高中数学原创试题(7)

2011年数学原创试题（7）

函数创新题“
SHOW
”

1.已知函数
f(n)?log
(n?1)
(n?2)
(
n
为正整数),若存在正整数
k
满足:
f(1)?f(2)??? f(n)?k
,那么我们将
k
叫做关于
n
的“对整数”.当
n?[1,2010]
时,则“对
整数”的个数为 个.
解析:∵
f(n)?log
(n?1)
(n?2)
,
lg3lg4lg(n?2)
?????log
2
(n?2)
lg2lg3lg(n?1)
∴
n?2?4,8,16,32,64,128,256,5 12,1024
满足要求,∴当
n?[1,2010]
时,则“对整数”的个
∴
k?f(1)?f(2)???f(n)?
数为9个.
2.给出定义:若函数f(x)
在
D
上可导,即
f'(x)
存在,且导数
f' (x)
在
D
上也可导,则称
f(x)
在
D
上存在二 阶导函数,记
f''(x)?(f'(x))'
,若
f''(x)?0
在D
上恒成立,则称
f(x)
在
D
上
为凸函数,给出下列 四个函数:
①
f(x)?sinx?cosx
;②
f(x)?lnx?2x
;③
f(x)??x
3
?2x?1
;④
f(x)?x?e< br>x
.
其中
f(x)
在
(0,
?
2
)
上是凸函数的序号为 .
解析:由凸函数的定义可得该题即判断f(x)
的二阶导函数
f''(x)
的符号.对于①
f'(x)?co sx?sinx
,
f''(x)??sinx?cosx
,在
x?(0,)< br>上,恒有
f''(x)?0
;对于
2
11
?
②
f'(x)??2,f''(x)??
2
,在
x?(0,)
上,恒有
f''(x)?0
;对于
x2
x
③
f'(x)??3x
2
?2
,
f''(x)??6x
,在
x?(0,)
上,恒有
f''(x)?0
;对于④
f'(x)?e
x
?xe
x,
2
?
?
?
f''(x)?e
x
?e
x
?xe
x
?2e
x
?xe
x
,在
x? (0,)
上,恒有
f''(x)?0
,故填①②③.
2
k|x|< br>3.设函数
f(x)
的定义域为
R
,若存在常数
k?0
,使
|f(x)|?
对一切实数
x
均成立,则
2010
称
f(x)
为“海宝”函数.给出下列函数:
x
2x
①
f( x)?x
;②
f(x)?sinx?cosx
;③
f(x)?
2;④
f(x)?3?1
.
x?x?1
其中
f(x)
是“海宝”函数的序号为 .
k|x|k
2
?|x|(|x|?)?0
.若
x?0
,则解 析:对于①,假设存在常数
k?0
,则
|x|?
20102010
k ?2010|x|
对一切实数
x
均成立,
k
不存在.
?< br>k|x|
对于②
|sinx?cosx|?|2sin(x?)|?
,即
k|x|?2
对一切实数
x
均成立,
k
不存
42010< br>在.
对于③
|
x
|?
x
2
?x?1
|x|4|x|k|x|
,若
x?0
,则
k?2680
.
k
存在.
??
1
2
3
32010
|(x?)?|
24

对于④
|3?1|?1?
x
k|x|
? k|x|?2010
对一切实数
x
均成立,
k
不存在.
2010
故填③.
4.设函数
f(x)
定义域为
D
,若满足①
f(x)
在
D
内是单调函数;②存在
[a,b]?D< br>使
f(x)
在
[a,b]
上的值域为
[a,b]
,那 么就称
y?f(x)
为“成功函数”.
(1)若函数
g(x)?loga
(a
2x
?t)
(a?0,a?1)
是定义域为
R< br>的“成功函数”,则
t
的取值范围
为 .
a
x
?a?3
(2)若
f(x)?
(a?0,a?1)
是定义 域为
R
的“成功函数”,则
a
的取值范围为
lna
.
x?2
是“成功函数”,则实数
k
的取值范围为 .
解析:(1)依题意,函数
g(x)?log
a
(a
2x
?t)
(a?0,a?1)
在定义域
R
为单调递增函数,且
t?0
,而
t?0
时,
g(x)?2x
不满足条件②,∴
t?0< br>,设存在
[m,n]
,使得
g(x)
在
[m,n]
上 的
(3)若函数
f(x)?k?
2m
2mm
?
?
l og
a
(a?t)?m
?
?
a?t?a
x2x
m, n
?
值域为
[m,n]
,∴
?
,∴是方程
(a)? a?t?0
的
?
2n2nn
?
?
?
a?t?a?
log
a
(a?t)?n
1
两个不等实根,∴
??1 ?4t?0
,解得
0?t?
.
4
a
x
?a?3< br>?x
有两个不等实根.即
a
x
?xlna?a?3?0
有(2 )
f(x)
为成功函数
?f(x)?
lna
两个不等实根.令
g(x)?a
x
?xlna?a?3
,∴
g'(x)?a
x
lna?lna?(a
x
?1)lna
,
令
g'(x)?0?x?0
.
①当
a?1
时,
x ?0
时,
g'(x)?0
;
x?0
时,
g'(x)?0,∴
g(x)
min
?g(0)?1?a?3?0

?a?2
,∴
1?a?2
.
②当
0?a?1
时,
x?0
时,
g'(x)?0
;
x?0
时,
g'(x )?0
,
∴
g(x)
min
?g(0)?1?a?3?0
,∴
0?a?1
.
综上:
a?(0,1)?(1,2)
.
(3)∵
f(x)?k?x?2
是增函数,若
f(x)?k?x?2
是成功 函数,则存在实数
?
f(a)?a
?
?
a?k?a?2
a ,b(?2?a?b)
,使
?
?
?
,∴
a,b
为方 程
x?k?x?2
的两个实
?
?
f(b)?b
?
b ?k?b?2
数根,从而方程
k?x?x?2
有两不等实根.令
x?2?t< br>,则
k?t
2
?t?2(t?0)
.
199
当t?0
时,
k??2
;当
t?
时,
k??
.当
??k??2
时.直线
y?k
与曲线
44
2
y? t
2
?t?2(t?0)
有两个不同交点,即方程
k?t
2
?t?2(t?0)
有两个不等实根,故实数
k
9
的取值范围是
(? ,?2]
.
4
5.已知
f(x)
是定义在
R
上的 函数,
f(1)?10
,且对于任意
x?R
都有
f(x?20)? f(x)?20
,
f(x?1)?f(x)?1
,若
g(x)?f(x)?1 ?x
,则
g(10)?
.
解析:由
g(x)?f( x)?1?x
知
f(x)?g(x)?x?1
,从而有
g(x?20)?(x ?20)?1

?g(x)?x?1?g(x?20)?g(x)
.
g(x? 1)?(x?1)?1?g(x)?x?1?1

?g(x?1)?g(x)
,则由< br>g(x)?g(x?20)?g(x?19)???g(x?1)
.
得
g(x )?g(x?1)
,即
g(x)
是周期为1的函数,
g(1)?f(1)?1 ?1?10
,
g(10)?10
.

6.若定义在
[ ?2010,2010]
上的函数
f(x)
满足:对于任意
x
1,x
2
?[?2010,2010]
,
有
f(x
1< br>?x
2
)?f(x
1
)?f(x
2
)?2009.设
f(x)
的最大值、最小值分别为
M,N
,则
M?N
的值为 .
解析:令
x
1
?x
2
?0
,则
f(0)?2f(0)?2009?f(0)?2009
,
令
x
1
?x,x
2
??x
,则
f(x?x)?f (x)?f(?x)?2009?f(x)?f(?x)?2?2009
,
∴
f(? x)?2009??(f(x)?2009)
,∴
f(x)?2009
为奇函数,∴函 数
f(x)?2009
关于原
点
(0,0)
对称,函数
f( x)
关于点
(0,2009)
对称.又设
?2010?x
1
?x
2
?2010
,不妨设
x
2
?x
1
?h(h?0)
,
f(h)?2009
,则
f(x
2
)?f (x
1
)?f(h)?2009?f(x
1
)
,∴
f(x)
在
[?2010,2010]
上单调递增,故
M?N?f(2010)?f( ?2010)?2009?2?4018
.
a
x
7.设函数
f(x )?
x
(a?0,a?1)
,
[m]
表示不超过实数
m的最大整数,则函数
a?1
11
[f(x)?]?[f(?x)?]
的值域是 .
22
解析:
1111111111
[f(x)?]?[f(?x)?] ?[1?
x
?]?[
x
?]?[?
x
]?[?(?
x
)]
222222
a?1a?1a?1a?1
1111111111
?(0,1)
,则
x
??(?,)
,∴当
x
??(?,0 )
时,
[?
x
]?0
, ∵
x
2222
a ?1a?1a?1
2
a?1
2
11111111
[
x
?]??1
,当
x
??0
时,
[?
x
]?[x
?]?0
,
2
a?1a?1
2
a?1
2< br>a?1
2
1111111
??(0,)
时,
[?
x< br>]??1
,
[
x
?]?0
, 当
x
22a?1a?1
2
a?1
2
11
∴
[f(x)?]?[f (?x)?]
的值域是
{?1,0}
.
22
8.记集合
T ?{0,1,2,3,4,5,6}
,
M?{7
3
?a
1
? 7
2
?a
2
?7a
3
?a
4
|a
i
?T,i?1,2,3,4}
,将
M
中的元素按从大到小的顺序排列,则第 2010个数是( )
A.
7?0?7?6?7?6
B.
7?0?7?5?7?6

C.
7?2?7?3?7?6
D.
7?0?7?6?7?5

解析:用
[a
1
a
2
?
a
k
]
p
表示
k
位
p
进制,则集合
3232
3232
M?{7
3
?a
1?7
2
?a
2
?7a
3
?a
4
|a< br>i
?T,i?1,2,3,4}?{[a
1
a
2
a
3
a
4
]
7
|a
i
?T,i?1,2,3,4},
M
中的最大数为
[6666]
7
?[2400]
1 0
,在十进制中,从2400起从大到小顺序排列的第2010个数
字是
2400?2 009?391
,而
[391]
10
?[1066]
7
,则
M
中的数为
7
3
?0?7
2
?6?7?6
.故选A.
9.已知集合
A?{x|x?a
0
?a
1
?7 ?a
2
?7
2
?a
3
?7
3
}
, 其中
a
i
?{0,1,2,3,4,5,6}
,
i?0,1,2, 3,
且
a
3
?0
.若正整数
m,n?A
,且
m?n?2010
,
m?n
,则符合条件的正整数
m
有 个.
解析:用
[a
k?1
a
k
?
a
0< br>]
p
表示
k
位
p
进制,则集合
A?{x|x ?a
0
?a
1
?7?a
2
?7
2
?a3
?7
3
}

]
7
?[2400]
1 0
,且
a
3
?0
,则最小
?{[a
3
a< br>2
a
1
a
0
]
7
|a
i
? T,i?0,1,2,3}
,
A
中的最大数为
[6666
,344, ?,2400}
,若正整数
m,n?A
,且
m?n?2010
,m?n
, 值为
7?343
,∴
A?{343
则
n?3 43
时,
m?1667
,则
n?1004
,∴符合条件的正整数m
有
1004?342?662
个.
10.如果对任意一个三角形,只 要它的三边长
a,b,c
都在函数
f(x)
的定义域内,就有
f(a )
,
3
f(b),f(c)
也是某个三角形的三边长,则
f(x)
均为“
V
型函数”.则下列函数
:①
f(x)?x
;②g(x)?sinx,x?(0,
?
)
;③
h(x)?lnx,x?[2 ,??)
,其中是“
V
型函数”

的序号为
.
解析:设
a?b?c?0
,且
a?b?c
,则(1)
a ?b?c
,
∵
(b?c)
2
?(a)
2
?b?c ?2bc?a?0
,∴
a?b?c
,选①;
(2)
lna?lnb ?lnc,lnb?lnc?lnbc
,
a?b?c?lna?ln(b?c)?lnbc,
∴
lna?lnb?lnc
,∴选③.
?
5
?< br>11
?
11
,c?
(3)
a?,b?
,∴
a ,b,c
能构成三角形的三边,
sina?1,sinb?,sinc?
,
261222
sina?sinb?sinc
,∴
sina,sinb,sinc不能构成三角形的三边,∴不选②.
11.已知函数
f(x)?ax
3
?bx
2
?cx?d(a?0)
,当
0?x?1
时,
|f' (x)|?3
,试求
a
的最大值.
?
f'(0)?c
?< br>1
1
3
?
2
解析:
f'(x)?3ax?2bx?c
,由
?
f'()?a?b?c
,得
3a?2f'(0)?2f'(1 )?4f'()
.
2
4
?
2
?
?
f'( 1)?3a?2b?c
11
22
又已知当
f(x)?8x
3
?6x
2
?24x?m(m
为常数)满足题设条件,∴
a
的最大值为
8
.
12.对给定的整数
m
,符号
?
(m)表示
{1,2,3}
中使
?
(m)
中
m
能被3 整除的唯一值,
那么
?
(2
2010
?1)?
?
(2
2010
?2)?
?
(2
2010
?3)?
.
解析:由二项式定理知,
2
2010
?4
1005
?( 3?1)
1005
?3p?1
,即
2
∴
?
(22010
?1)?3,
?
(2
2010
?2)?1,
?
(2
2010
?3)?2
,
故
?
(2
2 010
?1)?
?
(2
2010
?2)?
?
(2< br>2010
?3)?6
.
13.设
f(x)
的定义域为
R
,若存在常数
M?0
,
|f(x)|?M|x|
对一切实数都成 立,则称
2010
∴
3|a|?|2f'(0)?2f'(1)?4f'()|?|2 f'(0)|?|2f'(1)|?|4f'()|?24
,∴
a?8
.
被3除余1,
f(x)
为“倍约束函数”,给出下列函数:
?
x ?2
x
,x?0
x
①
f(x)?
2
;②
f (x)?
?
;③
f(x)?x
2
;④
f(x)
是定 义在
R
上的
x?2x?4
?
f(x?1),x?0
奇函数, 且满足对一切实数
x
1
,x
2
,均有
|f(x
1< br>)?f(x
2
)|?2|x
1
?x
2
|
成立 .
其中为“倍约束函数”的有 个.
解析:①当
x?0
时,
|f(x)|?M|x|
对于任意的
M?0
恒成立;当
x?0
时,
x1
|?M|x|M?
, ∴,故①为“倍约束函数”;②当
x?0
时,
3
x
2
? 2x?4
|f(x)|?M|x|
对于任意的
M?0
恒成立;当
x? 0
时,
|x?2
x
|?M|x|
,
M?2
x
,
对任意的
M?1
均成立;当
0?x?1
时,
f(x) ?f(x?1)?(x?1)?2
x?1
,∴
|f(x)|?M|x|
, < br>1
x?1
∴
|(1?)?2|?M
,实数
M
不存在, 故②不是“倍约束函数”;③当
x?0
时,
x
|f(x)|?M|x|恒成立;当
x?0
时,
x
2
?M|x|
,∴
M ?|x|
,不存在满足题意的
M
,故③不
是“倍约束函数”;④当
x
2
?0
时,∵
f(x)
为
R
上的奇函数,∴
f(0)?0
,
∴
|f(x
1
)|?2|x
1
|
,∴
M?2
,故④是“倍约束函数”.故填2.
|f(x)|?|