高中数学易错题

高中数学易错题
数学概念的理解不透
必修一（1）若不等式ax
2
+x+a＜0的解集为 Φ，则实数a的取值范围（ ）
A.a≤-或a≥ B.a＜ C.-≤a≤ D.a≥ 【错解】选A.由题意，方程ax
2
+x+a=0的根的判别式
??0?1?4a
2
?0?
a≤-或a≥，
所以选A.
【正确解析】D .不等式ax
2
+x+a＜0的解集为 Φ，若a=0,则不等式为x<0解集不合已
知条件，则a
?0
；要不等式ax
2
+x+a＜0的解集为 Φ，则需二次函 数y=ax
2
+x+a的开口
?
??0?1?4a
2
?0< br>1
向上且与x轴无交点，所以a>0且
?
?a?
.
2
?
a?0
1
2
1
2
1
2
1
2< br>1
2
1
2
1
2
1
2

必修 一（2）判断函数f(x)=(x－1)
1?x
的奇偶性为________________ ____
1?x
1?x(1?x)(x?1)
2
【错解】偶函数.f(x) =
(x?1)??(1?x)(1?x)?1?x
2
，所以
1?x1?xf(?x)?1?(?x)
2
?1?x
2
?f(x)
，所以f（ x）为偶函数.
【正解】非奇非偶函数.y=f(x)的定义域为：
?
(1?x)( 1?x)?0
1?x
?0?
?
??1?x?1
，定义域
1? x
?
1?x?0
不关于原点对称，所以此函数为非奇非偶函数.

1) 必修二（4）
l
1
，
l
2
，
l3
是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ）
(A)
l1
?l
2
，
l
2
?l
3
?l
1
l
3
（B）
l
1
?l
2
，
l l
3
?
l
1
?l
3

(C)
l
1
l
2
l
3
?

l
1
，
l
2
，
l
3
共面 （D）
l
1
，
l
2
，
l
3
共点
?
l
1
，
l
2
，
l
3
共面
【错解】错解一：选A.根据垂直的传递性命题A正确；
错解二：选C.平行就共面；

【正确解答】选B.命题A中两直线还有异面或者相交的位置关系；命题C中这三条直
线可以是三棱柱的三条棱，因此它们不一定共面；命题D中的三条线可以构成三个两两
相交的平面，所 以它们不一定共面.
必修五（5）x=
ab
是a、x、b成等比数列的( )
A.充分非必要条件 B.必要非充分条件 C.充要条件D.既非充分又非必要条件
【错解】C.当.x=
ab
时，a、x、b成等比数列成立；当a、x、b成等比数列时，x =
ab
成
立 .
【正确解析】选D.若x=a=0，x=
ab
成立，但a、x、b不成等比数列， 所 以充分性不成
立；反之，若a、x、b成等比数列，则
x
2
?ab?x??a b
，所以x=
ab
不一定成立，必
要性不成立.所以选D.
排列组合（6）(1)把三枚硬币一起掷出，求出现两枚正面向上，一枚反面向上的概率.
分析:
（1）【错解】三枚硬币掷出所有可能结果有2×2×2=8种，而出现两正一反是一 种结果，
故所求概率P=
.

【正解】在所有的8种结果中，两正一反并不是 一种结果，而是有三种结果：正、正、
反，正、反、正，反、正、正，因此所求概率
P?
3
,
上述错解在于对于等可能性事件的概
8
1
8
念理解不 清，所有8种结果的出现是等可能性的，如果把上述三种结果看作一种结果就
不是等可能性事件了，应用 求概率的基本公式
P?
自然就是错误的.

公式理解与记忆不准
（7）若
x?0,y?0,x?y?1
，则
1
?
4
的最小值 为___________.
xy
m
n
【错解】
【正解】 14
4
?
?2?4
xy
xy
14
?
x y
1
?8
，错解原因是忽略等号成立条件.
x?y
2
()
2
yxy
=
x?y
?
4(x?y)
?5?
y
?
4x
?9

x

（8）函数y =sin
4
x+cos
4
x－的相位____________，初相为__ ________ .周期为_________，
单调递增区间为____________. 【错解】化简y=sin
4
x+cos
4
x－=
cos4x，所以相位为4x，初相为0，周期为，增区
间为….
【正确解析】y=sin
4
x+cos
4
x－=
cos4x?sin(4x?)
.相位为4x?
，初相为，周期为，
2
3
4
1
4
14
3
4
1
4
3
4
?
2
??
2
?
2
?
2
单调递增区间为
[
审题 不严
（1）读题不清
2k?1k
?
?
,](k?Z)
.
42
必修五（9）已知
f(x)
是R上的奇函数，且当
x?0
时，
f(x)?()
x
?1
，则
f(x)
的反函数的图像大致是
1
2

【错解】选B.因为
y?()
x< br>在
x?0
内递减，且
f(x)?()
x
?1
过点（0 ，2），所以选B.
【正确解答】A.根据函数与其反函数的性质，原函数的定义域与值域同其反函数 的值域、
定义域相同.当
x?0,0?()
x
?1,?1?y?2
， 所以选A.或者首先由原函数过点（0，2），则其
反函数过点（2，0），排除B、C；又根据原函数 在
x?0
时递减，所以选A.
排列组合
（10）一箱磁带最多有一盒次 品.每箱装25盒磁带，而生产过程产生次品磁带的概率是
0.01.则一箱磁带最多有一盒次品的概率 是 .
1
2
1
2
1
2

【错解】一箱磁带有一盒次品的概率
0.01?(1?0.01)
24
，一箱 磁带中无次品的概率
(1?0.01)
25
，
所以一箱磁带最多有一盒次品的 概率是
0.01?(1?0.01)
24
+
(1?0.01)
25< br>.
1
【正确解析】一箱磁带有一盒次品的概率
C
25
?0. 01?(1?0.01)
24
，一箱磁带中无次品的概率
010
C
2 5
?(1?0.01)
25
，所以一箱磁带最多有一盒次品的概率是
C
25
?0.01?(1?0.01)
24
+
C
25
?(1 ?0.01)
25
.
（2）忽视隐含条件
必修一（11）设?
、
?
是方程
x
2
?2kx?k?6?0
的两 个实根，则
(
?
?1)
2
?(
?
?1)
2
的最小值是
（ ）
(A)?
49
4
(B)8(C)18(D)不存在

【错解 】利用一元二次方程根与系数的关系易得：
?
?
?
?2k,
???k?6,

349
?(
?
?1)
2
?(?
?1)
2
?
?
2
?2
?
?1??
2
?2
?
?1?(
?
?
?
)
2
?2
??
?2(
?
?
?
)?2
?4( k?)
2
?.
选A.
44
【正确解析】利用一元二次方程根与系数 的关系易得：
?
?
?
?2k,
??
?k?6,
< br>?(
?
?1)
2
?(
?
?1)
2
?
?
2
?2
?
?1?
?
2
?2
?< br>?1?(
?
?
?
)
2
?2
??
?2 (
?
?
?
)?2

349
?4(k?)
2
?.
?
原方程有两个实根
?
、
?
，∴
??4k
2
?4(k?6)?0
?
44
k??2或k?3.
当
k?3
时，
(
?
?1)
2
?(
?
?1)
2
的最小值是8；
当< br>k??2
时，
(
?
?1)
2
?(
?
?1)
2
的最小值是18.选B.
必修一(12)已知(x+2)
2
+ =1, 求x
2
+y
2
的取值范围.
4
【错解】由已知得 y
2
=－4x
2
－16x－12，因此 x
2
+y
2
=－3x
2
－16x－12=－3(x+)
2
+
8282 8
2222
∴当x=－ 时，x+y有最大值 ，即x+y的取值范围是(－∞, ].
333
【正确解析】由已知得 y
2
=－4x
2
－16x－12，因此 x
2
+y
2
=－3x
2
－16x－12=－3(x+)
2
+
由于(x +2)+ =1 ? (x+2)=1－ ≤1 ? －3≤x≤－1，
44
28
从而当x=－1时x
2
+y
2
有最小值1.∴ x
2
+y
2
的取值范围是[1, ].（此题也可以利用三
3
角函数和的平方等于一进行求解）
2
y
2
8
3
28
，
3
8
3
28

3
y
2
2
y
2

必修一（13） 方程
log
2
(9
x?1
?5)?log
2
(3
x?1
?2)?2?0
的解集为_____________ ______-
【错解】
log
2
(9
x?1
?5)?l og
2
(3
x?1
?2)?2?0?log
2
(9
x?1
?5)?log
2
(3
x?1
?2)?log
24?0

log
2
(9
x?1
?5)?log
2
4(3
x?1
?2)?9
x?1
?5?4(3
x?1?2)?(3
x?1
?1)(3
x?1
?3)?0

3
x?1
?1?0
或
3
x?1
?3?0
所以x=1或 x=2.所以解集为{1，2}.
【正解】
log
2
(9
x?1< br>?5)?log
2
(3
x?1
?2)?2?0?log
2(9
x?1
?5)?log
2
(3
x?1
?2)?lo g
2
4?0

?
9
x?1
?5?4(3
x ?1
?2)
?
log
2
(9
x?1
?5)?log
2
4(3
x?1
?2)?
?
3
x?1
?2 ?0?3
x?1
?3?0?x?2
所以解集为{2}.
?
9
x?1
?5?0
?
字母意义含混不清
5x
2
y
2
（14）若双曲线
2
?
2
? ?1
的离心率为，则两条渐近线的方程为（ ）
4
ab
A.
?
xyxyxyxy
?0
B.
??0
C.
??0
D.
??0

9161693443
【错解】选D.
c5c
2
25a
2
?b
2
b
2
b
2
9 b33xy
e???
2
???1???????y??x???0
，选D.
a4a16a
2
a
2
a
2
16a4443
x
2
y
2
y
2
x
2
【正确解析】
2
?
2
??1?
2
?
2
?1
，与标准方程 中字母a,b互换了.选C.
abba
4.运算错误
（1）数字与代数式运算出错
??
?
?
?
若
a?(5,?7),b?(?1,2)
，且（
a?
?
b
）
?b
，则实数
?
的值 为____________.
?
????
?
??
【错解】
a?
?
b?(5?
?
,?7?2
?
)
，则（a?
?
b
）
?b?(a?
?
b)?b?0?5?
?
?2(?7?2
?
)?0?
?
?3
.
【正确 解析】
?
?
a?
?
b?(?
?
5??
?< br>,
，（
?
?
a?
?
b
）
???19
?
?b?(a?
?
b)?b?0?
?
?5?2(? 7?2
?
)?0?
?
?

5
必修二18. 已知直 线
l
与点A（3，3）和B（5，2）的距离相等，且过二直线
l
1
：3x－y
－1=0和

l
2
：x+y－3=0的交点，则直 线
l
的方程为_______________________
【错解】先联立两 直线求出它们交点为（1，2），设所求直线的点斜式，再利用A、B到
它的距离相等建立方程得
|2k?1|
k
2
?1
?
|4k|1
?k??
， 所以所求直线为x+2y-5=0.
2
k
2
?1
【正确解析】x- 6y+11=0或x+2y-5=0.联立直线
l
1
：3x－y－1=0和
l
2
：x+y－3=0的方程得
它们的交点坐标为（1，2），令过点（1，2）的直线
l
为：y-2=k(x-1)（由图形可看出直线
|2k?1||4k|11
l
的斜率必然存在），由点到直线的距离公式得：
2
?
2
?k?,k ??
，所以直线
62
k?1k?1
l
的方程为:x-6y+11=0 或x+2y-5=0.
（2）运算方法（如公式、运算程序或运算方向等）选择不当导致运算繁杂或不可能得
解而出错
必修二19. 已知圆(x－3)
2
+y
2
=4和直线y=mx的交 点分别为P，Q两点，O为坐标原点，
则
OP?OQ
的值为 .
【运算繁杂的解法】联立直线方程y=mx与圆的方程(x－3)
2
+y
2
=4消y，得关于x的方程
令
Px(y,
1
,)Q(x,y)2
(1?m)x?6x?5?0
，
1
22
2
65
,x?x?
y?xx
，则
x
1
?
2
x?
，则
y
12
12
m
1?m
2
1?m
22
12
5m
2
?
，
1?m
2
????
????
由于向量
OP
与向量
OQ
共线且方向相同，即它们 的夹角为0，所以
????????
OP?OQ?OP?OQ?x
1
x
2
?y
1
y
2
?
55m
2
??5
.
1?m
2
1?m
2
【正确解析】根据圆的切割线定理，设过点 O的圆的切线为OT（切点为T），由勾股定
理，则
OP?OQ?OT
2
?3
2
?2
2
?5
.
（3）忽视数学运算的精确性，凭经验猜想得结果而出错
曲线x－
2
y2
?1
的右焦点作直线交双曲线于
2
A、B两点，且
AB?4< br>，则这样的直线有
___________条.
【错解】4条.过右焦点的直线，与双 曲线右支交于A、B时，满足条件的有上、下各一
条（关于x轴对称）；与双曲线的左、右分别两交于A 、B两点，满足条件的有上、下各

一条（关于x轴对称），所以共4条.
2b
2
2?2
??4
，所以过右焦点的直【正解】过右焦点且与X轴垂直的弦AB （即通径）为
a1
线，与双曲线右支交于A、B时，满足条件的仅一条；与双曲线的左、右分别 两交于A、
B两点，满足条件的有上、下各一条（关于x轴对称），所以共3条.
5.数学思维不严谨
（1）数学公式或结论的条件不充分
24.已知两正数x,y 满足x+y=1,则z=
(x?)(y?)
的最小值为 .
【错解 一】因为对a>0,恒有
a??2
,从而z=
(x?)(y?)
?
4 ,所以z的最小值是4.
2?x
2
y
2
?2xy22
【错 解二】
z?
所以z的最小值是
2(2?1)
.
?(?xy)?2? 2xy
?2?2(2?1)
，
xyxyxy
11
1yx
1( x?y)
2
?2xy2
【正解】z=
(x?)(y?)
=
x y???
=
xy????xy?2
，令t=xy, 则
xy
xyxy
xyxyxy
0?t?xy?(
x?y
2
1212
?
1
?
)?
，由
f(t)?t?
在
?
0,
?
上单调递减,故当t=时
f(t)?t?
有最小值
24t4t
?
4
?
1
a
1
x
1
y
1
x
1
y
33133
,所以当
x?y?
时z有最小值.
2
44
（2）以偏概全，重视一般性而忽视特殊情况
必修一(1)不等式|x+1|(2x－1)≥0的解集为____________
解析： （1）【错解】
[,??)
.因为|x+1|
?
0恒成立，所以原不等式转化 为2x-1
?
0，所以
1
x?[,??)

2
1< br>2
【正确解析】
[
1
,??)?{?1}
.原不等式等价于| x+1|=0或2x-1
?
0，所以解集为
2
1
x?[,??)?{ ?1}
.
2
必修一(2)函数
y?
1?x
1?x
的定义域为 .
(2) 【错解】
1?x
?0?(1?x)(1?x)?0?x?1
或< br>x??1
.
1?x

【正解】
1?x
?0?< br>?
?
1?x
(1?x)(1?x)?0
?
(1?x)(x?1 )?0
?
?
??1?x?1

1?x?0x?1
??
（3）解题时忽视等价性变形导致出错
27.已知数 列
?
a
n
?
的前
n
项和
S
n?2
n
?1
，求
a
n
.

【错解】
a
n
?S
n
?S
n?1
?(2
n
?1)?(2
n?1
?1)?2
n
?2
n?1
?2
n?1
.

【正确解析】当
n?1
时，
a
1
?S
1
?3
，n
?2
时，
a
n
?S< br>n
?S
n?1
?(2?1)?(2
nn?1
?1)?2?2< br>nn?1
?2
n?1
?
?
3
.所以
a
n
?
?
n?1
2
?
?
(n?1)
(n? 2)
.

选修实数
a
为何值时，圆
x
2
?y
2
?2ax?a
2
?1?0
与抛物线
y
2?x
有两个公共点.
【错解】 将圆
x
2
?y
2?2ax?a
2
?1?0
与抛物线
y
2
?x
联立，消去
y
，
得
x
2
?(2a?)x?a
2
?1?0(x?0).
①
?
??0
?
17
1
因为有两个公共点，所以方程①有两 个相等正根，得
?
?
2a??0
， 解之得
a?.

8
2
?
2
?
?
a?1?0.
1
2
1
2
1
2
【正确解析】要使圆与抛物线有两个交点的充要条件是方程 ①有一正根、一负根；或有
?
??0
两个相等正根.当方程①有一正根、一负根时，得
?
2
解之，得
?1?a?1.

?
a?1?0.
因此，当
a?

171
或
?1?a?1
时，圆
x
2
?y
2
?2ax?a
2< br>?1?0
与抛物线
y
2
?x
有两个公共点.
82< br>(1)设等比数列
?
a
n
?
的全
n
项和为< br>S
n
.若
S
3
?S
6
?2S
9，求数列的公比
q
.
a
1
(1?q
3
)a< br>1
(1?q
6
)a
1
(1?q
9
)
【错解】
?S
3
?S
6
?2S
9
,
?
，
??2?
1?q1?q1?q
整理得q
3
(2q
6
?q
3
?1）＝0.

6333
3
由q?0得方程2q?q ?1?0.?(2q?1)(q?1)?0,?q??
4
2
或q?1
. 【正确解析】若
q?1
，则有
S
3
?3a
1
, S
6
?6a
1
,S
9
?9a
1
.
但
a
1
?0
，即得
S
3
?S
6
? 2S
9
,
与题设矛盾，

故
q?1
.
a
1
(1?q
3
)a
1
(1?q
6
)a
1
(1?q
9
)
又依题意
S
3
?S
6
?2S
9
? ?
q< br>3
(2q
6
?q
3
?1
??2?
）＝0,即
1?q1?q1?q
(2q?1)(q?1)?0,
因为
q?1，所以
q?1?0,
所以
2q?1?0.
解得
q??
3333
3
4
.

2

空间识图不准
必修二直二面角α－
l
－β的棱
l
上有一点 A，在平面α、β内各有一条射线AB，AC与
l
成45
0
，AB
?
?
,AC?
?
，则∠BAC= .
【错 解】如右图.由最小角定理，
cos?BAC?cos
?
1
?cos
?
2
?
221
?
????BAC?
2223
. < br>6
【正确解析】
?
或
2
?
.如下图.当
?C AF?
?
时，由最小角定理，
3
3
cos?BAC?cos
?
1
?cos
?
2
?
221
?
????B AC?
2223
；当AC在另一边DA位置
时，
?BAC?
2
?
3
.