高中数学-椭圆经典练习题-配答案

1
=
a
，
2
15
153
即AB中点横坐标为
a
，又左准线方程为
x??a，∴
a?a?
，即
a
=1，∴椭圆方程
4
4
4 42
22
为
x
+
25
y=1．
9
18．（10分）根据条件，分别求出椭圆的方程：
（1）中心在原点，对称轴为坐标轴，离心率为
1
，长轴长为
8
；
2
x
2
y
2
y
2
x
2
? ?1
或
??1
（1）
16121612
（2）中心在原点，对称轴 为坐标轴，焦点在
x
轴上，短轴的一个顶点
B
与两个焦点
F
1
,F
2
x
2
y
2
??1
2
?< br>41
组成的三角形的周长为
4?23
，且
?F
1
BF
2
?
。
3
x
2
y
2
??1(0 ?b?10)
的左、19．（12分）已知
F
右焦点，
P
是椭圆上一 点。
1
,F
2
为椭圆
100b
2
（1）求
|PF
1
|?|PF
2
|
的最大值；（2）若
?F
1
PF
2
的面积为
1
PF
2
?60
且< br>?F
2
643
，求
b
的
3
值；
?
|PF
1
|?|PF
2
|
?
，
|PF
1
||PF
2
|?
??
?100
（当且仅 当
|PF
1
|?|PF
2
|
时取等号）
2
??

?
?
PF
1
|?|PF
2
|
?
max
?100

（2）
S
?F
1< br>PF
2
?
256
1643
|PF
1
|?|P F
2
|?
，
?
①
|PF
1
|? |PF
2
|sin60?
3
23
?
|PF
1
|
2
?|PF
2
|
2
?2|PF
1
|? |PF
2
|?4a
2
2
又
?
②
?3 |PF|?|PF|?400?4c
12
222
?
|PF
1
|?|PF
2
|?4c?2|PF
1
|?|PF
2
|cos 60
由①②得
c?6?b?8

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）
53
2．若椭圆的两焦点 为（－2，0）和（2，0），且椭圆过点
(,?)
，则椭圆方程是 （ D ）
22
222222
22
yxyxyx
A．
?
B．C．?
D．
x
?
y
?1

?1

??1

?1

8410648
106
22
3．若方程
x
+ky=2表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围为 （ D ）
A．（0，+∞） B．（0，2） C．（1，+∞） D．（0，1）
4．设定点F
1
（0，－3）、F
2
（0，3），动点P满足条件
P F
1
?PF
2
?a?(a?0)
，则点P的
轨迹是
A．椭圆

B．线段 C．不存在
（ D ）
D．椭圆或线段
9
a

x
2
y
2
x
2
y
2
5．椭圆
2
?
2
?1
和
2
?
2
?k
?
k?0< br>?
具有 （ A ）
ab
ab
A．相同的离心率 B．相同的焦点 C．相同的顶点 D．相同的长、短轴
6．若椭圆两准线间的距离等于焦距的4倍，则这个椭圆的离心率为 （ D ）
A．
1

4
B．
2

2
C．
2

4
D．
1

217
x
2
y
2
7．已知
P
是椭圆
?? 1
上的一点，若
P
到椭圆右准线的距离是，则点
P
到左焦点
2
10036
的距离是 （ B ）
6677
16
75
A． B． C． D．
5
588

到定点距离与到定直线的距离的比等于定值e (0(
x
2
y
2
8．椭 圆
??1
上的点到直线
x?2y?2?0
的最大距离是
164

D．
10

（ D ）
A．3

B．
11
C．
22

试题分析：
x< br>2
y
2
∵椭圆方程+=1，可设椭圆上任意一点P坐标（4cos
?< br>，2sin
?
）
164
?
π
?
42sin< br>?
?
+
?
-2

4cos
?
+2? 2sin
?
-2
4
??
∴P到直线x+2y-2=0的距离d==< br>5
1+2
2
?
π
?
∵-42≤42sin
?
?
+
?
≤42，∴0≤d≤10
4
??
x
2
y
2
+=1
相切的点取到最大值或方法二：由题意只需求于直线
x +2y-2=0
平行且与椭圆
164
最小值
x
2
y
2
+=1
设此直线为
x+2y+c=0< br>,
x=-2y-c
代入
164
22
化简得
8y+4c y+c-16=0

?=
?
4c
?
-4?8?
?< br>c
2
-16
?
=0

2
解c=?42

两直线的距离
d
max
=
-42-2
1+2
2
=10

x
2
y
2
9．在椭圆（1，－1），F为椭圆右焦点，在椭圆上有一点M，使|MP|+2|MF|
?? 1
内有一点P
43
的值最小，则这一最小值是 （ C ）
A．
57
B．
22
C．3 D．4

解：由已知，椭圆的离心率e=
1
2
a
2< br>由椭圆的第二定义，到定点（焦点）距离与到定直线（准线）的距离的比
c
等于定值e
?
0?e?1
?
的点的轨迹叫椭圆。可知2MF?MN(M点到准线距离)< br>
所以MP?2MF的最小值，就是由P作PN垂直于椭圆的准线于N。
a
2< br>PN的长即为所求。椭圆右准线方程x==4
c
MP?2MF的最小值：4-1=3.< br>x
2
10．过点M（－2，0）的直线m与椭圆
?y
2
?1< br>交于P
1
，P
2
，线段P
1
P
2
的 中点为P，设直线
2
m的斜率为
k
1
（
k
1
?0
），直线OP的斜率为k
2
，则k
1
k
2
的 值为 （ ）
A．2
1

2
解析：设过M（-2,0）的 直线方程为y=k（
1
x+2）
B．－2 C．D．－
1
2

代入椭圆方程整理得（2k
1
2
+1）x
2
?8k
1
2
x?8k
1
2
?2?0
-8k
1
2< br>-4k
1
2
∴x
1
+x
2
=，∴P的横坐标
2k
1
2
+12k
1
2
+1
2k
1
-4k
1
2
2k
1
P的纵坐标为k（x+2)?得（P， ）
11
2k
1
2
+12k
1
2
+12k< br>1
2
+1
OP斜率k
2
=
-11
，k
1
k
2
=-
2k
1
2

二、填空题（本题共4小题，每小题6分，共24分）
1
y
2
x< br>2
11．离心率
e?
，一个焦点是
F
?
0,?3?
的椭圆标准方程为
??1
.
2
3627
x
2
y
2
2 2
12．与椭圆4
x
+ 9 y = 36 有相同的焦点,且过点(－3，２)的椭圆方程为_
??1
___．
1510
13．已知
P
?
x,y
?
x
2
y
2是椭圆
??1
上的点，则
x?y
的取值范围是__
[?13,1 3]
____ ．
14425
14．已知椭圆Ｅ的短轴长为6，焦点Ｆ到长 轴的一个端点的距离等于９，则椭圆Ｅ的离心率
等于____
4
_
5
高考及模拟题：

1. (文科)已知椭圆的长轴长是短轴长的2倍，则椭圆的离心率等于( B )
123
A. B. C.2 D.
222
2． (理科)如果一个椭圆的长轴长是短轴长的2倍，那么这个椭圆的离心率为( B )
A.
5321
B.C.D.
4222

x
2
y
2
→
2
3．若椭圆
2
＋
2
＝1 (
a
>
b
>0)的左、右焦点分别为
F
1
、
F
2
，抛物线
y
＝2
bx
的焦点为
F
. 若
F
1
F
＝
ab
→
3
FF
2，则此椭圆的离心率为( B )
1213
A.B.C.D.
2233
→→
4．已知
F
1
、
F
2
是椭圆的两个焦点，满 足
MF
1
·
MF
2
＝0的点
M
总在椭圆内 部，则椭圆离心率的
取值范围是( C )
1
2
??
2
? ?
A．(0,1)B．(0，]C.
?
0，
?
D.
?
，1
?

2
2
??
2
??
解：由向量垂 直可知M点轨迹是以原点为圆心，半径等于半焦距的圆。所以圆在椭圆内部，
c
2
12

c＜b，即c＜a-c，解e=
2
＜，所以0＜e＜
a22
2222
x
2
y
2
5．过椭圆
2
＋
2< br>＝1(
a
＞
b
＞0)的左焦点
F
1
作
x
轴的垂线交椭圆于点
P
，
F
2
为右焦点，若∠
F
1
PF
2
ab
＝60°，则椭圆的离心率为( B )
A.
2311
B.C.D.
2323
7
6．(2008年 全国卷Ⅰ)在△
ABC
中，
AB
＝
BC
，cos
B
＝－.若以
A
，
B
为焦点的椭圆经过点
C
，
18
3
则该椭圆的离心率
e
＝____._______.(余弦定理)
8
x
2
y
2
7．(2009年田家炳中学模拟)设椭圆2
＋
2
＝1(
a
>
b
>0)的四个顶点分别为
A
、
B
、
C
、
D,
若菱形
ab< br>ABCD
的内切圆恰好经过椭圆的焦点，则椭圆的离心率为_（只能求出e的平方）______ _．
解：设A(a，0），B（0，b）
xy
则直线AB的方程为+=1，由内切圆 恰好经过交点得
ab

ab
原点到直线距离：=c
a
2+b
2
整理得a
4
-3a
2
c
2
+c
4
=0，即e
4
-3e
2
+1=0，解得e
2=
∵0＜e＜1，所以e=
5-1
2
3?5
2
x
2
y
2
8．(2008年江苏卷)在平面直角坐标系中，椭圆
2
＋
2
＝1(
a
>
b
>0)的焦距为2，以
O
为圆心，
ab
a
2
?
2
?
a
为半径作圆， 过点
?
，0
?
作圆的两切线互相垂直，则离心率
e
＝___ _____.（利用45
2
?
c
?
度的余弦值求e）