高中数学(三角函数)练习题及答案

第一章 三角函数
一、选择题

1．已知

为第三象限角，则


2
所在的象限是 ( ) ．


A．第一或第二象限

B．第二或第三象限
C．第一或第三象限

D．第二或第四象限
2．若 sin θcos θ＞ 0，则 θ在
(

) ．

A．第一、二象限

B．第一、三象限
C．第一、四象限

D．第二、四象限
3． sin
4π
cos

5π
tan

－
4π
＝ ( ) ．


3

6

3

A．－
3 3


B ．
3

3

C．－
3
4

4

4

4．已知 tan θ＋


1
＝ 2，则 sin θ＋ cos θ等于 ( ) ．



tan

A． 2

B ． 2

C．－
2
5．已知 sin x＋ cos x＝
1
( 0≤ x＜ π)，则 tan x 的值等于 (
) ．

5

A．－
3

B．－
4

C．
3

4

3

4

6．已知 sin

＞ sin
，那么下列命题成立的是
(
) ．

A．若 ，

是第一象限角，则

cos
＞ cos

B．若 ，

是第二象限角，则

tan
＞ tan

C．若 ，

是第三象限角，则

cos
＞ cos

D．若 ，

是第四象限角，则

tan
＞ tan

7．已知集合 A＝ { |

＝2kπ±
2
π
， k∈ Z } ， B＝ { | ＝ 4kπ±
2
π
，

π

3

3
{ γ|γ＝kπ±
2
， k∈Z} ，则这三个集合之间的关系为 (
) ．

3

A．ABC

B．BAC C．CAB
8．已知 cos( ＋ ) ＝ 1， sin
＝
1
，则 sin
的值是 ( ) ．

3

第 1页共8页
D ．
3
4
D．± 2
D ．
4
3
∈Z } ， C＝
D．BCA










k

A．
1




B．－
1

C．

2 2

D．－
) ．


2 2

3

3
5π



3
π
4

4


3




9．在 ( 0， 2π) 内，使 sin x＞ cos x 成立的 x 取值范围为 (
A．
π π

， ∪ π，







B．

，π

4 2

π 5 π
C．
4









，

π

D． ，π

∪
5π 3π
，
4 4

10．把函数 y＝ sin x( x∈ R) 的图象上所有点向左平行移动

π
3

4 2

个单位长度， 再把所得图象

上所有点的横坐标缩短到原来的

1

倍 ( 纵坐标不变 ) ，得到的图象所表示的函数是 (








，
) ．








A． y＝ sin
2x － ， x∈ R
3

π
C． y＝ sin
2x ＋ ， x∈R
3

二、填空题

2
π

2


＋ ， x∈R
2 6

2
π
D． y＝ sin 2x＋ ， x∈ R
B．y＝ sin






x

π
3

11．函数 f( x) ＝ sin

x＋ 3 tan x 在区间

π π
4 3

上的最大值是





．


π
， ≤ ≤ π，则 tan
＝

12．已知 sin ＝
．

5 2

π
3
13．若 sin
π
＋

＝ ，则 sin －
＝ ．

2 5 2

π
π
x＋ ( ω＞ 0)
的图象向右平移
14．若将函数 y＝ tan
4 6

π
tan x＋ 的图象重合，则
ω的最小值为

．

6

2

5





个单位长度后，与函数
y＝






15．已知函数

f( x) ＝ ( sin x＋ cos x) －
11

2
| sin x－ cosx| ，则 f( x) 的值域是

．
2

16．关于函数 f( x) ＝4sin

2x ＋ ， x∈ R，有下列命题：
3
π
①函数 y = f( x) 的表达式可改写为 y = 4cos 2x － ；
6

π
②函数 y = f( x) 是以 2π为最小正周期的周期函数；






③函数 y＝ f( x) 的图象关于点 ( －

6
， 0) 对称；
④函数 y＝ f( x) 的图象关于直线 x＝－

6
其中正确的是 ______________．
对称．













第 2页共8页

三、解答题



































17．求函数 f( x) ＝ lgsin x＋

2 cos x

1 的定义域．
18．化简：

－ (
( 1)
tan


sin 180

＋)＋(－)－(



( ＋



( 2)




























































(
＋
) (
－

)
nπ
sin

nπ cos

sin
( ＋

) ＋ ( －

nπ
sin

180
)＋ (－)＋ (
cos

sin tan 360


＋ )



)
cos180

n
π
－ )
；


( n∈ Z ) ．







第 3页共8页

π
19．求函数 y＝ sin 2x－ 的图象的对称中心和对称轴方程．
6
20．( 1) 设函数 f( x) ＝
sin x
＋

a
( 0＜ x＜π) ，如果 a＞ 0，函数
sin x

(小)值；
( 2) 已知 k＜ 0，求函数

y＝ sin
2
x＋ k( cos x－ 1) 的最小值．
第 4页共8页
f( x) 是否存在最大值和最







































小值，如果存在请写出最大

参考答案



一、选择题

1．D









解析： 2kπ＋ π＜ ＜ 2kπ＋ π， k∈ Z kπ＋

3
＜
2 2

＜ kπ＋
π， k∈ Z．
2 4


3
2． B

sin θcos θ＞0，∴ sin θ， cos θ同
解析：∵
号．

当 sin θ＞ 0， cos θ＞ 0 时， θ在第一象限；sin θ＜ 0， cos θ＜ 0 时， θ在第三象
当 限．
3．A






解析：原式＝




sin
π
3
cos
π
6
tan
π
3

＝－
3 3
．
4
4．D
解析： tan θ＋

1
＝
sin
＋
cos
＝
tan
cos sin

1
sin cos
＝2， sin
cos ＝ ．
2



1
( sin θ＋ cos θ)
2
＝ 1＋ 2sin θcos θ＝ 2． sin
＋ cos ＝± 2．
5． B

x

1
sin ＋ cos ＝

x






解析：由

得 25cos
2
x－ 5cos x－ 12＝ 0．
5
sin
2
x＋ cos
2
x＝1



解得 cos x＝ 或－ ．
5 5
又 0≤x＜ π，∴ sin x＞0．
若 cos x＝ ，则 sin x＋ cos x≠ ，
5

5
43
41

∴ cos x＝－ ，sin x＝ ，∴ tan x＝－ ．

344
5

5

3


6．D
解析：若
















，
是第四象限角，且 sin ＞ sin
，如图，
，

的终边，故选

D． 利用单位圆中的三角函数线确定

(第6题`)
第 5页共8页

7． B



解析：这三个集合可以看作是由角±

2
π
的终边每次分别旋转一周、两周和半周所得到
3
的角的集合．


8． B

解析：∵

cos(

＋ ) ＝ 1，

∴


＋ ＝ 2kπ， k∈ Z．




∴ ＝ 2kπ－ ．

∴ sin ＝sin( 2k π－ ) ＝ sin( － ) ＝－ sin
＝－

1
3

．



9． C

解析：作出在 ( 0， 2π) 区间上正弦和余弦函数的图象，解出两交点的横坐标










和
4


5
4



，
由图象可得答案．本题也可用单位圆来解．
10．C


解析：第一步得到函数
y＝ sin
x








2
π
的图象，第二步得到函数

y＝ sin
2x



















π
3
的图象．

















3

二、填空题

15
．
11．
4














解析： f( x) ＝ sin


2
π
π π π
15
3
tan x

在
，
上是增函数，
f( x) ≤sin x＋ ＋ 3 tan
＝
．

4 3

3 3 4

12．－ 2．


























解析：由 sin
＝






2 5
5

π
，
2
≤ ≤ π cos ＝－





5
，所以 tan









＝－ 2．






5


13．
3
．

5




解析： sin
π
＋

＝
，即 cos
＝
，∴ sin
π
－
5 5 2

2

14．．

3 3

1
＝ cos
＝ ．
5







3



















2


解析：函数 y＝ tan


x＋
4
π

( ω＞ 0) 的图象向右平移



π
个单位长度后得到函数





6
＝ －
y＝ tan








π π
x－
＋
＝ tan
6

4

x＋ －
π π
4 6
的图象，则
π π π

6 4 6


ω＋ kπ( k∈ Z) ，

第 6页共8页

ω＝6k＋
1
2

，又 ω＞ 0，所以当 k＝ 0
时， ω
min
＝
1


．
2

2
2




15．
－1，
．

解析： f( x) ＝ ( sin x＋ cosx) －
1
| sin x
－

cosx|

＝

cos x( sin x

≥

cos x)




1

2 2
sin x( sin x＜ cos x)
即 f( x) 等价于 min{ sin x， cos x} ，如图可知，



















f( x)
max
＝ f
π
＝
， f( x)
min
＝ f( π)
＝－ 1．
4 2

2
(第 15 题)
16．①③．
π
解析：①
f( x) ＝ 4sin 2x

＝ 4cos
π
6
π
2
2 x

3
＝ 4cos

π
3
2x
π


＝ 4cos 2x
② T＝
． 6
2
π
2
＝ π，最小正周期为 π．
π
3
时， x＝－
π
，
6

，0
对称．



③ 令 2x＋

＝ kπ，则当 k＝ 0

∴ 函数 f( x) 关于点
－

π
6



④ 令 2x＋


π
3
＝ kπ＋
π
2
，当

x＝－

π
6
时， k＝－
1
2

，与 k∈Z 矛盾．

∴ ①③正确．
三、解答题




17． { x| 2kπ＜ x≤2kπ＋

， k∈ Z } ．
4




解析：为使函数有意义必须且只需




sin
x
＞0 ①
②
2cos x
1 ≥ 0
第 7页共8页
(第 17题)

先在 [ 0， 2π) 内考虑 x 的取值，在单位圆中，做出三角函数线．

由①得 x∈( 0， π) ，




] ∪ [
π，2π] ．

4

4

π

二者的公共部分为
x∈ 0
，
．

4

由②得 x∈ [ 0，


7




















































所以，函数 f( x) 的定义域为 { x| 2kπ＜ x≤ 2kπ＋



．













， k∈ Z} ．

4



18．(1) －1； (2) ±

2


cos

sin
－

－

解析： ( 1) 原式＝
sin tan
tan
＋ cos －cos

















＝－
tan
＝－ 1．


tan

sin
(

＋
k
) ＋
(
－

k

)
2

( 2) ①当 n＝ 2k， k∈ Z 时，原式＝
2 sin
π
＝

π

2


(
＋

k

)

(
－

k

)
cos



．



②当 n＝ 2k＋ 1， k∈ Z 时，原式＝


sin
[


sin


＋(


2











[
sin




2 k

＋(

＋ ) ] ＋ [ －( ＋)]

sin
1
π

2k 1
＋ ) ]

[ ]

－( ＋)
2 k 1
π cos

2 k
1 π
π cos

2

π



π
＝－
2
．
cos







19．对称中心坐标为

kπ
＋
π
，
0
2

12

；对称轴方程为

x＝

2




k
ππ
＋ ( k∈ Z) ．





3








解析：∵ y＝ sin x 的对称中心是 ( kπ， 0) ， k∈ Z，

π
k
ππ
∴ 令 2x－ ＝ kπ，得 x＝ ＋ ．

6








∴ 所求的对称中心坐标为
2

k
π

12

π
＋ ，0

， k∈ Z．
2

12
又 y＝sin x 的图象的对称轴是



x＝ kπ＋

，
2
π
k
ππ
∴ 令 2x－ ＝ kπ＋

，得
x＝ ＋ ．
6 2 2

3
k
ππ
＋ ( k∈ Z) ．
∴ 所求的对称轴方程为 x＝
2

3
20． ( 1) 有最小值无最大值，且最小值为
解析： ( 1) f( x) ＝
sin x
＋
a
sin x
1＋ a；( 2) 0．
＝ 1＋


a
，由 0＜ x＜ π，得 0＜ sin x≤1，又 a＞ 0，所以当
sin x

sin x＝ 1 时， f( x) 取最小值

1＋ a；此函数没有最大值．
( 2) ∵－ 1≤ cos x≤1， k＜ 0，

∴ k( cos x－ 1) ≥
0，又 sin
2
x≥ 0，

∴ 当 cos x＝ 1，即 x＝ 2k ( k∈ Z) 时， f( x) ＝ sin
2
x＋ k( cos x－ 1) 有最小值 f( x)
min
＝ 0．






第 8页共8页