2015年高中数学竞赛试题精选及答案

已知
ABCD?A
1
BCO
1
是底面
A
1
B
1
C
1
D
1
的中心，
M11
D
1
是一个棱长为1的正方体，是棱
BB
1
上的点，且
S
△DBM
:S
△O
1
B
1
M
?2:3
，则四面体
O
1
ADM
的体积为
7

48






（江苏2007夏令营）

在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，P是侧面
BB
1
C
1
C
内一动点，若P到直线BC与直线C
1
D
1
的距离相
等，则动点P的轨迹所在的曲线是抛物线
已知
x
为锐 角，则
sin
3
x?cos
3
x?
2
2
是
x?
?
4
的（充要条件）
同信一寝室的四名女生，她们当中有一人 在修指甲，一人在看书，一人在梳头发，另一人在听音乐。①A
既不在修指甲，也不在看书；②B既不在 听音乐，也不在修指甲；③如果A不在听音乐，那么C不在修指
甲；④D既不在看书，也不在修指甲；⑤ C既不在看书，也不在听音乐。若上面的命题都是真命题，问她们
各在干什么？答：ABCD分别在听音 乐；看书；修指甲；梳头发
已知
tan
?
且
3(
则
?
?
?
?3(1?m)
，
tan
?
?tan?
?m)?tan
?
?0,
?
,
?
为锐角，的 值为
?

3
1?cos20?
?sin10?(cot5??tan 5?)?
?cos30??
3

2sin20?
2
函数f(x)?x
4
?ax
3
?bx
2
?cx?d
，若
f(1)?1,f(2)?2,f(3)?3
，那么
f(0)?f(4)
的
1
2
B?C
?cos2A
的。（1）求
sin
3 2
值为（28 ）
在
?ABC
中，角A、B、C所对的边分别为
a ,b,
值；（2）若
a
若
m
、
n?
c
，且
cosA?
（-19； 94）
?3
，求
bc
的最大值。
?
xx?a
2
1，2
，并且
?10
2
? a
1
?10?a
0
?
，其中
a
i
?
?
12，，3，4，5，6，7
?
，
i?0，
m?n?636，则实数对
(m,n)
表示平面上不同点的个数为（ 90 ）
圆锥曲线
斜三棱柱
x
2
?y
2
?6x?2y?10?|x? y?3|?0
的离心率是
2
.
ABC?A
1
B
1
C
1
中，面
AAC
11
C
是菱形，
?A CC
1
?60?
，侧面
ABB
1
A
1
?A AC
11
C
，
15

5
ABC
的距离. （1）
AA
（2）求点
A
A
1
B?AB?AC?1
.求证：
1
?BC
1
；
1
到平面
满足
y? x?3?x?2007
的正整数数对（x，y）恰有两对
f(x)?xf(x)
是设 集合M={-2，0，1}，N={1，2，3，4，5}，映射f：M
?
N使对任意的x∈M ，都有
x?
奇数，则这样的映射f的个数是（45）
将一个三位数的三个数字顺序颠 倒，将所得到的数与原数相加，若和中没有一个数字是偶数，则称这个数
为“奇和数”。那么，所有的三 位数中，奇和数有（ 100 ）个
设
53
2
a
n
? 2](n?N
?
)
a
1
?6
，
a
n?1< br>?[a
n
?
44
，其中[x]表示不超过x的最大整数。则
a
1
?a
2
?????a
2007
的个位数字为（ 2 ）
a
n
?5?2
n?1
?1

设a
1，a
2
，…，a
2007
均为正实数，且
1111
?? ?????
，则
a
1
a
2
???a
2007
的最小
2?a
1
2?a
2
2?a
2007
2

值是 。
4012
2007

将 号码分别为1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中摸
出一个球，其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式a?2b+10>0成立的
事件发生的概率等于（
61
）
81
设函数f(x)=3si nx+2cosx+1。若实数a、b、c使得af(x)+bf(x?c)=1对任意实数x恒成立，则
于 ?1
bcosc
的值等
a
. 将2个a和2个b共4个字母填在如 图所示的4X4（16）个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，
若使相同字母既不同行也不同列， 则不同的填法共有 3960 种
设
a
n
?
?
1
，求证：当正整数n≥2时，a
n+1
n
(07
全国
)
k(n?1?k)
k?1
n
数812934756是一个包含1 至9每个数字恰好一次的九位数，它具有如下性质：数字1至6在其中是从小
到大排列的，但是数字1至 7不是从小到大排列的．这样的九位数共有432 个．
一个三角形的最短边长度是1，三个角的正 切值都是整数，则该三角形的最长边的长度为
3
5
5

正三棱锥底面一个顶点与它所对侧面重心的距离为8，则这个正三棱锥的体积的最大值为144
对每一个正整数
k
，设
a
k
集合
S
11
?1???
，则
(3a
1
?5a
2
?7a
3
???99a
49
)?2500a
49
=－1225
2k
?
?
1,2,3,4,5,6,7
?
的五元子集共有21个，每个子集的数 从小到大排好后，取出中间的数，则所
有这些数之和是（ 84 ） （07福建）
已知< br>f(x)?sin2x?2sinx
，
g(x)?3x?
1
，若对任意
x
1
,x
2
?(0,??)
恒有
f(x
1
)?g(x
2
)?m
，
4x
试求
m
的最大 值．
3

2

（07吉林）
D
25
132（07陕西）
0
3
815


3
若实数
x,y
满足：
xyxy
101033
，则
x?y?2?3?5?6
??1,??1
1
2?52?63?53?6
抛物 线顶点为
O
，焦点为
F
，
M
是抛物线上的动点，则
过直线
l
：
MO
MF
的最大值为
23

3
y?x?9
上的一点
P
作一个长轴最短的椭圆，使其焦点为
F
1
?
?3,0
?
,F
2
?
3,0?
，则椭圆
22
的方程
x
?
y
?1

4536
数列
?
a
n
?
满足：
a?
1
,a
1
2
n?1
?
na
n
；令
x
k
?
n?1
??
na
n
?1
?
?a
1
?a
2
??a
k
,

11
y
k
???
a
1
a
2
15、若四位数
n
1
?,k?1,2,
a
k
；求
?
xy
k
k?1
n
k
?
n
?
n?1
?
?< br>3n
2
?11n?4
?
36

?abcd
的 各位数码
a,b,c,d
中，任三个数码皆可构成一个三角形的三条边长，则称
n为
四位三角形数，试求所有四位三角形数的个数．
9?304?984?384?1681

方程
3
(x?1)(x?4)?3
(x?2)(5?x)?6
的实数解的个数为 0
?b
，实数x,y
满足
x?y?4(x?a?y?b)
，若
x?y
的最大值 为40，已知
a,b
为正整数，
a
则满足条件的数对
(a,b)的数目为 5
6．过四面体
ABCD
的顶点
D
作半径为
1
的球，该球与四面体
ABCD
的外接球相切于点
D
，且与平面< br>ABC
相切。若
AD?23,?BAD??CAD?45?,?BAC?60?
，则四面体
ABCD
的外接球的半
径
r
为 3
．设集合< br>A?
?
a
1
,a
2
,a
3
,a4
,a
5
?
,B?
?
a
1
2
,a
2
2
,a
3
2
,a
4
2
,a
5
2
?
，其中
a
1
,a
2
,a< br>3
,a
4
,a
5
是五个不同的
若
AB
中所有元素的和为
246
，
?a
2
?a
3
?a< br>4
?a
5
,AB?
?
a
1
,a
4< br>?
,a
1
?a
4
?10
，正整数，
a
1
则满足条件的集合
已知数列
使得
2008
在
(2?A
的个数为 2
?
a
n
??
n?0
?
满足
a
0
?0,a
1
?1
，对于所有正整数
n< br>，有
a
n?1
?2a
n
?2007a
n?1
，求
（2008）07天津
a
n
成立的最小正整数
n
。< br>x)
2n?1
的展开式中，
x
的幂指数是整数的各项系数之和为（
(3
2n?1
?1)
）
?a
2
,a
3
?a
2
,

12
在1，2，3，4，5的排列
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
中，满足条件
a
1
a< br>3
?a
4
,a
5
?a
4
的排列个数是（16 ）
在三角形
ABC
中，已知三个内角
A、B、C
成等差数列，设他 们所对的边分别是
a、b、c
，并且
c?a
等于
AC
边上的 高
h
，则
sin
C?A1
?
22
2

AP
y
2
?2
. 则P点的轨迹
?1
交于A、B两 点，P为线段AB上的点，且斜率为1的直线与椭圆
x?
PB
4
方程是_4x?y?
2
5?(y?x)
2

(y?x?
3
5)

一枚均匀的硬币掷十次，没有连续出现正面向上 的概率是_
a、b、c为正实数，试证明：
9
64
c

a< br>a
2
?9bc
?
b
b
2
?9ca
?
c
2
?9ab
?
3

10
设
f( x,y,z)?sin
2
(x?y)?sin
2
(y?z)?sin
2
(z?x)
，
x,y,z?R
，求
f(x,y,z)
的最 大值
9
4
（07浙江）