高中数学函数解答题及答案

《函数》解答题及答案
x?2x
1、已知函数
y?lg(4x?3? x)
定义域为
M
，求
x?M
时，函数
f(x)?2?4的值域。
2

解：
由
4x?3?x?0
即
(x?1)(x?3)?0
得
1?x?3

所以
M?
?
x|1?x?3
?

由
f(x)?2
x?2
2
?4
x
??(2
x
)
2
?4?2
2
??(2
x
?2)
2< br>?4

Qx?M

?
当
1?x?3
时
0?2
x
?2?6

??32?f(x)?4

∴ 函数
f
?
x
?
的值域是
?
?32,4
?



2、已知函数 错误!未找到引用源。。
（1）求函数错误!未找到引用源。的定义域和值域；
（2）设错误!未找到引用源。（错误 !未找到引用源。为实数），求错误!未找到引用源。
在错误!未找到引用源。时的最大值错误!未找到 引用源。；
（3）对（2）中错误!未找到引用源。，若错误!未找到引用源。对满足错误!未找到引 用
源。所有的实数错误!未找到引用源。及错误!未找到引用源。恒成立，求实数错误!未找到
引用源。的取值范围。

【解】错误!未找到引用源。由1+x≥0且1-x≥0，得-1≤ x≤1,所以定义域为错误!未找到引用源。
又错误!未找到引用源。由错误!未找到引用源。≥0 得值域为错误!未找到引用源。
（2）因为错误!未找到引用源。
令错误!未找到引用源。，则错误!未找到引用源。，
∴错误!未找到引用源。错误!未找到引用源。(错误!未找到引用源。)+t=错误!未找到引用源。
由题意知g(a)即为函数错误!未找到引用源。的最大值。
注意到直线错误!未找到引用源。是抛物线错误!未找到引用源。的对称轴。
因为a<0时,函数y=m(t), 错误!未找到引用源。的图象是开口向下的抛物线的一段，
1

（3）易得错误!未找到引用源。，
由错误!未找到引用源。对错误!未找到引用源。恒成立，
即要使错误!未找到引用源。?
即
m
2
?2tm?0
恒成立，
错误!未找到引用 源。令错误!未找到引用源。，对所有的错误!未找到引用源。成立，
只需错误!未找到引用源。解得错 误!未找到引用源。.

3、已知函数
f(x)?lg
2x
a x?b
,f(1)?0
，当
x?0
时，恒有
f(x)?f(
1
x
)?lgx

（1）求
f(x)
的表达式；
（2）若方程
f(x)?lg(8x?m)
的解集为
?
，求实数
m< br>的取值范围.

【解】（1）
2
当

恒成立
3
，
时，


即

又
恒

4
成立
，
，
即

2）解法一：
，

5
从而
（
由

方程的解集为
6

，故有两种情况：

①方程
7
无解，即
得，

②方程
8
有解，
内
两根均在
，

则
综合①②得实数
9
取值范围是

的

（2）解法二：
若方程有解，
则
10



由

由
当
11
则

当且仅当
当
，
12
时取到18
则



，

是

13
减函数，所以
在即

故当方程无解时，
上

14
值域为
取值范围是
的
的

4、设
x
1
,x
2
为函数
f (x)?ax?(b?1)x?1(a,b?R,a?0）
两个不同零点.
（1）若
x
1
?1
，且对任意
x?R
,都有
f(2?x)?f(2? x)
，求
f(x)
；
（2）若
b?2a?3
，则关于x
的方程
f(x)?2x?a+2
是否存在负实根?若存在,求出该负
根 的取值范围，若不存在,请说明理由；

【解析】（1）由
f(2?x)?f(2? x)
得函数
f(x)
关于
x?2
对称，则
?
又
a?b?1?1?0
解得
a?
2
b?1
?2

2a
1114
,b??

f(x)?x
2
?x?1

3333
aa
（2）由
a?0
知只需考虑
x?
时的情况 当
x?
时
f(x)?2x?a+2
可化为
22
ax
2
?(2a?4)x?1?a?2x+2即ax
2
?(2a?2)x?a?1?0< br>
?a?1
Q??(2a?2)
2
?4a(a?1)?8a
2
?4a?4?0且?0

a
所以关于
x
的方程
f( x)?2x?a+2
存在唯一负实根
x
0

??
?(2a? 2)?(2a?2)
2
?4a(a?1)
111
x
0
=??
?
(1?)???2
?

2
2aaaa
??
111
则t??
令
t??
a22
??
7
?
1
?
?
1
?17
?
?
2
4
?
在
?
?,??
?
上单调递增
x
0
=?
?
?t?t?
?
??
?
?
4
?
7
?
?
2
?
?
2
2
?
2
t?t?
?
4
?< br>??
15

则
x
0
?
?
? 1?2，-
?

?
?
1
?
2< br>?
?
1
?
5、
已知奇函数
f
?
x< br>?
的定义域为
?
?1,1
?
,当
x?
??1,0
?
时,
f
?
x
?
??
??< br>.
?
2
?
(1)求函数
f
?
x
?
在
?
0,1
?
上的值域；
(2) 若
x?
?
0,1
?
,
x
1
f
4
2
?< br>x
?
?
?
f
?
x
?
?1
的 最小值为
?2
，求实数
?
的值.
2
?x
?
1
?
【
解】(1) 设
x??
0,1
?
,则
?x?
?
?1,0
?
时,所以
f
?
?x
?
??
??
?
2
?
又因为
f
?
x
?
为奇函数,所以有
f
?
?x
?
??f
?
x
?

所以当
x?
?
0,1
?
时,
f
?
x
?
??f
?
?x
?
?2
,
x
??2
x

所以
f
?
x
?< br>?
?
1,2
?
,
又
f
?
0
?
?0

所以,当
x ?
?
0,1
?
时函数
f
?
x
?
的 值域为
?
1,2
?
?{0}

(2)由(1)知当
x?
?
0,1
?
时
f
?
x
?
?< br>?
1,2
?
,所以
令
t?
1
?
1< br>?
f
?
x
?
?
?
,1
?

2
?
2
?
11
f
?
x
?
,则
?t?1
,
22
2
1
g
?
t
?
?
f
4
①当
?
?
?
?
x?
?f
?
x
?
?1?t?
?
t?1
?
?
?
t?
?
?1?

2
2
?< br>4
?
2
?
2
2
?
2
?
1< br>?
1
?
,即
?
?1
时,
g
?
t
?
?g
??
,无最小值,
2
?
2
?
?
2
1
?
?
?
?
??2
, ②当
??1
,即
1?
?
?2
时,
g
?t
?
min
?g
??
?1?
24
22
??
解得
?
??23
舍去
③当
?
2
?1
,即
?
?2
时,
g
?
t
?
m in
?g
?
1
?
??2
,解得
?
?4
综上所述,
?
?4




16

6、（Ⅰ）设
x?1,y?1,
证明

x?y?
1
xy
?
1
x
?
1
y< br>?xy

(Ⅱ）
1?a?b?c
，证明
log
a< br>b?log
b
c?log
c
a?log
b
a?log
c
b?log
a
c
.
解：（1）不等式等价于证明
x
2
y?xy
2
?1?y?x?x
2
y
2

而
(x
2
y
2
?1)?(x?y?x
2< br>y?xy
2
)?(x
2
y
2
?1)?[(x?y)( 1?xy)]

?(xy?1)(xy?1)?(xy?1)(x?y)?(xy?1)(xy?x?1?y)

?(xy?1)(x?1)(y?1)
，当
x?1,y?1
时，此式大于等于 零。所以原不等式成立。
(2)令
x?log
a
b,y?log
b
c
，由已知条件
1?a?b?c
得，
x?1,y?1
则有
log
1
c
a?log
c
b?log
b< br>a?
xy
，由(1)中的证明可得：不等式成立




7、已知函数
f(x)?log
4
(4
x
?1) ?kx(k?R)
为偶函数.
(Ⅰ) 求
k
的值;
(Ⅱ) 若 方程
f(x)?log
4
(a?2
x
?a)
有且只有一个根 , 求实数
a
的取值范围.

10、解：（1）因为
f(x)为偶函数，所以
f(?x)?f(x)


log
4
( 4
?x
?1)?kx?
log
4
(4
x
+1)+k x

?
(2k?1)x?0
?k??
1
2

（2）依题意知：
log
x
1
?
4
x
?1 ?(a?2
x
?a)?2
x
x
4
(4?1)?
2< br>x
?log
4
(a2?a)

?
?
?
(a?2
x
?a)?0
令
t?2
x
则*变为
(1?a)t
2
?at?1?0
只需其有一正根。
（1）
a?1,t??1
不合题意
17
*

?
??a
2
?4(1?a) ?0
?
（2）*式有一正一负根
?
经验证满足
a?2
x
?a?0
?a?1

1
t1
t
2
??0
?
1?a
?
（3）*两根相等即
??0?a??22?2
经验证
a?2
x
?a?0

?a??2?22

综上所述
?a?1
或
a??2?22



8、（2006江苏）设a为实数，设函数
f(x)?a1?x
2
?1?x?1?x
的最大值为g(a)。
（Ⅰ）设t＝
1?x?1?x
，求t的取值范围，并把f(x)表示为t的函数m(t)； （Ⅱ）求
g(a)的表达式。

20．解：
t?1?x?1?x

要使有t意义，必须1+x≥0且1-x≥0，即-1≤x≤1,
∴
t
2
?2?21?x
2
?[2,4],
t≥0 ①
2
t的取值范围是
[2,2].
由①得
1?x?
12
t?1

2
1
2
1
t?1
)+t=
at
2
?t?a,t?[2,2]

2
2
1
2
（2）由题意知g(a)即为函数
m(t)?at?t?a,t?[2,2]
的最 大值。
2
①当a=0时，m(t)=t,
t?[2,2]
,∴g(a)=2.
1
1
2
② 当a≠0 时，直线
t??
是抛物线
m(t)?at?t?a
的对称轴，分以下几种情况 讨
a
2
∴m(t)=a(
论。
当a>0时，函数y=m(t),
t?[2,2]
的图象是开口向上的抛物线的一段，
1
<0知m(t)在< br>[2,2].
上单调递增，∴g(a)=m(2)=a+2
a
当a<0时,函数y=m(t),
t?[2,2]
的图象是开口向下的抛物线的一段， 111
若
t???
?
2,??
?
，即
??a? 0??a?0
则
a22
g(a)?m(2)?a?2

由
t ??
21
1
11
?a??
则
g(a)?m(?)??a?< br>?2,2
，即
?

22
a
a2a
2
1
若
t???0,2
，即
a??
则
g(a)?m(2)?2

2
a
若
t??
??
?
?
1?
a??
?
a?2,
2
?
综上有
?
121
g(a)?
?
?a?,??a??
2a22
?
?< br>2
a??
?
2,
2
?


18

9、设函数
g(x)?
x
(x?0)
，
f( x)?ax?(1?a
2
)x
2
，其中
a?0
,区间
2
1?x
I?{xf(x)?0}

（1）证明：函数
g(x)
在
(0,1]
单调递增；
（2 ）求
I
的长度(注:区间
(
?
,
?
)
的长 度定义为
?
?
?
)；
（3）给定常数
k?(0,1),当
1?k?a?1?k
时,求
I
长度的最小值.

【解】（1）∵
g(x
1
)?g(x
2
)?
x
1< br>x
2
(x
1
?x
2
)(1?x
1
x
2
)
??

2222
1?x
1
1?x2
(1?x
1
)(1?x
2
)
22
若
0?x
1
?x
2
?1
，则
x
1
?x
2
?0
，
1?x
1
x
2
?0
，
1?x
1
?0
，
1?x
2
?0

则
g(x
1
)?g(x
2
)?0
，即
g(x
1)?g(x
2
)

∴函数
g(x)
在
(0,1]
单调递增.
………5分

(2)∵
f(x)?x[a?(1?a)x]?0

2
aa
，即区间长度为.
I
)
1?a
2
1?a
2
(x?x
2
)(1?x
1
x
2
)
(3) 由（1）知，
g(x
1
)?g(x
2
)?
1
2
(1?x
1
2
)(1?x
2
)
∴
x ?(0,
若
1?x
1
?x
2
，则
x
1?x
2
?0
，
1?x
1
x
2
?0，
1?x
1
?0
，
1?x
2
?0
< br>则
g(x
1
)?g(x
2
)?0
，即
g(x
1
)?g(x
2
)

∴
g(x)
在
[1,??)
单调递减，
22
a
，又∵
k?(0,1),0?1-k?1,1?1?k?2
，
1?a
2
∴函数
g(a)
在
[1?k,1]
单调递 增，
g(a)
在
[1,1?k]
单调递减；
∴当
1?k?a?1?k
时,
I
长度的最小值必在
a?1?k
或
a?1?k
处取得， < br>1?k
g(1?k)
1?(1?k)
2
2?k
2
?k
3
而
???1
，又
g(1?k)?0

1?kg(1?k)
2?k
2
?k
3
1?(1?k)
2
故
g(1?k)?g(1?k)

1?k
所以
当a?1?k时，I取最小值g(1?k)?
.
2
2?2k?k
由(2)知,
I?g(a)?






10、 已知函数
f
?
x
?
?

mx?1

x?2
19

（1）若
m?1
，判断函数
f
?
x
?
在
(?2，
上的单调性并用定义证明；
? ?）
mx?1
在
(?2，
上是增函数，求实数
m
的取值范围 .
??）
x?2
x?1
解：（1）当
m?1
时，
f
?
x
?
?
，
x?2
（2）若函数
f
?
x
?
?
设
?2?x
1
?x
2
，则
f(x
2
)?f(x
1
)?
x
2
?1x
1
?1x
2
?x
1
??

x
2
?2x
1
?2(x
2
?2)(x
1
?2)
∵
?2?x?2?0
，∴
x
2
?x1
1
?x
2
∴
x
2
?x
1
? 0，x
1
?2?0，x
2
(xx
>0，
2
?2)(
1
?2)
即
f(x
2
)?f(x
1
)? 0
，∴函数
f
?
x
?
在
(?2，??）
上 是增函数.
（2）设
?2?x
1
?x
2
，由f
?
x
?
在
(?2，??）
上是增函数，有
即
f(x
mx
2
?1mx
1
?1(2m?1)(x
2
2
)?f(x
1
)?
x
?
x
?
?x
1
)
?0
成立，
2
?2
1
?2 (x
2
?2)(x
1
?2)
∵
?2?x
1
?x
2
，∴
x
2
?x
1
?0，x
1
?2?0，x
2
?2?0
，
必须
2m?1?0，即m?
11
2
所以，实数
m
的取值范围是
(
2
，??)


20

?
a?1或a?3
?
?1?a?5
?
(2a?4)?4?0
?
?
?3??a?2?3?
?
11
……6分解得：
?
?
a?
2
3
?
?
(?3)?3(2a?4)?1?0
?
?
3
2
?3(2a?4)?1?0
1
?
a?
?
3
?
2
111
?a?1
或
3?a?

33
1
∴ 若
P
正确，
Q
错误时，
0?a?
，
3< br>11
若
Q
正确，
P
错误时，
3?a?

3
111
综上，
a
的取值范围是
(0,]?(3,)
.
33
∴

11、已知函数
f(x)?a?2?b?3
，其中常数
a,b
满足
a?b?0

（1）若
a?b?0
，判断函数
f(x)
的单调性；
（2）若
a?b?0
，求
f(x?1)?f(x)
时的
x
的 取值范围.
xx
21

?
??
?
2b
?
?

a? 0,b?0
时，
?
xx?log
2
?
?
?
?

a
?
??
3
?
??

12、函数
f(x)?x?x?1?m

（1）设函数
g(x)? (2?m)x?3m
，若方程
f(x)?g(x)
在
(0,1]
上有 且仅一个实根，求实
数
m
的取值范围；
（2）当
m?1
时，求函数
y?f(x)
在
[0,m]
上的最大值.
22

由
m?m?
2
11
1?2
2得
m?m??0
又
m?1
?m?

44
2
∴当
m?


1
1?21?22
时，
f(x)
max
?m
，当
1?m?
时，
f(x)
max
?m?

4
22
13、函数
y?a1?x?1?x?1?x
（
a?R
），设
t?1?x?1?x
（
2?t?2
）
．

（1）试把
y
表示成关于
t
的函数
m(t)
； < br>（2）记函数
m(t)
的最大值为
g(a)
，求
g(a)；
（3）当
a??2
时，试求满足
g(a)?g()
的所有 实数
a
的值
．


2
1
a
23

（3）①当
?2?a??
212
?
1
?时，
?2???
，此时
g(a)?g
??
?2
，
2a2
?
a
?

2
………………10分
21
21
1
?
1
?
?a??
时，
?2? ??2
，此时
g(a)??a?, g
??
?2
②当
?< br>a
22
2a
?
a
?
??2?a??
由
?a?
1
22
?2
得
a??
，与
a??
矛盾，舍去； ………………11分
2a
22
24

14、 已知函数
f(x)
的图象与函数
h(x)?x?
1
?2
的图象关于点A（0，1）对称.
x
a
x
（1）求函 数
f(x)
的解析式（2）若
g(x)
=
f(x)
+，且< br>g(x)
在区间（0，
2]
上的
值不小于
6
，求实数
a
的取值范围.
解：（1）设
f(x)
图象上任一点坐标为(x,y)
，点
(x,y)
关于点A（0，1）
的对称点
(?x,2?y)
在
h(x)
的图象上
?2?y ??x?
1
11
?2,?y?x?,
即
f(x)?x?

x
?xx
（2）由题意
g(x)?x?
a?1a?1
?6
，且
g(x)?x?
xx
∵
x?
（0，
2]
∴
a?1?x(6?x)
，即
a??x
2
?6x?1
， 令
q(x)??x
2
?6x?1
，
x?
（0，
2]
，
q(x)??x
2
?6x?1＝－(x?3)
2
?8
，
∴
x?
（0，
2]
时，
q(x)
m ax
?7
…11′∴
a?7

方法二：
q
?
(x)??2x?6
，
x?
（0，
2]
时，
q
?
(x)?0
< br>即
q(x)
在（0，2
]
上递增，∴
x?
（0，2< br>]
时，
q(x)
max
?7
∴
a?7




.





25