高中数学体积试题和答案

第一章第三节空间几何体的表面积和体积
2．圆台的体积为7π，上、下底面的半径分别为1和2，则圆台的高为( )
A．3
C．5
[答案] A
1
[解析] 由题意，
V
＝(π＋2π＋4π)
h
＝7π，∴
h
＝3.
3
3．若一圆柱与圆锥的高相等，且轴截面面积也相等，那么圆柱与圆锥的体积之比为
( )
A．1
C．
3

2
1
B．
2
3
D．
4
B．4
D．6
[答案] D
[解析] 设圆柱底面半径为
R
，圆锥底面半径
r
，高都为
h
，由已知得2
Rh
＝
rh
，∴
r
＝
2< br>R
，
V
柱
?
V
锥
＝π
R
2
h
?π
r
2
h
＝3?4，故选D．
5．(2013·广东)某四棱台的三视图如图所示，则该四棱台的体积是( )
1
3

A．4
16
C．
3
[答案] B
[分析] 根据三视图可知此几何体为棱台，分别确定棱台的底面面积和高即可求得体
积．
[解析] 由 四棱台的三视图可知，台体上底面积
S
1
＝1×1＝1，下底面积
S
2
＝2×2＝4，
1114
高
h
＝2，代入台体的体积公式
V
＝(
S
1
＋
S
1
S
2
＋
S
2
)
h
＝×(1＋1×4＋4)×2＝.
333


1
14
B．
3
D．6

6．(2014·辽宁理)
某几何体三视图如图所示，则该几何体的体积为( )

A．8－2π
π
C．8－
2
[答案] B
1
[解析] 该几何体为一个棱长为2的正方体在两端各削去一个圆柱．
4
B．8－π
π
D．8－
4
V
＝2×2×2－2××(π×1
2
×2)＝8－π.
二、填空题
7．已知圆锥
SO
的高为4，体积为4π，则底面半径
r
＝________.
[答案] 3
1
4
1
2
[解析] 设底面半径为
r
，则π
r
×4＝4π，解得
r
＝3，即底面半径为3.
3
8．(201 3·江苏)如图，在三棱柱
A
1
B
1
C
1
－
ABC
中，
D
，
E
，
F
分别是
AB，
AC
，
AA
1
的中点．设
三棱锥
F
－
ADE
的体积为
V
1
，三棱柱
A
1
B< br>1
C
1
－
ABC
的体积为
V
2
，则
V
1
?
V
2
＝________.

[答案] 1?24
[分析] 找到棱锥的底、高与棱柱的底、高之间的关系，从而可以得出它们的体积之
比．
111
[解析] 设三棱柱
A
1
B
1
C
1
－
ABC
的高为
h
，底面三角形
ABC
的面积为< br>S
，则
V
1
＝×
S
×
342

2

h
＝
Sh
＝
V
2
，即
V
1
?
V
2
＝1?24.
三、解答题
9．已知圆台的高为3，在轴截面中，母线
AA
1
与底面圆直径
AB
的夹角为60°，轴截面
中的一条对角线垂直于腰，求圆台的体积．
1
24
1
24

[解析] 如图所示，作轴截面
A
1
ABB
1
，设圆台的上、下底面半径和母线长分别为
r
，
R
，
l
，高为
h
.
作
A
1
D
⊥
AB
于点
D
，
则
A
1
D
＝3.
1
又∵∠
A
1
AB
＝60°，∴
AD
＝
A
1
D
·， < br>tan60°
即
R
－
r
＝3×
3
，∴
R
－
r
＝3.
3
又∵∠
BA
1
A＝90°，∴∠
BA
1
D
＝60°.
∴
BD
＝
A
1
D
·tan60°，即
R
＋
r
＝3 ×3，
∴
R
＋
r
＝33，∴
R
＝23，
r
＝3，而
h
＝3，
1
22
∴
V
圆台< br>＝π
h
(
R
＋
Rr
＋
r
)
3
1
22
＝π×3×[(23)＋23×3＋(3)]
3
＝21π.
所以圆台的体积为21π.
10．(2011·浙江高考)若某几何体的三视图(单位：cm)如图所示，求此几何体的体积．

[解析] 该空间几何体的上部分是底面边长为4，高为2的正四棱柱，体积为16×2＝< br>1
32；下部分是上底面边长为4，下底面边长为8，高为3的正四棱台，体积为×(16＋4× 8
3

3

＋64)×3＝112.故该空间几何体的体积为144.
能力提升
一、选择题
3．如图(1)所示，一只装了水的密封瓶子，其内部可以看成是由半径为1 cm和半径为
3 cm的两个圆柱组成的简单几何体．当这个几何体如图(2)水平放置时，液面高度为20 cm，
当这个几何体如图(3)水平放置时，液面高度为28 cm，则这个简单几何体的总高度为( )

A．29 cm
C．32 cm
[答案] A
[解析] 图(2)和图(3)中，瓶子上部没有液体的部分容积相等，设这个简单几何体的总
高度为
h
，则有π×1(
h
－20)＝π×3(
h
－28) ，解得
h
＝29(cm)．
4．(2015·山西曲沃中学上学期期中)
下图所示是一个几何体的正视图、侧视图、俯视图，且正视图、侧视图都是矩形，则该
几何体的体积是( )
22
B．30 cm
D．48 cm

A．24
C．8
[答案] B
[解析] 由三视图该几何体是两个完全一样的三棱柱．
B．12
D．4
V
＝××2×4×2＝12，故选B．
二、填空题
5．(2014·全国高考江苏卷)
设甲、乙两个圆柱的底面积分别为
S
1
、
S
2
，体积分别为
V
1
、
V
2
，若它们的的侧面积相等
1
2
3
2

4

且
S
1
?
S
2
＝9? 4，则
V
1
?
V
2
＝________.
[答案] 3?2
S
1
π
r
2
9
r
11
[解析] 设甲圆柱底面半径
r
1
，高
h
1
，乙圆柱底面半径
r
2
，高
h
2
，＝
2
＝，∴＝
S
2
π
r
2
4
r
2
3
h
1
2
V
1
π
r
1
h
1
3
，又侧面积 相等得2π
r
1
h
1
＝2π
r
2
h
2
，∴＝.因此＝
2
＝.
2
h
2
3
V
2
π
r
2
h
2
2
三、解答题
8 ．(2015·湖南师大附中期末)某工厂为了制造一个实心工件，先画出了这个工件的三
视图(如图) ，其中正视图与侧视图为两个全等的等腰三角形，俯视图为一个圆(含圆心)，三
视图尺寸如图所示(单 位cm)．
2

(1)求出这个工件的体积；
(2)工件做好后，要给表 面喷漆，已知喷漆费用是每平方厘米1元，现要制作10个这样
的工件，请计算喷漆总费用(精确到整数 部分)．
[解析] (1)由三视图可知，几何体为圆锥，底面直径为4 cm，母线长为3 cm，
设圆锥高为
h
cm，
则
h
＝3－2＝5，
1 1
2
145
3
则这个工件的体积
V
＝
Sh
＝π
Rh
＝π×4×5＝π(cm)．
3333
(2)圆锥的侧面积
S
1
＝π
Rl
＝6π(cm)，
则表面积＝侧面积＋底面积＝6π＋4π＝10π(cm)，
故喷漆总费用＝10π×1×10＝100π≈314(元)．
4． 若长方体的一个顶点 上的三条棱的长分别为
3,4,5
，从长方体的一条对角线的一个端
点出发,沿表面运 动到另一个端点,其最短路程是______________．
4．
74
从长方体的一条对角线的一个端点出发,沿表面运动到另一个端点,有两种方案
2222

4?(3?5)?80,或5?(3?4)?
2
2
22
74


6． 若圆锥的表面积为
a
平方米，且它的侧面展开图是一个半圆，则这个圆锥的底面的
直径为_______________．
6．
23
?
a
设圆锥的底面的半径为
r
，圆锥的母线为
l
，则由
?
l?2
?
r
得
l?2r
，
3
?
5

而
S
圆锥 表
?
?
r
2
?
?
r?2r?a
，即
3
?
r?a,r?
2
a3
?
a
23
?< br>a
，即直径为
?
3
?
3
?
3
?

17.（10 分）已知：一个圆锥的底面半径为
R
，高为
H
，在其中有一个高为
x
的
内接圆柱．
（1）求圆柱的侧面积；
（2）
x
为何值时，圆柱的侧面积最大．




17. 解：（1）设内接圆柱底面半径为r.



S
圆柱侧
?2
?
r?x①?
rH?x
?
RH
?r?< br>R
(H?x)②

H
②代入①
S
圆柱侧
? 2
?
x?
R2
?
R
(H?x)??x
2
? Hx(0?x?H)

HH
??
（2）





?x?
H
时
2
S
圆柱侧最大
2
2
?
R
?
?
H
?
H
2
?
?
?
?
?
x?
?
?
?

H
?
2
?
4
?
?
?
?
?
RH
?

2

1
6．圆锥的高扩大到原来的2倍，底面 半径缩短到原来的
2
，则圆
锥的体积( )
A．缩小到原来的一半 B．扩大到原来的2倍
1
C．不变 D．缩小到原来的
6

6[答案] A
1
?
1
?
2
1
2
??
r
[解析] V＝
3
π
2
×2h＝
6
πr
h，故选A.
??
[答案] C

7．三个球的半径之比为1:2:3，那么最大球的表面积是其余两个
球的表面积之和的( )
A．1倍 B．2倍

6

97
C.
5
倍 D.
4
倍
7[解析] 设最小球的半径为r，则另两个球的半径分别为2r、3r，
2
36πr
9
2,2,2
所以各球的表面积分别为4πr
16πr36πr
，所 以
2
＝.
4πr
＋16πr
2
5

9． 圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，
圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的 半径为( )
A．7 B．6
C．5 D．3
9[答案] A
[解析] 设圆台较小底面圆的半径为r，由题意，另一底面圆的
半径R＝3r.
∴S
侧
＝π(r＋R)l＝π(r＋3r)×3＝84π，解得r＝7.

10．如图所示是古希腊数学家阿基米德的墓碑文，墓碑上刻着一
个圆柱，圆柱内有一个内切球 ，这个球的直径恰好与圆柱的高相等，
相传这个图形表达了阿基米德最引以为自豪的发现．我们来重温这 个
伟大发现．圆柱的体积与球的体积之比和圆柱的表面积与球的表面积
之比分别为( )

32
A.
2
，1 B.
3
，1
3323
C.
2
，
2
D.
3
，
2

10[答案] C
[解析] 设球的半径为R，
则圆柱的底面半径为R，高为2R，
4
3
V
圆 柱
2πR
3
3
23
∴V
圆柱
＝πR×2R＝2πR ，V
球
＝
3
πR
.∴＝＝，
V
球
43
2
3
πR
S
圆柱
＝2πR×2R＋2×πR
2
＝6πR
2
，S
球
＝4πR
2
.
S< br>圆柱
6πR
2
3
∴＝
4πR
2
＝
2
.
S
球
15．圆柱的侧面展开图是边长为6π和4π的矩形，则圆柱的表面 积为
________．
15[解析] 圆柱的侧面积S
侧
＝6π×4π＝24π
2
.
(1)以边长为6π的边为轴时，4π为圆柱底面圆周长，所以2πr＝4π，
即r＝2.

7

所以S
底
＝4π，所以S
表
＝24π
2
＋8π.
(2)以4π所在边为轴时，6π为圆柱底面圆周长，所以2π r＝6，即
r＝3.所以S
底
＝9π，所以S
表
＝24π
2
＋18π.
16．一个几何体的三视图及其尺寸如下图所示，其中主视图是直
角三角 形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，则这个几何体的表
面积是________．


22[解析] 由题意，知所成几何体的表面积等于圆台下底面积＋
圆台的侧面积＋半球面面积．
1
又S
半球面
＝
2
×4π×2
2
＝8π(cm
2)，
S
圆台侧
＝π(2＋5)?5－2?
2
＋4
2< br>＝35π(cm
2
)，
S
圆台下底
＝π×5
2
＝25π(cm
2
)，
即该几何全的表面积为
8π＋35π＋25π＝68π(cm
2
)． π
又V
圆台
＝
3
×(2
2
＋2×5＋5
2
)×4＝52π(cm
3
)，
1
4π
3
16 π
V
半球
＝
2
×
3
×2＝
3
(c m
3
)．
16π140π
所以该几何体的体积为V
圆台
－ V
半球
＝52π－
3
＝
3
(cm
3
)．



8