高中数学难题100道教师版(1-10题)

高中数学难题100道（1-10题）

第1题（函数与求导题）

【湘南中学2019届高三试题】已知函数
f(x)?a
x
?x
2< br>?xlna
?
a?0,a?1
?
．
（Ⅰ）求函数
f(x)
的单调区间；
（Ⅱ）若a>1,存在
x1
,x
2
?
?
?1,1
?
，使得
f( x
1
)?f(x
2
)?e?1
（
e
是自然对数的底 数），
求实数
a
的取值范围。














第2题（椭圆题）

1.

已知椭圆






的右焦点为
F
，直线
l

经过
F
且与椭圆交于
A
，
B
两点．

给定椭圆的离心率为

．



①
若椭圆的右准线方程为

，求椭圆方程；
②
若
A
点为椭圆的下顶点，求

；

若椭圆上存在点
P
，使得

的重心是坐标原点
O
，求椭圆离心率
e
的取值范围．

















高中数学难题100道
第 1 页 共 16 页

第3题（函数与求导题）
11
已知函数
f(x)?(x
2
?x)lnx?x
2
?(a?1)x?1
，
a?R
.
24
（1）试讨论函数
f(x)
极值点个数；
（2）当
? 2?a?ln2?2
时，函数
f(x)
在
?
1，
上最小值记 为
g(a)
，求
g(a)
的取值范围.
??）


















第4题（函数与求导题）
已知
f(x)?lnx?ax?a,a?R

（1）讨论
f(x)
的单调性；
1
g(x)?f(x)?(x?1 )
2
2
（2）若有三个不同的零点，求
a
的取值范围.

























高中数学难题100道
第 2 页 共 16 页

第5题（函数与求导题）
2
f(x)?a(x?x) ?lnx?b
的图象在点
(1,f(1))
处的切线方程为
3x?y?3?0
已知函数
（1）求
a,b
的值；
（2）如果对任何
x? 0
，都有
f(x)?kx?[f'(x)?3]
，求所有
k
的值；















第6题（函数与求导题）
(2018浙江)已知函数
f(x)?x?lnx
．
(1)若
f( x)
在
x?x
1
，
x
2
(
x
1< br>?x
2
)处导数相等，证明：
f(x
1
)?f(x
2
)?8?8ln2
；
(2)若
a≤3?4ln2
，证明：对于任意
k?0
，直线
y?kx?a
与曲线
y?f(x)
有唯一公共点．













高中数学难题100道
第 3 页 共 16 页

第7题（函数与求导题）
2
设 a为实数，函数 f（x）=（x﹣a）+|x﹣a|﹣a（a﹣1）．
（1）若f（0）≤1，求a的取值范围；
（2）讨论 f（x）的单调性；
（3）当a≥2 时，讨论f（x）+ 在区间 （0，+∞）内的零点个数．











第8题（函数与求导题）
已知函数



．
若函数 在 处的切线与直线 平行，求实数
a
的值；
若存在 ，使得不等式 成立，求实数
a
的取值范围；
当 时，设函数 ，

其中
e
为自然
对数底数，
m
为参数 记函数
个数．



，试确定函数 的零点












高中数学难题100道
第 4 页 共 16 页

第9题（函数与求导题）
已知函数
f(x)?
1
?x?alnx
．
x
(1)讨论
f(x)
的单调性；
(2)若
f(x)存在两个极值点
x
1
,x
2
，证明：









第10题（函数与求导题）
已知函数
f(x)?e?ax
．
(1 )若
a?1
，证明：当
x≥0
时，
f(x)≥1
；
(2)若
f(x)
在
(0,??)
只有一个零点，求
a
．
x2
f(x
1
)?f(x
2
)
?a?2
．
x
1
?x
2













高中数学难题100道
第 5 页 共 16 页

高中数学难题100道（参考答案）



第1题（函数与求导题）
xx
解：（Ⅰ）
f
?
(x)?alna+2x?lna?2x+(a?1)lna
．
1
分

因为当
a?1
时，
lna?0
，
a ?1lna
在
R
上是增函数，

因为当
0?a?1
时，
lna?0
，
a?1lna
在
R
上也是增函数，

所以当
a?1
或
0?a?1
，总有
f
?
(x)
在
R
上是增函数，
3
分

又
f
?
(0)?0
，所以
f
?
(x)?0
的解集为
(0,+?)
，
f'
?
x
?
?0
的解集为
?
??,0
?
，

故函数
f(x)
的单调增区间为
(0,+?)
，单调减区间为
?
??,0
?
．
6
分

（Ⅱ）因为存在
x
1
,x
2
?[?1,1]
，使得
f(x
1
)?f(x
2
)≥e?1
成立，而当
x? [?1,1]
时，
?
x
?
?
x
?
f(x< br>1
)?f(x
2
)≤f(x)
max
?f(x)
mi n
所以只要
f(x)
max
?f(x)
min
≥e?1即可．


又因为
x
，
f
?
(x)
，
f(x)
的变化情况如下表所示：

x

(??,0)

?

减函数

0

0

极小值

(0,+?)

f
?
(x)

f(x)

+

增函数

所以
f(x)
在
[?1,0]
上是减函数 ，在
[0,1]
上是增函数，所以当
x?[?1,1]
时，
f
?
x
?
的最小值
f
?
x
?
min
?f
?
0
?
?1
，
f
?
x
?< br>的最大值
f
?
x
?
max
为
f
?< br>?1
?
和
f
?
1
?
中的最大值．
8
分

1
?2lna
，

a
1
1 21
2
令
g(a)?a??2lna(a?0)
，因为
g
?
(a)?1+
2
??(1?)?0
，

aaa
a< br>1
所以
g(a)?a??2lna
在
a?
?
0,??
?
上是增函数．

a
因为
f(1)?f(?1)?(a+1 ?lna)?(+1+lna)?a?
而
g(1)?0
，故当
a?1
时，
g
?
a
?
?0
，即
f(1)?f(?1)；所以，当
a?1
时，
f(1)?f(0)≥e?1
，
即
a?lna≥e?1
，

函数
y?a?lna
在
a?(1 ,??)
上是增函数，解得
a≥e
；
12
分




高中数学难题100道
第 6 页 共 16 页
1
a

第2题（椭圆题）










解：

由题意可得，解得



，

，









椭圆方程为






．


，

，

直线
AB
的方程为



，






，



，



，



即直线
AB
方程为

，
联立方程组







，消元得



，


或

，

点横坐标为
2b
，





．

设





，





，





，
依 题意直线
l
的斜率不能为
0
，故设直线
l
的方程为：

，
由













，得













．
















，



























要使

的重心是坐标原点
O
，则有












































在






上，得










，







































，















，







，

椭圆上存在点
P
，使得

的重心是坐标原点
O
，则方程









必成立．





，











，


椭圆离心率
e
的取值范围为



．



第3题（函数与求导题）
高中数学难题100道
第 7 页 共 16 页

（x?1)lnx?2?a
， 解 ：（1）∵
f
?
(x)?
111
记
h(x)?(x?1)l nx?2
，则
h
?
(x)?lnx?1?
，
h
??
(x)??
2
?0(x?0时)

xx
x
（0，? ?）
∴
h
?
(x)
在上递增且
h
?
(1) ?0
.
∴当
0?x?1
时，
h
?
(x)?0，当
x?1
时，
h
?
(x)?0
.
（1，??）
（0,1）
∴
h(x)
在上递减，在上递增，
又
x?0
时，
h(x)???
，
x???
时，h(x)???
，
h(x)
min
?h(1)??2
，

?
当
a??2
时，
f
?
(x)?0，
f(x)
在定义域上递增，
?
无极值点，
当
a?? 2
时，
y?f
?
(x)
有两变号零点，
?
有两极值 点.
（2）由（1）知，
f
?
(x)
在
?
1 ，??
?
上递增，
又∵
f
?
(1)??2?a?0
，
f
?
(2)?ln2?2?a?0
.
?
存在唯一实数
t?(1,2)
使
f
?
(t)?0
，
?a?(t? 1)lnt?2
，
?f(x)
在
（1，t
?
上递减 ，在
?
t,??
?
上递增，
11
?f(x)
mi n
?g(a)?(t
2
?t)lnt?t
2
?(a?1)t?1
24
11
??t
2
lnt?t
2
?t?1

24
又明显
a?(t?1)lnt?2
在
?
1，??
?
上递增，
?
对任意一个
a?
?
?2,ln2?2?
,都存在唯一
t?
?
1,2
?
与之对应，反之亦然.
11
设
u(t)?
?t
2
lnt?t
2
? t?1
，
t?
?
1,2
?

24
（1,2 ）
u
?
(t)??t(lnt?1)?1?0
?u(t)
在上递减，
?u(2)?u(t)?u(1)
，
即
2?2ln2?u(t)?
77

?g(a)
的取值范围为.
（2?2ln2，）
44

第4题（函数与求导题）
解：（
1
）由已知
f(x)
的定 义域为
(0,??)
，又
f'(x)?
当
a?0
时，

1?ax
，

x
f'(x)?0
恒成立，
0? x?
当
a?0
时，

1
,f'(x)?0,f(x)
单调递增；

a
11
,f'(x)?0,f(x)
单调递增；
x?,f'(x)?0,f(x)
单调递减 ；

aa
11
2
（
2
）由题
g(x)?l nx?ax?a?(x?1)
，
g'(x)?x??1?a

2x
0?x?
①当
a?1
时，

g'(x)?1? a?0
，此时
g(x)
单调递增，最多存在一个零点，不符合题意

②当
a?1
时，

x
2
?(a?1)x?1
，令
h(x)?x
2
?(a?1)x?1
，此时
??(a?3)( a?1)?0
，

g'(x)?
x
高中数学难题100道
第 8 页 共 16 页

令
h(x)?0
两根分别为x
1
,x
2
(x
1
?x
2
)
，由
x
1
?x
2
?a?1?0,x
1
x
2
?1
，可以知道
0?x
1
?1?x
2

0 ?x?x
1
,h(x)?0,g'(x)?0,g(x)
单调递增；当
x1
?x?x
2
,h(x)?0,g'(x)?0,g(x)
单调递减；< br>
x?x
2
,h(x)?0,g'(x)?0,g(x)
单调递增；

其中
g(1)?0
，
g(x)?0,g(x)?0,g(e
12因此有
?x?(e
1
?a?
1
2
?a?
12
)?0
，

g(2(a?1))?0
，

, 1)
使得
g(x
1
)?0
，
?x
2
?1< br>使得
g(x
2
)?0
；
?x
3
?(1,2( a?1))
使得
g(x
3
)?0

综上：
a?(1,??)

注
1
：当
0?x?1< br>时，
1111
(x?1)
2
?
，因此有
g(x)?l nx?ax?a??lnx?a?
，令
2222
lnx?a?
1
1< br>?0
，解得
x?e
?a?
2

2
注
2
：当
x?1
时，
g(x)?lnx?ax?a?
得
x?2 (a?1)


第5题（函数与求导题）
1
2
111x?x??x
2
?(a?1)x
，令
x
2
?(a?1) x?0
，解
2222
1
，由题知
f'(1)?3,f(1)?0，解得
a?2,b?0

x
1
2
（2）令
g( x)?f(x)?kx?[f'(x)?3]?2(x?x)?lnx?kx[4x?5?]
，
x
1
g'(x)?2(2x?1)??k(8x?5)
，其中
g(1)?0< br>，又因
g(x)?0
，则必有
g'(1)?0
，解得
k?1< br>
x
(1?x)(4x?1)
当
k?1
时，
g'(x )?
，
x
解：（1）
f'(x)?a(2x?1)?
0?x?1, g'(x)?0,g(x)
单调递增；
x?1,g'(x)?0,g(x)
单调递减，
g(x)?g(1)?0
，符合题意
综上：
k?1









第6题（函数与求导题）
高中数学难题100道
第 9 页 共 16 页

【解析】(1)函数
f(x)
的导函数
f
?
(x )?
1
?
，
2x
x
1
由
f
?< br>(x
1
)?f
?
(x
2
)
得
111 1
???
，
2x
1
x
1
2x
2
x
2
111
??
．
x
1
x
2
2
因为
x
1
?x
2
，所以
由基本不等式得
1
x
1
x
2
?x
1
?x
2
≥24
x
1
x
2
．
2
因为
x
1
?x
2
，所以
x
1
x
2
?256
．
由题意得
f(x
1
)?f(x
2
)?x
1?lnx
1
?x
2
?lnx
2
?
1
x
1
x
2
?ln(x
1
x
2
)
．
2
1
x?lnx
，
2
1
(x?4)
， 则
g
?
(x)?
4x
设
g(x)?
所以
x

g
?
(x)

g(x)

(0,16)

16
0
(16,??)

+

?


2?4ln2

所以
g(x)
在
[256,??)
上单调递增，
故
g(x
1
x
2
)?g(256)?8?8ln2
，
即
f(x
1
)?f(x
2
)?8?8ln2
． < br>(2)令
m?e
?(|a|?k)
，
n?(
|a|?1
2
)?1
，则
k
f(m)?km?a?|a|?k?k?a≥0
，
f(n)?kn?a?n(
1a|a|?1
??k)≤n(?k)?0
n
n
n
所以，存在
x
0
?(m,n)
使
f(x
0
)?kx
0
?a
，
所以，对于任意的
a?R
及
k?(0,??)
，直线
y?kx?a
与曲线
y? f(x)
有公共点．
高中数学难题100道
第 10 页 共 16 页

由
f(x)?kx?a
得
k?
x?lnx?a
．
x
设
h(x)?
x?lnx?a
，
x
lnx?< br>x
?1?a
?g(x)?1?a
2
?
，
x
2
x
2
则
h
?
(x)?
其中
g(x)?< br>x
?lnx
．
2
由(1)可知
g(x)≥g(16)
，又
a≤3?4ln2
，
故
?g(x)?1?a≤?g(16)?1?a??3?4ln2?a
，
所 以
h
?
(x)≤0
，即函数
h(x)
在
(0,?? )
上单调递减，因此方程
f(x)?kx?a?0
至多
1个实根．
综上，当
a≤3?4ln2
时，对于任意
k?0
，直线
y?kx?a
与曲线
y?f(x)
有唯一
公共点．


第7题（函数与求导题）
2
解：（1）若f（0）≤1，即：a+|a|﹣a（a﹣ 1）≤1．可得|a|+a﹣1≤0，
当a≥0时，a，可得a [0，]．
当a＜0时，|a|+a﹣1≤0，恒成立．
综上a．
； ∴a的取值范围：
（2）函数 f（x）==
，
当x＜a时，函数f（x）的对称轴为：x=
y=f（x）在（﹣∞，a）时是减函数，
高中数学难题100道
=a+＞a，
第 11 页 共 16 页

当x≥a时，函数f（x）的对称轴为：x=
y=f（x）在（a，+∞）时是增函数，
=a﹣＜a，
（3）F（x）=f（x）+=，
，
当x＜a时，
所以，函数F（x）在（0，a）上是减函数．
当x≥a时，因为a≥2，所以，F′（x）=
=，
═
，
所以，函数F（x）在（a，+∞）上是增函数．
F（a）=a﹣a+．当a=2时，F（2 ）=0，此时F（x）有一个零点，当a＞2时，F（a）=a﹣
a+，
2
2
F′（a）=1﹣2a==．
所以F（ah）在（2，+∞）上是减函数，
所以F（a）＜，即F（a）＜0，
当x＞0且x→0时，F（x）→+∞；当x→+∞时，F（x）→+∞，所以函数F（x）有两个零点．
综上所述，当a=2时，F（x）有一个零点，a＞2时F（x）有两个零点．



第8题（函数与求导题）
解：

函数

的导数为



，
可得函数

在

处的切线斜率为

，
由切线与直线

平行，可得

，
解得

；

高中数学难题100道
第 12 页 共 16 页

存在

，使得不等式

成立，
即为




的最大值，
，

，






令




，
由

，即

，
由于

的导数为



，即

在

递增，
且

时，

，
则

为

的极值点，
当

时，

递减，当

时，

递增，
则

时，

取得极大值，且为最大值
1
，
则

；

当

时，设函数

，


，
则当

，

；
当

，

．

当

时，

，依题意，

，

无零点；

当

时，

，

，
若

，即

，则
e
是

的一个零点；
若

，即

，则
e
不是

的零点；

当

时，

，
所以此时只需考虑函数

在

上零点的情况．
因为
3e^{2}-m'>
，所以

0'>
，

在

上单调递增． 当

时，
又

，所以

当

时，

，

在

上无零点；




时，

，
又



，
所以此时

在

上恰有一个零点；
当

时，令
由
由
，得


．




，得


；
0'>
，得


．



所以

在



上单调递减，在



上单调递增．

因为





，








，
所以此时

在

上恰有一个零点；
综上，

时，

没有零点；


时，

有一个零点；
高中数学难题100道
第 13 页 共 16 页

时，

有两个零点．




第9题（函数与求导题）
1ax
2
?ax?1
【解析】(1)f(x)
的定义域为
(0,??)
，
f
?
(x)??< br>2
?1???
．
2
xxx
x?1
时
f?
(x)?0
，（i）若
a≤2
，则
f
?
(x
当且仅当
a?2
，所以
f(x)
在
(0,??)
) ≤0
，
单调递减．
a?a
2
?4a?a
2
?4< br>（ii）若
a?2
，令
f
?
(x)?0
得，
x?
或
x?
．
22
a?a
2
?4a?a
2
?4
当
x?(0,)U(,??)
时，
f
?
(x )?0
；
22
a?a
2
?4a?a
2
?4a?a
2
?4
当
x?(,)
时，
f
?
(x)?0
．所以
f(x)
在
(0,)
，
222
a?a
2
?4a?a
2
?4a?a
2
?4
(,??)
单 调递减，在
(,)
单调递增．
222
(2)由(1)知，
f(x)
存在两个极值点当且仅当
a?2
．
由于
f(x)
的两个极 值点
x
1
，
x
2
满足
x?ax?1?0
， 所以
x
1
x
2
?1
，不妨设
x
1
?x
2
，
则
x
2
?1
．由于
2
f(x
1
)?f(x
2
)lnx
1
?lnx
2lnx
1
?lnx
2
?2lnx
2
1
???1 ?a??2?a??2?a
，
1
x
1
?x
2
x< br>1
x
2
x
1
?x
2
x
1
? x
2
?x
2
x
2
所以
f(x
1
) ?f(x
2
)
1
?a?2
等价于
?x
2
? 2lnx
2
?0
．
x
1
?x
2
x
2
1
?x?2lnx
，由(1)知，
g(x)
在
(0,? ?)
单调递减，又
g(1)?0
，从而
x
设函数
g(x)?
当
x?(1,??)
时，
g(x)?0
．
所以

f(x
1
)?f(x
2
)
1
?x
2
?2lnx
2
?0
，即
?a?2
．
x
2
x
1
?x
2
高中数学难题100道
第 14 页 共 16 页

第10题（函数与求导题）
【解析】(1)当
a?1
时，
f(x) ≥1
等价于
(x
2
?1)e
?x
?1≤0
． 设函数
g(x)?(x
2
?1)e
?x
?1
，则
g'(x)??(x
2
?2x?1)e
?x
??(x?1)
2e
?x
．
当
x?1
时，
g'(x)?0
，所 以
g(x)
在
(0,??)
单调递减．
而
g(0)?0< br>，故当
x≥0
时，
g(x)≤0
，即
f(x)≥1
．
(2)设函数
h(x)?1?ax
2
e
?x
．
f (x)
在
(0,??)
只有一个零点当且仅当
h(x)
在
( 0,??)
只有一个零点．
（i）当
a≤0
时，
h(x)?0，
h(x)
没有零点；
（ii）当
a?0
时，
h'(x)?ax(x?2)e
．
当
x?(0,2)
时，
h'(x)?0
；当
x?(2,??)
时，
h'(x)?0
．
所以
h(x)
在
(0,2)单调递减，在
(2,??)
单调递增．
故
h(2)?1?
?x
4a
是
h(x)
在
[0,??)
的最小值．
2< br>e
e
2
①若
h(2)?0
，即
a?
，
h(x)
在
(0,??)
没有零点；
4
e
2
② 若
h(2)?0
，即
a?
，
h(x)
在
(0,?? )
只有一个零点；
4
e
2
③若
h(2)?0
，即
a?
，由于
h(0)?1
，所以
h(x)
在
(0, 2)
有一个零点，
4
由(1)知，当
x?0
时，
e?x
，
x216a
3
16a
3
16a
3
1
所以
h (4a)?1?
4a
?1?
2a2
?1??1??0
．
4
e(e)(2a)a
故
h(x)
在
(2,4a)
有一个零点 ，因此
h(x)
在
(0,??)
有两个零点．
e
2
综上，
f(x)
在
(0,??)
只有一个零点时，
a?
．
4
高中数学难题100道
第 15 页 共 16 页

高中数学难题100道
第 16 页 共 16 页