做高中数学家教试讲-高中数学较简单的题
最新高中数学奥数竞赛决赛试题
一、选择题(本大题共6小题,每小题6分
,共36分.每小题各有四个选择支,仅有一个选择支正
确.请把正确选择支号填在答题表的相应位置.
)
1.若集合
M?{a,b,c}
中的元素是
?ABC
的三边长,
则
?ABC
一定不是( )
A.锐角三角形
?
B.直角三角形
?
C.钝角三角形 D.等腰三角形
2.设
cos100?k
,则
tan80
=( )
1?k
2
k
1?k
2
1?k
2
A.
B.
?
C.
?
D.
?
2<
br>k
k
k
1?k
3.如图,一个空间几何体的正视图,左视图,俯视图均
为全等的等腰直角三角形,如果直角三角形
的直角边长都为1,那么这个几何体的体积为( )
正视图
A.
左视图 俯视图
1
11
B. C.
D.1
3
62
2222
4. 若
A
、
B
两点分别在圆
x?y?6x?16y?48?0和x?y?4x?8y?44?0
上运动,则<
br>|AB|
的最大值为( )
A.13 B.19
C.32 D.38
5.设
x
1
,x
2是函数
f(x)?2008
定义域内的两个变量,且
x
1
?x<
br>2
,若
a?
列不等式恒成立的是( )
A.
|f(a)?f(x
1
)|?|f(x
2
)?f(a)|
C.
|f(a)?f(x
1
)|?|f(x
2
)?f
(a)|
B.
f(x
1
)f(x
2
)?f(a)
D.
|f(a)?f(x
1
)|?|f(x
2
)?f(a)|
2
x
1
(x
1
?x
2
)
,那么,
下
2
6.已知函数
f(n)?cos
A.1
f(1)?f(2)???f(2008)
n
?
?
( ) <
br>(n?N*)
,则
f(10)?f(21)?f(32)?f(43)
5
B.0 C. -1
D.4
二、填空题(本大题共6小题,每小题6分,共36分.请把答案填在答题卡相
应题的横线上.)
7.右图的发生器对于任意函数
f
?
x
?
,
x?D
可制造出一
系列的数据,其工作原理如下:①若输入数据
x
0
?D
,
则发生器结束工作;②若输入数据
x
0
?D
时,则发生
器
输出
x
1
,其中
x
1
?f
?
x
0
?
,并将
x
1
反馈回输入端.现
定义
f
?
x
?
?2x?1
,
D?(0,50)
.若输入
x
0
?1
,那么,
当发生器结束工作时,输出数据的总个数为
.
8.若点(1,1)到直线
xcos
?
?ysin
?
?2
的距离为
d
,则
d
的最大值是 .
9. 从[0,1]之间选出两个数,这两个数的平方和小于0.25的概率是_______.
10.函数
y?x
2
?x?
输入
x
0
x
0
?x
1
输出
x
1
x
1
?f(x
0
)
x
0
?D
否
结束
是
(第7题图)
1
(
x?
?
n,n?1
?
,其中
n
为正整数)的值域中共有2008个整数,则正整数
2
n?
.
11. 把1,2,3,…,100这100个自然数任意分成10组,每组10个数,将每组中最大的
数取出来,
所得10个数的和记为
S
.若
S
的最大值为
M<
br>,最小值为
N
,则
M?N?
.
12.设集
合
A?xx
2
?
?
x
?
?2
,
B
?xx?2
,其中符号
?
x
?
表示不大于x的最大整数,则
??
??
A?B?
.
三、解答题(本大题共6小题,共78分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)
13.(本小题满分12分)
已知向量
AB?(1?tanx,1?tanx)<
br>,
AC?(sin(x?
(1)求证:
?BAC
为直角;
(2)若
x?[?
?
4
),sin(x?
?
4
))
.
??
,]
,求
?ABC
的边
BC
的长
度的取值范围.
44
14.(本小题满分12分)
已知函数
f(x)?ax?(a?2)x?1
.若
a
为整数,且函数
f(x)
在
(?2,?1)
内恰有一
个零点,求
2
a
的值.
15.(本小题满分12分) 设
A
、
B
是函数
y?log
2
x
图象
上两点, 其横坐标分别为
a
和
a?4
, 直线
l:x?a?2与函数
y?log
2
x
的图象交于点
C
,
与直线
AB
交于点
D
.
(1)求点
D
的坐标;
(2)当
?ABC
的面积大于1时, 求实数
a
的取值范围.
16.(本小题满分14分)
D
1
如图,在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
E
、
F
分别
为棱
AD
、
AB
的中点.
(1)求证:
EF
∥平面
CB
1
D
1
;
(2)求证:平面
CAA
1
C
1
⊥平面
CB
1
D
1
;
(3)如果
AB?1
,一个动点从点
F
出发在正方体的
A
E
D
F
B
C
A
1
B
1
C
1
表面上依次经过棱
BB
1
、
B
1
C
1
、
C
1
D
1
、
D
1
D
、
DA
上的点,最终又回到点
F
,指出整个
路线长度的最小值并说明理由.
17.(本小题满分14分)
已知以点
C(t,)(t?R,
t?0)
为圆心的圆与
x
轴交于
O、A
两点,与
y
轴交于
O
、
B
两点,其中
O
为坐标原点.
(1)求证:
?OAB
的面积为定值;
2
t
(2)设直线
y??2x?4
与圆
C
交于点
M、N
,若<
br>|OM|?|ON|
,求圆
C
的方程.
18.(本小题满分14分)
对于函数
f(x)
,若
f
(x)?x
,则称
x
为
f(x)
的“不动点”,若
f(f<
br>?
x
?
)?x
,则称
x
为
f(x)
的“稳定点”.函数的“不动点”和“稳定点”的集合分别记为
A
和
B
,即<
br>A?
?
x|f
?
x
?
?x
?
,B?x|f
?
f
?
x
?
?
?x
.
(1)求证:
A?B
;
(2)若
f
?
x
?
?ax
2
?1
?
a?R,x?R
?
,且
A?B??
,求实数
a
的取值范围;
(3)若
f(x)
是
R
上的单调递增函数,
x
0
是函数的稳定点,问
x
0
是函数的不动点吗?若是,请
证明你的结论;若不是,请说明的理由.
??
2008年东莞市高中数学竞赛决赛参考答案
一、选择题D B
A C D C
二、填空题
7.5 8.
2?
三、解答题
13.(1)证明:因为
AB?AC?(1?tanx)sin(x?
2
9.
?
10.1003 11.1505
12.
{?1,3}
16
?
4
)?(1?tanx)si
n(x?
?
4
)
?
2cosx?sinxcosx?sinx
[(sinx?cosx)?(sinx
?cosx)]
2cosxcosx
?
0,
…………4分
?
所以
AB?AC
,即
?BAC?90
.
…………5分
所以
?ABC
是直角三角形.
…………6分
(2)解:
|AC|?sin(x?
2
?
)?sin
2
(x?)?1
,
44
?
因为
?ABC
是直角三角形,且
AB?AC
,
所以
|BC
|
2
?|AB|
2
?|AC|
2
?3?2tan
2
x
…………9分
又因为<
br>x?[?
??
,]
,
0?tan
2
x?1
,
44
所以
3?|BC|?5
.
所以,
BC
长度的取值范围是
?
3,5
?
.
…………12分
1
,所以
f(x)
在
(?2,?1)
内没有零点;2分 <
br>2
22
14.解:(1)
a?0
时,令
f(x)??2x?1
?0
得
x?
2
(2)
a?0
时,由
f(x)?ax
?(a?2)x?1,??(a?2)?4a?a?4?0
恒成立,
知
f(x)?ax?(a?2)x?1
必有两个零点.
…5分
若
f(?2)?0
,解得
a??
2
53
?
Z
;若
f(?1)?0
,解得
a???Z
,
62
所以
f(?2)f(?1)?0
.
……7分
又因为函数
f(x)
在
(?2,?1)
内恰有一个零点,
所以
f(?2)f(?1)?0
即
(6a?5)(2a?3)?0
.
…………10分
解得
?
35
?a??,
26
由
a?Z,
?a??1
综上所述,所求整数
a
的值为
?1
.
…………12分
15.解:(1)易知D为线段AB的中点, 因
A(a,log
2
)
,
B(a?4,log
2
所以由中点公式得
D(a?2,
log
2
a(a?4)
a
(a?4)
)
,
)
. …………2分
(2)连接AB
,AB与直线
l:x?a?2
交于点D,D点的纵坐标为
y
D
?1
(log
2
a?log
2
(a?4))
.
…………4分
2
所以
S
?ABC
?S
?ACD
?
S
?BCD
?
1
|CD|?(2?2)
2
?2|CD|
?2
?
log
2
(a?2)?(log
2
a?log<
br>2
(a?4))
?
2
??
?
1
?
(a?2)
2
= log
2
…………8分
a(a?4)
(a?2)
2
由S
△
ABC
=
log
2
>1, 得
0?a?22?2
,
…………10分
a(a?4)
因此,
实数a的取值范围是
0?a?22?2
. …………12分
16.(1)证明:连结
BD
.
在正方体
AC
1
中,对角线
BDB
1
D
1
.
又
Q
E、F为棱AD、AB的中点,
?EFBD
.
?EFB
1
D
1
.
…………2分
又B
1
D
1
?
?
平面
C
B
1
D
1
,
EF?
平面
CB
1
D
1
,
?
EF∥平面CB
1
D
1
.
…………4分
(2)证明:
Q
在正方体
AC
1
中,AA
1
⊥平面A
1
B
1
C
1
D
1,
而B
1
D
1
?
?
平面A
1
B
1
C
1
D
1
,
?
AA
1
⊥B
1
D
1
.
又<
br>Q
在正方形A
1
B
1
C
1
D
1中,A
1
C
1
⊥B
1
D
1
,
?
B
1
D
1
⊥平面CAA
1
C
1
.
…………6分
又
Q
B
1
D
1
?
?
平面CB
1
D
1
,
F
F
?
平面CAA
1
C
1
⊥平面CB
1
D
1
.
…………8分
(3)最小值为
32
.
…………10分
如图,将正方体六个面展开成平面图形,
…………12分
从图中F到F,两点之间线段最短,而且依次经过棱BB
1
、B1
C
1
、C
1
D
1
、D
1
D
、DA上的中点,
所求的最小值为
32
.
…………14分
17.解:(1)
?圆C过原点O
,
?OC?t?
22
4
.
2
t
2
t
22
设圆
C
的方程是
(x?t)?(y?)?t?
2
4
t
2
令
x?0
,得
y
1
?0,y
2
?
4
;令
y?0
,得
x1
?0,x
2
?2t
. …………2分
t
?S
?OAB
?
114
OA?OB??||?|2t|?4
,即:
?OAB
的面积为定值. ………4分
22t
(2)
?|OM|?|ON|,|CM|?|CN|,
?
OC
垂直平分线段
MN
.
?k
M
N
??2,?k
oc
?
11
,
?
直线
OC
的方程是
y?x
. …………6分
22
?
21
?t
,解得:
t?2或t??2
.
…………8分
t2
5
, 当
t?2
时,圆心
C
的坐标为
(2,1)
,
OC?
此时
C
到直线
y??2x?4
的距离
d?
1
5?5
,
圆
C
与直线
y??2x?4
相交于两点.
…………10分
当
t??2
时,圆心
C
的坐标为
(?2,
?1)
,
OC?
此时
C
到直线
y??2x?4
的距
离
d?
圆
C
与直线
y??2x?4
不相交,
5
,
9
5
?5
?t??2
不符合题意舍去.
…………13分
?
圆
C
的方程为
(x?2)
2
?
(y?1)
2
?5
.
…………14分
18.解:(1)若
A??
,则
A?B
显然成立;
若
A??
,设
t?A
,则
f
?
t
?
?t,f
?
f
?
t
?
?
?f
?
t
?
?t
,
?t?B
,故
A?B
.
…………4分
(2)
QA??,?ax?1?x
有实根,
?
a??
34222
2
2
1
2
.又
A?B
,
所以
a
?
ax?1
?
?1?x
,
4
即<
br>ax?2ax?x?a?1?0
的左边有因式
ax?x?1
,
从而有
ax
2
?x?1a
2
x
2
?ax?a?1?0. …………6分
????
QA?
B
,
?a
2
x
2
?ax?a?1?0
要么没有实根
,要么实根是方程
ax
2
?x?1?0
的根.若
a
2
x
2
?ax?a?1?0
没有实根,则
a?
3
22
;若
ax?ax?a?1?0
有实根且实根是方程
4
ax
2
?x?1?0
的根,则由方程
ax
2
?x?1?0
,得
a
2
x
2
?ax?a
,代入
a
2
x
2
?ax?a?1?0
,
有
2ax?1?0
.由此解得
x?
?
1113
,再代入得
??1?0
,由此
a?
,故a的取值
范围
2a4a2a4
是
?
?
?
13
?
,<
br>?
. …………10分
44
??
(3)由题意:
x
0
是函数的稳定点则
f
?
f
?
x
0
?
?
?x
0
,设
f?
x
0
?
?x
0
,
f
?
x<
br>?
是
R
上的单调增
函数,则
f
?
f
?
x
0
?
?
?f
?
x
0
?
,所以
x
0
?f
?
x
0
?
,矛盾.若<
br>x
0
?f
?
x
0
?
,
f
?
x
?
是
R
上的
单调增函数,则
f
?
x
0
?
?f
?
f
?
x
0
??
,所以
f
?
x
0
?
?x
0
,矛盾,故
f
?
x
0
?
?x
0
,所以x
0
是
函数的不动点.
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