全国高中数学联赛模拟试题(一)

全国高中数学联赛模拟试题(一)
姓名_____ 得分_______
第一试
一、
选择题：（每小题6分，共36分）
222
1、 方程6×(5
a
＋
b
)＝5
c
满足
c
≤2 0的正整数解(
a
,
b
,
c
)的个数是
（A）1 （B）3 （C）4 （D）5
x
2
2、 函数
y?
（
x
∈R，
x
≠1）的递增区间是
x?1
（A）
x
≥2
（C）
x
≤0










（B）
x
≤0或
x
≥2
（D）
x
≤
1?2
或
x
≥
2

3、 过定点
P
(2,1)作直线
l
分别交
x
轴正 向和
y
轴正向于
A
、
B
，使△
AOB
（< br>O
为原点）
的面积最小，则
l
的方程为
（A）
x
＋
y
－3＝0 （B）
x
＋3
y
－5＝0
（C）2
x
＋
y
－5＝0 （D）
x
＋2
y
－4＝0
4、 若方程cos2
x
＋
3
sin2
x
＝
a
＋1在
?
0,?
?
?
上有两个不同的实数解
x
，则参数
a
的 取
?
2
??
值范围是
（A）0≤
a
＜1 （B）－3≤
a
＜1
（C）
a
＜1 （D）0＜
a
＜1
5、 数列1,2,2,3,3,3,4,4,4,4,5,5,5,5,5,6,…的第1000项是
（A）42 （B）45 （C）48 （D）51
6、 在1,2,3,4,5的 排列
a
1
,
a
2
,
a
3
,
a
4
,
a
5
中，满足条件
a
1
＜
a
2
，
a
2
＞
a
3
，
a
3
＜
a
4
，
a
4
＞
a
5
的
排列的个数是
（A）8 （B）10 （C）14 （D）16

二、
填空题：（每小题9分，共54分）
1、[
x
]表示不大于
x
的最大整数，则方程
1
2
×[
x
＋
x< br>]＝19
x
＋99的实数解
x
2
是 ．
2
2、设
a
1
＝1，
a
n
+1
＝ 2
a
n
＋
n
，则通项公式
a
n
＝ ．
99
3、数7被2550除所得的余数是 ． 4、在△
ABC
中，∠
A
＝
5
?
，sinB
＝，则cos
C
＝ ．
13
3
22
5、设
k
、是实数，使得关于
x
的方程
x－(2
k
＋1)
x
＋
k
－1＝0的两个根为sin和< br>cos，则的取值范围是 ．
6、数
5?24
??
2n
（
n
∈N）的个位数字是 ．
三、
（20分）

已知
x
、
y
、
z
都是非负实数，且
x
＋
y
＋
z
＝1 ．
求证：
x
(1－2
x
)(1－3
x
)＋
y
(1－2
y
)(1－3
y
)＋
z
(1－2z
)(1－3
z
)≥0，并确定等
号成立的条件．

四、
（20分）
2
（1） 求出所有的实数
a
，使得关 于
x
的方程
x
＋(
a
＋2002)
x
＋< br>a
＝0的两根皆为整数．
322
（2） 试求出所有的实数
a
，使得关于
x
的方程
x
＋(－
a
＋2
a
＋2)
x
－2
a
－2
a
＝0有三
个整数根．







五、
（20分）
试求正数
r
的最大值，使得点集
T
＝{(x
,
y
)|
x
、
y
∈R，且
x
＋(
y
－7)≤
r
}一
定被包含于另一个点集
S
＝{(
x
,
y
)|
x
、
y
∈R，且对任何 ∈R，都有cos2＋
x
cos
＋
y
≥0}之中．
222










第二试
一、（50分）
2
设
a
、
b
、
c
∈R，
b
≠
ac
，
a
≠－
c
，
z
是复数，且
z
－(
a
－
c
)
z
－
b
＝0．

a
2
?b?
?
a?c
?
z
?1
的充分必要条件是(a
－
c
)
2
＋4
b
≤0． 求证：
ac?b

二、（50分）
如图，在△
ABC
中，∠
ABC
和∠
ACB
均是锐角，
D
是
BC边上的内点，
且
AD
平分∠
BAC
，过点
D
分 别向两条直线
AB
、
AC
作垂线
DP
、
DQ
，
其垂足是
P
、
Q
，两条直线
CP
与
B Q
相交与点
K
．求证：
（1）
AK
⊥
BC
；
A
P
B
D
K
Q
C

（2）
AK?AP?AQ?

2S
△ABC
，其中
S
△ABC
表示△
ABC的面积．
BC











三、（50分）
给定一个正整数
n
，设
n
个实数
a
1
,
a
2
,…,
a
n
满足下列
n
个方程：
a
i
4
?(j?1,2,3,?,n)
．
?
i?j2j?1
i?1
n














确定和式
S?
a
i
的值（写成关于
n
的最简式子）．
?
i?1
2i?1
n

参考答案
第一试
一、选择题：
题号
答案

二、填空题：
1、
?
1
C
2
C
3
D
4
A
5
B
6
D
1811587
或；
3838

2、7×2－
n
－2
n
－3；
n
-12
3、343； 4、
53?12
；
26
；6、1（
n
为偶数）；7（
n
为奇数）．

5、{|＝2
n
＋或2
n
－
?
，
n
∈Z}
2
1
?
1
?
1
?
1
?
x?y?
?
x?z?
?
y?z?
三、证略，等号 成立的条件是
x?y?z?
或
?
2
或
?
2
或
?
2
．
3
?
?
?
?
y?0< br>?
z?0
?
z?0
四、（1）
a
的可能取值有0，－ 1336，－1936，－1960，－2664，－4000，－2040；（2）
a
的可能取值有－3，11，－1，9．

五、
r
max
＝
42
．

第二试 a?c??
?
a?c
?
?4b?i
一、证略（提示：直接解出< br>z?
，通过变形即得充分性成立，然
2
2
后利用反证法证明必要性）．

二、证略（提示：用同一法，作出
BC
边上的高
AR
，利 用塞瓦定理证明
AR
、
BQ
、
CP
三线共点，
从而
AK
⊥
BC
；记
AR
与
PQ
交于点
T
，则
∠
APK
＜∠
AKP
）．

三、
S??


2S
△ABC
＝
AR＞
AT
＞
AQ
＝
AP
，对于
AK
＜< br>AP
，可证
BC
1
?
2n?1
?
2
?1
．