高中数学青年教师基本功大赛(笔试)试题

高中数学专业素养
1、在创建解析几何学的过程中，法国数学家 笛卡尔 和费马做出了最重要的贡献，成
为解析几何学的创立者。
2、我国齐梁时代的数学家祖冲之的儿子 祖暅 提出一条原理：“幂势既同，则积不容异”
这句话的大致意思是 两等高的几何体若在所有等高处的水平切面的面积相等，则这两个
几何体的体积相等
3、在物理学中利用了三角函数“任意的正弦函数与余弦函数的 叠加 函数
f(x)
都可以化
成
asin(x?
?
)
或者
acos(x??
)
的形式，而且周期不变”的结论，可以解释声波的共振现象。
4、《江苏省 2010年高考说明》对数学基本能力的考查主要包括：空间想象、抽象概括、推
理论证、运算求解、数 据处理 这五个能力。
5、《江苏省2010年高考说明》对知识的考查要求依次为了解、理解、掌握 三个层次（分别
对应A、B、C）
6、《普通高中数学课程标准（试验）》简称新课标中提出 的三维目标是指：知识与技能、过
程与方法、情感、态度和价值观。
1、函数
f(x )?
1
3
3
2
x?x?2x?1
的单调增区间为 。
32
2
2、设复数
z?(a?a)?2ai
?
a?R< br>?
为纯虚数,则
a
= ．
?
x?0x?2y?3
?
3、已知
x,y
满足条件
?
y?x，则的取值范围是_______________．
x?1
?
3x?4y?1 2
?
4、1200辆汽车通过某一段公路时的时速频率分布直方图如图所示，则时速在
[50,60)
的汽
车大约有 辆．
5、已知某算法的流程图如下图所示，则输出的结果是 ．

开始

频率

a?1,b?2

组距

0.04

c?a?b



a?b



b?c

0.02

b?5

0.01
是

否

输出
c

0
40 50 60 70 80 时速

结束

第4图
6、已知P和Q分别是函数
y?
1
lnx
和函数
y?e
2x
上关于直线
y?x
对 称的两点，则线段
2
PQ长度的最小值为

1

8、(本题满分15分)
△ABC中，B C=10，AB=c，AC=b，∠ABC=θ，
m?
?
tanB,1
?，
n?
?
1?tanC,1?tanC
?

且
m?n

（Ⅰ）求角A；
（Ⅱ）①试用θ（不含b，c）表示 △ABC的面积
f
?
?
?
；
②试用b，c（不含θ）表示 △ABC的面积
g
?
b,c
?
；
（Ⅲ）求△ABC面积的最大值．







（Ⅰ）
A?
?
4
（5分）
（Ⅱ）
f(
?
)?502sin(
?
?
?
4
)sin
?
，
g(b,c)?
2
bc
（5分）
4
（Ⅲ）
S
max
?25(2?1)
（5分）

9、(本题满分15分)
某建筑公司要在一块宽大的矩形地面(如图所示)上进行开发建设, 阴影部分为一公共设
施建设不能开发,且要求用栏栅隔开(栏栅要求在一直线上),公共设施边界为曲线 f(x)=1-ax
2

(a>0)的一部分,栏栅与矩形区域的边界交于点M、N， 交曲线切于点P，设
P(t,f(t))

（Ⅰ）将
?OMN
（O为 坐标原点）的面积S表示成
t
的函数
S(t)
；
（Ⅱ）若在
t?








y

1
处，
S(t)
取得最小值，求此时
a
的值及
S(t)
的最小值．
2
N

P
O
M

x

2