高中数学必修4习题和复习参考题及对应答案

cosx
?
3

2
3

3
?
2

2
1
?
1

2
0
2

2
－1
3

2
?
3

3
tanx
3

不存在
说明：熟悉各特殊角的三角函数值．

13、下列各式能否成立，说明理由：
（1）cos
2
x=1.5；
3
（2）
sinx??
?
4
．
答案：（1）因为
cosx?1.5
，或
cosx??1.5
，而
1.5?1,?1. 5??1
，所以原式
不能成立；
（2）因为
sinx?
3
?
?
4
，而
|
3
?
?
4
|?1< br>，所以原式有可能成立．
说明：利用正弦和余弦函数的最大值和最小值性质进行判断．

14、求下列函数的最大值、最小值，并且求使函数取得最大、最小值的x的集合：
（1）
y?2?
sinx
?
，x∈R；
（2）y=3－2cosx，x∈R．
答案：（1）最大值为
2?
最小值为
2?
1
?
，此时x的集合为
{x|x?
?
2
?2k
?
,k?Z}
；
1
?
，此时x的集合为
{x|x??
?
2
?2k
?
,k?Z}
；
（2）最大值为5，此时x的集合为{x|x=（2k＋1）π，k∈Z}；
最小值为1，此时x的集合为{x|x=2kπ，k∈Z}．
说明：利用正弦、余弦函数的最大值和最小值性质，研究所给函数的最大值和最小值性
质．

15、已知0≤x≤2π，求适合下列条件的角x的集合：
（1）y=sinx和y=cosx都是增函数；
（2）y=sinx和y=cosx都是减函数；
（3）y=sinx是增函数，而y=cosx是减函数；
（4）y=sinx是减函数，而y=cosx是增函数．
答案：（1）
{x|（2）
{x|
3
?
≤x≤2
?
}
；
2
?
2
≤x≤
?
}
；
（3）
{x|0≤x≤
?
2
}
；

（4）
{x|
?
≤x≤
3
?
}
．
2
说明：利用函数图象分析．

16、画出下列函数在长度为一个周期的闭区间上的简图：
（1）
y?
1
?
sin(3x?),x?R;

2 3
（2）
y??2sin(x?
?
4
),x?R;

),x?R;
（3）
y?1?sin(2x?
（4）
y?3sin(
答案：（1）
?
5
?
x
?),x?R.

63

（2）

（3）

（4）

说明：可要求学生在作出图象后，用计算机或计算器验证．

17、（1）用描点法 画出函数y=sinx，
x?[0,
?
2
]
的图象．
（2 ）如何根据第（1）小题并运用正弦函数的性质，得出函数y=sinx，x∈[0，2π]的图
象？
（3）如何根据第（2）小题并通过平行移动坐标轴，得出函数y=sin（x＋φ）＋k，x∈[0，
2π]的图象？（其中φ，k都是常数）
答案：（1）
x
sinx
0
0
?

18
0.17
?

9
0.34
?

6
0.50
2
?

9
0.64
5
?

18
0.77
?

3
0.87
7
?

18
0.94
4
?

9
0.98
?

2
1
（2）由sin（π－x ）=sinx，可知函数y=sinx，x∈[0，π]的图象关于直线
x?
?
2对称，

据此可得函数y=sinx，
x?[
?
2
,
?
]
的图象；又由sin（2π－x）=－sinx，可知函数y=sinx，x∈ [0，
2π]的图象关于点（π，0）对称，据此可得出函数y=sinx，x∈[π，2π]的图象．

（3）先把y轴向右（当φ＞0时）或向左（当φ＜0时）平行移动|φ|个单位长度，再把
x轴向下（当k＞0时）或向上（当k＜0时）平行移动|k|个单位长度，最后将图象向左或向
右平行移动2π个单位长度，并擦去[0，2π]之外的部分，便得出函数y=sin（x＋φ）＋k，x∈[ 0，
2π]的图象．
说明：学会用不同的方法作函数图象．

18、不通 过画图，写出下列函数的振幅、周期、初相，并说明如何由正弦曲线得出它们
的图象：
（1）
y?sin(5x?
（2）
y?2sin
?
6
),x?R;

1
x,x?R.

6
2
?
?
，初相是．
5
6
答案：（1） 振幅是1，周期是
把正弦曲线向左平行移动
?
?
个单位长度，可以得函数y?sin(x?)
，x∈R的图象；
66
1
倍（纵坐标不变），就可得 出函数
5
再把所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的
y?sin(5x?
?
6
)
，x∈R的图象．
1
x
，
6
（2）振幅是2，周期是2π，初相是0．
把正 弦曲线上所有点的横坐标伸长到原来的6倍（纵坐标不变），得到函数
y?sin
x∈R的图象 ；再把所得图象上所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），就可得到
函数
y?2si n(x)
，x∈R的图象．
说明：会根据解析式求各物理量，并理解如何由正弦曲线通过变换得到正弦函数的图象．

1
6

B组
1、已知α为第四象限角，确定下列各角的终边所在的位置：
（1）
?
2
； （2）
?
3
； （3）2α．
答案：（1）
3
??
?
?k
?
??(k?1)?
，所以的终边在第二或第四象限；
422
（2）
90??k120? ?
?
3
?30??90??k120?
，所以
?
3
的终边在第二、第三或第四象
限；
（3）（4k＋3）π＜2α＜（4k＋4）π，所以2α 的终边在第三或第四象限，也可在y轴的
负半轴上．
说明：不要求探索α分别为各象限角时，

2、一个扇形的弧长与面积的数值都是5，求这个扇形中心角的度数．
答案：约143° < br>说明：先用弧度制下的扇形面积公式求出半径，再求出中心角的弧度数，然后将弧度数
化为角度数 ．

3、已知α为第二象限角，化简
cos
?
提示：
?
n
和nα的终边所在位置的规律．
1?sin
?
1?cos
?
?sin
?
．
1?sin
?
1?cos
?
(1?cos
?
)
2
原式?cos
?
(1?sin
?
)
2
2
c os
?
sin
2
?
1?sin
?
1?cos
?
?cos
?
?sin
?
|cos
?< br>||sin
?
|
1?sin
?
1?cos
?
?cos
?
(?)?sin
?
cos
?
sin
?< br> ?sin
?
?cos
?
.
?sin
?

说明：根据同角三角函数的基本关系将被开方式变形，并根据α的终边位置确定符号是
关键．

4、已知
tan
?
??
1
，计算：
3
（2）（1）
sin
?
?2cos
?
； < br>5cos
?
?sin
?
1
2sin
?
cos
?
?cos
?
2
．
答案：（1）
510
；（2）．
163
说明：根据同角三角函数的基本关系将原式变形为只含tanα的关系式．

5、求证：
1?sin
?
?cos
?
?2s in
?
cos
?
?sin
?
?cos
?
．
1?sin
?
?cos
?
sin
2
?
?c os
2
?
?sin
?
?cos
?
?2sin
?
cos
?
答案:
左边?
1?sin
?
?cos
?
(sin
?
?cos
?
)
2
?sin< br>?
?cos
?
?
1?sin< br>?
?cos
?
(sin
?
?cos
?
)(s in
?
?cos
?
?1)
? ?右边.
1?sin
?
?cos
?
说明：把左边分子中的1变成si n
2
α＋cos
2
α是关键．


x
2
y
2
y
?b(a?0,b?0)
，求证
2
?
2
?1
． 6、已知xcosθ=a，
tan
?
ab
答案：将已知条件代入左边，得 < br>左边?
a
2
acos
?
22
?
b
2
tan
2
?
b
2
?
1
cos
?< br>2
?
sin
2
?
cos
?
2
?1?sin
2
?
cos
?
2
?1.

说明：将已知条件代入左边消去θ是关键．

7、已知tanθ＋sinθ=a，t anθ－sinθ=b，求证（a
2
－b
2
）
2
=16ab ．
答案：将已知条件代入左边，得
左边=[（tanθ＋sinθ）
2
－ (tanθ－sinθ)
2
]
2

=16tan
2
θ·sin
2
θ，
再将已知条件代入右边，得
右边?16(tan
?
?sin
?)(tan
?
?sin
?
)
?16(tan
2
?
?sin
2
?
)
?16?
?16?
sin
2
?
?sin
2
?
cos
2
?
cos
?
sin
2
?
sin
2
?
cos
2
?
2

?16tan
2
?
sin
2
?
,
所以，左边=右边 ．
说明：还可以利用
tan
?
?

8、（1）函数
y?3cos(2x?
（2）函数
y?sin(?3x?
答案：（1）
[< br>a?ba?b
,sin
?
?
及（tanθ＋sinθ）（tanθ－s inθ）=tan
2
θ·sin
2
θ．
22
?
3
)
，x∈R在什么区间上是减函数？
?
4
)
，x∈R在什么区间上是增函数？
?
6
? k
?
,
2
?
?k
?
],x?Z
；
3

（2）
[?
?
12
?
2k
??
2k
?
,?],k?Z
．
343
说明：利用正弦、余弦函数的单调区间求所给函数的单调区间．

9 、（1）我们知道，以原点为圆心，r为半径的圆的方程是x
2
＋y
2
=r< br>2
．那么
?
表示什么曲线？（其中r是正常数，θ在[0，2π）内变化） < br>（2）在直角坐标系中，
?
?
x?rcos
?
,
?< br>y?rsin
?
?
x?a?rcos
?
,
表示什么曲 线？（其中a、b、r是常数，且r
?
y?b?rsin
?
为正数，θ在[0 ，2π）内变化）
答案：（1）表示以原点为圆心，r为半径的圆．
（2）表示以（a，b）为圆心，r为半径的圆．
说明：本题只作同角三角函数关系式的应用 训练，不必补充参数方程的有关知识．另外，
如果没有学习《数学2》，也可不做此题．


P77
习题2.1
A组
1、在如图所示的坐标纸中，用直尺和圆规画出下列向量：
（1）
|OA|?4
，点A在点O正南方向；
（2）
|OB|?22
，点B在点O北偏西45°方向；
（3）
|OC|?2
，点C在点O南偏西30°方向．

答案：

说明：选定点O后，点A，B，C的位置就唯一确定．点A在点B的什么方位 是向量
中经常会涉及的问题，也是引入向量的直观例子．教师应让学生熟悉这种表示方法．

2、一人从点A出发，向东走500米到达点B，接着向北偏东60°走300米到达点C，
然 后再向北偏东45°走100米到达点D．试选择适当的比例尺，用向量表示这个人的位移．
答案：

说明：位移是物理学中的基本量．在数学中可以用有向线段表示位移，要表示出点A、
D之间的位移，就需要表示出点A、B，点B、C，点C、D之间的位移．让学生通过实例，
感受向量 与生活紧密相关．

3、如图，D、E、F分别是△ABC各边的中点，写出图中与
DE
、
EF
、
FD
相等的向
量．

答案：与
DE
相等的向量有：
AF,FC
；
与
EF
相等的向量有：
BD,DA
；
与
FD
相等的向量有：
CE,EB
．

说明 ：主要考查三角形及其中位线的性质与向量之间的联系．向量是形与数之间的桥梁，
学习向量时，一定要 注意密切联系图形的几何性质，特别是相等和平行方面的性质．

4、如图，在方格纸上的□ ABCD和折线MPQRST中，点O是□ABCD的对角线的交点，
且
OA?a,OB?b, AB?c,
分别写出图中与a、b、c相等的向量．

答案：与a相等的向量有：
CO,QP,SR
；
与b相等的向量有：
PM,DO
；
与c相等的向量有：
DC,RQ,ST
．
说明：平行四边形的对边平行且相 等，对角线互相平分．有条件的也可以运用几何作图
软件作图，通过平移，加深学生对相等向量的认识．

5、已知边长为3的等边三角形ABC，求BC边上的中线向量
AD
的模< br>|AD|
．
答案：
|AD|?
33

2

说明：等边三角形具有许多性质，如三边相等，三边的高线、中线、角平分线三线合一
等．向量 是联系代数与几何的有力工具，在解题时应引导学生根据题意作图反映几何特性．

< br>6、判断下列结论是否正确（正确的在括号内打“√”，错误的打“×”），并说明理由．
（1）若a、b都是单位向量，则a=b．（ ）
（2）物理学中的作用力与反作用力是一对共线向量．（ ）
（3）方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量是共线向量．（ ）
（4）直角坐标平面上的x轴、y轴都是向量．（ ）
答案：（1）×
说明：单位向量的长度都是1，但方向可能不同．
（2）√
说明：作用力和反作用力作用在不同的物体上，其大小相同，方向相反，是一对共线向
量．
（3）√
说明：方向为南偏西60°的向量与北偏东60°的向量方向相反，它们是共线向量．
（4）×
说明：x轴，y轴只有方向，没有大小，因而不是向量．


B组
1、有人说，由于海平面以上的高度（海拔）用正数表示，海平面以下的高度用负数表< br>示，所以海拔也是向量、你同意他的看法吗？温度、角度是向量吗？为什么？
答案：海拔和高度都不是向量．
说明：海拔不是向量，它只有大小，没有方向．讲海拔时，通 常不从向量的角度去讲，
海平面以上的高度用正数表示，海平面以下的高度用负数表示．同样，温度、角 度也不是向
量．

2、在矩形ABCD中，AB=2BC，M、N分别为AB和CD 的中点，在以A、B、C、D、
M、N为起点和终点的所有向量中，相等的非零向量共有多少对？
答案：相等的向量共有24对．
模为1的向量有18对．其中与
AM
同向的 共有6对，与
AM
反向的也有6对；与
AD
同向的共有3对，与
AD
反向的也有3对；模为
2
的向量共有4对；模为2的向量有2对．

说明：相等向量是大小相等、方向相同的向量．学生应熟悉矩形的性质：有一个角是直
角、对边平行． 在解题中，要确定一个分类的原则，计算各类中相等向量的对数．这里是以
向量模的大小分类，然后考虑 各类中有几种不同的方向，最后研究各个方向上各有几对相等
的向量．


P91

习题2.2
1、设a表示“向东走10km”，b表示“向 西走5km”，c表示“向北走10km”，d表示“向南
走5km”．试说明下列向量的意义．
（1）a＋a；（2）a＋b；（3）a＋c；（4）b＋d；（5）b＋c＋b；（6）d＋a＋d．
答案：（1）向东走20km；
（2）向东走5km；
（3）向东北走
102km
；
（4）向西南走
52km
；
（5）向西北走
102km
；
（6）向东南走
102km
．

2、一架飞机向北飞行300km ，然后改变方向向西飞行400km，求飞机飞行的路程及两
次位移的合成．
答案：飞机飞行的路程为700km；两次位移的合成是向北偏西约53°方向飞行500km．

3、一艘船以8kmh的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时河水的流速为2kmh．求船< br>实际航行的速度的大小与方向（精确到1°）．
答案：实际航行的速度是
217kmh
，船航行的方向与河岸的夹角约为76°．

4、化简：
（1）
AB?BC?CA
；
（2）
(AB?MB)?BO?OM
；
（3）
OA?OC?BO?CO
；
（4）
AB?AC?BD?CD
；
（5）
OA?OD?AD
；
（6）
AB?AD?DC
；
（7）
NQ?QP?MN?MP
．
答案：（1）0；（2）
AB< br>；（3）
BA
；（4）0；（5）0；（6）
CB
；（7）0．

5、作图验证：

11
(a?b)?(a?b)?a
；
22
11
（2）
(a?b)?(a?b)?b
．
22
（1）
答案：略．

6、已知向量a、b，求作向量c，使a ＋b＋c=0．表示a、b、c的有向线段能构成三角
形吗？
答案：不一定构成三角形． < br>说明：结合向量加法的三角形法则，让学生理解，若三个非零向量的和为零向量，且这
三个向量不 共线时，则表示这三个向量的有向线段一定能构成三角形．

7、作图验证：b－a=－（a－b）．
答案：略．

8、已知a、b为两个非零向量，
（1）求作向量a＋b及a－b；
（2）向量a、b成什么位置关系时，|a＋b|=|a－b|（不要求证明）．
答案：（1）略；
（2）当a⊥b时，|a＋b|=|a－b|．
说明：（2）的 结论可以启发学生结合向量加法的平行四边形法则解释，其实质是对角线
相等的平行四边形是矩形．

9、化简：
（1）5（3a－2b）＋4（2b－3a）；
（2）6（a－3b＋c）－4（－a＋b－c）；
（3）
[(3a?2b)?5a?(6a?9b)]
；
（4）（x－y）（a＋b）－（x－y）（a－b）．
答案：（1）3a－2b；（2）10a－22b＋10c；（3）
3a?

10、已知a=e
1
＋2e
2
，b=3e
1
－2e
2
，求a＋b，a－b与3a－2b．
答案：a＋b=4e
1
，a－b=－ e
1
＋4e
2
，3a－2b=－3e
1
＋10e
2
．

11、已知□ABCD的对角线AC和BD相交于O，且
OA?a，
OB?b
，用向量a、b
分别表示向量
OC,OD,DC,BC
．
答案：如图所示，
OC??a,OD??b,DC?b?a,BC??a?b.

1
2
1
3
1
b
；（4）2（x－y）b
2

12、△ABC中，
AD?
1
AB
，DEBC，且与边AC相交于点E，△ABC的中线AM
4
与DE相交于点N ．设
AB?a
，
AC?b
，用a、b分别表示向量
AE,BC,DE ,DB,EC,DN,AN
．
答案：
AE?
11331
b,BC? b?a,DE?(b?a),DB?a,EC?b,DN?(b?a)
，
44448
A N?
11
AM?(a?b)
．
48

说明：本题用到平行线分线段成比例的有关性质及平行四边形的性质．

EF?HG
．13、已知四边形ABCD，点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点，求证： 证明：在△ABC中，E，F分别是AB，BC的中点，所以EF∥AC且
EF?
1
AC
，即
2
EF?
1
AC
；
2
1
AC
．
2
同理，
HG?
所以
EF?HG
．

说明：本题主要目的是让学生应用三角形中位线定理，体会向量与几何的联系．


B组
1、飞机从甲地以北偏西15°的方向飞行1400km到达乙地，再从乙地以南偏东7 5°的方
向飞行1400km到达丙地．试画出飞机飞行的位移示意图，并说明丙地在甲地的什么方向？
丙地距甲地多远？
答案：丙地在甲地的北偏东45°方向，距甲地1400km．


2、已知a、b是非零向量，|a＋b|与|a|＋|b|一定相等吗？为什么？
答案：不一定相等，可以验证在a，b不共线时它们不相等．

3、如图，
AM?
111
AB,AN?AC
．求证：
MN?BC
．
333

证明：因为
MN?AN?AM,

11
AC,AM?AB,
33
11

所以MN?AC?AB
33
11
?(AC?AB)?BC.
33
而AN?

4、根据下列各个小题中的条件，分别判断四边形ABCD的形状，并给出证明：
（1）
AD?BC
；
（2）
AD?
1
BC
；
3
（3）
AB?DC
，且
|AB|?|AD|
．
答案：（1）四边形ABCD为平行四边形，证略；
（2）四边形ABCD为梯形．
证明：因为
AD?
1
BC
，
3
所以AD∥BC，且AD≠BC，
所以四边形ABCD为梯形．

（3）四边形ABCD为菱形．
证明：因为
AB?DC
，
所以AB∥DC，AB=DC．
所以四边形ABCD为平行四边形．
又
|AB|?|AD|
，
所以四边形ABCD为菱形．

说明：本题是用向量的性质判断图形的几何性质．

、OB、OC、OD
满 足等式5、已知O为四边形ABCD所在平面内的一点，且向量
OA

OA?OC ?OB?OD
．
（1）作图并观察四边形ABCD的形状；
（2）四边形ABCD有什么特性？试证明你的猜想．
答案：（1）通过作图可以发现四边形ABCD为平行四边形．
证明：因为
OA?OB?BA
，
OD?OC?CD
，
而OA?OC?OB?OD,
所以OA?OB?OD?OC,


CD
所以BA?CD,即AB?
因此四边形ABCD为平行四边形．
说明：本题需要先根据题意分析作图方法．实际上，这个图中三个顶点的位置是任意的，
、OB、OC
（如而第四个顶点的位置是由给出的条件确定的．所以在作图时，可先作向量
OA
图） ，然后作
OM?OA?OC及BM?OA?OC?OB
，最后只需将
BM
平移 至
OD
，连接
A、B、C、D四点得出四边形ABCD．
本题如能利用计算机软件作图，效果会更好，学生可以动态地观察图形，帮助思考．



P101
习题2.3
A组
1、已知表示向量a的有向线段始点A的坐标，求它的终点B的坐标：
（1）a=（－2，1），A（0，0）；
（2）a=（1，3），A（－1，5）；
（3）a=（－2，－5），A（3，7）．
答案：（1）（－2，1）；（2）（0，8）；（3）（1，2）．
说明：解题时可设B（x，y），利用向量坐标的定义解题．

2、已知作用在坐标 原点的三个力分别为F
1
=（3，4），F
2
=（2，－5），F
3
=（3，1），求

作用在原点的合力F
1
＋F
2＋F
3
的坐标．
答案：F
1
＋F
2
＋F
3
=（8，0）．

3、已知□ABCD的顶点A（－1，－2），B（3，－1），C（5，6），求顶点D的坐标． < br>答案：解法一：
OA?(?1,?2),BC?(5?3,6?(?1))?(2,7),

而
AD?BC,OD?OA?AD?OA?BC?(1,5)
．
所以点D的坐标为（1，5）．
解法二：设D（x，y），则
AD?(x?(?1 ),y?(?2))?(x?1,y?2),
BC?(5?3,6?(?1))?(2,7).
?
x?1?2,
由AD?BC可得
?
?
y?2?7.
解得点D的坐标为（1，5）．
说明：本题也可 利用平行四边形的对角线互相平分，用A、C和B、D的中点重合来解
题．教师可启发学生通过多种途径 解题．

4、已知点A（1，1），B（－1，5）及
AC?
D、E的坐标．
解：
OA?(1,1),AB?(?2,4).


11
A B,AD?2AB,AE??AB
，求点C、
22
AC?
11
AB? (?1,2),AD?2AB?(?4,8),AE??AB?(1,?2).

22
；
OC?OA?AC?(0,3)
，所以，点C的坐标为（0，3）
；
OD?OA?AD?(?3,9)
，所以，点D的坐标为（－3，9）
．
O E?OA?AE?(2,?1)
，所以，点E的坐标为（2，－1）
说明：要使学生理解向量的 坐标的意义，能利用向量的坐标确定一个点的坐标．

5、x为何值时，a=（2，3）与b=（x，－6）共线？
答案：由向量a，b共线得（2，3）=λ（x，－6），
所以
23
?
，解得x=－4．
x?6
说明：要让学生通过 此类习题的练习，体会两个共线向量的坐标之间的关系，理解为什
么可以通过比例来求解，这也是培养学 生归纳能力的一个途径．

6、已知A（－2，－3），B（2，1），C（1，4），D（ －7，－4），试问：
AB与CD
是否

共线？
答案：
AB?(4,4),CD?(?8,?8),CD??2AB,所以AB与CD共线
．
< br>7、已知点O（0，0），A（1，2），B（－1，3），且
OA
?
?2OA ,OB
?
?3OB
，求点A′、
B′及向量
A
?
B
?
的坐标．
答案：
OA
?
?2OA?(2,4)
，所以点A′的坐标为（2，4）；
；
OB
?
?3OB?(?3,9)< br>，所以点B′的坐标为（－3，9）
向量
A
?
B
?
? (?5,5)
．


B组
PO?AtAB?
1、已知点 O（0，0），A（1，2），B（4，5），
O
时，分别求点P的坐标．
答案：
OA?(1,2),AB?(3,3)
．
当t=1时，
OP?OA?AB?OB?(4,5)
，所以P（4，5）；
当
t?
．当t=1，
1
，－2，2
2
1
13357 57
时，
OP?OA?AB?(1,2)?(,)?(,),所以P(,);

2
2222222
当t=－2时，
OP?OA?2AB?(1,2)?(6,6)? (?5,?4)
，所以P（－5，－4）；
当t=2时，
OP?OA?2AB?(1 ,2)?(6,6)?(7,8)
，所以P（7，8）．

2、判断下列各点的位置关系，并给出证明：
（1）A（1，2），B（－3，－4），C（2，3、5）；
（2）P（－1，2），Q（0.5，0），R（5，－6）；
（3）E（9，1），F（1，－3），G（8，0.5）．
答案：（1）因为
AB ?(?4,?6),AC?(1,1.5),所以AB??4AC
，所以A、B、C三点
共线；
（2）因为
PQ?(1.5,?2),PR?(6,?8),所以PR?4PQ
，所以 P、Q、R三点共线；
（3）因为
EF?(?8,?4),EG?(?1,?0.5),所以 EF?8EG
，所以E、F、G三点共线．

3、设e
1
、e2
是平面内一组基底，证明：当λ
1
e
1
＋λ
2
e
2
=0时，恒有λ
1
=λ
2
=0．

< br>?
证明：假设λ
1
≠0，则由λ
1
e
1
＋λ
2
e
2
=0，得
e
1
??
2
e< br>2
．
?
1
所以e
1
、e
2
是共线 向量，与已知e
1
、e
2
是平面内的一组基底矛盾．
因此假设错误，λ
1
=0．
同理λ
2
=0．
综上，λ
1
=λ
2
=0．

4、如图，设Ox、 Oy是平面内相交成60°角的两条数轴，e
1
、e
2
分别是与x轴、y轴正
方向同向的单位向量，若向量
OP?xe
1
?ye
2
，则把 有序数对（x，y）叫做向量
OP
在坐标
系xOy中的坐标．假设
OP?3e
1
?2e
2
，
（1）计算
|OP|
的大小；
（2）由平面向量基本定理，本题中向量坐标的规定是否合理？

答案：（1）
|OP|?19
．
（2）对于任意向量
OP?xe< br>1
?ye
2
，x，y都是唯一确定的，所以向量的坐标表示的规
定合理 ．


P108
习题2.4
A组
1、已知|a|= 3，|b|=4，且a与b的夹角θ=150°，求a·b，（a＋b）
2
，|a＋b|． < br>222
答案：
ab??63,(a?b)?|a|?2ab?|b|?25?123,| a?b|?25?123
．

2、已知△ABC中，a=5，b=8，C=60°，求
BCCA
．
答案：
BC
与
CA
的夹角为120°，
BCCA??20
．

3、已知|a|=2，|b|=5，a·b=－3，求|a＋b|，|a－b|．
答案：
|a?b|?

4、求证：（λa）·b=λ（a·b）= a·（λb）．
答案：证法一：设a与b的夹角为θ．
（1）当λ=0时，等式显然成立；
（2）当λ＞0时，λa与b，a与λb的夹角都为θ，所以
（λa）·b=|λa||b|cosθ=λ|a||b|cosθ，
λ（a·b）=λ|a||b|cosθ，
a·（λb）=|a||λb |cosθ=λ|a||b|cosθ．
所以，（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）；
（3）当λ＜0时，λa与b，a与λb的夹角都为180°－θ，则
（λa）·b=|λa||b|cos（180°－θ）=－|λ||a||b|cosθ，
λ（a·b）=λ|a||b|cosθ=－|λ||a||b|cosθ，
a·（λb）=|a||λb |cos（180°－θ）=－|λ||a||b|cosθ．
所以，（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）．
综上所述，等式成立．
证法 二：设a=（x
1
，y
1
），b=（x
2
，y
2< br>），那么
（λa）·b=（λx
1
，λy
1
）·（x
2
，y
2
）=λx
1
x
2
＋λy
1y
2
，
λ（a·b）=λ（x
1
，y
1
）· （x
2
，y
2
）=λ（x
1
x
2
＋y1
y
2
）=λx
1
x
2
＋λy
1y
2
，
a·（λb）=（x
1
，y
1
）·（ λx
2
，λy
2
）=λx
1
x
2
＋λy< br>1
y
2
．
所以（λa）·b=λ（a·b）=a·（λb）．

5、先作图，观察以A、B、C为顶点的三角形的形状，然后给出证明：
（1）A（－1，－4），B（5，2），C（3，4）；
（2）A（－2，－3），B（19，4），C（－1，－6）；
（3）A（2，5），B（5，2），C（10，7）．
答案：（1）直角三角形，∠B为直角．
a
2
?2ab?b
2?23,|a?b|?a
2
?2ab?b
2
?35.

CBA?0
，证明：
BA?(?6,?6),BC?(?2,2)
，由
B得BC⊥BA，∠B为直角，△ABC
为直角三角形；
（2）直角三角形，∠A为直角．
证明：
AB?(21,7),AC?(1,?3),ABAC?0
，同（1）可得结论 ；
（3）直角三角形，∠B为直角．
证明：
BA?(?3,3),BC?(5,5),BABC?0
，同（1）可得结论．

6、设|a|=12，|b|=9，
ab??542
，求a与b的夹角θ．
答案：θ=135°

7、已知|a|=4，|b|=3，（2a－ 3b）·（2a＋b）=61，求a与b的夹角θ．
答案：θ=120°
（2a－3b）· （2a＋b）=4a
2
－4a·b－3b
2
=61，于是可得a·b=－6，
cos
?
?
ab1
??
，
|a||b|2
所以θ=120°．

8、已知|a|=8，|b|=10，|a＋b|=16，求a与b的 夹角θ（精确到1°）．（可用计算器）
答案：
cos
?
?

9、求证：A（1，0），B（5，－2），C（8，4），D（4，6）为顶点的四边形是一个矩形．
证明：因为
AB?(4,?2),BC?(3,6),DC?(4,?2)
，
所以
AB?DC,ABBC?0
．
所以A，B，C，D为顶点的四边形是矩形．

10、已知|a|=3，b=（1，2），且a∥b，求a的坐标．
解：设a=（x，y），则
23
，θ=55°．
40
??
3535
?
x
2
?y
2
?9,
x?,x??,< br>??
???
55
解得
?
或
??
y
?
x?.
?
y?
65
?
y??
65
.

?2
??
55
??
于是a?(
35653565
,)或a?(?,?).
5555
说明：在解方程的过程中，要注意x与y同号．

11、已知a=（4，2），求与a垂直的单位向量的坐标．
解：设与a垂直的单位向量e=（x，y），则
??
55
x?,x??,< br>??
?
?
x
2
?y
2
?1,
??< br>55
解得
?
或
??
?
?
4x?2y?0,< br>?
y??
25
?
y?
25
.

??
55
??
e?(
525525
,?),或e?(?,).
5 555
说明：方程4x＋2y=0中隐含了条件：x与y异号．


B组
1、已知a是非零向量，且b≠c，求证：a·b=a·c
?
a⊥（b－c）．
答案：证法一：a·b=a·c
?
a·b－a·c=0

（b－c）=0
?
a·
．
?
a⊥（b－ c）
证法二：设a=（x
1
，y
1
），b=（x
2
，y
2
），c=（x
3
，y
3
）．
先证a·b=a·c
?
a⊥（b－c）．
a·b=x
1
x
2
＋y
1
y
2
，
a·c=x
1
x
3
＋y
1
y
3
．
由a·b=a·c得x
1
x
2
＋y
1
y
2
=x
1
x
3
＋y
1
y
3
， 即x
1
（x
2
－x
3
）＋y
1
（y< br>2
－y
3
）=0．
而b－c=（x
2
－x
3
，y
2
－y
3
），
所以a·（b－c）=0．
再证a⊥（b－c）
?
a·b=a·c．
由a·（b－c）=0得x
1
（x
2
－x
3
）＋y
1
（y
2
－y
3
）=0，
即x
1
x
2
＋y
1< br>y
2
=x
1
x
3
＋y
1
y
3
，
因此
?
a·b=a·c．
说明：这里给出了两种不同的证明 方法，证法一是利用向量数量积的运算律进行证明，
而证法二是利用向量的坐标运算进行证明．实际上， 学生学习了向量的坐标运算后，会遇到
是否需要选用坐标进行证明的问题，教师在教学中需要对不同的问 题加以分析引导，让学生
体会两种不同方法的特点和方法．

2、如图，在平面直角 坐标系中，以原点为圆心，单位长度为半径的圆上有两点A（cosα，
sinα），B（cosβ，s inβ），试用A、B两点的坐标表示∠AOB的余弦值．

答案：
cos?AOB ?
OAOB
?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
．
|OA||OB|
说明：本题是为后面章节中两角差的余弦公 式的学习作准备，同时也让学生体会向量在
三角中的运用．

3、证明：对于任意的 a、b、c、d∈R，恒有不等式（ac＋bd）
2
≤（a
2
＋b
2
）（c
2
＋d
2
）．
证明：构造向量u=（a，b），v=（c，d）．

u·v=|u||v|cosθ（其中θ为向量u，v的夹角）．
所以
ac?bd?a
2
?b
2
c
2
?d
2
c os
?
，
（ac＋bd）
2
=（a
2
＋b
2
）（c
2
＋d
2
）cos
2
θ≤（a
2
＋b
2
）（c
2
＋d
2
）．
说明：不等式中等号成立的条件是u，v同向．

4、如图，在圆C中，是不是只需 知道圆C的半径或弦AB的长度，就可以求
ABAC
的值？

答案：
ABAC
的值只与弦AB的长有关，与圆的半径无关．
证明：取AB的中点M，连接CM，则CM⊥AB，
AM?
1
AB
．
2
又ABAC?|AB||AC|cos?BAC,
而cos?BAC?
|A M|
,
|AC|
1
|AB|
2
.
2

所以ABAC?|AB||AM|?


5、平面向量的数量积a·b是一个 非常重要的概念，利用它可以容易地证明平面几何的
许多命题，例如勾股定理、菱形的对角线相互垂直、 长方形对角线相等、正方形的对角线垂
直平分等、请你给出具体证明．
你能利用向量运算推导关于三角形、四边形、圆等平面图形的一些其他性质吗？
答案：（1） 勾股定理：Rt△ABC中，∠C=90°，则
|CA|?|CB|?|AB|
．
证明：因为
AB?CB?CA
，
222

所以
AB?(CB?CA)(CB?CA)?CB?2CACB?CA
．
由∠C=90°，有CA⊥CB，于是
CACB?0
．
所以
|CA |
2
?|CB|
2
?|AB|
2
．
（2）菱形ABCD中，求证：AC⊥BD．
证明：因为
AC?AB?AD,DB?AB?AD,

所以
ACDB?(AB?AD)(AB?AD)?AB?AD
．
因为ABCD是菱形，所以AB=AD，所以
AB?AD?0
．
因为
ACDB?0
，所以AC⊥BD．
（3）长方形ABCD中，求证：AC=BD．
证明：因为ABCD是长方形，所以AB⊥AD，所以
ABAD?0
．
所以
AB?2ABAD?AD?AB?2ABAD?AD
．
所以
(AB?AD)
2
?(AB?AD)
2
．
所以
|AC|
2
?|BD|
2
．
所以AC=BD．
（4）正方形的对角线垂直平分．综合以上（2）（3）的证明即可．


P113
习题2.5
1、已知点A（1，0），直线l：y =2x－6，点R是直线l上的一点，若
RA?2AP
，求
点P的轨迹方程．
解：设P（x，y），R（x
1
，y
1
），
222222
22
222
则RA?(1?x
1
,?y
1
),AP?(x?1,y).
?
x
1
??2x?3,

由 RA?2AP得(1?x
1
,?y
1
)?2(x?1,y),即
?< br>?
y
1
??2y.
代入直线l的方程得y=2x．
所以，点P的轨迹方程为y=2x．
说明：本题实际上是利用向量进行图形变换，目的是加强学生的应用向量意识．

2 、△ABC中，D、E、F分别是AB、BC、CA的中点，BF与CD交于点O，设
AB?a,AC? b
，

（1）证明A、O、E三点在同一直线上，且
（2）用a、b表 示向量
AO
．
解：（1）易知，△OFD∽△OBC，
DF?
所以 ，
BO?
AOBOCO
???2
；
OEOFOD
1
BC
，
2
2
BF
．
3
AO?BO?BA
2
?BF?a
3

21
?(b?a)?a
32
1
?(a?b).
3

（2）因为
AE?
所以
AO?
1
(a?b)
，
2
AO
2
?2
．
AE
．因此A、O、E三点在同 一直线上，而且
OE
3
BOCO
?2,?2
． 同理可知
OFOD
AOBOCO
???2
． 所以
OEOFOD说明：本题的目的是要证明三角形的三条中线相交于一点．为了降低证明的难度，将问
题分成了两个 小题．教学中，可以通过本题让学生思考证明三线共点的证明方法：可以是先
得出其中两条线的交点，然 后证明第三条线经过这一点．本题也可以利用向量的坐标来求解．

3、两个粒子A、B从同 一源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为s
A
=（4，3），
s
B=（2，10）．
（1）写出此时粒子B相对粒子A的位移s；
（2）计算s在s
A
方向上的投影．

解：（1）v=v
B
－v
A
=（－2，7）；
（2）v在v
A
方向上的投影为

4、平面上三个力F
1< br>、F
2
、F
3
作用于一点且处于平衡状态，|F
1
| =1N，
|F
2
|?
F
1
与F
2
的夹角为 45°，求：（1）F
3
的大小；（2）F
3
与F
1
夹角的 大小．
解：设F
1
，F
2
的合力为F，F与F
1
的夹角为θ，则
|vv
A
|
13
?
．
|vA
|5
6?2
N
，
2
|F|?3?1
，θ=3 0°；
．
|F
3
|?3?1
，F
3
与F
1
的夹角为150°

说明：由于没有学习正弦定理、余弦定理，可用如图所示的方法添高求解．


B组
1、以初速度v
0
，抛射角θ投掷铅球，求铅球上升的最大高度和最大投掷距离 解：设v
0
在水平方向的速度大小为v
x
，竖直方向的速度的大小为v< br>y
，则
v
x
=|v
0
|cosθ，v
y< br>=|v
0
|sinθ．
设在时刻t的上升高度为h，抛掷距离为s，则 1
2
?
?
h?|v
0
|tsin
?
? gt,(g为重力加速度)

2
?
?
?
s?|v
0
|tcos
?
.
|v
0
|
2
sin
2
?
|v
0
|
2
sin2
?
所以，最大 高度为，最大投掷距离为．
2gg

2、一条河的两岸平行，河的宽度d=500m ，一艘船从A处出发到河对岸．已知船的静
水速度|v
1
|=10kmh，水流速度| v
2
|=2kmh．要使船行驶的时间最短，那么船行驶的距离与合
速度的比值必须最 小．此时我们分三种情况讨论：
（1）当船逆流行驶，与水流成钝角时；
（2）当船顺流行驶，与水流成锐角时；
（3）当船垂直于对岸行驶，与水流成直角时． < br>请同学们计算上面三种情况，是否当船垂直于对岸行驶时，与水流成直角时，所用时间

最短．
解：设v
1
与v
2
的夹角为θ，合速度为v，与v的夹 角为α了，行驶距离为d，则
sin
?
?
|v
1
|sin
?
10sin
?
0.5|v|
?,d??.
|v||v|s in
?
20sin
?
．
d1
?.
|v|20si n
?
所以当θ=90°，即船垂直于对岸行驶时所用时间最短．

说明：由于学生还没有学习正弦定理和余弦定理，所以要通过作高来求解．

3、已 知对任意平面向量
AB?(x,y)
，把
AB
绕其起点沿逆时针方向旋转θ角 得到向量
AP?(xcos
?
?ysin
?
,xsin
?< br>?ycos
?
)
，叫做把点B绕点A逆时针方向旋转θ角得到点
P．
（1）已知平面内点A（1，2），点
B(1?2,2?22)
．把点B绕点A沿顺时 针方向
旋转
?
后得到点P，求点P的坐标；
4
（2）设平面内曲线 C上的每一点绕坐标原点沿逆时针方向旋转
曲线x
2
－y
2
=3，求 原来曲线C的方程．
答案：（1）（0，－1）．
解：设P（x，y），则
AP?(x?1,y?2).AB?(2,?22)
．
将
AB
绕点A沿顺时针方向旋转
是
?
后得到的点的轨迹是
4
?
7
到
AP
，相当于沿逆时针方向旋转
?
到
AP
，于
44
7777
AP?(2cos
?
? 22sin
?
,2sin
?
?22cos
?
)?(?1,? 3).
4444

?
x?1??1,
所以
?
?y?2??3.
解得x=0，y=－1．

（2）
y??
3
．
2x
解：设曲线C上任 一点P的坐标为（x，y），
OP
绕O逆时针旋转
为（x′，y′），则
?
后，点P的坐标
4
??
?
?
x?xcos?ysin,?
?
44
?
?
y
?
?xsin
??ycos
?
,
?
?44

?
2
?< br>x?(x?y),
?
?
2
即
?
?
y
?
?
2
(x?y).
?
?2
1
2
1
2
又因为x′
2
－y′
2
=3，所以
(x?y)?(x? y)?3
．
22
3
化简得
y??
．
2x
说明：本题希望学生能运用题目中给出的法则进行运算，同时也体现向量的作用．


P118
复习参考题
1、判断下列命题是否正确：
（1）
AB?BA?0
；
（2）
AB?BC?AC
；
（3）
AB?AC?BC
；
（4）
0AB?0
．
答案：（1）（√）





（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
AB
与
BA
是相反向量，它们的和为零向量．
（2）（√） 当第一个向量的终点是第二个向量的起点时，这两个向量的和等于第一个向量的起点指
向第二向量的 终点的向量．
（3）（×）
当两个向量有共同的起点时，那么这两个向量的差等于减向量的 终点指向被减向量的终
点的向量．
（4）（×）
实数0与任意向量的数乘结果是零向量，而不是实数0．

2、选择题：
（1）如果a，b是两个单位向量，那么下列四个结论中正确的是（ ）
A．a=b B．a·b=1 C．a
2
≠b
2
D．|a|
2
=|b|
2
（2）对于任意向量a、b，下列命题中正确的是（ ）
A．若a、b满足|a|＞|b|，且a与b同向，则a＞b
B．|a＋b|≤|a|＋|b|
C．|a·b|≥|a||b|
D．|a－b|≤|a|－|b|
（3）在四边形ABCD中，若
AC?AB?AD
，则（ ）．
A．ABCD是矩形 B．ABCD是菱形
C．ABCD是正方形 D．ABCD是平行四边形
（4）设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是（ ）
A．a与－λa的方向相反 B．|－λa|≥|a|
C．a与λ
2
a的方向相同 D．|－λa|=|λ|·a
（5）设M是 □ABCD的对角线的交点，O为任意一点，则
OA?OB?OC?OD
等于
（ ）
A．
OM
B．
2OM
C．
3OM
D．
4OM

（6）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）
A．e
1
=（0，0），e
2
=（1，－2） B．e
1
=（－1，2），e
2
=（5，7）
C．e
1
=（3，5），e
2
=（6，10） D．e
1
=（2，－3），
e
2
?(,?)

1
2
3
4
答案：（1）D
说明：两个单位向量的长度是相等的，因而长度的平方也是相等的．
A选项不正确是因为两个 向量相等，必须长度相等，而且方向相同．两个单位向量尽管
长度相等，但方向不一定相同．
B选项不正确．两个单位向量的数量积只有当它们同向（或夹角为0）时，它们的数量
积才为1． C选项不正确．因为a
2
、b
2
表示向量a和向量b的长度的平方，而| a|=|b|，所以它们应
该相等．
（2）B
说明：可利用三角形两边之和与第三边的关系来解题．
（3）D
说明：这是向量加 法的平行四边形法则，它只能保证四边形ABCD是平行四边形，不
能保证它是矩形、菱形、正方形．
（4）C
说明：当λ＞0时，a与－λa的方向相反；当λ＜0时，a与－λa的方向相同．
（5）D
说明：
OA?OC?2OM,OB?OD?2OM
．
（6）B
说明：两个不共线的非零向量构成一组基底．

3、已知
AB?AD?AC
，且
AC?a
，
BD?b
，分别 用a，b表示
AB、AD
．
答案：
AB?

4、已知六边 形ABCDEF为正六边形，且
AC?a
，
BD?b
，分别用a，b表示．
DE、AD、BC、EF、FA、CD、AB、CE
略解：
DE?BA?MA ?MB??
11
(a?b),AD?(a?b)
．
22
21
a?b,

33
2211
AD?a?b, BC?a?b,
3333
1112
EF??a?b,FA?DC?a?b,
3 333

1221
CD??a?b,AB?a?b,
3333
CE? ?a?b.


5、已知平面直角坐标系啵，点O为原点，A（－3，－4），B（5，－12）．
（1）求
AB
的坐标及
|AB|
；
（2）若
OC ?OA?OB,OD?OA?OB
，求
OC及OD
的坐标；
（3）求
OAOB
．
答案：（1）
AB?(8,?8)，|AB|?82
；
（2）
OC?(2,?16),OD?(?8,8)
；
（3）
OAOB?33
．

6、已知点A（0，1 ），B（1，0），C（1，2），D（2，1），试判断向量
AB和CD
的位置
关系 ，并给出证明．
答案：
AB与CD共线
．
证明：因为
AB?(1 ,?1),CD?(1,?1)
，所以
AB?CD
．所以AB与CD共线．

7、已知点A（1，1），B（－1，0），C（0，1），求点D（x，y），使
AB?CD
．
答案：D（－2，0）．

8、n为何值时，向量a=（n，1）与b=（4，n）共线且方向相同？
答案：n=2．

9、已知a=（1，0），b=（1，1），c=（－1，0），求λ和μ，使c=λa＋μb．
答案：λ=－1，μ=0．

10、已知△ABC的顶点坐标分别为A（1，1）， B（4，1），C（4，5），求cosA，cosB，
cosC的值．
答案：
cosA?

11、已知单位向量m和n的夹角为60°，求证：（2n－m）⊥m，并解释其几何意义．
证明：（2n－m）·m=2n·m－m
2
=2cos60°－1=0，
所以和，（2n－m）⊥m．
几何意义如图所示．
34
，cosB=0，
cosC?
．
55


12、已知a=（1，0），b=（1，1），λ为何值时，a＋λb与a垂直？

答案：λ=－1．

13、已知
|a|?3
，|b |=2，a与b的夹角为30°，求|a＋b|，|a－b|．
答案：
|a?b|?13,|a?b|?1
．

14、如图所示， 支座A受F
1
、F
2
两个力的作用，已知|F
1
|=40N ，与水平线成θ角；|F
2
|=70N，
沿水平方向；两个力的合力|F|=100N ，求角θ以及合力F与水平线的夹角β．

答案：
cos
?
?


B组
1、选择题：
（1）已知
AB?a?5b,BC??2a?8b,CD?3(a?b)
，则（ ）．
A．A、B、D三点共线
C．B、C、D三点共线


B．A、B、C三点共线
D．A、C、D三点共线
519
,cos
?
?
．
820
（2）已知正方形 ABCD的边长为1，
AB?a
，
BC?b
，
AC?c
，则 |a＋b＋c|等于
（ ）
A．0 B．3 C．
2
D．
22

（3）已知
OA?a,OB?b,OC?c,OD?d
， 且四边形ABCD为平行四边形，则（ ）
A．a＋b＋c＋d=0
C．a＋b－c－d=0
B．a－b＋c－d=0
D．a－b－c＋d=0 < br>（4）已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且
BC?a,CA?b,A B?c
，

则①
EF?
11111
c?b
；②
BE?a?b
；③
CF??a?b
；④
AD?BE?CF?0
中正
22222
确的等式的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
（5）若e
1
，e
2
是夹角为60°的两个单位向量，则a =2e
1
＋e
2
；b=－3e
1
＋2e
2
的夹角为（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
（6）若 向量a、b、c两两所成的角相等，且|a|=1，|b|=1，|c|=3，则|a＋b＋c|等于（ ）
A．2 B．5 C．2或5 D．
2或5

（7）等边三角形A BC的边长为1，
BC?a,CA?b,AB?c
，那么a·b＋b·c＋c·a等
于 （ ）
A．3 B．－3 C．
3

2
D．
?
3

2
答案：（1）A；（2）D；（3）B；（4）C；（5）C；（6）C；（7）D． 说明：（6）中向量的夹角可以是0或
2
?
1
，（7）中若
BA ?c
，则结论为．教师可以
32
给出各种情况让学生思考，认清向量的夹角，防止机械 地记忆答案．

2、已知向量a，b为非零向量，求证：
a?b?|a?b|?|a ?b|
，并解释其几何意义．
证明：先证a⊥b
?
|a＋b|=|a－b|．
|a?b|?(a?b)< br>2
?|a|
2
?|b|
2
?2ab,
|a?b|?( a?b)
2
?|a|
2
?|b|
2
?2ab.

因为a⊥b，所以a·b=0，于是
|a?b|?|a|?|b|?|a?b|
．
再证|a＋b|=|a－b|
?
a⊥b．
由于
|a?b|?|a| ?2ab?|b|,|a?b|?
22
22
|a|
2
?2ab?|b |
2
，所以，由|a＋b|=|a－
b|可得a·b=0，于是a⊥b．
所以|a＋b|=|a－b|
?
a⊥b．
几何意义是矩形的两条对角线相等．

3、已知a＋b=c，a－b=d，求证：| a|=|b|
?
c⊥d，并解释其几何意义．
证明：先证|a|=|b|
?
c⊥d．
c·d =（a＋b）·（a－b）=|a|
2
－|b|
2
，
又|a|=|b|，所以c·d=0．所以c⊥d．
再证c⊥d
?
|a|=|b|．
由c⊥d得c·d=0，
即（a＋b）·（a－b）=|a|
2
－|b|
2
=0，
所以|a|=|b|．
几何意义为菱形的对角线互相垂直，如图所示．

4、如图，已知四边形ABCD是等腰梯形，E、F分别是腰AD 、BC的中点，M、N是
线段EF上的两个点，且EM=MN=NF，下底是上底的2倍，若
A B?a,BC?b
，求
AM
．

答案：
AD?AB?BC?CD?
1
a?b
，
2
11
AE?a?b,
42
31
而EF?a,EM?a,
44
111
所以AM?AE?EM?a?b?a
424
1
=(a?b).
2


5、已知向量
OP
1
,OP
2
,OP
3
满足条件
OP
1
?OP
2?OP
3
?0
，
|OP
1
|?|OP
2
|?|OP
3
|?1
，
求证△P
1
P
2
P
3
是正三角形．
证明：如图所示，设
OD?OP
1
?OP
2
，由于
OP
1
?OP
2
?OP
3
?0,
所以OP
3
??OD,|OD|?1.

所以|OD|?|OP
1
|?|P
1
D|.
所以∠OP
1
P
2
=30°．同理可得∠ OP
1
P
3
=30°．