高中数学立体几何大题(有答案)

高中数学立体几何大题(有答
案)

1．（2014 ?山东）如图，四棱锥P﹣ABCD中，AP⊥平面PCD，
AD∥BC，AB=BC=AD，E，F分 别为线段AD，PC的中点．
（Ⅰ）求证：AP∥平面BEF；
（Ⅱ）求证：BE⊥平面PAC．

解证明：（Ⅰ）连接CE，则
答：
∵

AD∥BC，BC=AD，E为线段AD的中点，
∴四边形ABCE是平行四边形，BCDE是平行四边形，
设AC∩BE=O，连接OF，则O是AC的中点，
∵F为线段PC的中点，
∴PA∥OF，
∵PA?平面BEF，OF?平面BEF，
∴AP∥平面BEF；
（Ⅱ）∵BCDE是平行四边形，
∴BE∥CD，
∵AP⊥平面PCD，CD?平面PCD，
∴AP⊥CD，
∴BE⊥AP，
∵AB=BC，四边形ABCE是平行四边形，
∴四边形ABCE是菱形，
∴BE⊥AC，
∵AP∩AC=A，

∴BE⊥平面PAC．


3．（2014?湖北）在四棱锥P﹣ABCD 中，侧面PCD⊥底面
ABCD，PD⊥CD，E为PC中点，底面ABCD是直角梯形，
AB ∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，CD=2．
（Ⅰ）求证：BE∥平面PAD；
（Ⅱ）求证：BC⊥平面PBD；
（Ⅲ）设Q为侧棱PC上一点，
得二面角Q﹣BD﹣P为45°．
，试确定λ的值，使


解解：（Ⅰ）取PD的中点F，连接EF，AF，
，
答：
∵

E为PC中点，∴EF∥CD，且
在梯形ABCD中，AB∥CD，AB=1，
∴EF∥AB，EF=AB，∴四边形ABEF为平行四边形，
∴BE∥AF，∵BE?平面PAD，AF?平面PAD，
∴BE∥平面PAD．（4分）

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（Ⅱ）∵平面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，∴PD⊥平
面ABCD，
∴PD⊥AD．（5分）
如图，以D为原点建立空间直角坐标系D﹣xyz．
则A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，2，0），P（0，
0，1）．（6分）
，，
∴，BC⊥DB，（8分）
又由PD⊥平面ABCD，可得PD⊥BC，
∴BC⊥平面PBD．（9分）

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，平面PBD的法向量为
（10分）
∵，，且λ∈（0，1）
∴Q（0，2λ，1﹣λ），（11分）
设平面QBD的法向量为=（a，b，c），，
，
由，，得
，
∴，（12分）
∴，（13分）
因λ∈（0，1），解得．（14分）
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，

4．（2014?江苏）如图，在三棱锥P﹣ABC中，D，E，F分
别为棱PC，AC，AB的中点 ，已知PA⊥AC，PA=6，BC=8，
DF=5．求证：
（1）直线PA∥平面DEF；
（2）平面BDE⊥平面ABC．

解证明：（1）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE∥PA，
答：又∵ PA?平面DEF，DE?平面DEF，
∴PA∥平面DEF；
（2）∵D、E为PC、AC的中点，∴DE=PA=3；
又∵E、F为AC、AB的中点，∴EF=BC=4；
∴DE
2
+EF
2
=DF
2
，
∴∠DEF=90°，
∴DE⊥EF；
∵DE∥PA，PA⊥AC，∴DE⊥AC；
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∵AC∩EF=E，∴DE⊥平面ABC；
∵DE?平面BDE，∴平面BDE⊥平面ABC．
13．（2012?江苏）如图，在直三 棱柱ABC﹣A
1
B
1
C
1
中，
A
1B
1
=A
1
C
1
，D，E分别是棱BC，CC
1
上的点（点D 不同于
点C），且AD⊥DE，F为B
1
C
1
的中点．求证：
（1）平面ADE⊥平面BCC
1
B
1
；
（2）直线A
1
F∥平面ADE．

解解：（1）∵三棱柱ABC ﹣A
1
B
1
C
1
是直三棱柱，
答：∴ CC
1
⊥平面ABC，
∵AD?平面ABC，
∴AD⊥CC
1

又∵AD⊥DE，DE、CC
1
是平面B CC
1
B
1
内的相交直线
∴AD⊥平面BCC
1
B
1
，
∵AD?平面ADE
∴平面ADE⊥平面BCC
1
B
1
；
（2）∵△A
1
B
1
C
1
中，A
1
B
1
=A
1
C
1
，F为B
1
C
1
的中点
∴A
1
F⊥B
1
C
1
，
∵CC
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
，A
1
F ?平面A
1
B
1
C
1
，
∴A
1
F⊥CC
1

又∵B
1
C
1
、CC
1
是平面BCC
1
B
1
内的相交直线
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∴A
1
F⊥平面BCC
1
B
1

又∵AD⊥平面BCC
1
B
1
，
∴A
1
F∥AD
∵A
1
F?平面ADE，AD?平面ADE，
∴直线A
1
F∥平面ADE．
16．（2010?深圳模拟）如图，在四棱 锥S﹣ABCD中，底面
ABCD为正方形，侧棱SD⊥底面ABCD，E、F分别是AB、
S C的中点
（1）求证：EF∥平面SAD
（2）设SD=2CD，求二面角A﹣EF﹣D的大小．


解（1）如图，建立空间直角坐标系D﹣xyz．
答：设 A（a，0，0），S（0，0，b），则B（a，a，0），C（0，
a，0），，．
取SD的中点，则．平
面SAD，EF?平面SAD，
所以EF∥平面SAD．
（2）不妨设A（1，0，0），则B（1，1，0），C（0，1，
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0），S（0，0，2），
，
又，
，
，
，
．EF中点

，
所以向量和的夹角等于二面角A﹣EF﹣D的平面
角．．
所以二面角A﹣EF﹣D的大小为．


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