高中数学立体几何大题训练

高中数学立体几何大题训练
1.如图所示，在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，AB=AD=1，AA
1
=2，
M是棱CC
1
的中点
（Ⅰ）求异面直线A
1M和C
1
D
1
所成的角的正切值；
（Ⅱ）证明：平面ABM⊥平面A
1
B
1
M
1










2.如图， 在矩形
ABCD
中，点
E,F
分别在线段
AB ,AD
上，
AE?EB?AF?
'
沿直线
EF
将
VAEF
翻折成
VAEF
，使平面
AEF?平面BEF
.
2
FD?4
.
3
'
（Ⅰ）求二面角
A
'
?F D?C
的余弦值；
（Ⅱ）点
M,N
分别在线段
FD,BC
上，若沿直线
MN
将四边形
MNCD
向上翻折，使
C
与A
'
重合，求线段
FM
的长。

3.如图，直三棱柱
ABC?A< br>1
B
1
C
1
中，
AC?BC
，
AA
1
?AB
，
D
为
BB
1
的中点，
E
为
AB
1
上的一点，
AE?3EB
1
．
（Ⅰ）证明：
DE
为异面直线
AB
1
与
CD
的公 垂线；
（Ⅱ）设异面直线
AB
1
与
CD
的夹角为45°， 求二面角
A
1
?AC
1
?B
1
的大小．










4 .如图，在四棱锥
P
—
ABCD
中，底面
ABCD
是矩形< br>PA
⊥平面
ABCD
，
AP
=
AB
，
BP
=
BC
=2，
E
，
F
分别是
PB< br>,
PC
的中点.
(Ⅰ)证明：
EF
∥平面
PAD
；
(Ⅱ)求三棱锥
E
—
ABC
的体积V.

5.如图，棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的侧面
BCC
1
B
1
是菱形，< br>B
1
C?A
1
B

（Ⅰ）证明：平面
AB< br>1
C
?
平面
A
1
BC
1
；
（Ⅱ）设
D
是
A
1
C
1
上的点，且
A< br>1
B
平面
B
1
CD
，求
A
1
D:DC
1
的值.













6.已知三棱锥P－AB C中，PA⊥ABC，AB⊥AC，PA=AC=?AB，N为AB上一点，AB=4AN,M,S
分别 为PB,BC的中点.
（Ⅰ）证明：CM⊥SN；
（Ⅱ）求SN与平面CMN所成角的大小.

7.如图△BCD与 △MCD都是边长为2的正三角形，平面MCD
?
平面BCD，AB
?
平面B CD，
AB?23
。
（1） 求点A到平面MBC的距离；
（2） 求平面ACM与平面BCD所成二面角的正弦值。














8 .如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD是正方形，AB=2EF=2，EF∥AB,EF⊥FB,∠ BFC=90°，
E
F
BF=FC,H为BC的中点，
(Ⅰ)求证：FH∥平面EDB;
D
（Ⅱ）求证：AC⊥平面EDB;
（Ⅲ）求四面体B—DEF的体积；
H

A
B



















C

9.如图，正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面互相垂直，C
E⊥AC,EF∥AC,AB=
2
，CE=EF=1.
（Ⅰ）求证：
AF
∥平面
BDE
；
（Ⅱ）求证：
CF
⊥平面
BDE；

（Ⅲ）求二面角
A-BE-D
的大小。














10.已知正方体ABCD－A'B'C'D'的棱长为1，点M是棱AA'的中点，点O是对角线BD '
的中点.
（Ⅰ）求证：OM为异面直线AA'和BD'的公垂线；
D?
C?
（Ⅱ）求二面角M－BC'－B'的大小；
A?
（Ⅲ）求三棱锥M－OBC的体积.
B?

?
O

M
?
D
C


AB














w_w w. k#s5_u.c o*m

参考答案
1.

2.（Ⅰ）解：取线段 EF的中点H，连结
AH
，因为
AE
=
AF
及H是EF的中
点，所以
AH
'
'
'
'
'
?EF
,
又因为平面
AEF?
平面
BEF
.如图建立空间直角坐标系A- xyz
则
A
（2，2，
2
'
2
），C（10，8，0），
?
F（4，0，0），D（10，0，0）.
?
故
FA< br>=（-2，2，2
?
'
2
），
FD
=（6，0，0） .
'

设
n
=（x,y,z）为平面
AFD
的一个法向量，
-2x+2y+2
所以
6x=0.

取
z
2
z=0
?2
，则
n?(0,?2,2)
。
又平面
BEF
的一个法向量
m?(0,0,1)
，

故
cos?n,m??
nm3
?
。
nm3
3
3
所以二面角的余弦值为
（Ⅱ）解：设
FM?x ,
则
M(4?x,0,0)
，
因为翻折后，
C
与
故，
A
重合，所以
CM?A'M
，
21
，
4
22
(6?x)
2
?8
2
?0
2
=（?2?x） ?2
2
?（22）
，得
x?
经检验，此时点
N
在线段
BC
上，所以
FM
方法二： （Ⅰ）解：取线段
EF
的中点
H
,
?
21
。
4
AF
的中点
G
,连结
A'G,A'H,GH
。
A'H?EF
因为
A'E
=
A'F
及
H
是
EF
的中点，所以
又因为平面
又
A'EF?
平面
BEF
，所以
A'H?
平面
BEF
,
AF?
平面
BEF
,故
A'H?AF
，
又因为< br>G
、
H
是
易知
GH
∥
AF
、
EF
的中点，
AB
，所以
GH
?AF
，于是
A F?
面
A'GH
，
所以
?A'GH
为二面角
在< br>Rt
A'?DH?C
的平面角，
A'GH
中，
A'H
=
22
，
GH
=2，
A'G
=
23

?
3
3
. 所以
cos?A'GH
故二面角
A'? DF?C
的余弦值为
?x
,
3
3
。
（Ⅱ）解：设
FM
因为翻折后，
C
与
而
CM
2
A'
重合，所以
CM?A'M
，
?DC
2
?DM
2
?8
2
?(6?x)
2
， < br>A'M
2
?A'H
2
?MH
2
?A'H
2< br>?MG
2
?GH
2

?(22)
2

得
x?
21
，经检验，此时点
N
在线段
BC
上，
4

所以
FM?
21
。
4
3.（I ）连接A
1
B，记A
1
B与AB
1
的交点为F.
因为面AA
1
BB
1
为正方形，故A
1
B⊥AB
1
，且AF=FB
1
，又AE=3EB
1
，所以FE=EB
1
，又D为BB
1
的中点，故DE∥BF，
DE⊥AB
1
. ………………3分
作CG⊥AB，G为垂足，由AC=BC知，G为AB中点.
又由底面A BC⊥面AA
1
B
1
B.连接DG，则DG∥AB
1
，故D E⊥DG，由三垂线定理，得DE⊥CD.
所以DE为异面直线AB
1
与CD的公垂线.
（II）因为DG∥AB1
，故∠CDG为异面直线AB
1
与CD的夹角，∠CDG=45°
设AB=2，则AB
1
=，DG=，CG=，AC=.
作B
1H⊥A
1
C
1
，H为垂足，因为底面A
1
B
1
C
1
⊥面AA
1
CC
1
，故B
1
H⊥面AA
1
C
1
C.又作HK⊥AC
1
，K为垂足，连接 B
1
K，
由三垂线定理，得B
1
K⊥AC
1
，因此 ∠B
1
KH为二面角A
1
-AC
1
-B
1
的平面角，由此可求出二面角大小
4.解 (Ⅰ)在△
PBC
中，
E
，
F
分别是
PB
，
PC
的中点，∴
EF
∥
BC
.





(Ⅱ)连接
AE
,
AC,EC
,过
E
作
EG
∥
PA
交
AB
于点
G
,
则
BG
⊥平面
ABCD
,且
EG
=
又
BC
∥
AD
,∴
EF
∥
AD
,
又∵
AD
?
平面
PAD
,E
F
?
平面
PAD
,
∴
EF
∥平面
PAD
.

1
2
PA
.
在△
PAB
中，
AD=
AB
,
?
PAB
°,
BP
=2,∴
AP
=
AB
=
2
,
EG
=
2
2< br>.
∴
S
△ABC
=
11
AB
·
BC
=
22
×
2
×2=
2
,
∴
V
E-AB
C
=
2
111
S
△ABC
·
EG
=×
2
×=.
2
333
5.
解 ：（Ⅰ）因为侧面BCC
1
B
1
是菱形，所以
B
1
C?BC
1




又已知
B
1
C
所又
B
1
C
所以平面
?A
1
B,且A< br>1
B?BC
1
?B

?
平面A
1
B C
1
，又
B
1
C?
平面AB
1
C ，
AB
1
C?
平面A
1
BC
1
.
（Ⅱ）设BC
1
交B
1
C于点E，连结DE，




则DE是平面A
1
BC
1
与平面B
1
CD的交线，
因为A
1
B平面B
1
CD，所以A
1
BDE.
又E是BC
1
的中点，所以D为A
1
C
1
的中点.
即A
1
D：DC
1
=1.

6.证明：
设PA=1，以A为原点，射线AB，AC，AP分别为x，y，z轴正向建立空间直角坐标系如图。

则P（0,0,1），C（0,1,0），B（2,0,0），M（1,0,
11< br>），N（
22
,0,0），S（1,
1
2
,0）.
111
?(1,?1,),SN?(?,?,0)
,
222
11
因为
CM?SN????0?0
，
22
（Ⅰ）
CM
所以CM⊥SN
（Ⅱ）
NC
1
?(?,1,0)
,
2
设a=（x，y，z）为平面CMN的一个法向量，
1
?
x?y ?z?0,
?
?
2
令x?2，得a=(2,1,-2).
则
?
1
?
?x?y?0.
?
?2
1
2?
2

cosa,SN?
2
2
3?
2
?1?
因为
所以SN与片面CMN所成角为45°。


7.解法一：（1）取CD中点O，连OB，OM，则OB⊥CD，
OM⊥CD.又平面MCD?
平面
BCD
,则MO⊥平面
BCD
，所以MO∥AB，
A、B、O、M共面.延长AM、BO相交于E，则∠AEB就是AM与平面BCD所
成的角. OB=MO=
3
，MO∥AB，MO面ABC，M、O到平面ABC的距离相等，
作O H
?
BC于H，连MH，则MH
?
BC，求得：

z
OH=OCsin60
0
=
3
2
,MH=
152
,利用体积相等得：
V
A?MBC
?V
M?ABC
? d?
215
5
。
（2）CE是平面
ACM
与平面
BCD
的交线.
由（1）知，O是BE的中点，则BCED是菱形.
作BF⊥EC于F，连AF，则AF⊥EC，∠AFB就是二面角A-EC- B的平面角，设为
?
.
因为∠BCE=120°，所以∠BCF=60°.
BF?BC?sin60?3
，
tan
?
?
AB
BF
?2
，
sin
?
?
25
5

所以，所求二面角的正弦值是
25
5
.
解法二：取CD中点O，连 OB，OM，则OB⊥CD，OM⊥CD，又平面
MCD?
平面
BCD
,则M O⊥
平面
BCD
.
以O为原点，直线OC、BO、OM为x轴，y轴，z轴 ，建立空间直角坐标系
A
z
如图.
OB=OM=
3
，则各 点坐标分别为O（0，0，0），C（1，0，0），M（0，0，
3
），B（0，-
3
，0），A（0，-
3
，2
3
），
M
（1）设
n?(x,y,z)
是平面MBC的法向量，则
BC=(1,3,0)
， < br>B
D
BM?(0,3,3)
，由
n?BC
得
x?3y ?0
；由
n?BM
得
O
y
3y?3z?0
；取n?(3,?1,1),BA?(0,0,23)
，则距离
x
C
d?< br>BA?n
15
n
?
2
5

（2）
CM?(?1,0,3)
，
CA?(?1,?3,23)
.
n
?
?
设平面ACM的法向量为
?
n
1
? CM
1
?(x,y,z)
，由
?
得
?
?
? x?3z?0
?
?
n
1
?CA
?x?3y?23z?0.解得
x?3z
，
?
?
y?z
，取
n
n
1
?n
1
?(3,1,1)
.又平面BCD的法向量为
n ?(0,0,1)
，则
cos?n
1
,n??
n
?
1
1
?n
5

设所求二面角为
?
，则
si n
?
?1?(
1
5
)
2
?
25
5
.
8.（1）设底面对角线交点为G，则可以通过证明EG∥FH，得
FH
∥平面
EDB
；（2）利用线线、线面的
平行与垂直关系，证明FH⊥平面ABCD， 得FH⊥BC，FH⊥AC，进而得EG⊥AC，
AC?
平面
EDB
；（3）

证明BF⊥平面CDEF，得BF为四面体B-DEF的高，进而求体积.
9.
(1)证：设AC与BD交于点G，则G为AC的中点，连EG,GH，由于H为BC的 中点，故
1
AB,
2
1
又EFAB,?四边形EFGH为平行四边形
2
?EGFH，而EG?平面EDB，?FH平面EDB
GH

证明：（I） 设AC与BD交与点G。
因为EFAG，且EF=1，AG=
1
AC=1.
2
所以四边形AGEF为平行四边形.
所以AF平面EG，
因为
EG?
平面BDE，AF
?
平面BDE，
所以AF平面BDE.
（II）因为正方形ABCD和四边形ACEF所在的平面
相互垂直，且CE
?
AC，
所以CE
?
平面ABCD.
如图，以C为原点，建立空间直角坐标系C-
xyz
.
则C（ 0，0，0），A（
2
，
2
，0），B（0，
2
，0）.
， 所以
CF?(
22
,,1)
22
B E?(0,?2,1)
，
DE?(?2,0,1)
.
所以
C?F0B?1E
,
??
CFDE??1?0?1?0

所以
CF?BE
,
CF?DE
.

所以
CF?
BDE.
?(
22
,,1)
是平面BDE的一个法向量.
22
(III) 由（II）知，
CF
设平面ABE的法向量
n?(x,y,z)
,则
nBA?0
，
nBE?0
.
即
?
?
(x,y,z)(2,0,0)?0
?
(x,y,z)(0, ?2,1)?0

所以
x?0,
且
z?2y,

令
y?1,
则
z?2
.
所以
n?(0,1,2)
.
从而
cos?n,CF??
nCF3
|n||CF|
?
2
。
因为二面角
A?BE?D
为锐角，
所以二面角
A?BE?D
的大小为
?
6
.
10.解法一：（1）连结AC，取AC中点K，则K为BD的中点，连结OK
因为M是棱AA’的中点，点O是BD’的中点
所以AM

1
2
DD'OK

所以MO
AK
w_w w. k#s5_u.c o*m
由AA’⊥AK，得MO⊥AA’
因为AK⊥BD,AK⊥BB’，所以AK⊥平面BDD’B’
所以AK⊥BD’
所以MO⊥BD’
又因为OM是异面直线AA’和BD’都相交w_w w. k#s5_u.c o*m
故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线
（2）取BB’中点N，连结MN，则MN⊥平面BCC’B’
过点N作NH⊥BC’于H，连结MH
则由三垂线定理得BC’⊥MH
从而,∠MHN为二面角M-BC’-B’的平面角
MN=1,NH=Bnsin45°=< br>12
22
?
2
4

在Rt△MNH中，tan∠MH N=
MN1
NH
?
2
?22
w_w w. k#s5_u.c o*m
4

故二面角M- BC’-B’的大小为arctan2
2

(3)易知，S
△
OBC
=S
△
OA
’
D
’
，且△OBC和△OA’D’都 在平面BCD’A’内
点O到平面MA’D’距离h＝
V
M
-
OB C
=V
M
-
OA
’
D
’
=V
O< br>-
MA
’
D
’
=
解法二：
以点D为坐标原点，建立如图所示空间直角坐标系D-xyz
则A(1,0,0),B(1, 1,0),C(0,1,0),A’(1,0,1),C’(0,1,1),D’(0,0,1)
(1)因为点M是棱AA’的中点,点O是BD’的中点
所以M(1,0,
1

2
△
MA
’
D
’
1
S
3
h=
1

24
1111
),O(,,) 2222
11
OM?(,?,0)
,
AA'
=(0,0,1),
BD'
=(-1,-1,1)
22
11
OMAA'
=0,
OMBD'???
+0=0w_w w. k#s5_u.c o*m
22
所以OM⊥AA’,OM⊥BD’
又因为OM与异面直线AA’和BD’都相交
故OM为异面直线AA'和BD'的公垂线.
(2)设平面BMC'的一个法向量为
n
1
=(x,y,z)
BM
=(0,-1,
1
),
BC'
＝(－1,0,1)
2
1
?
?
?
?y?z?0
?
n
1
BM?0
即
?

2
?
?
?
?
n
1
BC'?0
?
?x?z?0
取z＝2,则x＝2,y＝ 1，从而
n
1
=(2,1,2) w_w w. k#s5_u.c o*m
取平面BC'B'的一个法向量为
n
2
＝(0,1,0)
cos< br>?n
1
,n
2
??
n
1
n
2
11
??

|n
1
||n
2
|
91
3
1

3
由图可知，二面角M-BC'-B'的平面角为锐角
故二面角M-BC'-B'的 大小为arccos
(3)易知，S
△
OBC
＝
1
S
4
△
BCD
'
A
'
＝
12
12?

44
设平面OBC的一个法向量为
n
3
＝(x
1
,y
1
,z
1
) w_w w. k#s5_u.c o*m
BD'
＝(－1,－1,1),
BC
＝(－1,0,0)

?
?
?x
1
?y
1
?z
1
?0< br>?
n
3
BD'?0
即
?
?
?
?x
1
?0
?
?
n
1
BC?0
取z
1
＝1,得y
1
＝1，从而
n
3
＝(0,1,1)
1
|BM|2
?
2
?
点M到平面OBC的距离d＝w_w w. k#s5_u.c o*m
4
|n
3
|
2
V
M
－
OBC
＝



11221
S
?OBC
d??

334424