天津高中数学用教辅书-高中数学在实际生活中的应用
2010年全国高中数学联合竞赛一试试卷
(考试时间:10月17日上午8∶00—9∶20)
一、填空题:本大题共8小题,每小题8分,共64分.把答案填在横线上.
1.函数
f
?
x
?
?x?5?24?3x
的值域是
.
2.已知函数
y?acos
2
x?3sinx
的最小值为
?3
,则实数
a
的取值范围是 .
3.双曲线<
br>x?y?1
的右半支与直线
x?100
围成的区域内部(不含边界)整点(纵横
坐
标均为整数的点)的个数是 .
4.已知
?
a
n
?
是公差不为0的等差数列,
?
b
n
?
是等比数列
,其中
a
1
?3
,
b
1
?1
,
a
2
?b
2
,
22
??
3a
5
?b
3
,且存在常数
?
,
?
使得对每一个正整数
n都有
a
n
?log
?
b
n
?
?
,则
?
?
?
?
.
5
.函数
f
?
x
?
?a
2x
?3a
x
?2
(
a?0
,
a?1
)在区间
x?
?
?1,1
?
上的最大值为8,则它在
这个区间上的最小值是
.
6.两人轮流投掷骰子,每人每次投掷两颗,第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜,否则
轮由另一人投掷.先投掷人的获胜概率是 .
7.正三
棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的9条棱长都相等,<
br>P
是
CC
1
的中点,二面角
B?A
1
P?B
1
?
?
,
则
sin
?
?
.
8.方程
x?y?z?2010
满足
x?y?z
的正
整数解(
x
,
y
,
z
)的个数是 .
二、解答题:本大题共3小题,共56分.解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤. 9.(本小题满分16分)已知函数
f
?
x
?
?ax?bx?c
x?d
(
a?0
),当
0?x?1
时,
32
f'<
br>?
x
?
?1
,试求
a
的最大值.
10.(
本小题满分20分)已知抛物线
y?6x
上的两个动点
A
(
x
1
,
y
1
)和
B
(
x
2
,y
2
),
其中
x
1
?x
2
且
x
1
?x
2
?4
.线段
AB
的垂直平分线与
x
轴交于点
C
,求
?ABC
面积的最大
值.
1
1.(本小题满分20分)证明:方程
2x?5x?2?0
恰有一个实数根
r
,且存在唯一的严
格递增正整数数列
?
a
n
?
,使得
3
2
2
?r
a
1
?r
a
2
?r
a
3
?
5
1
.
解
答
1.
[?3,3]
提示:易知
f(x)<
br>的定义域是
?
5,8
?
,且
f(x)
在
?<
br>5,8
?
上是增函数,从而
可知
f(x)
的值域为
[
?3,3]
.
2.
?
3
?a?12
提示:令
sinx?t
,则原函数化为
g(t)?(?at
2
?a?3)t
,即
2
g(t)??at
3
?(a?3)t
.
由
?at?(a?3)t??3
,
?at(t?1)?3(t?1)?0
,
(
t?1)(?at(t?1)?3)?0
及
32
t?1?0
知
?at(t?1)?3?0
即
a(t
2
?t)??3
. (1)
当
t?0,?1
时(1)总成立;
对
0?t?1,0?t?t?2
;对
?1?t?0,?
2
13
?t
2
?t?0.从而可知
??a?12
.
42
3. 9800 提示:由对称
性知,只要先考虑
x
轴上方的情况,设
y?k(k?1,2,?,99)
与<
br>双曲线右半支于
A
k
,交直线
x?100
于
B
k
,则线段
A
k
B
k
内部的整点的个数为
99?
k
,从而
在
x
轴上方区域内部整点的个数为
?
(99?k)?99?49?4851
.
k?1
99
又
x
轴上有98个整点,所以所求整点的个数为
2?4851?98?9800
.
4.
3
3?3
提示 :设
{a
n
}<
br>的公差为
d,{b
n
}
的公比为
q
,则
3?d?q,
(1)
3(3?4d)?q
2
,
(2)
(1)代入(2)得
9?12d?d?6d?9
,求得
d?6,q?
9
.
2
9
n?1
?
?
对一切正整数
n
都成立,即从而有
3?6(n?1)?lo
?
g
6n?3?(n?1
)log
?
9?
?
对一切正整数
n
都成立.
从而
log
?
9?6,?3??log
?
9?
?
,
2
求得
?
?
3
3,
?
?3
,
?
?
?
?
3
3?3
.
5.
?
递增的.
当
0?a?1
时,
y?[a,a]
,
?1
3
1
2
x
提示:令
a?y,
则原
函数化为
g(y)?y?3y?2
,
g(y)
在
(?,+?)
上是
2
4
g(y)
max
?a
?2
?3a
?1
?2?8?a
?1
?2?a?
所以
1
,
2
111
g(y)
min
?()
2
?3??2??
;
224
当
a?1
时,
y?[a
?1
,a]<
br>,
g(y)
max
?a
2
?3a?2?8?a?2
,
所以
1
g(y)
min
?2
?2
?3?2?1
?2??
.
4
1
综上
f(x)
在
x?[?1,1]
上的最小值为
?
.
4
12217
6.
提示:同时投掷两颗骰子点数和大于6的概率为
?
,从而先投掷人的
173612获胜概率为
75757
7
?
()
2
??
()
4
???
??
1212121212
12
112
.
?
25
17
1?
144
7.
10
提
示:解法一:如图,以
AB
所在直线为
x
轴,线段
AB
中点
O
为原点,
OC
4
所在直线为
y
轴,建立空间直角
坐标系.设正三棱柱的棱长为2,则
B(1,0,0),B
1
(1,0,2),A1
(?1,0,2),P(0,3,1)
,从而,
BA
1
?(?
2,0,2),BP?(?1,3,1),B
1
A
1
?(?2,0,0),B
1
P?(?1,3,?1)
.
设分别与平面
BA
1
P
、平面
B
1
A
1
P
垂直的向量
是m?(x
1
,y
1
,z
1
)
、
n?(
x
2
,y
2
,z
2
)
,则
z
A
1
C
1
B
1
P
A
O
C
3
?
?
m?BA
1
??2x
1
?2z<
br>1
?0,
?
?
?
m?BP??x
1
?3y
1
?z
1
?0,
y
B
x
<
br>?
?
n?B
1
A
1
??2x
2
?0
,
?
?
?
n?B
1
P??x
2
?3y
2
?z
2
?0,
由此可设
m?(1,0,1),n
?(0,1,3)
,所以
m?n?m?ncos
?
,即
3?2?2cos
?
?cos
?
?
10
.
4
6
.
4
所以
sin
?
?
A
1
解法二:如图,
PC?PC
1
,PA
1
?PB<
br> .
设
A
1
B
与
AB
1
交于点<
br>O,
C
1
则
E
B
1
O
A
P
OA
1
?OB,OA?OB
1
,A
1
B?AB<
br>1
.
因为 PA?PB
1
,所以 PO?AB
1
,
从而
AB
1
?
平
面
PA
1
B<
br> .
过
O
在平面
PA
1
B
上作
O
E?A
1
P
,垂足为
E
.
C
B
连结B
1
E
,则
?B
1
EO
为二面角
B?
A
1
P?B
1
的平面角.设
AA
1
?2
,
则易求得
PB?PA
1
?5,A
1
O?B
1
O?2
,PO?3
.
在直角
?PA
1
O
中,
A
1
O?PO?A
1
P?OE
,即
2?3?5?OE,?OE?
6
5
.
又
B
1<
br>O?2,?B
1
E?B
1
O
2
?OE
2?2?
645
?
.
55
sin
?
?sin?
B
1
EO?
B
1
O
210
.
??
B
1
E
45
4
5
8.
336675 提示:首先易知
x?y?z?2010
的正整数解的个数为
2
C
2009
?2009?1004
.
把
x?y?z?2010
满足
x?y?z
的正整数解分为三类:
(1)
x,y,z
均相等的正整数解的个数显然为1;
4
p>
(2)
x,y,z
中有且仅有2个相等的正整数解的个数,易知为1003
;
(3)设
x,y,z
两两均不相等的正整数解为
k
.
易知
1?3?1003?6k?2009?1004
,
所以
6k?2009?1004?3?1003?1
?2006?1005?2009?3?2?1?2006?1005?2004
,
即
k?1003?335?334?335671
.
从而满足
x?y?z
的正整数解的个数为
1?1003?335671?336675
.
?
f
?
(0)?c,
?
13
?
2
9. 解法一:
f
?
(x)?3ax?2bx?c,
由
?
f
?
()?a?b?c,
得
4
?
2
?
?
f
?
(1)?3a?2b?c
1
3a?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()
.
2
所以
1
3a?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()
2
?2f
?
(0)?2f
?
(1)?4f
?
()
?8
,
1
2
所以
a?
最大值为
88
32
. 又易
知当
f(x)?x?4x?x?m
(
m
为常数)满足题设条件,所以
a
33
8
.
3
2
解法二:
f
?
(x)?3ax?2bx?c
.
设
g(x)?f
?
(x)?1
,则当
0?x?1
时,
0?g(x)?2
.
设
z?2x?1
,则
x?
z?1
,?1?z?1
.
2
z?13a
2
3a?2b3a
h(z)?g()?z?z??b?c?1<
br>.
2424
容易知道当
?1?z?1
时,
0?h(z)?2
,0?h(?z)?2
.
从而当
?1?z?1
时,
0?
h(z)?h(?z)
?2
, 即
2
5
3a
2
3a
z??b?c?1?2
,
44
3a3a
8
从而
?b?c?1?0
,
z
2
?2
,由
0?z
2
?1
知
a?
.
443
8
3
8
2
又易知当
f(x)?x?4x?x
?m
(
m
为常数)满足题设条件,所以
a
最大值为.
33
0?
10. 解法一:设线段
AB
的中点为
M(x0
,y
0
)
,则
x
0
?
x
1
?x
2
y?y
2
,
?2,y
0
?1
22
k
AB
?
y
2
?y
1
y?y
1
63
?
2
2
??
.
2
x
2
?x
1
y?yy
y
2
y
1
210
?
66
线段
AB
的垂直平分线的方程是
y?y
0
??
y
0
(x?2)
.
(1)
3
易知
x?5,y?0
是(1)的一个解,所以线段
AB<
br>的垂直平分线与
x
轴的交点
C
为定点,
且点
C
坐标为
(5,0)
.
由(1)知直线
AB
的方程为
y?y
0
?
3
(x?2)
,即
y
0
x?
y
0
(y?y0
)?2
. (2)
3
2
2
(2)代
入
y?6x
得
y?2y
0
(y?y
0
)?12,即
2
y
2
?2y
0
y?2y
0
?
12?0
. (3)
依题意,
y
1
,y
2<
br>是方程(3)的两个实根,且
y
1
?y
2
,所以
2
22
??4y
0
?4(2y
0
?12)??4y
0
?48?0
,
?23?y
0
?23
.
y
AB?
?
(x
1
?x
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
(1?
(
y
0
2
))(y
1
?y
2
)
2
3
O
A
B
C(5,0)
x
6
2
y
0
?(1?)[(y
1<
br>?y
2
)
2
?4y
1
y
2
]
9
2
y
0
22
?(1?)(4y
0
?4(2y
0
?12))
9
?
2
22
(9?y
0
)(1
2?y
0
)
.
3
定点
C(5,0)
到线段
AB
的距离
h?CM?
S
?ABC
?
?
2
(5?2)
2
?(0?y
0
)
2?9?y
0
.
11
222
AB?h?(9?y
0
)(12?y
0
)?9?y
0
23
11
222
(9?y
0
)(24?2y
0
)(9?y
0
)
32
222
?24?2y
0
?9?y
0
11
9?y
0
?()
3
323
?
当且
14
7
.
3
仅当
22
9?y
0
?24?2y
0
,即
y
0
??5
,
A(
6?356?35
,5?7),
B(,5?7)
33
或
A(
6?356?35
,?(5?7)),B
(,?5?7)
时等号成立.
33
所以,
?ABC
面积的最大值为
14
7
.
3
解法二:同解法一,线段
AB
的垂直平分线与
x
轴的交点
C
为定点,且点
C
坐标为
(5,0)
.
设
x
1
?t
1
,x
2
?t<
br>2
,t
1
?t
2
,t
1
?t
2?4
,则
S
?ABC
?
2222
1
2
t
1
2
2
t
2
501
6t
1
1<
br>的绝对值,
6t
2
1
S
?ABC
?((56t
1
?6t
1
t
2
?6t
1
t
2
?56t
2
))
?
2
1
2
222
3
(t
1
?t<
br>2
)
2
(t
1
t
2
?5)
2
2
7
3
(4?2t
1
t<
br>2
)(t
1
t
2
?5)(t
1
t
2
?5)
2
314
3
?()
,
23
?
所以
S
?ABC
?
14
7?5
2
?4
,即
t1
?
7
, 当且仅当
(t
1
?t
2
)
2
?t
1
t
2
?5
且
t
1
2
?t
2
,
3
6
,
A(
t<
br>2
??
7?5
6
6?356?35
,5?7),B(,5?7
)
或
33
A(
6?356?35
,?(5?7)),B(,?5?
7)
时等号成立.
33
所以,
?ABC
面积的最大值是
3
14
7
.
3
2
11.令
f(x)?2x?5x?2
,则
f
?
(x)?6x?5?0
,所以
f(x)
是严格递增的.又
131f(0)??2?0,f()??0
,故
f(x)
有唯一实数根
r?(0
,)
.
242
所以
2r?5r?2?0
,
3
2r
?
?r?r
4?r
7
?r
10
?
3
5
1?r
.
故数列
a
n
?3n?2(n?1,2,?)
是满足题设要求的数列.
若存在两个不同的正整数数列
a
1
?a
2
???a
n
??
和
b
1
?b
2
???b
n
??
满足
r
a
1
?r
a
2
?r
a
3
???r
b
1
?r
b
2
?r
b
3
???
去掉上面等式两边相同的项,有
2
,
5r
s
1
?
r
s
2
?
r
s3
???
r
t
1
?
r
t
2
?
r
t
3
??
,
这里
s
1
?s<
br>2
?s
3
??,t
1
?t
2
?t
3
??
,所有的
s
i
与
t
j
都是不同的.
不妨设
s
1
?t
1
,则
r
s
1
?
r
s
1
?
r
s
2
???
r
t
1
?
r
t
2
??
,
1?
r
t
1
?s
1
?r
t
2
?s
1<
br>?
?
?r?r
2
?
?
?
1
?1?<
br>1?r
1
1
1?
2
?1?1
,
矛盾.故满足题设的数列是唯一的.
8
2010年全国高中数学联合竞赛加试试卷(A卷)
(考试时间:10月17日上午9∶40—12∶10)
一、(本题满分40分)
如图,锐角三角形
ABC
的外心为
O
,
K
是边
BC
上一点(不是边
BC
的中点),
D
是线段
AK
延长
线上一点,直线
BD
与
AC
交于点
N
,直线
CD<
br>与
AB
交于点
M
.求证:若
OK?MN
,则
A
,
B
,
D
,
C
四点共圆.
A
O
K
C
B
D
N
M
二、(本题满分40分)设
k
是给定的正整数,
r?k?
1
?
1
?
.记
f
?
r
?
?f
?
r
?
?r
?<
br>?
r
?
?
,
2
?
m
?
f
?
l
?
?
r
?
?ff
?
l?1<
br>?
?
r
?
,
l?2
.证明:存在正整数
m<
br>,使得
f
?
r
?
为一个整数.这里
?
?x
?
?
??
表示不小于实数
x
的最小整数,例如:??
?1
,
?
?
1
?
?
?1
.
2
三、(本题满分50分)给定整数
n?2
,设正实数
a
1
,
a
2
,…,
a
n
满足
a
k
?1
,
k?1
,
2
,…,
?
1
?
??
a?a?
n
,记
A
k
?
12
k
?a
k
,
k?1
,
2
,…,
n
.求证:
?
a
k
?
?
A
k
?
k?
1k?1
nn
n?1
.
2
四、(本题满分50分)一种密码锁的密
码设置是在正
n
边形
A
1
A
2
A
n
的每个顶点处赋值0
和1两个数中的一个,同时在每个顶点处涂染红、蓝两种颜色之一,使得任意相邻
的两个顶
点的数字或颜色中至少有一个相同.问:该种密码锁共有多少种不同的密码设置?
9
解 答
1.
用反证法.若A,B,D,C不四点共圆,设三角形
ABC的外接圆与AD交于点E,连接BE并延长交
直线
AN于点Q,连接CE并延长交直线AM于点P,连接PQ.
因为
PK
2
?
P的幂(关于⊙O)
?
K的幂(关于⊙O)
?PO?r
同理
QK
2
?
QO
2
?r
2
?KO
2
?r
2
,
M
O
A
?
22
?
?
?
KO?r
22
?
,
P
B
E
K
D
C
Q????
N
所以
PO?PK?QO?QK
,
故
OK
⊥
PQ
.
由题设,OK⊥MN,所以PQ∥MN,于是
2222
AQAP
?
.
①
QNPM
由梅内劳斯(Menelaus)定理,得
NBDEAQ
???1
, ②
BDEAQN
MCDEAP
???1
.
③
CDEAPM
NBMCNDMD
由①,②,③可得, 所以,故△DMN ∽
△DCB,于是
??
BDCDBDDC
所以BC∥MN,故OK⊥BC,即K为BC的
中点,矛盾!从而
A,B,D,C
?DMN??DCB
,
四点共圆.
注1:“
PK?
P的幂(关于⊙O)
?
K的幂(关于⊙O)”的证明
:延长PK至点F,使
得
2
PK?KF?AK?KE
,
④
则P,E,F,A四点共圆,故
?PFE??PAE??BCE
,
从而E,C,F,K四点共圆,于是
PK?PF?PE?PC
,
⑤
⑤-④,得
PK?PE?PC?AK?KE
?
P的幂(关于⊙O)
?
K
的幂(关于⊙O).
B
2<
br>A
O
F
E
K
D
P
C
10
Q
N
M
注2:若点E在线段AD的延长线上,完全类似.
2. 记
v<
br>2
(n)
表示正整数n所含的2的幂次.则当
m?v
2
(k)
?1
时,
f
下面我们对
v
2
(k)
?v
用
数学归纳法.
当
v?0
时,k为奇数,
k?1
为偶数,此时
(m)
(r)
为整数.
1
??
1
??
1
??
f(r)?
?
k?
?
?
k?
?
?
?
k?
?
?
k?1
?
2
??
2
??
2
??
为整数.
假设命题对
v?1(v?1)
成立.
对于
v?1
,设k的二进制表示具有形式
k?2
v
??
v?1
?2
v?1
?
?
v?2
?2
v?2
?
这里,
?
i
?0
或者1,
i?v?1,v
?2,
于是
f(r)?
?
k?
,
.
?
?
1
??
1
??
1
?
?
?
?
?
k?
?
?
?
k?
?<
br>?
k1
2
??
2
??
2
?
1k??k
2
?k
22
1
v?1vv?12v
??2?(
?
v?1
?1)?2?(
?
v?1
?<
br>?
v?2
)?2??2?
2
1
?k
?
?
,
①
2
?
这里
k
?
?
2
v?1
?(
?
v?1
?1)?2
v
?(
?
v?1
?
?
v?2
)?2
v?1
??2
2v
?
.
显然
k
?
中所含的2的幂次为
v?1
.故由归纳假设知,
r
?
?k
?
?
1
经过
f的v次迭代得到
2
11
整数,由①知,
f(v?1)
(r)
是一个整数,这就完成了归纳证明.
3.
由
0?a
k
?1
知,对
1?k?n?1
,有
0?<
br>?
a
i?1
k
i
?k,0?
i?k?1
?<
br>a
n
i
?n?k
.
注意到当
x,y?0
时,有
x?y?max
?
x,y
?
,于是对<
br>1?k?n?1
,有
1
n
?
11
?
kA
n
?A
k
?
?
?
?
?
a<
br>i
?
?
a
i
n
i?k?1
?nk
?
i?1
1
n
?
11
?
k
?a
i
?
?
?
?
?
a
i
?
n
i?k?1
?
kn
?
i?1
?1n
?max
?
?
a
i
,?
n
i?k?1
?1
?max
?
(n?k),
?
n
?1?
nn
?
11
?
k
?
?
?
?
?
a
i
?
?
kn
?
i?1
?
?
11
?
?
?
?
?<
br>k
?
?
kn
?
?
k
,
n
k
故
?
a?
?
A
k
k?1k?1
?nA
n
?
?
A
k
k?1
n
?
?
?
A
k?1
n?1
n?1
n
?A
k
?
?
?
A
n
?A
k
k?1
n?1
?
?
k
?
n?1
.
?
?
1?
?
?
n
?
2
k?1?
4. 对于该种密码锁的一种密码设置,如果相邻两个顶点上所赋值的数字不同,在它们所在的边上标上a,如果颜色不同,则标上b,如果数字和颜色都相同,则标上c.于是对于
给定的点
A
1
上的设置(共有4种),按照边上的字母可以依次确定点
A
2<
br>,A
3
,,A
n
上的设
置.为了使得最终回到
A1
时的设置与初始时相同,标有a和b的边都是偶数条.所以这种
密码锁的所有不同的密码
设置方法数等于在边上标记a,b,c,使得标有a和b的边都是偶
数条的方法数的4倍.
设标有a的边有
2i
条,
0?i?
??
,标有b的边有2j
条,
0?j?
?
2
2i2j
?
n
?
??
?
n?2i
?
.选取
2i
?
2??
条边标记a的有
C
n
种方法,在余下的边中取出
2j
条边标记b的有
C
n?2i
种方法,其余的边
2i2j
标记c.由
乘法原理,此时共有
C
n
C
n?2i
种标记方法.对i,j求和,密
码锁的所有不同的密
12
码设置方法数为
4
?
i?0
?
n
?
?
2
?
??
?n?2i
?
??
?
2
?
??
?
2i2
j
?
CC
?
nn?2i
?
.
①
?
j?0
??
??
0
这里我们约定
C
0
?1
.
当n为奇数时,
n?2i?0
,此时
?
n?2i
?
?
2
?
??
j?0
?
C
2j
n?2i<
br>?2
n?2i?1
. ②
代入①式中,得
4
?
i?0
?
n
?
?<
br>2
?
??
n?2i
??
n
??
n
?
?
?
?
?
2
??
2
??
2
?
????
?
2i
??
2j
?
2in?2i?1
2in?2i
CC?4C2?2C2
?
???
???
nn
?2inn
??
j?0i?0i?0
??
??
n
?
?
C2
k
n
k?0
n
n?kkn?k
?
?
C
n
2(?1)
k
?(2?1)
n
?(2?1)<
br>n
k?0
?3
n
?1
.
当n为偶数时,若
i?
nn
,则②式仍然成立;若
i?,则正n边形的所有边都标记a,
22
此时只有一种标记方法.于是,当n为偶数时,所有
不同的密码设置的方法数为
4
?
i?0
?
n
?
?
2
?
??
n?2i
?
n
?
?
?<
br>??
?
?
?
2
??
2
?
?1
??
??
?
?
2i2j
?
2in?2i?1
?<
br>4?1?C
CC?
??
?
?
n
2
?
?
n
?
n?2i
?
i?0
j?0
??<
br>??
??
??
2in?2i?1
?2?4
?
?
C
n
2
?
?3
n
?3
.
i?0
n
?
n
?
?
2
?
??
综上所述
,这种密码锁的所有不同的密码设置方法数是:当n为奇数时有
3?1
种;
当n为偶数
时有
3?3
种.
n
13
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