【点评】本题考查等差数列的前n项和，考查不等式的性质，是基础题．
35．由正整数组成 的数列{a
n
}、{b
n
}中分别为递增的等差数列、等比数列．a
1
＝b
1
＝1，记
c
n
＝a
n
+b
n
，若存在正整数k（k≥2）满足c
k
﹣
1
＝100，c
k+1
＝1000，则c
k
＝ 262 ．
【解答】解：设等差数列{a
n
}的公差为d（d＞0，d∈Z），等比数列{b
n
}的公比为q（q＞1 ，
q∈Z）．
由a
1
＝b
1
＝1，c
n
＝a
n
+b
n
，且c
k
﹣
1
＝100，c
k+1
＝1000，
可得c
k
﹣
1
，c
k
，c
k+1
为相邻三项，
则a
n
＝1+（n﹣1）d， b
n
＝q
n1
，n∈N*，
﹣
＝7a
4
+5a
10
，
d＝，
若q ＝2，可得{b
n
}：1，2，4，8，16，32，64，128，256，512，102 4，…，
考虑{b
n
}的前三项，d＝不为整数，显然不成立；
第24页（共30页）

若{b
n
}的 第2，3，4项，可得d＝，显然不满足{a
n
}的通项公式；
若{b
n< br>}的第3，4，5项；第4，5，6项；第5，6，7项；第6，7，8项；第7，8，9项；
都 不成立；
若q＝3，可得{b
n
}：1，3，9，27，81，243，729，2 187，…，
考虑{b
n
}的前三项，d＝，显然不满足{a
n
}的通项公式；
若{b
n
}的第2，3，4项，检验显然不满足{a
n
}的通项公式 ；
若{b
n
}的第3，4，5项；第4，5，6项；第5，6，7项；检验都不成立；
若q＝4，可得{b
n
}：1，4，16，64，256，1024，…，
考虑{b
n
}的前三项，d＝不为整数，显然不成立；
若{b
n< br>}的第2，3，4项，检验显然不满足{a
n
}的通项公式；
若{b
n
}的第3，4，5项；检验都不成立；
若q＝5，可得{b
n
}：1，5，25，125，625，…，
考虑{b
n
}的前三项，d＝，检验显然不满足{a
n
}的通项公式；
若{ b
n
}的第2，3，4项，检验显然不满足{a
n
}的通项公式；
若{b
n
}的第3，4，5项；检验都不成立；
若q＝6，可得{b
n
}：1，6，36，216，1296，…，
考虑{b
n
}的前三项，d＝不为整数，显然不成立；
若{b
n< br>}的第2，3，4项，检验显然不满足{a
n
}的通项公式；
若q＝7，可得{b
n
}：1，7，49，343，…，
考虑{b
n
}的前三项，d＝不为整数，显然不成立；
若{b
n< br>}的第2，3，4项，检验显然不满足{a
n
}的通项公式；
若q＝8，可得{b
n
}：1，8，64，512，…，
考虑{b
n
}的前三项，d＝不为整数，显然不成立；
若{b
n< br>}的第2，3，4项，检验显然不满足{a
n
}的通项公式；
若q＝9，可得{b
n
}：1，9，81，729，…，
考虑{b
n
}的前三项，d＝＝410，检验不成立；
第25页（共30页）

若{b
n
}的 第2，3，4项，d＝
可得a
2
＝91，a
3
＝181，a
4
＝271，
＝90，
可得k＝3，c
k
＝a
3
+b
3
＝181+81＝262．
故答案为：262．
【点评】本题考 查等差数列和等比数列的通项公式和性质，考查分类讨论思想和化简运
算能力、推理能力，属于难题．
36．正项数列{a
n
}的前n项和S
n
满足S
n
＝
a
n
＞k成立，则整数k的最大值为 1 ．
【解答】解：当n＝1时，
当n≥2且n∈N
*
时，
由得：，
，解得，
．若对于任意的n∈N
*
，都有
即
整理得：即＝
?
，
，
，
∴a
n
＝S
n< br>﹣S
n
﹣
1
＝
因为
∴
∴
＝
满足
，则
，
＝＝，
，


＝
＝，
第26页（共30页）

∵
∴
即
，
，
，
∴a
n+1
﹣a
n
＜0，
即数列{a
n
}为递减数列，
又＝＝1，
∴a
n
＞1，
则整数k的最大值为1．
故答案为：1．
【点评】本题考查数列综合应用问题，关键是能够利用S
n
求得a
n
的通项 公式，进一步证
明得到数列为递减数列，从而通过极限求得结果，难点是对于数列是递减数列的证明上，
对计算能力要求较高．
37．已知数列{a
n
}的前n项和为S
n
，且a
n
＞0，，若不等式
．对任意的n∈N
*
恒成立，则 k的取值范围是 [﹣7，7.25] ．
【解答】解：依题意得当n＝1时，2a
1
＝a
1
2
+a
1
，
由于a
n
2
＞0，解得a
1
＝1；
当n≥2时， 2S
n
﹣
1
＝a
n
﹣
1
2
+a< br>n
﹣
1
，
因此有：2a
n
＝a
n
2
﹣a
n
﹣
1
2
+a
n
﹣a
n< br>﹣
1
；
整理得：a
n
﹣a
n
﹣
1
＝1，所以数列{a
n
}是以a
1
＝1为首项，公差d＝1的等差数 列，
因此a
n
＝n，S
n
＝，
由2S
n
+9≥（﹣1）
n
ka
n
（n∈N
*
）得：n
2
+n+9≥（﹣1）
n
kn（n∈N
*
），
则有n++1≥（﹣1）
n
k（n∈N
*
），
令c
n
＝n++1，则c
n
﹣c
n
﹣
1
＝1+﹣易得当n≤3时，c
n
＜c
n
﹣
1
，
当n≥4时，c
n
＞c
n
﹣
1
；
所以有 c
1
＞c
2
＞c
3
＝7＜c
4
＝7.25 ＜c
5
＜…
第27页（共30页）

＝，

（1）当n为偶数时，n++1≥k，∴k≤7.25，
（2）当n为奇数时，n++1≥﹣k，∴k≥﹣7，
综上所述，k的取值范围是[﹣7，7.25]．
故答案为：[﹣7，7.25]．
【点评】本题是数列与不等式的综合，考查了等差数列、数列的单调性，属难题．
38．已知 点列P
1
（1，y
1
），P
2
（2，y
2
），P
3
（3，y
3
），…，P
n+1
（n+1，y
n+1
）在x轴的投影
为Q
1
，Q
2
，…，Q
n +1
，且点P
n+1
满足y
1
＝1，直线P
n
P< br>n+1
的斜率k
形P
1
Q
1
Q
n+1
P
n+1
的面积为 3×2
n
﹣n﹣3 ．
【解答】解：根据题 意可得y
n+1
﹣y
n
＝2
n
，结合y
1
＝1，运用累加法可得 y
n+1
＝2
n+1
﹣1，
由题意可以将该多边形分成n个直角梯形来算，
从左往右，第n个梯形的面积为，
＝2
n
．则多边
总的面积应用分组求和法，可得到多边形的面积为S＝3×2
n
﹣n﹣3．
【点评】能否根据题干正确分析出 y
n+1
＝2
n+1
﹣1是本题解题关键．
39．已知数列{a< br>n
}是公差为d的等差数列，S
n
是其前项和，若{
差数列，则{a< br>n
}的通项为 a
n
＝2或a
n
＝． ．
也是}也是公差为d的等
【解答】解：依题意，等差数列{a
n
}的公差为d，前n项 的和为S
n
，若数列
公差为d的等差数列，
可得
当
（
n≠1
＝
时可化为
），
，
＝d
2
n
2
+（）n+
即，解得或者，
所以a< br>n
＝2，或者a
n
＝
故答案为：a
n
＝2或a
n
＝．
＝．
【点评】本题考查了等差数列的通项公式，等差数列的前n项和公式 ，属于难题．解题
第28页（共30页）

时要注意前n项和公式的灵活选取与应用．
40．分形几何学是一门以不规则几何形态为研究 对象的几何学．分形的外表结构极为复杂，
但其内部却是有规律可寻的．一个数学意义上分形的生成是基 于一个不断迭代的方程式，
即一种基于递归的反馈系统．下面我们用分形的方法来得到一系列图形，如图 1，线段
AB的长度为a，在线段AB上取两个点C，D，使得AC＝DB＝，以CD为一边在线
段AB的上方做一个正六边形，然后去掉线段CD，得到图2中的图形；对图2中的最上
方的线段EF 作相同的操作，得到图3中的图形；依此类推，我们就得到了以下一系列图
形：
记第n个图形 （图1为第1个图形）中的所有线段长的和为S
n
，现给出有关数列{S
n
} 的
四个命题：
①数列{S
n
}是等比数列；
②数列{S
n
}是递增数列；
③存在最小的正数a，使得对任意的正整数n，都有S
n
＞2018；
④存在最大的正数a，使得对任意的正整数n，都有S
n
＜2018．
其中真命题的序号是 ②④ （请写出所有真命题的序号）．
【解答】解：由题意，得图1中的线段为a，S
1
＝a，
图2中的正六边形 边长为，S
2
＝S
1
+×4＝S
1
+2a；
图3中的最小正六边形的边长为，
S
3
＝S
2
+×4＝S
2
+a
图4中的最小正六边形的边长为，
S
4
＝S
3
+×4＝S
3
+
由此类推，S
n
﹣S
n
﹣
1
＝，
∴{S
n
}为递增数列，但不是等比数列，即①错误，②正确，
第29页（共30页）

因为S
n
＝S
1
+（S
2
﹣S
1
）+（S
3
﹣S
2
）+…+（S
n
﹣S
n
﹣
1
）
＝a+2a+a++…+
＝a+
＝a+4a（1﹣）＜5a，
即存在最大的正数a＝
使得对任意的正整数n，都有S
n
＜2018
即④正确，③错误，故填②④
【点评】本题考查了数列的应用，属难题．


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