高中数学类报刊稿费-北师大版零失误高中数学必修五
好题速递201题
解析几何模块4.已知曲线
C
的方程
x<
br>2
?y
2
?1
,
A
?
?2,0
?<
br>,存在一定点
B
?
b,0
??
b??2
?
M
A?
?
MB
和常数
?
,对曲线
C
上的任意一点M
?
x,y
?
,都有
成立,则点
P
?
b,
?
?
到直线
?
m?n
?
x?ny?2n?2m
?0
的最大距离
为 .
2
x?b
?
?y
2
?
解法一:由
MA?
?
MB
得
?
x?2
?
2
?y
2<
br>?
?
2
?
?
??
即
?
?
2
?1
?
x
2
?
?
?
2
?1
?
y
2
?
?
2b
?
2
?4
?<
br>x?4?
?
2
b
2
故
?
2b?
2
?4?0
?
?
4?
?
2
b
2
?1
?
2
?
?
?1
,将
b
?
2
??2
代入
4?
?
2
b
2
?<
br>?
2
?1
得
2b
2
?5b?2?0
,得b??
1
2
,
?
?2
又直线
?m?n
?
x?ny?2n?2m?0
恒过定点
?
?2,0
?
,所以由几何性质知点
?
1
??
1
?
P
?
?,2
?
到直线
?
m?n
?
x?ny?2n?
2m?0
的最大距离为点
?
?2,0
?
与
P
??,2
?
?
2
??
2
?
的距离为
5<
br>
2
解法二:作为小题,由
MA?
?
MB
知是阿氏圆
轨迹,故取圆
,即可得
13
??
?
b?11?b
C:x2
?y
2
?1
直径上的两个点
?
?1,0
?<
br>,
?
1,0
?
,解得
b??
1
2
,
?
?2
好题速递202题
解析几何模块5.已知
M是
x
2
?8y
的对称轴和准线的交点,点
N
是其
焦点,点
P
在该抛物线上,且满足
点
P
恰在以
M
、
N
PM?mPN
,当
m
取得最大值时,
为焦点的双曲线上
,则该双曲线的离心率
为 .
解:作
PP'?MP'
,由抛物线定义
PP'?
PM?mPN?
PN
PNPP'
1
???cos
?
,其中
?
??M
PP'??NMP
mPMPM
要使
m
取得最小值,即
co
s
?
最小,即
?
??NMP
最大值,即
?PMP'?
?
2
??MPP'
最小,此时
MP
是抛物线的切线.
设
MP
的方程为
y?kx?2
,
与
x
2
?8y
联立得
x
2
?8
?
kx?2
??0
因为相切,故
??64k
2
?64?0
,解得<
br>k?1
故
P
?
4,2
?
,
2a?
由
2c?4
,得
e?
PM?PN?42?4
2?1
好题速递203题
解析几何模块6. 已知斜率为1的直线
l
过双曲线
x
2
a
2
?
y
2
b
2
?1
?
a?0,b?0
?
的左焦点
F
,
且与双曲线左、右支分别交于
A,B
两点,若
A
是线段
BF
的中点,则双曲线的离心率为 .
解:由题意知
2y
1
?y
2
所以
4c<
br>2
b
2
?a
2
?
9
,所以
c
2
?18a
2
?e?32
2
好题速递204题
解析几何模块7. 已知点
P
是双曲线
x
2
a
2<
br>?
y
2
b
2
?1
?
a?0,b?0
?
上的动点,
F
1
,F
2
是其左、右焦点,
O
坐标原点,若
PF
1
?PF
2
OP
的最
大值是
6
,则此
双曲线的离心率是 .
解
:设
PF
1
?m,PF
2
?n
,则
2m
2
?n
2
?4OP
2
?F
1
F
2
2
?m
2
?n
2
?2OP
2
?2c
2
??
又
m?n?2a
,所以
m
2
?2mn?n
2
?4a
2
所以
2mn?2OP
2
?2c
2
?4a
2
4b
2
?
m?n
?
所以
??
?4?
OP
OP
2
??
2
4b
2
a
2
?6
所以
m?n
OP
的最大值在
OP?a
时取到,所以
4?
6
2
所以
2b
2
?a
2
,即
e?
好题速递205题 解析几何模块8.在平面直角坐标系
?
x?1
?
22
xOy中,圆
C
的方程为
为弦
AB
上一
?
?
y?1
?
?9
,直线
l:y?kx?3
与圆
C
相交
于
A,B
两点,
M
动点,以
M
为圆心,2为半径的圆与圆<
br>C
总有公共点,则实数
k
的取
值范围是 . <
br>解:两圆有公共点的充要条件是
1?CM?5
,而
CM?5
恒成立,故
只要
CM
min
?1
时两圆必有公共点.由平面几何知识可知,
CM
min
为点
C
到直
线
l
的距离
d
,所以
d?
k?2
k
2
?1
?1
,解得
k
??
3
4
好题速递206题
解析几何模块9.已知点
2
2
A
?
1?m,0
?
,
B
?
1?m,0<
br>?
,若圆
的最大值
uuuruuur
C:x?y?8x?8y?31?
0
上存在一点
P
,使得
PA
g
PB?0
,则
m
为 .
解:由
PA<
br>g
PB?0
得
P
在以
AB
中点
M
?
1,0
?
为圆
心,
AB
为半径的圆上,所以
P的轨迹方程
2
uuuruuur
为
?
x?1
?
2
?y
2
?m
2
,所以圆
M
的半径为
m<
br>,
又由
P
在圆
C
上,
C:x
2
?y
2
?8x?8y?31?0
的
圆心
C
?
4,4?
,半径为1,当圆
M
与圆
C
内切
时,
MP<
br>最大为
MC?CP?5?1?6
好题速递207题
立体几何模块1
.如图,在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D1
中,
E
是棱
CC
1
的中点,
F
是侧
面
B
1
BCC
1
上的动
点,并且
A
1F
平面
AED
1
,则动点
F
的轨迹是
(
)
A.圆 B.椭圆 C.抛物线 D.线段
解:如图,取
BB
1
的中点
M
,
B
1C
1
的中点
N
,显然可证明平面
A
1
MN平
面
AED
1
,当
F
在线段
MN
上时
,均有
A
1
F
平面
AED
1
,即动点
F<
br>的轨迹
是线段
MN
。
点评:善于转化是解决立体几何中平行与垂直<
br>问题的关键。例如,考虑“线线平行”时,可
转化为“线面平行”或“面面平行”;考虑
“线面平行”时,可转化为“线线平行”或“面面平行”;考虑“面
面平行”时,可转化
为“线线平行”或“线面平行”。
在斜二测画法画图时,平行关系不会改变,因为要找平行线,可以<
br>考虑在图象上推平行线,然后关注哪个位置看起来比较特殊,例如
中点,中位线之类。
好题速递208题
立体几何模块2.如图,在三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
的侧棱
AA
1
与
BB
1
上各有一
个动点
P
,
Q
,且满足
A
1P?BQ
,
M
是棱
CA
上的动点,则
V
M?A
BQP
V
ABC?A
1
B
1
C
1
?VM?ABQP
的最大值是 .
:设
V
ABC?A
1
B
1
C
1
?V
解法一,则
1
V
M?ABQP
?V
M?B
1
BA
?V
C
?B
1
BA
?V
B
1
?CBA
?V
3
(注:这里用到了梯形
ABQP
的面积与
?ABB
1
的面积
相等。)
即
M
与
C
重合时,
V
M
?ABQP
最大,
V
M?ABQP
V
ABC?A
1
B
1
C
1
?V
M?ABQP
?
1
V
V
M?ABQP
?1
?
1
V
?1
V
3<
br>?
1
2
解法二:设
V
M?ABQP
?V<
br>,
V
ABC?ABC
函数
所以
f
?
V?
max
?
V
C?ABQP
V
0
?V
C?ABQP
111
?V
0
为定值,则
f
?
V?
?
V
V
0
?V
是关于
V
的增
1
V
0
1
3
??
1
V
0
?V
0
2
3
好题速递209题 <
/p>
立体几何模块3.已知线段
AD
?
,且
AD
与
平面
?
的距离为4,点
B
是平面
?
上的动点,且满足
AB?5
,若
AD?10
,则线段
BD
长度的取值
范围是
.
解:如图,将线段
AD
投影到平面
?
上,得到射
影A'D'
,将空间问题平面化,则动点
B
的轨迹是
以
A'
为圆心,半径为
又
BD?
所以
DD'
2
?BD'
2
5
2
?4
2
?3
的圆,
,
10?3?BD'?10?3
,
DD'?4
,
49?16?BD?169?16
,即
65?BD?185
好题速递210题
立体几何模块4.已知
P
为正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
对角线
BD1
上的一点,
且
BP?
?
BD
1
?
?
?
?
0,1
?
?
,下面结论:
①
A1
D?C
1
P
;②若
BD
1
?
平面<
br>PAC
,则
?
?
1
;③若
?PAC
为钝角三
角形,
3
1
?
则
?
?
?
?
0,<
br>?
;
?
2
?
2
?
④若
?
?
?
?
,1
?
,则
?PAC
为锐角三角形.
?
3
?
其中正确结论的序号为 .
解:在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,
A
1
D?
平面
ABC
1
D
1
,又
C
1
P?
平面
ABC
1
D
1
,故
A
1
D?C
1
P
,①正确; <
br>由题可知
BD
1
?AC
,若
BD
1
?
平面
PAC
,则
BD
1
?CP
设正方体的棱长
为1,则
BC?1
,
CD
1
?2
,
BD
1
?3
,在
Rt?BCD
1
中,
BC
2
?BPgBD
1
所以
BP?
3
3
,所
以
BP?
1
BD
1
,②正确;
3
在正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中,以<
br>A
1
B
1
为
x
轴,
A
1
D
1
为
y
轴,
A
1
A
为
z
轴建
系,设棱长为2,则
A
?
0,0,2
?
,B
?
2,0,2
?
,C
?
2,2,2
?
,D
1
?
0,2,0
?
设
P
?
x,y,z?
,由
BP?
?
BD
1
,得
x?2?2
?
,y?2
?
,z?2?2
?
uuuruuuruuu
r
PA?2
?
?2,?2
?
,2
?
CP??2?
,?2?2
?
,?2
?
CA
所以
??
,
??
,
?
?
?2,?2,0
?
uu
uruuuur
若
?PAC
为钝角三角形,则
?APC
为钝角,PA
g
PC?12
?
2
?8
?
?0
,
解得
?
?
?
0,
?
,③错;
3
?
2
?
2
同理,当
?
?
?
?
,1
?
时,
PA
g
PC?12
?
?8
?
?0<
br>,所以
?PAC
为锐角三角形,④
?
3
?
uuuru
uur
uuuruuur
?
?
2
?
正确。
所以正确结论为①②④。
好题速递211题
立体几何模块5.如图,在棱长为1的
正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1中,若点
P
是棱上一点,则满足
PA?PC
1
?2
的点
有 个.
解:点
P
既在以
A,C
1
为焦点,长轴为2的椭球上,
又在正方体的棱上。
因为
BA?BC
1
?1?2?2
,故点
B
AB
在以
A,C
1
为焦点,长轴为2的椭球外,
AB
所以椭球必与线段相交(交点就是的中点),同理在
AD,AA
1
,C
1
B
1
,C
1
D1
,C
1
C
上各有一个交点满足条件
又若点<
br>P
在
BB
1
上,则
PA?PC
1
?1?BP
2
?1?B
1
P
2
?2
,故
BB
1
上不存在满足
条件的点
P
,同理
DD
1
,CD,
A
1
B
1
,BC,A
1
D
1
上也不存在满
足条件的点
P
。
好题速递212题
立体几何模块6.将一个长宽分别为<
br>a,b
?
0?b?a
?
的铁皮的四个角切去
相同的正方形,然
后折成一个无盖的长方体的盒子(不计粘合处),
若这个长方体的外接球的面积存在最小值,则
是 .
解:设切去的小正方形的边长为
x
,长方体的外接球的半径为
R
<
br>b
?
则
4R
2
?x
2
?
?
a?2x
?
2
?
?
b?2x
?
2
?9x<
br>2
?4
?
a?b
?
x?
?
a
2?b
2
?
?
?
0?x?
?
?
2
?
2
?
a?b
?
b
?
?
?<
br>0?
因为长方体的外接球的面积存在最小值,所以
?
92
?
0
?b?a
?
a
b
的取值范围
,解得
1?
a5
?
b4
好题速递213题
在直角梯形
ABCD
中,<
br>ABCD
,
AB?BC?1
,
CD?
在以
C
2
2
,
AB?BC
,动点
M
为圆心且过点
D
的圆内运动(不含边界),设
uuuuruuuruuur
AM?mAB?nBC
?
m,n?R
?
,则
m?n
的取值范围是
.
解:建立直角坐标系,
M
?
x',y'
?
,
A
?
1,0
?
,
B
?
0,0
?
,
C
?
0,1
?
,
D
?
?
uuuu
ruuuruuur
AM?mAB?nBC
由
?
m,n?R
?
得
x'?1?m,y'?n
?
2
?
,1
?
?
2
??
动点
M
在
x
2
?
?
y?1
?
2
?
1
内运动,所以
?
1?m
?
2
?
?
n?1
?
2
?
1
22
求目标函数<
br>m?n
的取值范围是
?
1,3
?
好题速递214题
在曲线
C:x
2
?y
2
?2
?
x?0
?
上任取
A,B
两点,则
u
uuruuur
OA
g
OB
的最小值
为
.
解:记
A
?
x
1
,y
1
?
,
B
?
x
2
,y
2
?
,则
OA
g<
br>OB?x
1
x
2
?y
1
y
2
22
?y
2
?2
?
x
2
?0
?
, 且
x
1
2
?y
1
2
?2
?
x
1
?0
?
,
x
2
uuuruuur
同时
满足
x
i
?y
i
?
i?1,2
?
,即x
i
?y
i
?0
,
x
i
?y
i
?0
?
i?1,2
?
当且仅当
x
1<
br>?x
2
,y
1
??y
2
时取得“=”,故
O
A
g
OB
的最小值为2.
好题速递215题
已知函数
f
?
x
?
是定义在
R
上的不恒为零的偶函数,且对任意实数<
br>x
都
?
5
?
?
有
xf
?
x
?1
?
?
?
x?1
?
f
?
x
?<
br>,则
f
?
f
?
??
?
?
.
?
?
2
?
?
uuuruuur
1
?<
br>1
?
1
?
1
?
1
??
1
?
解:令
x??
1
,则
?
1
f
?
?
?
?f
?
?
?
?f
??
,所以
f
??
?0
2
2
?
2
?
2
?2
?
2
?
2
??
2
?
令
x?
0
,则
f
?
0
?
?0
当
x?0
时,由
xf
?
x?1
?
?
?
x?1
?
f
?
x
?
得
f
?
x?1
?<
br>?
x?1
f
?
x
?
x
则
5
?
5
??
3
?
5
f
??
?2
f
??
?
?
2
?
3
?
2<
br>?
3
2
3
?
?
5
?
?
?<
br>3
?
5
?
1
?
f
??
??
2
f
??
?0
,故
f
?
f
??
?
?f
?
0
?
?0
?
2
?
3
1
?
2
?
?
?
2
?
?
2
好题速递216题
已知实数
a?b?c
,设函数
f
?
x
?
?
111
??
x?ax?bx?c
的两个零点
分别为
x
1
,x
2
?
x
1
?x
2
?
,则下列关系中恒成立的是( )
(A)
a?x
1
?x
2
?b?c
(B)
x
1
?a?b?x
2
?c
(C)
a?x
1
?b?x
2
?c
(D)
a?x
1
?b?c?x
2
解:f
?
x
?
?
111
的两个零点,
??
x?ax?bx?c
即
g
?
x
?
?
?
x
?a
??
x?b
?
?
?
x?a
??
x?c
?
?
?
x?c
??
x?b
?
的两个零点
因为
g
?
x
?
开口向上,
g
?
b
?
?
?
b?a
??
b?c
?
,又
a?b?c
,所以
g
?
b
?
?0
即函数
g
?
x
?
的零点一个大于
b
,一个小于
b
,且
g
?
a
?
?0
,
g
?
c
?
?0
所以根据“一上一下,中间一点”的原则,可知
a?x
1
?b?x
2
?c
,选C
好题速递217题
已
知点
A
?
1,2
?
在抛物线
?:y
2
?2
px
上,若
?ABC
的三个顶点都在抛物线
?
上,记三边
A
B,BC,CA
所在直线的斜率分别为
k
1
,k
2
,k3
,则
111
???
.
k1
k
2
k
3
22
?
y
1
??
y
2
?
,y
1
?
,
C
?
,y
2
?
解:
?:y?4x
,设
B
?
?
4
??
4
?
????
2
2222
y
1
y
2
y
1
y
2
?1??1
y?2y<
br>1
?y
2
y
2
?2
111
4444
所以
??????
1
???1
k
1
k
2
k
3
y
1
?2y
2
?y
1
y2
?2444
点评:抛物线题目的计算量相对于椭圆、双曲线要小一些,主要是
?
y
2
?
,y
,在化简过程中利用好平方差公式,基于抛物线上的点的
设法
?
?
2p
?
?
??
可以使得计算简便。这个过
程要做到比较熟练。
好题速递218题
已知函数
f
?
x
?
?3x?a
与函数
g
?
x
?
?3x?2a
在区间
?
b,c
?
上都有零点,则
a
2
?2ab
?2ac?4bc
b
2
?2bc?c
2
的最小值为
.
3b?a?0
?
3b?2a?0
解:由题意知,
?
?<
br>,两式相加得
a?2b?0
?
3c?a?0
,两式相加得
a?2c?0
?
3c?2a?0
?
?
?
?a?2b
?
?
?
a?2c
?
?
?
2
?
?a?2b
??
a?2c
?
?
a
2
?2ab?2ac?4bc
?<
br>a?2b
??
a?2c
?
??
??1
所以
?????
b
2
?2bc?c
2
?
b?c
?
2
?
b?c
?
2
?
b?c
?
2
2
当且仅当
?a?2b?a?2c
时取得等号。
点评:这里用到了基本不等
式,如果一下子看不出来,也可以先利
用齐次化思想,将分子分母同除以
a
2
,令
x?
b
,y?
c
,将式子简化,
aa
就容易发
现了。
好题速递219题
已知函数
f
?
x
?
?
a?
4bx?sinx?bxcosx
?
a,b?R
?
,若
f
?
x
?
在
R
上既有最大值又
4?cosx
有最小值,且最大值与最小值的和为
3a?2b?
. <
br>4,则
解:
f
?
x
?
?a?
4bx?sin
x?bxcosx
?a?bx?
4?cosx
sinx
4?cosx
已知
f
?
x
?
在
R
上既有最大值又有最小
值,故
b?0
又
f
?
x
?
?a?
a?2
si
nx
4?cosx
是奇函数,且最大值与最小值的和为4,则
2a?4
,故
3a?2b?6
好题速递220题
对于函数
y?f
?
x
?
,如果存在区间
?
m,n
?
,同时满足下
列条件:①
f
?
x
?
在
?
m,n
?
内是单调的;②当定义域是
?
m,n
?
时,
f
?
x
?
的值域也是
?
m,n
?
,则称
.若
f
?
x
?
?
?
m,n
?
是该函数的“和谐区
间”
a?11
?
?
a?0
?
存在“和谐区
ax
p>
间”,则
a
的取值范围是 .
解
:因为
f
?
x
?
?
a?1
?
1
?
a?0
?
在
?
??,0
?
和
?
0
,??
?
上是增函数,所以
ax
?
m,n
?
??
??,0
?
或
?
m,n
?
?
?0,??
?
,且
f
?
m
?
?m
,f
?
n
?
?n
因此
m,n
是方程<
br>a?11
??x
ax
的两个不相等且同号的实数根,即
ax
2
?
?
a?1
?
x?a?0
有两个不相等且同号的实数根 <
br>又
x
1
?x
2
?
a?1
?0
且x
1
x
2
?
a
?1
,故只需
???
a?1
?
2
?4a
2
?0
,解得
?
1
?a?1
aa3
又
a?0
,故
0?a?1
好题速递221题
已知以
T?4
为周期的函数
3f
?x
?
?x
恰有
2
?
?
m1?x
?x?1
?
y?f
?
x
?
?
?
?
?
1?x?2
?
1?x?3
?
,其中
m?0
,若
5个实数解,则
m
的取值范围是 .
2解:当
x?
?
?1,1
?
时,原函数式化为方程
x?<
br>y
2
m
2
?1
?
y?1
?
,表示一
个半椭
圆,当
x?
?
1,3
?
时,是两线段
y?x
?1
?
1?x?2
?
和
y?3?x
?
2?x?3<
br>?
组成的折
线,再根据周期性画出大致图象如图所示。
由图象可知,当直线
与第三个半椭圆
?
x?8
?
数解, <
br>由方程组
x
?
y?
?
3
?
?
y?0
?
?
2
y
2
?
?
x?4
?
??1
2
?
m
?
2
x
y?
3
?
y
2
m
2
与第二个半椭圆
?
x?4
?2
?
y
2
m
2
?1
?
y?0
?
相交,而
?1
?
y?0
?
无交点时,方程
3f<
br>?
x
?
?x
恰有5个实
消去
y
得
?
9m?1
?
x
22
?72m
2
x?35m
2
?0
15
3
由
??0
,解得
m?
x
?
y?
?
3
由方程组
?
?
y?0
?
消去
y
得
9m
2
?1x
2?144m
2
x?567m
2
?0
?
2?
?
x?8
?
2
?
y
?1
?
m
2
?
??
由
??0
,解得
0?m?7
,
所以
15
?m?7
3
好题速递222题
(2015重庆理科第16题)若函数
f
?
x
?
?
a? ________.
x?1?2x?a
的最小值为5,则
解法一:按照
a??1,a??1
两类分类讨论,画出
f
?
x
?
?图,图象最低点的纵坐标为5,求得
a??6
或
a?4
解法二
:由题意得
x?a?
5
x?1
?
22
x?1?2x?a?5
x?1?2x?a
的折线
,从而
5
x?1
?
22
设
g
?
x
?
?x?a,h
?<
br>x
?
?
g
?
x
?
?x?a
的图象是
以
?
a,0
?
为顶点的开口向上的“V”形图。
5
?的图象是以
?
?
?1,
?
为顶点的开口向下(开口比
g
?
x
?
?
?
2
?
x?a
h
?
x
?
?
5
x?1
?
22
的
图
象开口大)的“V”形图,且与
x
轴交点的坐标为
?
?6,0
?,
?
4,0
?
。
当
a??6
或
a?
4
时,
x?a?
5
x?1
?
22
,所以若函数f
?
x
?
?x?1?2x?a
的最小
值为5,则
a??6
或
a?4
好题速递223题
若动点
P
在直线
l
1
:x?y?2?0
上,动点
Q
在直线
l
2
:x?y?6?0
上,设线段
PQ
22
?y
0
的中点为
M
?
x
0
,y
0
?
,且
?
x
0
?2
?
2
?
?
y
0
?2
?
2
?8
,则
x
0
的取值范围是<
br>________.
解法一:设点
P
?
x
1
,y<
br>1
?
满足
x
1
?y
1
?2?0
,点
Q
?
x
2
,y
2
?
满足
x
2
?y
2
?2?0
两式相加得点
M
?
x
0
,y
0
?
的轨迹是直线
x
0
?y0
?4?0
同时点
M
?
x
0
,y
0
?
满足
?
x
0
?2
?2
?
?
y
0
?2
?
2
?8
所以满足条件的点
M
在线段
AB
上,其中点
A
?<
br>0,?4
?
,
B
?
4,0
?
分别为直线22
?y
0
x?y?4?0
与圆
?
x?2
?<
br>?
?
y?2
?
?8
的交点,
x
0
2
2
表示线段
AB
上的点与坐
标原点连线距离的平方,所以当
M
运动到
A
?
0,?4
?
22
?y
0
或<
br>B
?
4,0
?
时,
x
0
取得最大值为16,
当
M
运动到
圆心
C
?
2,?2
?
时,22
x
0
?y
0
?
?
8,16
?
22
x
0
?y
0
取得最小值为8,故
解法二
:将
x
0
?y
0
?4?0
代入
?
x
0
?2
?
2
?
?
y
0
?2
?<
br>2
?8
,得到
y
0
?
?
?4,0
?
2
22
222
?y
0
将
x
0<
br>?y
0
?4?0
代入
x
0
得
x
0<
br>?y
0
?2y
0
?8y
0
?16?2
?y
0
?2
?
?8?
?
8,16
?
好题速递224题
★设反比例函数
f
?
x
?
?<
br>1
与二次函数
g
?
x
?
?ax
2
?
bx
?
a?0
?
的图象有且仅有
x
两个不同的公共点
y
1
?
.
y
2
A
?
x
1
,y
1
?
,
B
?
x
2
,y
2
?
,且
x
1
?x
2
,则
解:
f
?
x
?
?
1
与
g
?
x
?
?ax
2
?bx
?
a?0?
的图象有且仅有两个不同的公共点
x
?
方程
1
?a
x
2
?bx
有两个不同的实数根
x
1
,x
2
x
?
方程
ax
3
?bx
2
?1?0<
br>有两个不同的实数根
x
1
,x
2
三次方程仅有两个实根,故必有一个是一次根,一个是重根。
?
方程
ax<
br>3
?bx
2
?1?a
?
x?x
1
?
2
?
x?x
2
?
或
ax
3
?bx
2
?1?a
?
x?x
1
??
x?x
2
?<
br>2
b?a
?
?2x
1
?x
2
?<
br>对于第一种情况,等式两边展开比较系数得
22
x
1
?2x
1
x
2
?0
,
?ax
1
x
2
??1
,
故
x
1
?2x
2
?0
,因为
x
1
?x
2
,所以
x
1
?0?x
2
,
x
1
??2x
2
对于第二种
情况,等式两边展开比较系数得
22
x
2
?2x
1
x
2
?0
,
?ax
1
x
2
??1
b?a
?
?x
1
?2x
2
?
,
2
??1
知
ax
1
?0
,与故
2x
1
?x
2
?0
,因为
x
1
?x
2
,所以
x
1
?0?x
2
,但由
?ax
1
x
2a?0,x
1
?0
矛盾,故舍去。
点评:本题是自山东高考题改编而来
,解法中运用了三次方程求根
的因式分解,奇次根穿过与偶次根反弹的问题。浙江高考曾多次考
过类似的问题,值得注意。例如:
(2014浙江文7)已知函数
f(x)?x
3<
br>?ax
2
?bx?c
,且
0?f(?1)?f(?2)?f(?3)?
3
,则
A.
c?3
B.
3?c?6
C.
6?c?9
D.
c?9
解
:方程
f(x)?x
3
?ax
2
?bx?c?t?
?
0,3
?
的三个根为
?1,?2,?3
,
故
x
3
?ax
2
?bx?c?t?
?
x?1
??
x?2
??
x?3
?
比较系数得
c?t?6
,故
c?t?6?
?
6,9
?
(2012浙江理17)设
a
?R
,若
x?0
时均有
[(a?1)x?1](x
2
?ax
?1)?0
,
则
a?
____.
解:
x
2
?ax?1?
?
x?x
1
??
x?x
2
?
,且
x
1
?0?x
2
,因为
[(a?1)x?1](x<
br>2
?ax?1)?0
对
x?0
恒成立,则
x?
21
必是二重零点
a?1
3
1
?
a
??1?
0
代入得:
?
,解之得:,舍去
a?0
,得答
a?0或a?
??
2
?
a?1
?
a?1
案:
a?
3
2
(2013浙江文16)设
a,b?R
,若
x?0
时恒有
0?x
4
?x
3
?ax?b?
?
x
2
?1
?
2
,则
ab?
。
【解析】当
x?1
时,有
0?a?b?0
,所以得
b?
?a
,代回原式
故
x?1
必定是重根,即
x
3
?
a
中必有因子
x?1
,所以
a??1,b?1
,所以
ab?
?1
点评:这三道题都是加深零点意义理解的好题。零点就像是
x
轴上的守门员,关系着函数正负性变化的重任,“奇重零点穿过,偶重
零点反弹”。
好题速递225题
设
x,y
是正实数,且
x?y?1
,则
x
2
y
2
?
的最小值是________.
x?
2y?1
解:设
x?2?m
,
y?1?n
,则题目变为“已知
m?n?4
,求
的最小值。
?
m?2
?
2
?<
br>n?1
?
2
m
?
n
当且仅当
m?2n,m?
n?4
,即
m?
8
,n?
4
,即
x?
2<
br>,y?
1
时取得等号
3333
点评:本题还是分母换元使得式子简化,灵活运用均值不等式。
好题速递226题
(重庆高考题)函数
__________.
解:3?2cosx?2sinx?
?
1?cosx
?
2
?
?
1?sinx
?
2
设
1?sinx?a,1?cosx
?b
,则问题变为求
y?
解法一:当
a?0
时,有
y??1
?
b
?
1?
??
?
a
?
2
f
?
x
?
?
sinx?1
3?2cosx?2s
inx
?
0?x?2
?
?
的值域是
?a
a?b22
的值域
将
b
视为圆
?
a?1
?
2
?
?
b?1
?
2
?1
上任一点与原点
连线的斜率,结合图形可
a
知
b
?0
,
a
所以
?1?y?0
,
当
a?0
时,
y?0
综上可知,
y?
?
?1,0
?
解法二:注意到<
br>y?
?a
a?b
22
,联想其结构特征与
三角函数中的正余弦
定义式相似
于是设直线
OP
的倾斜角为
?
,则
0?
?
?
?
2
所以
y??cos
?
??
?1,0
?
好题速递227题
已知
a?xb?y
c
?
x,y?R
?
,
范围是________.
解法一:考虑向量模的几何意义
由
a?b?2
和
?
a?c
?
?
?
b?c
?
?0
,可作出图形
r<
br>c
的终点
C
必在以
AB
为直径的圆
O'
上
rrr
rrrrrrrrr
,,,则
a?b?2c?1a?c?b?c?0a
?b
????
的取值
rrrrrr
又
c?1
,故
c
的终点
C
必在以
O
为圆心,1为半
径的圆上
所以问题转化为
eO'
与
eO
(半径为1的小圆)有交点
注意到
eO'
的半径为
uuur
AB
2
?
rra?b
2
?
r
r
,圆心距
rr
a?b
2
?1?
uuuur
1
rr
OO'?a?b
2
<
br>所以两圆相交需满足
1?
且有
a?b
rr
2
rra?b
2
rr
a?b
2
rr
2
r<
br>2
r
2
?
?a?b?2
?
a?b
?
?16
?
??
作一个整体换元,设
a?b?x,
a?b?y
?
x
2
?y
2
?16
?
?2?x?y?2
问题转化为规划问题,已知
?
?
?x?y?2
?
x,y?R
?
?
rrrr
,求
y
的
取值范围。
如图可得
y?
?
?
7?1,7?1
?
?
解法二:代数方法
rrr
2
rrr
2
rr
a?b?a?2a
g
b?b?8?2a
gb
,因此只需求
agb
的取值范围
r
rr
由
?
a?c
?
?
?
b?c
?
?0
得
a
g
b?
?
a?b
?
g
c?c
2
?0
所以
a
g
b?1?
?
a?b
?g
c?a?b
g
ccos
?
?a?b
即?
a
g
b?1
?
所以
rr
2
rrrr
rrrrr
rrrrrrrrrr
rr
r
2
rrr
2
rr
?a?2a
g
b?b?8?2a
g
b
,解得
?7?agb?7
rrr
2
rrr
2
rr
rr
??
a?b?a?2a
g
b?b?8?2a
g
b?8
?27,8?27
,故
a
?
b
?
?
7
?<
br>1,7
?
1
?
??
??
??
y
A
解法三:解析几何坐标方法
r
解:设
c?
?
1,0
?
,设
A
,
B
是以
O
为圆心,2为
半径
B
M
O
C
x
的圆上两点,且
AC
?<
br>BC
,则 |
a
-
b
| =
AB
=
2
MC
.
∵
MO
2
?
MA
2
=
OA
2
,而
MA
=
MC
,∴
MO
2
?
MC
2
= 4.
设
M
?
x,y
?
,则
x
2
?y<
br>2
?(x?1)
2
?y
2
?4
,
即
x
2
?y
2
?x?
3
.(*)
2
|
a
-
b
| =
AB
= 2
MC
=
2(x?1)
2
?y
2
?2x
2
?y
2
?2x?1?2
3
?x?2x?1?5?2
x
2
.
由(*)知,
1?
∴
∴
7
21?7
≤x≤
2
,
7?1≤5?2x≤7?1
.
8?27≤5?2x≤8?27
rr
7?1?a?b?7?1
.
,即
好题速递228题
已知实数
a,b,c
,满足
2a
?2
b
?2
a?b
,
2
a
?2b
?2
c
?2
a?b?c
,则
c
的最大值是<
br>________.
解:记
2
a
?x,2
b
?y,
2
c
?z
,则
?
?
因为
x?y?xy?2
故
z?
xy?xy?4
x?y?xy
?
x?y?z?xyz
xy14
?1??
xy?1xy?13
即
c
的最
大值是
log
2
4
3
好题速递229题
设函数
f
?
x
?
?
4x
x?1
2
,g
?
x
?
?cos2
?
x?kcos
?
x
,若对任意的
x
1
?R
,总存在
x
2
?R
,使得
g
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
成立,则实数
k
的取值范围是________.
解
法一:由题意知
f
?
x
?
的值域是
g
?
x
?
值域的子集,易得
f
?
x
?
的值域是
?
?2,2
?
设
t?cos
?
x
,则g
?
x
?
的值域为
h
?
t
?
?2t
2
?kt?1,t?
?
?1,1
?
的值域,再通过分
类
讨论进行解答
kk
??
?1???00???1
?
k
?
k
??
???1
44
?
4
?
?
4
?1
??
??
?
?8?k
2
?
?8?k
2
??
h?1??2
??2??2
或或或?
??
?
h
?
1
?
??2
??
88
??
??
h1?2
??
??
h
?
?1
?
?2
?
h
?
1
?
?2?
h
?
?1
?
?2
??
??
????
解得
k?
?
??,?2
?
2
?
?
U
?
22,??
?
解法二:解法一常规,但计算量较大,
作为填
空题不划算。故从数形结合的角度,利用函数
图象给出解法二。
f
?
x
?
的值域是
?
?2,2
?
,设
t?co
s
?
x?
?
?1,1
?
,
则问题可以转化为对任
意实数
m?
?
?2,2
?
,关于
t
的方程
2t
2
?kt?1?m
在
?
?1,1
?
上有解,
即对任意实数
m?
?
?2,2
?
,总存在
k
,使得直线
y?kt?1
与
y?m?2t
2
在
?
?1,1
?
是有公共点,
即直线
y?kt?1
与一簇函数
y?m?2t
2
,t?
?
?1,1
?
,m?
??2,2
?
个个都有公共点,
从图象上显然看到,只要直线
y?kt?
1
与函数
y??2?2t
2
,t?
?
?1,1
?<
br>有公共点
即可,于是求得
k?
?
??,?2
?
2?
?
U
?
22,??
?
好题速递230题
在
?ABC
中,
AB
边上的中线
,则
CO?2,若动点
P
满足
小值
uuuruuuruuur
AP?sin<
br>2
?
g
AO?cos
2
?
AC
?
?
?
R
?
?
uuuruuuruuur
PA?PB
g
PC
?
的最
是 .
uuur
uuuruuur
22
AP?sin
?
g
AO?cos
?<
br>AC
解:因为
?
?
?
R
?
,系数之和为1,
故
C,P,O
三点共
线,且
sin
2
?,cos
2
?
?
?
0,1
?
,所以点
P
在线段
OC
上,设
PQ?t
?
t?
?
0
,2
?
?
,
故
?
PA?PB
?
g
PC?2PO
g
PC?2t
?
2?t
??
?1
?
?2t
2
?4t
当
t?1
时,取最小值
?2
好题速递231题
设数列
?
a
n
?
满足,且
1
??
max<
br>?
a
n?1
,
?
4
??
?
4an
uuur
uuuruuuruuuruuuruuur
a
1
?
1,a
2
?2
a
n?2
,则
a
2015
?
.
?
1
?
max
?
2,
?
?
4
?
?
1
a
3
?
4?12
?
11
?
max
?
,
?
?
24
?
?
1
a
4
?
4?216
解:找规律。易知,,
?
11
??
11
??
1
?
max
?
,
?
max
?
,
?
ma
x
?
1,
?
?
164
?
?
1
,<
br>a?
?
84
?
?1
,
a?
?
4?
?2
,……,
a
5
?
67
111
8
4?4?4?
2168
故数列
?
a
n
?
是周期为5的数列,所以
a
2015
?a
5
?
1
8
好题速递232题
设数列
?
a
n
?
满
足
a
1
?1,a
9
?7
,且
a
n?22
a
n
?a?2a
n?1
?
?1n
a
n
?1
,则
a
5
?
.
解:
a
n?2
2
a
n
?a?2a
n?1<
br>?
a
n?1
?1
?
?a
n
?1
?<
br>a
n?1
?1
?
?
?1n
???1
a
n
?1a
n
?1a
n
?1
22
即a
n?2
?1?
?
a
n?1
?1
?
2
a
n
?1
令
b
n
?a
n
?1
,则
b
n?2
b
n
?b
n
2
?1
,即数列
?
b
n
?
是等比数列,且
b
1
?2,b
9
?8
,故
b
5
?4
,即<
br>a
5
?3
好题速递233题
已知
1
?k
?1
3
,函数
f
?
x
?
?2
x
?
1?k
的零点分别为
x
1
,x
2
?
x
1<
br>?x
2
?
,函数
g
?
x
?<
br>?2
x
?1?
k
的零点分别为
x
3
,x4
?
x
3
?x
4
?
,则
?
x
4
?x
3
?
?
?
x
2
?x
1
?
的最小值
2k?1
为 .
解:
f
?
x
?
?2
x
?1?k?0?2
x
1
?1?k,2
x
2
?1?k?x
1
?log
2?
1?k
?
,x
2
?log
2
?
1?
k
?
4
?
?3
?
?
1?k<
br>?
由(1)(2)得
?
x
4
?x
3
?
?
?
x
2
?x
1
?
?log
2
3k?1
?log
2
?
?
1?k
因为
1
?
k?1
,故
?
x
4
?x
3
?
?
?
x
2
?x
1
?
?log
2
3
3
好题速递234题
已知函数
f
?
x
?
?ax
2
?2
?
2a?1
?
x?4a?7
,其中<
br>a?N*
,设
x
0
为
f
?
x
?的一个零
点,若
x
0
?Z
,则符合条件的
a
的
值有 个.
解:
f
?
x
?
?ax<
br>2
?2
?
2a?1
?
x?4a?7?0?a?
因为<
br>a?N*
,故
2x?7
2x?7
?
x?2
?
2
?
x??2
?
?
x?2
?
2
?1
,解得
?3?x?1
?
x??2
?
由
x
0
?Z
知,
x
0
??3,?1,0,1
当
x
0
??3
时,
a?1
;当
x
0<
br>??1
时,
a?5
;当
x
0
?0
时,
a?
7
(舍去);当
4
x
0
?1
时,
a
?1
综上,符合条件的
a?1
或
a?5
,有两个值。
好题速递235题
已知
O
是
?ABC
的外心,
A
B?2a
,
AC?
uuuruuuruuur
AO?
?
AB
?
?
AC
?
?
,
?
?R
?
,则<
br>?
?
?
2
?
a?0
?
a
,
?BAC?120
o
,若
的最小值为 .
,
uuuruuuruuuruuuruuur
?
2a
2
?4a
2
?
?2
?
?
AO
g
AB?
?
AB
2
?
?
AB
g
AC
?
解
:因为
?
?
uuu
4
ruuuruuuruuur
2
uuur
2
?
?
2
??2
?
?
?
??
22
?
AO
g
AC?
?
AB
gAC?
?
AC
a
?
a
解得
?
?
2
?
1
2
3
3a
2a
2
,
?
??
33
41a
2
故
?
?
?
??
2
??2
3
3a
3
点评
:这里又是三角形外心与向量的常见结合题,“外心点积转边
投影”是正道。
好题速递236题
★已知函数
f
t
?
x
?
?
?
x?t
?
2
?t,t?R
,设
a?b
,
f
?
x
?
?
?
?
数
y?f<
br>?
x
?
?x?a?b
?
f
a
?
x<
br>?
,f
a
?
x
?
?f
b
?
x
?
?
?
f
b
?
x
?
,f
a
?
x
?
?f
b
?
x
?
,若函
有四个零点,则
b?a
的取值范围
是
.
解:
f
t
?
x
?
?
?
x?t
?
2
?t,t?R
是开口形状确定,顶点
?
t,?t
?
在
y??x
上运动的抛物线,于是当
a,b
取不
同值时
所对应的函数
f
?
x
?
图象如图所示,是
“W型”的图象
交点横坐标由
?
x?a
?
2
?a?
?
x?
b
?
2
?b
解得
x?
a?b?1
2函数
y?f
?
x
?
?x?a?b
有四个零点,可视为直
线
y??x?b?a
与函数
y?f
?
x
?
有四个交
点,故只需两条抛物线的“交叉点”到直线
y??x
的竖直距
离大于
b?a<
br>即可。
b?a?1
?
b?a?1
?b?a
,解得
b
?a?2?5
故
?
??
?
22
??
2
好题速递237题
在
?ABC
中,若
AB?2
,
AC
2
?BC2
?10
,则
?ABC
的
面积取得最大值时,最长的边长等于 .
解法一:设
CH?h
,
AH?x
,
由题知
a2
?b
2
?10
,
c?2
,
S
?AB
C
?
1
ch?h
2
因为
h
2
?b
2
?x
2
?a
2
?
?
2
?x
?
2
?h
2
??x
2
?2x?3??
?
x?1
?
2
?4?4
故
?
S
?ABC
?
max
?2
,当且仅当
x?1
时,取得最大值,
此时
a?b?
AC
2
?BC
2
?AB
2
3
解法二:由余弦定理知
cosC???sinC?
2AC?BCAC?BC
5
,c?2
AC
2
?BC
2
?9
AC?BC
故S
?ABC
111
?
AC
2
?BC
2
?
22
??AC?BCsinC?AC?BC?9?
??
?
?9?2
222
?
2
??
2
当且仅当
AC?BC
?5
时,等号成立,故最长边为
5
好题速递238题
如图,C,D
在半径为1的
eO
上,线段
AB
是
eO
的直
径,则
AC
g
BD
的取值范围是
.
解法一:极化恒等式角度
显然当
DC,DB
均为
eO
的直径时,
DC
g
DB
最大为4;
取
BC
的中点
M
,则由极化恒等式知
uuuruuuru
uuur
2
uuuur
2
uuuur
2
uuuur
2
?
DM?OM
?
2
OD
2
1
DC
g
DB?DM?BM?DM?OM?1??1??1??
222
uuuruuur<
br>uuuruuur
uuuruuur
?
1
?
故
AC<
br>g
BD?
?
?4,
?
2
??
解法二:投影角度
uuuruuur
要求
ACg
BD
max
,显然在
uuur
AC
确定的情况下,<
br>CE
uuur
最大。
如图,当
DE?AE
且
DE?AE
与圆相切时,
大。 此时设
CE
uuuruuuruuuruuur
?x
,则
DF?
x,OF?1?x
,
AC?2
?
1?x
?
uuu
r
CE
最
2
uuuruuuruuuruuur
1
?
x?1?x
?
?
所以
AC
g
BD?AC
g
CE?2x
?
1?x
?
?2?
?
?
2
?
2
?
显然当且仅当
D
与
A
重合,
C
与
B
重合,即
AC
与
BD
反向
且模长均为
直径时,
?
uuuruuur
AC
g
BD
uuur
uuur
?
min
??4
解法三:坐标角度
设
C
?
cos
?
,sin
?
?
,
D
?
cos
?
,sin
?
?
u
uuruuur
所以
AC
g
BD?
?
cos
??1,sin
?
?
g
?
cos
?
?1,sin
?
?
令
t?
?
1?cos
?
?
?
?
0,2
?
2
uuuruuur
?<
br>2
?
11
则
AC
g
BD
?2t?t
2
??
?
t?
?
??
?
2
?<
br>22
??
令
t?
?
1?cos
?
?
?
?
0,2
?
2
uuuruuur
?
2
?
1
则
AC
g
BD
??2t?t
2
??
?
(当且仅当
t?2
时取得等号)
t?
?
??
?
2
??4
2
??
解法四:利用竞赛知识
设
?AOC?
?
,
?COD?
?
,
?BOD?
?
则
?
?
?
?
?
?
?
在
竞赛中证明过一个不等式,在
?ABC
中,
有
cosA?cosB?cosC
?
3
2
所以
cosA?cosB?cosC?
3
2
这里用了三角的积化和差、和差化积公式,属于超纲内容。
uuuruuur所以
AC
g
BD?cos
?
?cos
?
?co
s
?
?1?
1
2
好题速递239题
★在平面直
角坐标系
xOy
中,设
A,B,C
是圆
x
2
?y<
br>2
?1
上不同的三个点,
若存在实数
?
,?
,使得
uuuruuuruuur
OC?
?
OA?
?
OB
,则
?
?
?3
?
2
?
?2
的取值范围
是 .
解法一:
OC?
?
OA?
?
OB?
?
2
?
?
2
?2
??
cos
?
?1
(这里的
?
就是向量夹角,由于三点不同,故
cos
?
?
?
?1,1<
br>?
)
uuuruuuruuur
当
??
?0
时有<
br>?
2
?
?
2
?2
??
?1??1?
?
?
?
?1
当
??
?0
时有
?
2
?
?
2
?2
??
?1??1?
?
?
?
?1
画出可行域如图,
于是将
y?
?<
br>?
?3
?
2
?
?
2
视为可行域内的
?
?
,
?
?
到点
?
3,0
?
的距
离的平方,易
得当
?
?
,
?
?
?
?
2,?1
?
时,
y?2
,当
?
???
时,
y???
,故
?
?
?3
?
2
?
?
2
?2
解法二:
OC?
?
OA?
?
O
B?
?
2
?2
?
cos
?
?1?
?
2
于是
?
?
?3
?
2
uuuruu
uruuur
?
?
?
?
?
?3
?
2
2
?
cos
?
?3
??
cos
?
?3<
br>?
cos
?
?3
??
?
?
?2
?<
br>cos
?
?1?2
?
?
??10??10??2
?<
br>222
??
2
2
22
解法三:由
?
OA?<
br>?
OB?CO?0
可以构造三角形
法则
故设
OM?
?
OA,MC?
?
OB
,则
uuuuruuuruuuuruuur
uuuruuuruuurr
?
,
?
,1
构成
?O
MC
的三边(否则
A,B,C
三点中至少有两个点重
合),如图所示
?
?
?
?
?1
?
于是满足
??
?1?
?
,画出可行域,后续如解法一。
?
?
?
?1?
?
好题速递240题
★已知二次函
数
f
?
x
?
?ax
2
?bx?c
?
b?a?0
?
为非负,则
a?b?c
的最小值
b?a
为
.
解法一:齐次化思想
根据条件有
a?0,??0
,则
1?b
?2
a
cc
?2?2
a?b?c
aa
因此
?1??1?
b
b?a
c
?1
2?1
a
a
c
a
令
c1
?t?
a2
a?b?ct<
br>2
?232t?19
?1?????3
,则
b?a2t?1244<
br>?
2t?1
?
当且仅当
t?2
及
b
?2a
c
a
时取得最小值,即
b?c?4a
时取得。
<
br>b
2
解法二:根据条件有
a?0,??0
,则
c?
4
a
b
2
a?b?
a?b?c
4a
?
故
b?
ab?a
b
2
a?b?
a?b?c
4a
?
3
?
9a
?
t
?3
?
令
b?
a?t
?
t?0
?
得
b?ab?a24t4a
b
2
当且仅当
t?3a
及
c?
4a
时取得最小值,即
b
?c?4a
时取得。
解法三:令
a?b?c
?t
?
t?0
?
,得
c?t
?
b?a
?
?
?
b
?a
?
,代入
??b
2
?4ac?0
b?a?
2a?b
?
2
?
2a?b
?
2
得<
br>t???
4a
?
b?a
?
4
?3a?b?a
??
3
?
2a?b
?
2
2
4
?
3
a?
?
b?a
?
?
?
?
3
?
2<
br>?
?
?3
当且仅当
b?c?4a
时取得等号
解法四:待定系数法
假设
a?b?c
b?a
?t<
br>,化简为
?
1?t
?
a?
?
1?t
?
b?c?0
又
x
2
a?xb?c?0
故比对
系数得
x
2
?1?t,x?1?t
,得
?
1?t
?
2
?1?t
,即
t?3
,此时
x??2
即因为
f
?
?2
?
?0
,所以
4a?2b?c?0
?a?b?c?3
?
b?a
?
因为
b?a
,所以
a?b?c
b?a
?3
好题速递241题
已知
a,b?R
?
,
a
2?b
2
?ab?3
,则
2a?b
的最大
是
.
解法一:判别式法
令
t?2a?b
,
b?t?2a
代
入
a
2
?b
2
?ab?3
得
7a
2
?5at?t
2
?3?0
关于
a
的一元二次方程有解得
??25t
2
?28
?
t
2
?3
?
?0
,即
t
2
?28
5
所以
?
55
?
?
a
t?2a?b?27
,当且仅当
?
?
a?
14
t?
14
?
2a?b
?
?
?
?
7
?
?
?
2a?b?27
?
b4
时取得等号。
?
?
?
7
解法二:化齐次式
令
5t?3?u,t?
u?3
5
??
故
y?3
?
?
25u
?
?
25
?
?
1?
u
2
?11u?49
?
?
?3
?
1?
?
?
49
?
?28
?
u?11?
u
?
?
?
当且仅当
u?7,t?
4
5
时
取得等号。
b
?
2
?
3
?
2
解法三:<
br>a
2
?b
2
?ab?
?
?
?
a?<
br>2
?
?
?
?
?
?
2
b
?<
br>?
?3
?
令
m?a?
b
,n?
3
22
b
,即
m
2
?n
2
?3
值
设
m?3cos
?
,n?3sin?
,则
a?sin
?
?3cos
?
,b?2sin?
3cos
?
?27sin
?
?
?
?
?
故
2a?b?4sin
?
?2
解法四:利用余弦定理构造三角形
设
?ABC
的三边分别为
a,b,c?
由正弦定理
3
,由a
2
?b
2
?ab?3
得
C?60
o
abc
???2
,故
a?2sinA,b?2sinB
s
inAsinBsinC
故
2a?b?2
?
2sinA?2sinB
?
?4sinA?4sin
?
120
o
?A
?
?5
sinA?
其中
tan
?
?
故
2a?b?
?
?
33
?
53
3cosA?27sin
?
A?
?
?
?
?
2
?
,故取
?
?
?
,
0,
?
?
?
?A??
?
??
?
6
?
3
?
3
?
,27
?<
br>
?
2
?
评注:本题是很常见的最值问题,解法一、解法二是常规的两
种方
法,解法三利用三角换元,解法四构造三角形的方法不仅求出了最
大值,还取到了最小值。
好题速递242题
(2015全国联赛2)若实数
?
满足
cos<
br>?
?tan
?
,则
为 . <
br>解:由
cos
?
?tan
?
得
cos
2?
?sin
?
,
评注:这里用了1的逆用,简化了计算,当然也可以把
sin
?
,cos
?
都算
出来,不过计算量比较大。
好题速递243题
(2015全国联赛4)在矩形
ABCD
中,
A
B?2,AD?1
,边
DC
上(包含
1
?cos
4
?
sin
?
的值
D,C
)的动点
P
与
CB
的延长线上(包含点
B
)的动点
Q
满足
DP
?BQ
,
uuuruuur
则
PA
g
PQ
的最小值
为 .
解:不妨设
A
?
0,0?
,B
?
2,0
?
,D
?
0,1
?<
br>,则
P
?
t,1
??
0?t?2
?
,则由<
br>Q
?
2,?t
?
,
uuuruuur
故
P
A?
?
?t,?1
?
,PQ?
?
2?t,?t?1
?
uuuruuur
uuuruuur
DP?BQ
得
评注
:坐标法解决向量问题是常见方法。
好题速递244题
(2015全国联赛6)在平面直角
坐标系
K?
xOy
中,点集
?
?
x,y
?
|
?
x?3y?6
??
3x?y?6
?
?0
?所对应的平面区域的面积
为 .
解:设
K
1
?
?
?
x,y
?
|x?3y?6?0
?
先考虑
K
1
在第一象限中的部分,此时有
x?3y?6
,故这些点对应于图
中的
?OCD
及其内部,由对称性知,
K
1
对应的区域是图中以原点
O
为
中心的菱形
ABCD
及其
内部
同理设
K
2
?
?
?
x,y
?
|3x?y?6?0
?
,则
K
2
对应的区域是
图中以O
为中心的菱形
EFGH
及其内部。
由点集
K
的定义
知,
K
所对应的平面区域是被
K
1
,
K
2
中恰好一个所覆盖的部分,因此本题所要
求的即为图中阴影区域的面积
S
33
?
由直线
CD:x?3y?6
,直线
GH:3x? y?6
得交点
P
?
?
,
?
?
2 2
?
由对称性知,
S?8S
?CPG
?8?
1
?4 ?
3
?24
22
好题速递245题
(2015全国联赛 7)设
?
为正实数,若存在
a,b
?
?
?a?b?2
?
?
,使得
sin
?
a?sin
?
b?2
,则
?
的取值范围是 .
解:由sin
?
a?sin
?
b?2
知,
sin
?< br>a?sin
?
b?1
而
?
?
a,
?
b
?
?
?
??
,2
??
?
,故 题目条件等价于:
存在整数
k,l
?
k?l
?
,使得??
?2k
?
?
?
2
?2l
?
??
2
?2
??
①
当
?
?4
时,区间
?
??
,2
??
?
的长度不小于
4?
,故必存在
k,l
?
k?l
?
满足①式
当
0?
?
?4
时,注意到
?
??
,2
??< br>?
?
?
0,8
?
?
,故仅需要考虑如下几种情况:
(i)
??
?
?
2
?2
?
?
?< br>2
?2
??
,此时
?
?
1
且
??
5
,无解
24
?2
??
(ii)
???2
?
?
?
2
?4
?
?
?
2
,此时
9
?
?
?
5
42
(ii i)
??
?4
?
?
?
4
2
?6
?
?
?
2
?2
??
,此时
13
?
?
?
9
,得
13
?
?
?4
424
综上,可知
9
?
?
?
5
或
?
?< br>13
24
好题速递246题
(2015全国联赛9)若实数
a,b,c
满足
2
a
?4
b
?2
c
,< br>4
a
?2
b
?4
c
,则
c
的最小值是 .
解:设
2
a
?x,2
b
?y,2
c
?z
,则
x,y,z?0
由条件知
x?y
2
?z
,
x
2
?y?z
2
故
z
2
?y?x
2
?
?
z?y
2
?
故
z?
y
4
?y
2y
2
2
?z
2
?2y
2
z?y
4
1
?
2
11
?
1
3
3
3
2
?
?
2y??
?
??32?
4
?
yy<
br>?
44
2
当且仅当
2y?
1
,即
y?
3
1
y
2
3
3
2
,
z的最小值为
4
3
3
25
由于
c?log
2z
,故
c
的最小值为
log
2
?log
23?
43
评注:本题又是“三个字母两个方程,少一个合情合理”的问题。在处理的时候用到了三元均值不等式
a?b?c?3
3
abc
好题速递247题
(2015安徽全国联赛3)设平面向量
a,b
满足a,b,a?b?
?
1,3
?
,则
a
g
b的
取值范围是 .
解法一:由于
a
g
b?
1
?
?
a?b
2
?
rrrr
2
rr
rrrr
rr
r
2
r
2
17?a?b
?
?
??
2
?
,当
a?3,b?3,
a?b?1
时取得等
rrrr
号
又
a
g
b?1
?
?
a?b
4
?
rr
rrrr
2<
br>rrrr
rr
2
9
,当
a?b?3,a?b
时取得等
号
?a?b
?
?
?
?
4
179
?
故
a
g
b?
?
?,
?
?
?<
br>24
?
解法二:取平面内
OA?a
,
OB??b
,则
uuurruuurr
uuurrr
AB?a?b
于是问题转化为
在同心圆环(
1?r?3
)内的两点
A,B
之间的距离在
?
1,3
?
uuuruuur
之间,求
?OA
g
OB
的取值范围。
(评注:又是一个点发出的两个向量做点积,极化恒等式又有用武
之地啦!)
uuuruuuruuuur
2
1
uuur
2
OA
g
OB?OM?AB
,其中
M
4
是线段
AB
的中点
AB
2
如图所示,由圆的垂径定理得,
OM?OA?
4
22
135
?
44
当
A,B
位于半径为3的圆周上,且
AB?1
时
OM
2
取得最大值为
3
2
?
当
O,M
重合时,
OM
2
取得最
小值为0
35
?
所以
OM
2
?
?
0,<
br>??
?
4
?
?
因此
0?
9
?OM
4
uuuur
2
r
2
3511
uuuAB??
444
917
??
179
?
,即
OA
g
OB?
?
,即
?,a
g
b?
????,
?
?
42
??
24
?
uuur
uuurrr
好题速递248题
在平面直角坐标系中,已知点
P
?
3,0
?
在圆
C:x
2
?y
2
?2mx?4y?m
2
?28?0
内,动直线
AB
过点
P
且交圆
C
于
A,B
两点,若
?ABC
面积的最大值为16,则实数
m
的取值范
围是 .
解
C:x
2
?y
2
?2mx?4y?m
2
?28?0?
?
x?m
?
?
?
y?2
?
?32
22
C
O
:
B
H
P
A
AB?232?CH
2
,
故
S
?ABC
?
1
?2
2
32?CH
2
?CH??CH
2
?16
??
2
?16
2
?16
故
?ABC
面积的最大值为16,即
CH
能取得4。
由图
象可知,
CH?CP?R
,故
4?CP?4
解不等式
16?
?
3?m
?
2
?
?
0?2
?
2
?
32
得
3?2
2
7?m?3?23
或
3?23?m?3?27
好题速递249题
如图,已知边长为1的正
?A'BC
的顶点
A'
在平面
?<
/p>
内,顶点
B,C
在平面
?
外的同一侧,点
B'
,C'
分别为
B,C
在平面
?
内的投
影,设
BB'
?CC'
,直线
CB'
与平面
A'CC'
所成的角为
?。若
?A'B'C'
是以角
A'
为直角的直角三角形,则
tan
?
的取值范围是 .
解法一:如图建系,设B
?
0,b,m
?
,
C
?
c,0,n
?
,则
因为
mn?
1
且
0?m?n
,故
m?
2
2
2
1
2
1
2
又因为<
br>c
2
?n
2
?1
,故
n?1
,又
m
n?
,故
m?
又因为
tan
?
?b?1?m2
,
12
?m?
22
,故
?
23
?<
br>tan
?
?
?
,
?
?
22
??
解法二:注意到
tan
?
?cos?BA'B'?sin?BA'z<
br>
考虑
?BA'z
为直线
BA'
与 平面
ACC'<
br>所成的角,显然其上界(无法取
得)为
60
o
,此时
sin?
BA'z?
此所求的范围为
?
?
23
?
,
?
?
22
??
3
;其最小值当
BB'?CC'
时
取得,为
45
o
,因
2
好题速递250题
在
?A
BC
中,
BC
边上的中垂线分别交
D,M
BC,AC
于则
,若
uuuuruuur
AM
g
BC?6
,
AB?2
,
AC?
.
uuur
1
rr
uuurruuurr
解:取
AB?a,AC?b
作为基底
向量,则
AD?a?b
2
??
,
uuuurr
设
AM?
?
b
由
AMg
BC?6
得
?
b
g
?
b?a
??6
,即
?
agb?
?
bgb?6
①
uuuuruuur
rrr
rrrr
rr
rr
?1
r
?
rr
uuuuruuur
?
ab
1r
2
?
r
2
??
?
b
g
b?
a?0
而
MD
g
BC?0
得
?
,整理得
?
a?
?
a
g
b??
?
?
??
b?0
②
?
22
?
22
??
??
??
将①式代入②式得
b
2
?16
,故
r
uuur
AC
?4
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