教师资格证考试：2018下高中数学真题

2018年下半年高中数学教师资格证考试真题及解析
一、单选题
1.与向量
a?
?
2,3,1
?
平行的平面是（）
A.x-2y+z=3B.2x+y+3z=3C.2x+3y+z=3D.x-y+z=3
2.
lim
1?cosx
的值是（）
x?0
x
2
1
C.1D.
?

2
A.0B.
3.函数f（x）在[a，b]上黎曼可积的必要条件是f（x）在[a，b]上（）
A.可微B.连续C.不连续点个数有限D.有界
?
x
?
4.定积 分
?
b1?
??
dx
（a＞0，b＞0）的值是（）
?a
?
a
?
a
2
A.
?
ab
B.?
ab
2
C.
?
ab
3
D.
?
ab
4

5.与向量
α?
?
1,0,1
?
，
β?
?
1,1,0
?
线性无关的向量是（）
A.（2,1,1）B.（3,2,1）C.（1,2,1）D.（3,1,2）
6.设（f x）=acosx+bsinx是R到R的函数，V=
?
f
?
x
?< br>|f
?
x
?
?acosx?bsinx,a,b?R
?
是线性空间，则V的维数是（）
A.1B.2C.3D.
?

7.在下列描述课程目标的行为动词中，要求最高的是（）
A.B.了解C.掌握D.知道
8.命题p的逆命题和命题p的否命题的关系是（）
A.同真同假B.同真不同假C.同假不同真D.不确定
二、简答题
9.求函数f（x）=3cosx+4sinx的一阶导数为0的点。
?
x
??
x
?
?
21
??
x
?
??
x
?
?
10.设
D?
?
若
??
满足方程xy =1，求
???
，
?
?
?
表示
??
在D作 用下的象，
yy
52y
????
?????
y
?
?
满足的方程。

11.设f（x）是[0，1]上的可导函数，且
f< br>?
?
x
?
有界。证明：存在M＞0，使得对
于任意的x
1
，x
2
∈[0,1]，有
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?Mx
1
?x
2< br>。
12.简述日常数学教学中对学生进行学习评价的目的。
13.给出基本不等式
ab?
学生数学学习的作用。
三、解答题
?
0,x?0,
?
14.设随机变量
?
服从[0,1]上的均匀分布 ，即
P
?
?
?
?
??,x
?
?
?
?
x,0?x?1,
求
?
1,x?1。
?
a?b< br>（a，b≥0）的一种几何解释，并说明几何解释对
2
P
?
?
2
?
?
-?，x
?
?
。
四、论述题
15.论述数学教学中使用信息技术的作用，并阐述使用信息技术与其他教学手段
的关系。
五、案例分析题
16.案例：下面是高中“集合”一章“集合的含义与表示”的部分教材内容：
在小学和初中 ，我们已经接触过一些集合，例如，自然数的集合，有理数的集合，
不等式的解的集合，到一个定点的距 离等于定长的点的集合（即圆），到一条线
段的两个端点距离相等的点的集合（即这条线段的垂直平分线 ）……
那么，集合的含义是什么呢?我们再来看一些例子：
（1）1~20以内的所有素数；
（2）我国从1991~2003年的13年内所发射的所有人造卫星；
（3）金星汽车厂2003年生产的所有汽车；
（4）2004年1月1日之前与中华人民共和国建立外交关系的所有国家；
（5）所有的正方形；
（6）到直线1的距离等于定长d的所有的点；
（7）方程x
2
+3x-2=0的所有实数根；
（8）新华中学2004年9月入学的所有的高一学生。
例（1）中，我们把1~20以内的 每一个素数作为元素，这些元素的全体就是一个

集合；同样地，例（2）中，把我国从1 991~2003年的13年内发射的每一颗人造
卫星作为元素，这些元素的全体也是一个集合。
【元素1】
上面的例（3）到例（8）也都能组成集合吗?它们的元素分别是什么?
一般地，我们把研究对象统称为元素（element）,把一些无素组成的总体叫作集
合（set） （简称为集）。
给定的集合，它的元素必须是确定的。也就是说，给定一个集合，那么任何一个
元素在这个集合中就确定了。例如，“中国的直辖市”构成一个集合，北京、上
海、天津、重庆在这个 集合中，杭州、南京、广州……不在这个集合中。“身材
较高的人”不能构成集合，因为组成它的元素是 不确定的。
一个给定集合中的元素是互不相同的。也就是说，集合中的元素是不重复出现的。
构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个集合是相等的。
【思考2】
判断下列元素的全体是否组成集合，并说明理由：
（1）大于3小于11的偶数；
（2）我国的小河流。
我们通常用大写拉丁字母A，B，C…表示集合，用小写拉丁字母a， b，c…表示
集合中的元素。
如果a是集合A的元素，就说a是属于（belong to）集合A，记作a∈A；如果a
不是集合A中的元素，就说a不属于（not belong to）集合A，记作a?A。
例如，我们用A表示“1~20以内的所有素数”组成的集合，则有3∈A，4?A，
等等。
问题：
(1)阅读这段教材，概括与集合有关的新知识点；
(2)阅读这段教材中的【思考2】，说明设置此栏目内容的主要意图；
(3)请说明集合在高中数学课程中的地位和作用。
六、教学设计题(本大题1小题，30分)
17.通过直观感知、操作确认，归纳出直线与平 面垂直的判定定理：一个直线与
一个平面内的两条相交直线垂直，则该直线与此平面垂直。

请你完成下列任务：
（1）请你设计一个探索该定理的活动成问题情境，并说明设计意图；(10分)
（2）请你 设计一个习题(不必解答)，以帮助学生理解该定理，井说明具体的设
计意图；(10分)
( 3)请你设计一个习题(不必解答)，进一步巩固、应用该定理，并说明具体的设计
意图。(10分)
一、单项选择题
1.D【解析】在直角坐标系中，平面Ax+By+cZ+D=0（A，B， C不同时为0）的
法向量为
n?
?
A,B,C
?
，经计算， 向量
a?
?
2,3,1
?
只与D项中平面的法向量（1，
- 1,1）垂直，故向量
a?
?
2,3,1
?
与D项中的平面平行，故 选D。
2.B【解析】
lim
1?cosxsinx1sinx1
?lim ?lim?
，故选B。
2
x?0x?0x?0
2x2x2
x
3.D【解析】若函数f（x）在[a，b]上（黎曼）可积，则f（x）在[a，b]上必有界，
故 选D。
?
x
?
?
x
?
4.B【解析】定积分?
b1?
??
dx
表示的是被积函数
y?b1?
??< br>与x轴所围
?a
?
a
?
?
a
?
a< br>22
x
2
y
2
x
2
y
2
成 的图形的面积，即椭圆
2
?
2
?1
在x轴上方部分的面积，而椭圆< br>2
?
2
?1
abab
?
ab
?
x< br>?
的面积为
?
ab
，所以
?
b1?
??dx
=。
?a
a
2
??
a
2
5.C 【解析】若向量
γ
与向量
α
和向量
β
线性相关，则存在不同 时为零的实数x，
y，使得
γ?xα?yβ?
?
x?y,y,x
?< br>，经观察，A、B、D三项中的向量都能被
α
和
β
线性表出，故选C。
6.A【解析】由题意知，线性空间V中的每一个元素都是cosx与sinx的线性组
合。而 cosx和sinx是线性无关的（若存在实数m，n，使得mcosx+nsinx=0对任
意x∈R 都成立，则m=n=0），因此cosx和sinx是线性空间V的一组基，所以
V的维数是2，故选B 。
7.C【解析】略。

8.A【解析】命题的逆命题和否命题互为逆否命题 ，互为逆否命题的命题同真同
假，故选A。
二、简答题
9.【解析】由题意可知，
f
?
?
x
?
??3sinx?4cosx
，令f
?
?
x
?
?0
，则
f
?
?
x
?
??3sinx?4cosx?0
，所以3sinx=4cosx，tanx?
∈Z）。
44
，x=
k
?
?arctan
（k
33
?
21
??
x
??
2x?y??
x
?
?
10.【解析】由已知得
????
?
??
?
?
?
?
，即
52y5x?2y
????? ??
y
?
?
x?y
?
?2x
?
,
∵xy=1，所以
?
?
y?5x
?
?2y
?
,10x
?
2
?9x
?
y
?
?2y
?< br>2
?1?0
。
?
2x?y?x
?
,.
解得
?
?
5x?2y?y,
?
，化简得
?
y
?
?2x
?
??
5x
?
?2y
?
?
?1
11.【解析】证明：不妨设x
1
＜x
2
，由拉格朗日中值定理 有：
?
?
?
?
x
1
,x
2
?，使得
f
?
?
?
?
?
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
x
2
?x
1
，因为
f
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
?f
?
?
?
?
x
2
?x
1
，又因为
f
?
?
x
?
有 界，
故
?M?0
，使得
f
?
?
x
?
?M
，故
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?Mx
1
?x
2
。
12.【参考答 案】评价的主要目的是为了全面了解学生的数学学习历程，激励学
生的学习和改进教师的教学，应建立评 价目标多元、评价方法多样的评价体系。
对数学学习的评价要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的 过程；要关注学
生学习的水平，更要关注他们在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生
认识自我，建立信心。对于课程标准提出的评价理念可以从以下三个方面理解。
（1）评价目标多元化
新课程提出多元化的评价目标，评价的对象既包括学生，也包活教师。以往的评
价更多的关注学 生的成就，关注学生的表现，忽视对教师教学过程的评价。通过
教学过程和学生学习状况的考查，不只是 看学生的表现，还促使教师认识教学中
存在的问题，及时改进教学方式，调整教学进度和教学目标。
（2）评价内容多维性

数学课程的总体目标，对义务教育阶段学生的数学素养 提出四个方面的具体要求，
包括知识与技能、数学思考、解决问题、情感与态度。评价的具体内容应围绕 这
些方面展开，形成多维度、全面性的评价内容体系。对不同内容的评价可以通过
设计反映不同 内容的问题，如对某一方面知识与技能的评价；也可以在综合的问
题情境中进行评价，如在一项调查活动 中，对知识的理解与运用、学生解决实际
问题的能力以及学生参与投入的态度进行评价；还可以通过对学 生平时学习情况
的考查来评价。
（3）评价方法多样化
评价中应针对不同学段学生 的特点和具体内容的特征，选择恰当有效的方法。对
学生知识技能掌握情况的评价，应当将定量评价和定 性评价相结合，结果评价与
过程评价相结合。不同的评价方法在教学过程中起着不同的作用，不能希望一 种
评价方法会解决所有的问题。封闭式的问题、纸笔式的评价可以简捷方便地了解
学生对某些知 识技能的掌握情况，而开放式问题、综合性的、在丰富的情境中的
评价有助于了解学生的思考过程和学习 过程。
13.【参考答案】基本不等式
ab?
a?b
（a≥0，b≥0）的 几何解释；
2
如图，以AB为直径的圆，在直径AB上取点C使得AC=a，过点C作直径A B
的垂线与半圆交于D点，由射影定理可得CD=
ab
，由图显然可得CD≤OD（即
一个圆的半径大于等于垂直该直径的弦的一半），即得
ab?
a?b
。
2

几何解释对学生数学学习的作用：
（1）有助于培养学生数形结合的数 学思想。在教学过程中教师通过几何解释渗
透数形结合思想。

（2）有助于学 生直观地理解数学问题。几何解释借助形的几何直观性来阐明数
之间的某种关系，使数量关系的精确刻画 与空间形式的直观形象巧妙、和谐地结
合在一起，充分利用这种结合，寻找解题思路，使问题化繁为简， 从而得到解决。
（3）有助于加深学生对基本概念等的理解。在定理、公式的学习上，几何解释
帮助学生理解其本质意义，通过追本溯源，加深理解、记忆和把握。
（4）有助于激发学生的学习兴 趣。几何解释可以将直观上枯燥、复杂的数学问
题转化为形象、有趣的图形问题，从而激发学习兴趣，增 强学习信心。
（5）有助于学生产生解题思路。几何解释可以配合教师运用启发式教学，引导
学生多方向思考解决问题的途径，预测问题结果。
三、解答题
P
?
?2
?
?
??,x
?
?
?P
?
??x, x
14.【解析】
当0≤
P
?
?
?
?
?< br>当x＜0时，
?
?
，
?
?
P
?
?< br>?
?
?x,x
?
?
?P
?
?
??
x?1
时即0≤x≤1时，
?
0,x
?
?
?
x,x
?
?
?0
；
x
；当
x?1
即x＞1时，
P
?
??x,x
?
??
?
?
0,x?0,
?
?1
；所以
P
?
?
2
?< br>?
??,x
?
?
?
?
x,0?x?1,

?
1,x?1。
?
四、论述题
15.【参考答案】信息技术的发展 对数学教育的价值、目标、内容以及教学方式
产生了很大的影响。数学课程的设计与实施应根据实际情况 合理地运用现代信息
技术，要注意信息技术与课程内容的整合，注重实效。要充分考虑信息技术对数学学习内容和方式的影响，开发并向学生提供丰富的学习资源，把现代信息技术
作为学生学习数学和 解决问题的有力工具，有效地改进教与学的方式，使学生乐
意并有可能投入到现实的、探索性的数学活动 中去。
在数学教学中信息、技术可以结合其他多种教学手段，并能起到互补的作用。如
不借助 信息技术的情况下去利用创设情境的方式去模拟实际情境，学生可能很难
想象出相应的实际情景，这里就 可以结合信息、技术手段直接呈现图片或视频；
或者在处理图形的动态变化时，如仅通过板书的形式一步 步变化，一是作图比较
繁琐，二是连贯性不强，这里就可以结合几何画板等工具直接呈现。
五、案例分析题

（1）与集合相关的知识点有：①元素与集合的概念；②元素 的特征：确定性、
互异性、无序性；③集合相等的概念；④集合与元素的用字母表示方法；⑤元素
与集合的关系，用“
?
”或者“
?
”表示；⑥判断元素是否属于集合。 < br>（2）关于思考2中所给的材料，主要是阐述了用大写拉丁字母A、B、C…表示
集合，用小写拉 丁字母a、b、…表示元素，以及元素与集合间的关系用“
?
”或
者“
?”表示等内容，这是用国际通用的言语来进一步地让学生理解集合与元素，
使得数学更加的规范化与 严谨化，同样也体现了数学中用字母代替数的核心思想，
便于学生后期的用字母代替数的运用，使学生理 解符号的使用是数学表达和进行
数学思考的重要形式，同样的也可以验证学生是否能够掌握以及准确判定 元素是
否属于集合。
（3）集合是高中数学必修1第一章节的内容，是进入高中以后最新接触 的数学
内容，也是现代数学的基本语言，可以简洁、准确地表达数学内容。在本章，学
生将学习 集合的一些基本知识，感受集合的数学思想方法，用集合语言表示有关
数学对象，并运用集合和对应的语 言进一步描述第二章的函数概念，为第二章的
函数奠定夯实的基础，使得学生能够初步运用函数思想理解 和处理生活、社会中
的简单问题。
六、教学设计题
17．【参考答案】（1）导入 活动设置：利用多媒体播放一组学生课前收集的图
片（旗杆与地面垂直、教学楼与地面垂直等）组织学生 观察图片中展示事物之间
的位置关系。
提出问题：旗杆与地面、教学楼与地面的位置关系是什 么？你能否利用直线与平
面根据他们的位置关系画出相应的几何图形？
预设：垂直关系

探究活动一设置：

提出问题：我们又如何定义一条直线与一个平面 垂直？能否用一条直线垂直于一
个平面内的直线，来定义这条直线与这个平面垂直呢？
利用多 媒体动画演示：旗杆在与它在地面上影子的位置变化，重点让学生体会直
线与平面内不过垂足的直线也垂 直。
组织学生观察动画的过程中思考如下几个问题：
问题1：阳光下，旗杆与它在地面上的影子所成的角度是多少？
问题2：随着时间的变化，影子的位置会移动，而旗杆与影子所成的角度是否发
生了变化？
问题3：旗杆AB与地面上不过点B的任意一条直线的位置关系如何？它们所成
的角是多少度？
全班交流过后，教师引导学生共同总结：直线与平面垂直的定义，如果一条直线
垂直于一个平面 内的无数条直线，那么这条直线就与这个平面垂直。
进一步引导学生思考：那么如何判定一条之间与平面的位置关系是垂直关系呢？
探究活动二设置：组织学生思考如何将一张长方形纸片立于桌面？
组织学生猜想：你能猜想出判断一条直线与一个平面垂直的方法吗？
预设：如果一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂
直。
设计意图：在教学中，充分发挥学生的主观能动性，先安排学生课前收集大量图
片，多感知，然后，通过 学生动手画图、讨论交流和多媒体课件演示，使其经历
从实际背景中抽象出几何概念的全过程，从而形成 完整和正确的直线与平面垂直
的概念，接下来助学生生活中最简单的经验一一折纸，引导学生分析，将“ 与平
面内所有直线垂直”逐步转化为“与平面内两条相交直线垂直”，并以此为基础
进行合理推 理，提出猜想，使学生的思维顺畅，为进一步的探究做准备。
（2）如何折叠与放置一张纸，可以使折 痕与桌面垂直？从而寻找到判定直线与
平面垂直的方法。
引导学生进行折纸环节探究：（1） 折痕与平面垂直吗？（2）你找的折痕有什么
特点？找这样的折痕是为了实现什么目的？
（4）如何放置？

（5）当直线与桌面垂直时，固定折痕一侧的纸片，绕着折 痕旋转另一侧纸片，
观察折痕与桌面垂直吗？此时折痕与桌面内每一条直线什么关系？
设计意 图：通过动手操作、展示、分享，提高学生学习兴趣，同时为了学生的进
一步探索提供思考方向。 （3）已知正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
，判断直线AC是否与平面CC
1
DD
1
垂直？直
线AC 是否与平面BB
1
DD
1
垂直？

设计意图：利用常用的 正方体模型，创设问题情境组织学生利用已学定理进行证
明判断，检测学生对定理的熟练掌握情况。