高中数学练习题(高一)

复习
E
是１、已知正四棱锥
S?ABCD
的侧棱长与底面边 长都相等，
SB
的中点，则
AE，SD
所成的角的余弦值为（ ） < br>２、如图，在四棱锥
O?ABCD
中，底面
ABCD
四边长为1的菱形，
?ABC?
O
M
A
D
N
C
?< br>4
,
OA?底面ABCD
,
OA?2
,
M
为
OA
的
中点，
N
为
BC
的中点
（Ⅰ ）证明：直线
MN
‖
平面OCD
；（Ⅱ）求异面直线AB与
MD所成 角的大小；（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离。
B
３、正方体ABCD
－
A
1
B
1
C
1
D
1
中，E
、
F分别是棱AB，BB
1
的中点，
A
1
E与C
1
F所成的角是θ，则ｃｏｓθ＝（）
４、将
?B
=60
0
,边长为 1的菱形ABCD沿对角线AC折成二面角
?
,
若
?
?
[6 0°,120°], 则折后两条对角线之间的距离的最值为
A．最小值为
4
, 最大值为
2
B．最小值为
4
, 最大值为
4

3
1
33
C．最小值为
4
, 最大值为
4
D．最小值为
4
, 最大值为
2

3
3
3
3
５、一个四面体的所有棱长都是
2
，四个顶点在同一个球面上，则
此球的表 面积为 ．
６、如图8-32，在正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，E∈BB
1
，截面A
1
EC⊥
侧面AC
1
。
（1）求证：BE=EB
1
；（2）若AA
1
=A
1
B
1
，求平面A
1
EC与平面A
1
B
1
C
1
所成二面角（锐角）的度
数。
７、 数列
{a
n
}
中，
a
1
?2
，前
n
项和
S
n
?n
2
a
n
，求
a< br>n

?
x?y?0
?
2x?y?2
?
８、 若不等式组
?
表示的平面区域是一个三角形，则a的取值范围是
y?0
?< br>?
?
x?y?a
444
A.
a?
B.
0?a?1
C.
1?a?
D.
0?a?1或a?

333
９、（本小题满分12分）设全集，集合与集
合，且，求，
答案：
１、连接AC、BD交于O，连接OE，因OE∥SD.所以∠AEO为异面直线SD与AE所成的角。

设侧棱长与底面边长都等于2，则在⊿AEO中，OE＝1,AO＝
2
，AE=
2
2
?1?3
，
于是
cos?AEO?
(3)
2
?1
2
?(2)
2
2?3?1
?
1
3
?
3
。
3
，?ME
‖
CD
又２、（1）证明：取OB中点E，连接ME，NE
?ME
‖AB,AB‖
CD
?NE
‖
OC,?平面MNE
‖
平面OCD?MN
‖
平面 OCD

（2）
?CD
‖AB,
∴?MDC
为异面直线< br>AB
与
MD
所成的角（或其补角）作
AP?CD于P,
连接< br>MP
∵OA?平面ABCD，∴CD?MP


∵?ADP?
?
4
,∴DP=
2

2
，
MD?MA
2
?AD
2
?2
DP1
?
?, ?MDC??MDP?

MD23
∴cos?MDP?


所以
AB
与
MD
所成角的大小为
?

3
（3）
∵AB
‖
平面
OCD,
∴
点A和点B到平面 OCD的距离相等，连接OP,过点A作
AQ?OP
于点Q，
∵AP?CD,OA?CD,∴CD?平面OAP,∴AQ?CD

又
∵AQ?OP,∴AQ?平面OCD
,线段AQ的长就是点A到平面OCD的距离

∵OP?OD
2
?DP
2
?OA
2
?AD
2
?DP
2
?4?1?
132
?
22
，
2
OA
?
AP
2
2
?
2
，所以点B到平面O CD的距离为
2

∴AQ??
AP?DP?
3
OP3
2
32
2
2
?
３、
cos
?
?
2
４、B ５、3
?

5
６、（1）在截面A
1
EC内，过E作EG⊥A
1
C，G是垂足。∵面A
1
EC⊥面AC< br>1
，∴EG⊥侧面AC
1
，
取AC的中点F，连结BF，FG，由AB =BC得BF⊥AC。∵面ABC⊥侧面AC
1
，∴BF⊥侧面AC
1
，得BF∥EG。由BF，EG确定一个平面，交侧面AC
1
于FG。∵BE∥侧面AC1
，∴BE∥FG，四边
形BEGF是平行四边形，BE=FG。∵BE∥AA
1
，∴FG∥AA
1
。又△AA
1
C∽△FGC，且AF=FC，∴< br>FG=
111
AA
1
=BB
1
，即BE=BB
1
，故BE=EB
1
。
222

11
BB
1
=CC
1
，∴
22
11
DB
1
=DC
1
=B
1
C
1
=A
1
B
1
。∵∠B
1
A
1
C
1
=∠B
1
C
1
A
1
=60°，∠DA
1
B
1
=∠A< br>1
DB
1
=(180°-∠
22
（2）分别延长CE、C1
B
1
交于点D，连结A
1
D。∵EB
1
∥C C
1
，EB
1
=
DB
1
A
1
)= 30°，∴∠DA
1
C
1
=∠DA
1
B
1
+∠B
1
A
1
C
1
=90°，即DA
1
⊥ A
1
C
1
。∵CC
1
⊥平面A
1
C
1
B
1
，即
A
1
C
1
是A
1< br>C在平面A
1
C
1
D上的射影，根据三垂线定理得DA
1⊥A
1
C
1
，∴∠CA
1
C
1
是所求 二面角
的平面角。∵CC
1
= AA
1
=A
1
B< br>1
=A
1
C
1
, ∠A
1
C
1C=90°，∴∠CA
1
C
1
=45°，即所求二面角为45°。
a
n
(n?1)
2
n?1
７、 解：
S
n
?S
n?1
?a
n
?na
n
S
n?1
?(n?1)a
n?1
,代入上式得

?2
?
a
n?1
n?1n?1
2
2
a
n
?
a
n
a
n?1
a
n?2
a
a< br>???
?
?
3
?
2
?a
1

a
n?1
a
n?2
a
n?3
a
2
a1

=
n?1n?2n?3n?43214
< br>????
?
????2?
n?1nn?1n?2543n(n?1)
８ 、D 解： 由不等式组的前三个条件已经确定一个三角形区域
（如图阴影）.所以x+y=a只能在图 中两条虚线所夹区间之外,因
此a有两个范围.
９、，且

，

，

，

，