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2010全国高中数学联赛试题及答案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 03:50
tags:高中数学题

天津高中数学用教辅书-高中数学在实际生活中的应用


2010年全国高中数学联合竞赛一试试卷
(考试时间:10月17日上午8∶00—9∶20)
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在横线上.
1.函数
f
?
x
?
?x?5?24?3x
的值域是 .
2.已知函数
y?acos
2
x?3sinx
的最小值为
?3
,则实数
a
的取值范围是 .
3.双曲线< br>x?y?1
的右半支与直线
x?100
围成的区域内部(不含边界)整点(纵横 坐
标均为整数的点)的个数是 .
4.已知
?
a
n
?
是公差不为0的等差数列,
?
b
n
?
是等比数列 ,其中
a
1
?3

b
1
?1

a
2
?b
2

22
??
3a
5
?b
3
,且存在常数
?

?
使得对每一个正整数
n都有
a
n
?log
?
b
n
?
?
,则
?
?
?
?

5 .函数
f
?
x
?
?a
2x
?3a
x
?2

a?0

a?1
)在区间
x?
?
?1,1
?
上的最大值为8,则它在
这个区间上的最小值是 .
6.两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜,否则
轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .

7.正三 棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的9条棱长都相等,< br>P

CC
1
的中点,二面角
B?A
1
P?B
1
?
?


sin
?
?


8.方程
x?y?z?2010
满足
x?y?z
的正 整数解(
x

y

z
)的个数是 .
二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤. 9.(本小题满分16分)已知函数
f
?
x
?
?ax?bx?c x?d

a?0
),当
0?x?1
时,
32
f'< br>?
x
?
?1
,试求
a
的最大值.
10.( 本小题满分20分)已知抛物线
y?6x
上的两个动点
A

x
1

y
1
)和
B

x
2
y
2
),
其中
x
1
?x
2

x
1
?x
2
?4
.线段
AB
的垂直平分线与
x
轴交于点
C
,求
?ABC
面积的最大
值.
1 1.(本小题满分20分)证明:方程
2x?5x?2?0
恰有一个实数根
r
,且存在唯一的严
格递增正整数数列
?
a
n
?
,使得
3
2
2
?r
a
1
?r
a
2
?r
a
3
?
5
1


解 答


1.
[?3,3]
提示:易知
f(x)< br>的定义域是
?
5,8
?
,且
f(x)

?< br>5,8
?
上是增函数,从而
可知
f(x)
的值域为
[ ?3,3]
.
2.
?
3
?a?12
提示:令
sinx?t
,则原函数化为
g(t)?(?at
2
?a?3)t
,即
2
g(t)??at
3
?(a?3)t
.

?at?(a?3)t??3

?at(t?1)?3(t?1)?0

( t?1)(?at(t?1)?3)?0

32
t?1?0

?at(t?1)?3?0

a(t
2
?t)??3
. (1)

t?0,?1
时(1)总成立;

0?t?1,0?t?t?2
;对
?1?t?0,?
2
13
?t
2
?t?0.从而可知
??a?12
.
42
3. 9800 提示:由对称 性知,只要先考虑
x
轴上方的情况,设
y?k(k?1,2,?,99)
与< br>双曲线右半支于
A
k
,交直线
x?100

B
k
,则线段
A
k
B
k
内部的整点的个数为
99? k
,从而

x
轴上方区域内部整点的个数为
?
(99?k)?99?49?4851
.
k?1
99

x
轴上有98个整点,所以所求整点的个数为
2?4851?98?9800
.
4.
3
3?3
提示 :设
{a
n
}< br>的公差为
d,{b
n
}
的公比为
q
,则
3?d?q,
(1)
3(3?4d)?q
2
, (2)
(1)代入(2)得
9?12d?d?6d?9
,求得
d?6,q? 9
.
2
9
n?1
?
?
对一切正整数
n
都成立,即从而有
3?6(n?1)?lo
?
g
6n?3?(n?1 )log
?
9?
?
对一切正整数
n
都成立.
从而
log
?
9?6,?3??log
?
9?
?


2


求得
?
?
3
3,
?
?3

?
?
?
?
3
3?3
.
5.
?
递增的.

0?a?1
时,
y?[a,a]
,
?1
3
1
2
x
提示:令
a?y,
则原 函数化为
g(y)?y?3y?2
,
g(y)

(?,+?)
上是
2
4
g(y)
max
?a
?2
?3a
?1
?2?8?a
?1
?2?a?
所以
1

2
111
g(y)
min
?()
2
?3??2??

224

a?1
时,
y?[a
?1
,a]< br>,
g(y)
max
?a
2
?3a?2?8?a?2

所以
1
g(y)
min
?2
?2
?3?2?1
?2??
.
4
1
综上
f(x)

x?[?1,1]
上的最小值为
?
.
4
12217
6. 提示:同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为
?
,从而先投掷人的
173612获胜概率为
75757
7
?
()
2
??
()
4
???
??
1212121212
12
112
.
?
25
17
1?
144
7.
10
提 示:解法一:如图,以
AB
所在直线为
x
轴,线段
AB
中点
O
为原点,
OC
4
所在直线为
y
轴,建立空间直角 坐标系.设正三棱柱的棱长为2,则
B(1,0,0),B
1
(1,0,2),A1
(?1,0,2),P(0,3,1)
,从而,
BA
1
?(? 2,0,2),BP?(?1,3,1),B
1
A
1
?(?2,0,0),B
1
P?(?1,3,?1)
.
设分别与平面
BA
1
P
、平面
B
1
A
1
P
垂直的向量
m?(x
1
,y
1
,z
1
)

n?( x
2
,y
2
,z
2
)
,则
z
A
1
C
1
B
1
P
A
O
C

3
?
?
m?BA
1
??2x
1
?2z< br>1
?0,

?
?
?
m?BP??x
1
?3y
1
?z
1
?0,
y
B
x

< br>?
?
n?B
1
A
1
??2x
2
?0 ,

?
?
?
n?B
1
P??x
2
?3y
2
?z
2
?0,
由此可设
m?(1,0,1),n ?(0,1,3)
,所以
m?n?m?ncos
?
,即
3?2?2cos
?
?cos
?
?
10
.
4
6
.
4
所以
sin
?
?
A
1
解法二:如图,
PC?PC
1
,PA
1
?PB< br> .

A
1
B

AB
1
交于点< br>O,
C
1

E
B
1
O
A
P
OA
1
?OB,OA?OB
1
,A
1
B?AB< br>1
.
因为 PA?PB
1
,所以 PO?AB
1
,
从而
AB
1
?


PA
1
B< br> .

O
在平面
PA
1
B
上作
O E?A
1
P
,垂足为
E
.
C
B
连结B
1
E
,则
?B
1
EO
为二面角
B? A
1
P?B
1
的平面角.设
AA
1
?2
, 则易求得
PB?PA
1
?5,A
1
O?B
1
O?2 ,PO?3
.
在直角
?PA
1
O
中,
A
1
O?PO?A
1
P?OE
,即
2?3?5?OE,?OE?
6
5
.

B
1< br>O?2,?B
1
E?B
1
O
2
?OE
2?2?
645
?
.
55
sin
?
?sin? B
1
EO?
B
1
O
210
.
??
B
1
E
45
4
5
8. 336675 提示:首先易知
x?y?z?2010
的正整数解的个数为
2
C
2009
?2009?1004
.

x?y?z?2010
满足
x?y?z
的正整数解分为三类:
(1)
x,y,z
均相等的正整数解的个数显然为1;

4


(2)
x,y,z
中有且仅有2个相等的正整数解的个数,易知为1003 ;
(3)设
x,y,z
两两均不相等的正整数解为
k
.
易知

1?3?1003?6k?2009?1004

所以

6k?2009?1004?3?1003?1


?2006?1005?2009?3?2?1?2006?1005?2004


k?1003?335?334?335671
.
从而满足
x?y?z
的正整数解的个数为
1?1003?335671?336675
.

?
f
?
(0)?c,
?
13
?
2
9. 解法一:
f
?
(x)?3ax?2bx?c,

?
f
?
()?a?b?c,

4
?
2
?
?
f
?
(1)?3a?2b?c
1
3a?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()
.
2
所以
1
3a?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()

2

?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()

?8

1
2
所以
a?
最大值为
88
32
. 又易 知当
f(x)?x?4x?x?m

m
为常数)满足题设条件,所以
a
33
8
.
3
2
解法二:
f
?
(x)?3ax?2bx?c
. 设
g(x)?f
?
(x)?1
,则当
0?x?1
时,
0?g(x)?2
.

z?2x?1
,则
x?
z?1
,?1?z?1
.
2
z?13a
2
3a?2b3a
h(z)?g()?z?z??b?c?1< br>.
2424
容易知道当
?1?z?1
时,
0?h(z)?2 ,0?h(?z)?2
. 从而当
?1?z?1
时,
0?
h(z)?h(?z)
?2
, 即
2
5


3a
2
3a
z??b?c?1?2

44
3a3a
8
从而
?b?c?1?0
,
z
2
?2
,由
0?z
2
?1

a?
.
443
8
3
8
2
又易知当
f(x)?x?4x?x ?m

m
为常数)满足题设条件,所以
a
最大值为.
33
0?
10. 解法一:设线段
AB
的中点为
M(x0
,y
0
)
,则
x
0
?
x
1
?x
2
y?y
2

?2,y
0
?1
22
k
AB
?
y
2
?y
1
y?y
1
63
?
2
2
??
.
2
x
2
?x
1
y?yy
y
2
y
1
210
?
66
线段
AB
的垂直平分线的方程是
y?y
0
??
y
0
(x?2)
. (1)
3
易知
x?5,y?0
是(1)的一个解,所以线段
AB< br>的垂直平分线与
x
轴的交点
C
为定点,
且点
C
坐标为
(5,0)
.
由(1)知直线
AB
的方程为
y?y
0
?
3
(x?2)
,即
y
0
x?
y
0
(y?y0
)?2
. (2)
3
2
2
(2)代 入
y?6x

y?2y
0
(y?y
0
)?12,即
2
y
2
?2y
0
y?2y
0
? 12?0
. (3)
依题意,
y
1
,y
2< br>是方程(3)的两个实根,且
y
1
?y
2
,所以
2 22
??4y
0
?4(2y
0
?12)??4y
0
?48?0
,
?23?y
0
?23
.
y

AB?

?
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2

(1? (
y
0
2
))(y
1
?y
2
)
2

3
O
A
B
C(5,0)
x

6


2
y
0

?(1?)[(y
1< br>?y
2
)
2
?4y
1
y
2
]

9
2
y
0
22

?(1?)(4y
0
?4(2y
0
?12))

9

?
2
22
(9?y
0
)(1 2?y
0
)
.
3
定点
C(5,0)
到线段
AB
的距离

h?CM?

S
?ABC
?

?
2
(5?2)
2
?(0?y
0
)
2?9?y
0
.
11
222

AB?h?(9?y
0
)(12?y
0
)?9?y
0
23
11
222
(9?y
0
)(24?2y
0
)(9?y
0
)

32
222
?24?2y
0
?9?y
0
11
9?y
0

?()
3

323

?
当且
14
7
.
3
仅当
22
9?y
0
?24?2y
0
,即
y
0
??5
,
A(
6?356?35
,5?7), B(,5?7)
33

A(
6?356?35
,?(5?7)),B (,?5?7)
时等号成立.
33
所以,
?ABC
面积的最大值为
14
7
.
3
解法二:同解法一,线段
AB
的垂直平分线与
x
轴的交点
C
为定点,且点
C
坐标为
(5,0)
.

x
1
?t
1
,x
2
?t< br>2
,t
1
?t
2
,t
1
?t
2?4
,则
S
?ABC
?
2222
1
2
t
1
2
2
t
2
501
6t
1
1< br>的绝对值,
6t
2
1

S
?ABC
?((56t
1
?6t
1
t
2
?6t
1
t
2
?56t
2
))


?
2
1
2
222
3
(t
1
?t< br>2
)
2
(t
1
t
2
?5)
2

2

7


3
(4?2t
1
t< br>2
)(t
1
t
2
?5)(t
1
t
2
?5)

2
314
3

?()
,
23

?
所以
S
?ABC
?
14
7?5
2
?4
,即
t1
?
7
, 当且仅当
(t
1
?t
2
)
2
?t
1
t
2
?5

t
1
2
?t
2
,

3
6
,
A(
t< br>2
??
7?5
6
6?356?35
,5?7),B(,5?7 )

33
A(
6?356?35
,?(5?7)),B(,?5? 7)
时等号成立.
33
所以,
?ABC
面积的最大值是
3
14
7
.
3
2
11.令
f(x)?2x?5x?2
,则
f
?
(x)?6x?5?0
,所以
f(x)
是严格递增的.又
131f(0)??2?0,f()??0
,故
f(x)
有唯一实数根
r?(0 ,)
.
242
所以
2r?5r?2?0

3
2r
?
?r?r
4?r
7
?r
10
?
3
5
1?r
.
故数列
a
n
?3n?2(n?1,2,?)
是满足题设要求的数列.
若存在两个不同的正整数数列
a
1
?a
2
???a
n
??

b
1
?b
2
???b
n
??
满足
r
a
1
?r
a
2
?r
a
3
???r
b
1
?r
b
2
?r
b
3
???
去掉上面等式两边相同的项,有
2

5r
s
1
?
r
s
2
?
r
s3
???
r
t
1
?
r
t
2
?
r
t
3
??

这里
s
1
?s< br>2
?s
3
??,t
1
?t
2
?t
3
??
,所有的
s
i

t
j
都是不同的.
不妨设
s
1
?t
1
,则
r
s
1
?
r
s
1
?
r
s
2
???
r
t
1
?
r
t
2
??

1? r
t
1
?s
1
?r
t
2
?s
1< br>?
?
?r?r
2
?
?
?
1
?1?< br>1?r
1
1
1?
2
?1?1

矛盾.故满足题设的数列是唯一的.



8


2010年全国高中数学联合竞赛加试试卷(A卷)
(考试时间:10月17日上午9∶40—12∶10)

一、(本题满分40分) 如图,锐角三角形
ABC
的外心为
O

K
是边
BC
上一点(不是边
BC
的中点),
D
是线段
AK
延长 线上一点,直线
BD

AC
交于点
N
,直线
CD< br>与
AB
交于点
M
.求证:若
OK?MN
,则
A

B

D

C
四点共圆.


A





O



K
C

B

D

N



M




二、(本题满分40分)设
k
是给定的正整数,
r?k?
1
?
1
?
.记
f
?
r
?
?f
?
r
?
?r
?< br>?
r
?
?

2
?
m
?
f
?
l
?
?
r
?
?ff
?
l?1< br>?
?
r
?

l?2
.证明:存在正整数
m< br>,使得
f
?
r
?
为一个整数.这里
?
?x
?
?
??
表示不小于实数
x
的最小整数,例如:??
?1

?
?
1
?
?
?1

2
三、(本题满分50分)给定整数
n?2
,设正实数
a
1

a
2
,…,
a
n
满足
a
k
?1

k?1

2
,…,
?
1
?
??
a?a?
n
,记
A
k
?
12
k
?a
k

k?1

2
,…,
n
.求证:
?
a
k
?
?
A
k
?
k? 1k?1
nn
n?1

2
四、(本题满分50分)一种密码锁的密 码设置是在正
n
边形
A
1
A
2
A
n
的每个顶点处赋值0
和1两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻 的两个顶
点的数字或颜色中至少有一个相同.问:该种密码锁共有多少种不同的密码设置?



9


解 答


1. 用反证法.若A,B,D,C不四点共圆,设三角形
ABC的外接圆与AD交于点E,连接BE并延长交 直线
AN于点Q,连接CE并延长交直线AM于点P,连接PQ.
因为
PK
2
?
P的幂(关于⊙O)
?
K的幂(关于⊙O)

?PO?r
同理

QK
2
? QO
2
?r
2
?KO
2
?r
2

M
O
A
?
22
?
?
?
KO?r
22
?

P
B
E
K
D
C
Q????
N
所以
PO?PK?QO?QK


OK

PQ
. 由题设,OK⊥MN,所以PQ∥MN,于是
2222
AQAP
?
. ①
QNPM
由梅内劳斯(Menelaus)定理,得
NBDEAQ
???1
, ②
BDEAQN
MCDEAP
???1
. ③
CDEAPM
NBMCNDMD
由①,②,③可得, 所以,故△DMN ∽ △DCB,于是
??
BDCDBDDC
所以BC∥MN,故OK⊥BC,即K为BC的 中点,矛盾!从而
A,B,D,C
?DMN??DCB

四点共圆.
注1:“
PK?
P的幂(关于⊙O)
?
K的幂(关于⊙O)”的证明 :延长PK至点F,使

2
PK?KF?AK?KE
, ④
则P,E,F,A四点共圆,故
?PFE??PAE??BCE

从而E,C,F,K四点共圆,于是
PK?PF?PE?PC


⑤-④,得

PK?PE?PC?AK?KE
?
P的幂(关于⊙O)
?
K
的幂(关于⊙O).
B
2< br>A
O
F
E
K
D
P
C

10
Q
N
M


注2:若点E在线段AD的延长线上,完全类似.












2. 记
v< br>2
(n)
表示正整数n所含的2的幂次.则当
m?v
2
(k) ?1
时,
f
下面我们对
v
2
(k)
?v
用 数学归纳法.

v?0
时,k为奇数,
k?1
为偶数,此时
(m)
(r)
为整数.
1
??
1
??
1
??
f(r)?
?
k?
?
?
k?
?
?
?
k?
?
?
k?1
?

2
??
2
??
2
??
为整数.
假设命题对
v?1(v?1)
成立.
对于
v?1
,设k的二进制表示具有形式
k?2
v
??
v?1
?2
v?1
?
?
v?2
?2
v?2
?
这里,
?
i
?0
或者1,
i?v?1,v ?2,
于是

f(r)?
?
k?


?
?
1
??
1
??
1
?
?
?

?
?
k?
?
?
?
k?
?< br>?
k1
2
??
2
??
2
?
1k??k
2
?k

22
1
v?1vv?12v

??2?(
?
v?1
?1)?2?(
?
v?1
?< br>?
v?2
)?2??2?

2
1

?k
?
?
, ①
2

?
这里
k
?
? 2
v?1
?(
?
v?1
?1)?2
v
?(
?
v?1
?
?
v?2
)?2
v?1
??2
2v
?
.
显然
k
?
中所含的2的幂次为
v?1
.故由归纳假设知,
r
?
?k
?
?
1
经过 f的v次迭代得到
2

11


整数,由①知,
f(v?1)
(r)
是一个整数,这就完成了归纳证明.
3. 由
0?a
k
?1
知,对
1?k?n?1
,有
0?< br>?
a
i?1
k
i
?k,0?
i?k?1
?< br>a
n
i
?n?k

注意到当
x,y?0
时,有
x?y?max
?
x,y
?
,于是对< br>1?k?n?1
,有
1
n
?
11
?
kA
n
?A
k
?
?
?
?
?
a< br>i
?
?
a
i

n
i?k?1
?nk
?
i?1
1
n
?
11
?
k

?a
i
?
?
?
?
?
a
i

?
n
i?k?1
?
kn
?
i?1
?1n

?max
?
?
a
i
,?
n
i?k?1
?1
?max
?
(n?k),
?
n
?1?
nn
?
11
?
k
?
?
?
?
?
a
i
?

?
kn
?
i?1
?
?
11
?
?
?
?
?< br>k
?

?
kn
?
?
k

n
k

?
a?
?
A
k
k?1k?1
?nA
n
?
?
A
k

k?1
n

?
?
?
A
k?1
n?1
n?1
n
?A
k
?
?
?
A
n
?A
k

k?1
n?1

?
?
k
?
n?1

?
?
1?
?
?
n
?
2
k?1?
4. 对于该种密码锁的一种密码设置,如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同,在它们所在的边上标上a,如果颜色不同,则标上b,如果数字和颜色都相同,则标上c.于是对于
给定的点
A
1
上的设置(共有4种),按照边上的字母可以依次确定点
A
2< br>,A
3
,,A
n
上的设
置.为了使得最终回到
A1
时的设置与初始时相同,标有a和b的边都是偶数条.所以这种
密码锁的所有不同的密码 设置方法数等于在边上标记a,b,c,使得标有a和b的边都是偶
数条的方法数的4倍.
设标有a的边有
2i
条,
0?i?
??
,标有b的边有2j
条,
0?j?
?
2
2i2j
?
n
?
??
?
n?2i
?
.选取
2i
?
2??
条边标记a的有
C
n
种方法,在余下的边中取出
2j
条边标记b的有
C
n?2i
种方法,其余的边
2i2j
标记c.由 乘法原理,此时共有
C
n
C
n?2i
种标记方法.对i,j求和,密 码锁的所有不同的密

12


码设置方法数为
4
?
i?0
?
n
?
?
2
?
??
?n?2i
?
??
?
2
?
??
?
2i2 j
?
CC
?
nn?2i
?
. ①
?
j?0
??
??
0
这里我们约定
C
0
?1

当n为奇数时,
n?2i?0
,此时
?
n?2i
?
?
2
?
??
j?0
?
C
2j
n?2i< br>?2
n?2i?1
. ②
代入①式中,得
4
?
i?0
?
n
?
?< br>2
?
??
n?2i
??
n
??
n
?
?
?
?
?
2
??
2
??
2
?
????
?
2i
??
2j
?
2in?2i?1 2in?2i
CC?4C2?2C2
?

???
???
nn ?2inn
??
j?0i?0i?0
??
??
n
?
?
C2
k
n
k?0
n
n?kkn?k
?
?
C
n
2(?1)
k
?(2?1)
n
?(2?1)< br>n

k?0
?3
n
?1

当n为偶数时,若
i?
nn
,则②式仍然成立;若
i?,则正n边形的所有边都标记a,
22
此时只有一种标记方法.于是,当n为偶数时,所有 不同的密码设置的方法数为
4
?
i?0
?
n
?
?
2
?
??
n?2i
?
n
?
?
?< br>??
?
?
?
2
??
2
?
?1
??
??
?
?
2i2j
?
2in?2i?1
?< br>4?1?C
CC?
??
?

?
n
2
?
?
n
?
n?2i
?
i?0
j?0
??< br>??
??
??
2in?2i?1
?2?4
?
?
C
n
2
?
?3
n
?3

i?0
n
?
n
?
?
2
?
??
综上所述 ,这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是:当n为奇数时有
3?1
种;
当n为偶数 时有
3?3
种.
n




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