高中数学易错题集锦

高中数学易错题集锦
指导教师：任宝安
参加学生：路栋胡思敏
李梅张大山
高中数学中有许多题目，求解的思路不难，但解题时，对某些特殊情形的讨论，却 很容易被忽
略。也就是在转化过程中，没有注意转化的等价性，会经常出现错误。本文通过几个例子，剖 析致
错原因，希望能对读者的学习有所帮助，加强思维的严密性训练。
忽视等价性变形，导致错误。
?，但与不等价。
【例1】已知f(x)=ax+， 若
?3?f(1)?0,3?f(2)?6,
求
f(3)
的范围。
?
?3?a?b?0
①
?
错误解法由条件得
?
< br>b
3?2a??6
?
②
2
?
②×2－①
6? a?15
③

①×2－②得
?
8b2
???
④

333
10b431043
③
+
④
得
?3a??,即?f(3)?.

33333
x
，其值是同时受
b
a和b
制约的。当a
取最大（小）值时，
b
不一定取最大（小）值，因而整个解题思路是错误的。
错误分析采用这种解法，忽视了这样一个事实：作为满足条件的函数
f(x)?ax?
?
f(1)?a?b
?
正确解法由题意有
?
b
,解得： < br>f(2)?2a?
?
2
?
b1651637
?f(2)?f( 1).
把
f(1)
和
f(2)
的范围代入得
?f(3)?.

39933
在本题中能够检查出解题思路错误，并给出正确解法，就体现了思维具有 反思性。只有牢固地掌握
基础知识，才能反思性地看问题。
●忽视隐含条件，导致结果错误。
【例2】解下列各题
?f(3)?3a?
(1) 设
?
、
?
是方程
x
2
?2kx?k?6?0
的两个实根，则
(?
?1)
2
?(
?
?1)
2
的最小值是
思路分析本例只有一个答案正确，设了3个陷阱，很容易上当。
利用一元二次方程根与系数的 关系易得：
?
?
?
?2k,
??
?k?6,
有的学生一看到
?
49
，常受选择答案（A）的诱惑，盲从附和，这正是思维缺乏 反思性的体现。如
4

果能以反思性的态度考察各个选择答案的来源和它们之间的区别，就能从中选出正确答案。
?
原方程有两个实根
?
、
?

∴
??4 k
2
?4(k?6)?0
?
k??2或k?3.

当
k?3
时，
(
?
?1)
2
?(
?
?1)
2
的最小值是8；
当
k??2
时，
(
?
?1)
2
?(
?
?1)
2
的最小值是18
这时就可以作出正确选择，只有（B）正确。
(2)已知(x+2)
2
+= 1,求x
2
+y
2
的取值范围。
828
错解由已知得y< br>2
=－4x
2
－16x－12，因此x
2
+y
2=－3x
2
－16x－12=－3(x+)
2
+
33
∴当x=－时，x
2
+y
2
有最大值，即x
2
+y
2
的取值范围是(－∞,]。
分析没有注意x的取值范围要受已知条件的限制，丢掉了最小值。
事实上，由于(x+2)< br>2
+=1?(x+2)
2
=1－≤1?－3≤x≤－1，
从而当x=－1时x
2
+y
2
有最小值1
∴ x
2
+y
2
的取值范围是[1,]。
注意有界性：偶次方x
2
≥0，三角函数－1≤sinx≤1，指数函数a
x
>0，圆锥曲线有界性等。
●忽视不等式中等号成立的条件，导致结果错误。
【例3】已知：a>0,b>0,a+b= 1,求(a+)
2
+(b+)
2
的最小值。
1
11112 11
错解(a+)
2
+(b+)
2
=a
2
+b2
+
2
+
2
+4≥2ab++4≥4
ab?
+ 4=8,∴(a+)
2
+(b+)
2
的最小
ab
ababa b
ab
值是8.
1
分析上面的解答中，两次用到了基本不等式a
2
+b
2
≥2ab，第一次等号成立的条件是a=b=,第二
2
1次等号成立的条件是ab=，显然，这两个条件是不能同时成立的。因此，8不是最小值。
ab< br>1111112
原式=a
2
+b
2
+
2
+< br>2
+4=(a
2
+b
2
)+(
2
+
2
)+4=[(a+b)
2
－2ab]+[(+)
2
－]+4
abab
abab
1
=(1－2ab)(1+
22
)+4，
ab
a?b
2
11 111
由ab≤()=得：1－2ab≥1－=,且
22
≥16，1+
22< br>≥17，
2422
abab
1251
∴原式≥×17+4=(当且仅 当a=b=时，等号成立)，
222
11
∴(a+)
2
+(b+)
2
的最小值是。
ab
●不进行分类讨论，导致错误
【例4】已知 数列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n< br>?2
n
?1
，求
a
n
.

错误解法
a
n
?S
n
?S
n?1
?(2
n
?1)?(2
n?1
?1)?2
n
?2
n?1
?2
n?1
.

错误分析显然，当
n?1
时，
a
1?S
1
?3?2
1?1
?1
。
错误原因：没有注意公 式
a
n
?S
n
?S
n?1
成立的条件是。

?
S
1
(n?1)
因此在运用
a
n
?S
n
?S
n?1
时，必须检验
n?1
时的情形。即：
a
n
?
?
。
?
S
n
(n?2,n?N)
●以偏概全，导致错误
以偏概 全是指思考不全面，遗漏特殊情况，致使解答不完全，不能给出问题的全部答案，从而表现
出思维的不严 密性。
【例5】(1)设等比数列
?
a
n
?
的全
n
项和为
S
n
.若
S
3
?S
6
? 2S
9
，求数列的公比
q
.
a
1
(1?q
3
)a
1
(1?q
6
)a
1
(1?q
9
)
??2?
错误解法
?S
3
?S
6
?2S
9
,
?
，
1?q1?q1?q
由q?0得方程2q?q? 1?0.?(2q?1)(q?1)?0,?q??
6333
3
4
2
或q?1
。
a
1
(1?q
3
)a
1
(1 ?q
6
)a
1
(1?q
9
)
??2?
错误 分析在错解中，由，
1?q1?q1?q
整理得q
3
(2q
6?q
3
?1）＝0
时，应有
a
1
?0和q?1
。
在等比数列中，
a
1
?0
是显然的，但公比q完全可能为1，因 此，在解题时应先讨论公比
q?1
的情
况，再在
q?1
的情况下，对 式子进行整理变形。
正确解法若
q?1
，则有
S
3
?3a
1
,S
6
?6a
1
,S
9
?9a
1
.
但
a
1
?0
，即得
S
3
?S
6
?2S
9
,
与题设矛盾，故
q?1
.
又依题意
S
3
?S
6
?2S
9
a
1
(1?q
3
)a
1
(1?q
6
)a
1
( 1?q
9
)
??2?
）＝0
,即??
q
3
(2q
6
?q
3
?1
1?q1?q1?q
33
3< br>(2q?1)(q?1)?0,
因为
q?1
，所以
q?1?0,
所以
2q?1?0.
解得
q??
33
4
.
2
说明此题为1996年全国高考文史类数学试题第（21）题，不少考生的解法同错误解法，根据 评分
标准而痛失2分。
(2)求过点
(0,1)
的直线，使它与抛物线y
2
?2x
仅有一个交点。
错误解法设所求的过点
(0,1)
的直线为
y?kx?1
，则它与抛物线的交点为
?
y?kx?1< br>，消去
y
得
(kx?1)
2
?2x?0.
整理得k
2
x
2
?(2k?2)x?1?0.

?
2
?
y?2x
?
直线与抛物线仅有一个交点，
???0,
解得
k
?
11
.?
所求直线为
y?x?1.

22
错误分析此处解法共有三处错误：
第一，设所求直线为
y?kx?1< br>时，没有考虑
k?0
与斜率不存在的情形，实际上就是承认了该直线

的斜率是存在的，且不为零，这是不严密的。
第二，题中要求直线与抛物线只有一个交 点，它包含相交和相切两种情况，而上述解法没有考虑相
切的情况，只考虑相交的情况。原因是对于直线 与抛物线“相切”和“只有一个交点”的关系理解
不透。
第三，将直线方程与抛物线方程联立 后得一个一元二次方程，要考虑它的判别式，所以它的二次项
系数不能为零，即
k?0,
而上述解法没作考虑，表现出思维不严密。
正确解法①当所求直线斜率不存在时，即直线垂直
x
轴，因为过点
(0,1)
，所以
x?0,
即
y

轴，它正好与抛物线
y
2
?2x
相切。
②当所求直线斜率 为零时，直线为y=1平行
x
轴，它正好与抛物线
y
2
?2x
只有一个交点。
?
y?kx?1
③一般地，设所求的过点
(0,1)的直线为
y?kx?1(k?0)
,则
?
2
，
?y?2x
?
k
2
x
2
?(2k?2)x?1?0.令
??0,
解得k=,∴ 所求直线为
y?
1
x?1.

2
1
x?1.

2
综上，满足条件的直线为：
y?1,x?0,y?
《章节易错训练题》
1、已知集合M={直线}，N={圆}，则M∩N中元素个数是A(集合元素的确定性)
(A) 0(B)0或1 (C)0或2 (D)0或1或2
2、已知A=，若A∩R
*
=
?
，则实数t集合T=___。
?
tt??2
?(空集)
3、如果kx
2
+2kx－(k+2)<0恒成立，则实数k的取值范围是C(等号)
(A)－1≤k≤0(B)－1≤k<0(C)－14、命题< br>A:x?1
＜3，命题
B:(x?2)(x?a)
＜0，若A是B的充分不必要 条件，则
a
的取值范围是
C(等号)
（A）
(4,??)
（B）
?
4,??
?
（C）
(??,?4)
（D）
?
??,?4
?

5、若不等式x
2
－log
a< br>x
<0在(0,)内恒成立，则实数
a
的取值范围是A(等号)
(A)[,1)(B)(1,+?) (C)(,1) (D)(,1)∪(1,2)
6、若 不等式(－1)
n
a<2+对于任意正整数n恒成立，则实数
a
的取值范围是 A(等号)
(A)[－2，) (B)(－2，) (C)[－3，) (D)(－3，)
7、已知定义在实数集
R
上的函数
f(x)
满足：
f(1)?1；当
x?0
时，
f(x)?0
；对于任意
的实数
x< br>、
y
都有
f(x?y)?f(x)?f(y)
。证明：
f(x )
为奇函数。(特殊与一般关系)
8、已知函数f(x)=，则函数
f(x)
的单调区间是_____。递减区间(－?，－1)和(－1，+?)
（单调性、单调区间）
9、函数y=的单调递增区间是________。[－，－1）（定义域）
10、已知函数f(x)=，f(x)的反函数f
－
1
(x)= 。
（漏反函数定义域即原函数值域）
11、函数f(x)=log(x
2
+a x+2)值域为R，则实数a的取值范围是D(正确使用△≥0和△<0)

(A)(－2,2) (B)[－2,2]
(C)(－?,－2)∪(2,+?) (D)(－?,－2]∪[2,+?)
12、若x≥0，y≥0且x+2y=1，那么2x+3y2
的最小值为B(隐含条件)
（A）2 （B） （C） （D）0
x
2
?4x?3
22
13、函数y=
2
的值域是________。 (－∞,)∪(,1)∪(1,+∞)（定义域）
x?x?6
55
14、函数y=s inx(1+tanxtan)的最小正周期是C（定义域）
(A) (B)
?
(C)2
?
(D)3
15、已知f(x)是周期为2的奇函数，当x?[0,1) 时，f(x)=2
x
，则f(log23)=D(对数运算)
(A) (B) (C)－ (D)－
16、已知函数
f(x)?ax
3
?bx
2< br>?3x
在
x??1
处取得极值。
（1）讨论
f(1)
和
f(?1)
是函数
f(x)
的极大值还是极小值；
（2）过点
A(0,16)
作曲线
y?f(x)
的切线，求此切线方程。(2004天津 )
（求极值或最值推理判断不充分(建议列表)；求过点切线方程，不判断点是否在曲线上。） 17、已知tan(
?
－)=－,5)则tan
?
=；=。,2)、,3 )（化齐次式）
18、若3sin
2
?
+2sin
2
?< br>－2sin
?
=0，则cos
2
?
+cos
2
?
的最小值是__。(隐含条件)
19、已知sin
?
+cos
?
=，
?
?(0，
?
)，则cot
?
=_____ __。－(隐含条件)
20、在△ABC中，用a、b、c和A、B、C分别表示它的三条边和三条边所对的角，若a=2、
?
b?2
、
A?
，则∠B=B(隐含条件)
4
?
?
?
5
?
?
11
?
（A） （B） （C）
或
（D）
或

126661212
21、已知a>0,b>0,a+b=1，则(a+)
2
+(b+)
2
的最 小值是_______。(三相等)
22、已知x≠k
?
(k?Z)，函数y=si n
2
x+的最小值是______。5（三相等）
28
23、求
y?
的最小值。
?
22
sinxcosx
错解1
y?
错解2
错误 分析在解法1中，
y?16
的充要条件是
即
|tanx|?
28?且|sin2x|?1.

22
sinxcosx
28288

??2???
2222
sinxcosxsinxcosx
|sinxcos x|
1
且|sinx|?1.
这是自相矛盾的。
?y
min
?16.

2
在解法2中，
y??1?62
的充要条件是
28
2
?sinx且?cos
2
x，即sin
2
x?2，c os
2
x?22,
这是不可能的。
22
sinxcosx
正确解法1
y?2csc
2
x?8sec
2
x

其 中，当
cot
2
x?4tan
2
x，即cot
2
x ?2时，y?18.
?y
min
?18.

正确解法2取正常数
k
，易得

其中“
?
”取“＝”的充要条件是
1
因此，当
tan2
x?时，y?6?2k?k?18,
?y
min
?18.
< br>2
24、已知a
1
=1，a
n
=a
n
－1
+2
n
－
1
(n≥2)，则a
n
=____ ____。2
n
－1(认清项数)
25、已知－9、a
1
、a2
、－1四个实数成等差数列，－9、b
1
、b
2
、b
3
、－1五个实数成等比数列，
则b
2
(a
2
－a
1
)=A(符号)
(A)－8 (B)8 (C)－ (D)
26、已知{a
n
}是等比数列 ，S
n
是其前n项和，判断S
k
，S
2k
－S
k< br>，S
3k
－S
2k
成等比数列吗？
当q=－1，k为偶数时 ，S
k
=0，则S
k
，S
2k
－S
k
，S
3k
－S
2k
不成等比数列；
当q≠－1或q=－1且k为奇数时 ，则S
k
，S
2k
－S
k
，S
3k
－S< br>2k
成等比数列。
（忽视公比q=－1）
27、已知定义在R上的函数f(x)
和数列
{a
n
}
满足下列条件：
a
1
?a,a
n
?f(a
n?1
)(n?2,3,4,
...
),a
2
?a
1
，f(a
n
)－f(a
n
－
1
)=k(a
n
－a
n
－
1
) (n=2,3,┄)，其中a为常数，
k为非零常数。（1）令
b
n
?an?1
?a
n
(n?N*)
，证明数列
{b
n
}
是等比数列；（2）求数列
{a
n
}
的通
项公式；（3） 当
|k|?1
时，求
lima
n
。(2004天津)
n??
（等比数列中的0和1，正确分类讨论）
28、不等式m
2
－(m
2
－3m)i<(m
2
－4m+3)i+10成立的实数m的取值集合 是________。{3}(隐含条
件)
29、i是虚数单位，的虚部为（）C(概念不清)
(A)－1 (B)－i (C)－3 (D)－3i
30、实数
m
，使方程
x
2
?(m?4i) x?1?2mi?0
至少有一个实根。
错误解法
?
方程至少有一个实根，
???(m?4i)
2
?4(1?2mi)?m
2
?20?0
?
m?25,
或
m??25.

错误分析实数集合是复数集合的真 子集，所以在实数范围内成立的公式、定理，在复数范围内不一
定成立，必须经过严格推广后方可使用。 一元二次方程根的判别式是对实系数一元二次方程而言的，
而此题目盲目地把它推广到复系数一元二次方 程中，造成解法错误。
正确解法设
a
是方程的实数根，则
由于
a 、m
都是实数，
?
?
a
2
?ma?1?0
,解得< br>m??2.

?
?
4a?2m?0
31、和a=(3,－4) 平行的单位向量是_________；和a=(3,－4)垂直的单位向量是_________。
(，－)或(－，)；(，)或(－，－)(漏解)
32、将函数y=4x－8的图象L按向 量a平移到L

，L

的函数表达式为y=4x，则向量a=______。
a=(h，4h+8)(其中h?R)(漏解)
33、已知|
a
|＝1，|
b
|＝
2
，若
a

b
，求
a
·
b
。
①若
a
，
b
共向，则
a
·
b
＝|
a
|?|
b
|＝
2
，
②若
a
，
b
异向，则
a
·
b
＝ －|
a
|?|
b
|＝－
2
。(漏解)
34、在正 三棱锥A－BCD中，E、F是AB、BC的中点，EF⊥DE，若BC=a，则正三棱锥A－BCD