高中数学面试试题及答案

数学（理）

第一部分（选择题 共40分）
一、选择题共8小题。 每小题5分，共40分。在每个小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的一项。
1.已知集合A={－1，0，1}，B={x|－1≤x＜1＝，则A∩B= ( )
A.{0} B.{－1，0}
开始
C.{0，1} D.{－1,0,1}
i=0, S=1
2.在复平面内，复数(2－i)
2
对应的点位于( )
S=
S
2
+1
2S+1
A.第一象限 B. 第二象限
C.第三象限 D. 第四象限
3.“φ=π”是“曲线y=sin(2x＋φ)过坐标原点的”
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
i=i+1
i≥2
是
输出S
结束
否
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.执行如图所示的程序框图，输出的S值为
A.1 B.
213610
C. D.
321987
5.函数 f(x)的图象向右平移一个单位长度，所得图象与y=e
x
关于y轴对称，则f(x)=
A.
e
x?1
B.
e
x?1
C.
e
?x?1
D.
e
?x?1

x< br>2
y
2
6.若双曲线
2
?
2
?1
的 离心率为
3
，则其渐近线方程为
ab

2
1
x
A.y=±2x B.y=
?2x
C.
y??x
D.
y??
2
2
7.直线l过抛物线C:x
2
=4y的焦点且与y轴垂直，则l与C所围 成的图形的面积等于
162
48
A. B.2 C. D.
3
33
?
2x?y?1?0,
?
8.设关于x,y的 不等式组
?
x?m?0,
表示的平面区域内存在点P(x
0
，y0
)满足x
0
－2y
0
=2，
?
y?m?0< br>?
求得m的取值范围是
4
??
A.
?
??,?
?
B.
3
??
1
??
??,
??
C.
3
??
2
??
??,?
??
D.
3
??
5
??
??,?
??

3
??
第二部分（非选择题 共110分）
二、填空题共6题，每小题5分，共30分。
?
)到直线ρsinθ=2的距离等于
6
9.在极坐标系中，点(2，
10.若等比数列{a
n
}满足a< br>2
＋a
4
=20，a
3
＋a
5
=40，则公 比q= ；
前n项和S
n
= .
11. 如图，AB为圆O的直径，PA为圆O的切线，PB与圆O相交
PD9
?
，则PD= ，AB= . 于D，PA=3，
DB16
B
O
DP
A
12.将序号分别为1，2，3，4，5的5张参观券全部分给4
人，每人至 少一张，如果分给同一人的两张参观券连号，那
b
么不同的分法种数是 .
a
c
13.向量a，b，c在正方形网格中的位置如图所示，若c=λa
D< br>1
A
1
D
A
P
B
E
B
1< br>C
C
1

＋μb(λ，μ∈R)，则
?
= .
?
14.如图，在棱长为2的正方体ABCD-A
1
B
1
C
1
D
1
中，E为BC的中点，点P在线段D
1
E上，< br>点P到直线CC
1
的距离的最小值为 .
三、解答题共6小题，共80分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过
程
15. (本小题共13分)
在△ABC中，a=3，b=2
6
，∠B=2∠A.
(I)求cosA的值，
(II)求c的值
16.( 本小题共13分)
下图是某市3月1日至14日的空气质量指数趋势图，空气质量指数小于100表示空气质
量优良，空 气质量指数大于200表示空气重度污染，某人随机选择3月1日至3月13日
中的某一天到达该市，并 停留2天
空
气
质
量
指
数
250
200< br>150
100
50
25
0
86
57
220< br>160
143
217
160
158
121
86
40
79
37
日期
1日
2日3日4日5日
6日7日8日9 日10日11日12日13日14日

（Ⅰ）求此人到达当日空气重度污染的概率
（Ⅱ）设X是此人停留期间空气质量优良的天数，求X的分布列与数学期望。

（Ⅲ）由图判断从哪天开始连续三天的空气质量指数方差最大？（结论不要求证明）
17. (本小题共14分)
如图，在三棱柱ABC-A
1
B
1< br>C
1
中，AA
1
C
1
C是边长为4的正方形.平面A B
C
⊥平面AA
1
C
1
C，
AB=3，BC=5.
（Ⅰ）求证：AA
1
⊥平面ABC；
（Ⅱ）求二面角A
1
-BC
1
-B
1
的余弦值；
（Ⅲ）证明：在线段BC
1
存在点D，使得AD⊥A
1
B，并求BD
的值.
BC
1








18. (本小题共13分)
设l为曲线C：
y?
(I)求l的方程；
(II)证明：除切点(1，0)之外，曲线C在直线l的下方

19. (本小题共14分)
A
1
C
1
A
B
1
B
C
lnx
在点(1，0)处的切线.
x

x
2
已知A、B、C是椭圆W：
?y
2
?1
上的三个点，O是坐标原点 .
4
(I)当点B是W的右顶点，且四边形OABC为菱形时，求此菱形的面积.
(II)当点B不是W的顶点时，判断四边形OABC是否可能为菱形，并说明理由.

20. (本小题共13分)
已知{a
n
}是由非负整数组成的无穷数列， 该数列前n项的最大值记为A
n
，第n项之后各项
a
n?1
，
a
n?2
…的最小值记为B
n
，d
n
=A
n－B
n

(I)若{a
n
}为2，1，4，3，2，1，4，3 …，是一个周期为4的数列(即对任意n∈N
*
，
a
n?4
?an
)，
写出d
1
，d
2
，d
3
，d< br>4
的值；
(II)设d为非负整数，证明：d
n
=－d(n=1,2 ,3…)的充分必要条件为{a
n
}为公差为d的等差数
列；
(III)证 明：若a
1
=2，d
n
=1(n=1,2,3…)，则{a
n
}的项只能是1或2，且有无穷多项为1




参考答案
一、选择题共8小题。每小题5分，共40分。
（1）B
（5）D


（2）D
（6）B


（3）A
（7）C




（4）C
（8）C

二、填空题共6题，每小题5分，共30分。
9、1

10、2
12、96
2
n+1
－2
11、95 4
13
、
4 14
、

三、解答题共6小题，共80分。
15
、

16
、

17
、

18
、

19
、

20
、