高中数学竞赛训练题(答案)

高中数学竞赛训练题
1、已知向量
a
、
b
满足< br>a?b?1
，则
a?b
的最大值为_______。
2、半径为R的球的内接圆柱表面积最大值为_____。
3、已知x，y，z
?R
?
，
S?
22
x?2?y?5?z?10
，
T?x ?1?y?1?z?1
，
则
S?T
的最小值为_______。
4 、设正三棱柱ABC-A
1
B
1
C
1
的体积为V，点P、Q 分别在棱AA
1
、CC
1
上，满足AP=C
1
Q，
则四面体BPQB
1
的体积为_______。
5、已知O是△ABC的外心，若A B=AC，∠CAB=30°，且
CO?
?
CA?
?
CB
， 则
??
?
_____。
x
2
y
2
6、P 为双曲线
2
?
2
?1
在第一象限上的点，Q为点P关于原点对称的点 ，PH⊥x轴于点
ab
H，直线HQ交双曲线于点M（异于Q），若∠MPQ的角平分线斜率为 1，则此双曲线的离
心率为_______。
7、反复抛掷一枚质地均匀的骰子，每一次抛掷 后均记录正面向上的点数，当记录有四个不
同的点数时即停止抛掷。则恰好抛掷六次后停止抛掷的不同记 录结果总数为_______。
8、设m、n为整数，53x?m?m ?1
，
y?m?m?1
，若
y
的整
数部分为2013，且2 013除以
m
的余数为53，则
x
的整数部分除以
m
的余数 是_______。
9、在直角梯形SABC中，∠B=∠C=90°，D为边SC上的点，且AD⊥ SC。现将△SAD沿
AD折起到达PAD的位置（折起后点S记为P），并使得PA⊥AB。
（1）求证：PD⊥平面ABCD；
（2）已知PD=AD，PD+AD+DC=6，当线段PB取得最小值时，请解答以下问题：
①设点E满足
BE?
?
BP
?
0?
?
?1
?
，则是否存在
?
，使得平面EAC与平面PDC
所成的锐角的大小是60 °？若存在，请求出
?
；若不存在，请说明理由。
②设G是AD的中点，则在平面P BC上是否存在点F，使得FG⊥平面PBC？若
存在，确定点F的位置；若不存在，请说明理由。












??
n
??
n

x
2< br>y
2
?1
的焦点在x轴上，F
1
、F
2
分别 是椭圆的左、右焦点，P为椭圆10、设椭圆：
2
?
a1?a
2
上的 第一象限内的点，直线F
2
P交y轴于点Q，并且F
1
P⊥F
1Q，证明：当
a
变化时，点P
在某定直线上。











11、已知< br>f
?
x
?
?
1?ln
?
x?1
?< br>k
，
g
?
x
?
?
。求最大的正整数
k
，使得对任意的正数
c
，
xx?1
存在实数
a
、
b
满足
?1?a?b?c
，且
f
?
c
?< br>?f
?
a
?
?g
?
b
?
。













6
1V
2
；
1?5
?R
；36；；
73?12
；；9000；
m?52
；
2
4
3
9、略。
10、
x?y?1
。
11、略。

??