2014高中数学联赛模拟试题(含答案)

2013年全国高中数学联赛模拟试题（02）
第一试
一、填空题：本大题共８小题，每小题８分，共６４分．把答案填在题中的横线上．
1、设< br>f(x)
是连续的偶函数，且当
x?0
时，
f(x)
是单调增 函数，则满足
f(x)?f(
的所有
x
之和为 .
x?1
)
x?2
＞0)
的焦点
F
且斜率为2、 过抛物线
y?2px(p
AF?
?
FB(
?
?1)
，则
?
?
．
2
4
的直线交抛物线于
A,B
两点， 若
3
nn< br>3、已知数列
a
n
?4?6
，那么
a
2012
?
（mod25）.
4、在面积为1的正方形ABCD内任取一点P，那么 △PAB、△PBC、△PCD、△PDA的面
积均大于
1
的概率是 .
6
cos97?sin97
的最小正整数x= ．
co s97?sin97
5、适合方程
tan17x?
6、已知半球O的半径为R，它的内 接长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
的 一个面ABCD在半球O的底面
上. 这个长方体所有棱长之和的最大值是 ．
7、已知正实数x、y、z满足x+y+z=1，若x、y、z中没有一个数大于另一个数的2倍，则乘
积xyz的最小值是 ．
8、已知直线x+y-2a+1=0与圆x
2+y
2
=a
2
+2a-3的交点为（x
0
，y
0
），当x
0
y
0
取最小值时，a
= ．
二、解答题：本大题共３小题，共56分．解答应写出文字说明、推理过程或演算步骤．
9、（本小题满分16分）
已知函数
f(x)= (2
-
a)(x
-
1)
-
2lnx
．
< br>(
Ⅰ
)
当
a=1
时，求
f(x)
的极值；< br>
(Ⅱ)若函数f(x)在(0，
1
)上恒大于零，求实数a的最小值．
2

10、（本小题满分20分）

1

过抛物线
y?2px
(
p
为不等于2的素数)的焦点F，作与
x
轴不垂直的直线
l
交抛物线于M、
N两点，线段MN的垂直平分线交MN 于点P，交
x
轴于点Q.
(1)求PQ中点R的轨迹C的方程;
(2)证明：曲线C上有无穷多个整点，但C上任意整点到原点的距离均不是整数.

11、（本小题满分20分）
设函数f(x) =
log
a
2
1
（a ＞ 1）
x
（1）已知数 列：-1，f(a
1
)，f(a
2
)，…，f(a
n
)，n ，( n = 1, 2, 3, … )是等差数列，试求数列{ a
n
}
的通项公式a
n
.
（2）设数列{ a
n
}的前n项和为S
n
，规定S
0
= 0，函数g(x)满足下列条件：
① g(S
0
) = 0；
② g(S
n
) = a
n
, ( n = 1, 2, 3, … )；
③ 当x ∈( S
i
, S
i+1
) 时 ( i = 1, 2, 3, … ) ，函数g(x)的图象是联结两点P
i
（ S
i
,
g(S
i
)）与P
i+1
（S
i+1
, g(S
i+1
)）的线段，
求函数g(x)的定义域.
（
3）设（
2
）中函数
g(x)
的图象与
x
轴及直线
x = S
i
( n = 1, 2, 3, … )
所围成的图形的面积
为
A
n
，求
A
n
及
limA
n

.

n??



2

第二试
一、（本小题满分40分）
已知△ABC的内切圆⊙I把中线AM三等分，求证：△ABC的三边之比为5:10:13.

二、（本小题满分40分）
求所有的正整数x、y、z，使得

三、（本小题满分50分）
已知集合
E?{1,2,3,
11
?< br>x?y
1111
是整数.
?
y?zz?x
,2n}
，
F?{a
1
,a
2
,a
3
,,a
n}?E
(n是正偶数)，且集合F满足：
对任何
1?i?j?2n
，都 有
a
i
?a
j
?2n?1
；设
?
a
i?1
n
i
?M
，试证明：当M是4的倍数时，
集合F中奇数的个 数也是4的倍数，且集合F中所有数的平方和为定值.

四、（本小题满分50分）
在13 ×13 的正方形方格表中，选择k个小方格的中心，使其中任意4点不是一个矩形（其边与原正方形的边平行）的顶点.求满足上述要求的k的最大值.

3

2013年全国高中数学联赛模拟试题（02）参考答案：
第一试
一、填空题：
1、-4.
x?1
x?1
)
，即
x?时，得x
2
?x?1?0.此时x
1
?x
2
??1,< br>又
f(x)
为连
x?2
x?2
x?1x?1
续的偶函 数，故另一种情形为
f(?x)?f()
，即
?x?,
得
x
2
?3x?1?0
，
x?2x?2
解：当
f(x)?f(
? x
3
?x
4
??3,?
所求的所有的
x
之和为-4 .
2、 4； 3、2； 4、
5、46
解：∵
1
；
9
cos97?sin97tan45?tan97
??tan142
，
cos97?sin971?tan45tan97
∴
17x?142?180k(k?N)
，
故
x?
142?180k10k?6
．
?10k?8?
1717
10?13?6
?46
．
17
∴ 17｜10k+6，于是
k
min
?13
，进而< br>x?10?3?8?
6、12R.
a
2
?b
2
?c
2
?R
2
， 解：设AB = a，AD = b，AA
1
= c ，联结OA
1
，在Rt △A
1
AO 中，
4
b
2
a
2
5a
2
5b
2
22
??8c
2
于是
2 ab?2bc?2ca?(a?b)?(?4c)?(4c?)?
4444
22
a2
?b
2
?c
2
)
上式两边同时加上a
2
+ b + c ，得
(a?b?c)?9(
4
22
2
即
(a?b?c)?9R
，所以， a + b + c ≤3 R.
当且仅当
a?b?4c?
22
4R
时，上式等号成立.
3
故长方体所有棱长之和的最大值为12 R.
7、
1

32
解：设m=x
0
y
0
z
0
是乘积的最小值，不 妨设x
0
≤y
0
≤z
0
；再设x
1
= x
0
-t，z
1
= z
0
+t，其中t>0且充分

4

小，以使z
1
≤2x
1
；于 是，x
1
、y
0
、z
1
也满足题意，
因此 x
1
y
0
z
1
=( x
0
-t) y
0
( z
0
+t)= x
0
y
0
z
0
+ y
0
[t(x
0
-z
0
)-t
2
]< x
0
y
0
z
0
，
由x
0
y
0
z
0
最小性知，上式不成立.
所以z
2
0
=2x
0
；由题设得y
0
=1- x
0
-2x
0
=1- 3x
0
；进而
m?2x0
(1?3x
0
)
，
由
x
1
0?1?3x
0
?2x
0
得
5
?x
1
0
?
4
；
问题转化为求
f(x)?2x
2
(1?3 x)
在
[
111
5
,
4
]
上的最小值，利 用求导可得
f(x)
min
?
32
.
8、
2?
2
2

解：由不等式
(x?y)
2
?2(x
2
?y
2
)
得
(2a?1)
2
?2(a
2
?2a?3)
，即
2a
2
?8a?7? 0
，
解得
2?
2
2
?a?2?
2
2，当x=y时，a可以取到端点.
又
x
1
0
y
0?
2
[(x
22
131
0
?y
0
)< br>2
?(x
0
?y
0
)]?
2
(3a
2
?6a?4)?
2
(a?1)
2
?
2
，
当
a?2?
2
2
时，x取最小值
(
3?2
0y
0
2
)
2

二、解答题
9、解：(Ⅰ)当 a=1时，f(x)=x-1-2lnx，则f′(x)=1-
2
x
．
由f′(x)>0，得x>2；由f′(x)<0，得0∴f(x)的单调递减区间为(0，2)，单调递增区间为(2，+∞)．
∴f(x)有极小值f(2)=1-2ln2，无极大值．
(Ⅱ)要对任意的x?(0，1
2
)，f(x)>0恒成立，即对x?(0，
12lnx
2
) ，a>2-
x?1
恒成立．
2
(x?1)?2lnx2lnx?
2
?2
令g(x)=2-
2lnx
x?1
，x?(0，
12
)，g′(x)=-
x
(x?1)
2
?
x
( x?1)
2
，
再令h(x)=2lnx+
212
x
-2， x?(0，
2
)，h′(x)=
?
2?2(1?x)
x
2< br>?
x
?
x
2
<0，

5

11
)上为减函数，于是h(x)>h()=2-2ln2>0．
22
1
从而，g′(x)>0，于是g(x)在(0，)上为增函数，
2< br>12lnx
∴g(x)2-恒成立，只要a≥2-4ln2 ．
2x?1
1
综上，若函数f(x)在(0，)上恒大于零，则a的最小值为2-4 ln2．
2
pp
2
10、解:(1)抛物线
y?2px
的 焦点为
(,0)
，设
l
的直线方程为
y?k(x?)
(k? 0)
.
22
故h(x)在(0，
?
y
2
?2px
1
22
?
222
由
?
得
kx?(pk?2 p)x?pk?0
,
p
4
?
y?k(x?)
?2
设M、N的横坐标分别为
x
1
、x
2
；
x
1?x
2
pk
2
?2ppk
2
?2ppk
2?2ppp
x??y?k(?)?
则
x
1
?x
2
?
，得；，
PP
k
2
22k
2
2k
2
2k
p1pk
2
?2p
1
)
. ∵
PQ?l
，∴ PQ的斜率为
?
，PQ的方程为
y???(x?2
kk2k
k
pk
2
?2p3pk
2
?2p< br>?
由
y
Q
?0
得
x
Q
?p?
.
2k
2
2k
2
1p
?
x?(x?x)?p?
PQ
?
?
2k
2
设动点R的坐标
(x,y)
，则
?
；
1p
?
y?(y?y)?
PQ
?22k
?
p
2
2
因此
p(x?p)?
2
?4y(y?0)
，
k
故PQ中点R的轨迹L的方程为
4y?p(x?p)(y?0)
.
(2)显然对任意非零整数
t
，点
(p(4t?1),pt)
都是曲线C上 的整点，所以C上有无穷多个
整点.
假设C上有一个整点(x，y)到原点的距离为整数m， 不妨认为
x?0,y?0,m?0
,
222
?
①
?
x?y?m
则
?
2
，
?
?
4y?p(x?p)②
2
2

6

因为
p
是奇素数，于是
py
，进而
px
，再由①知
pm
；
222
?
?
x
1
?y
1
?m
1
③
令
x?px
1
,y?py
1
,m?pm
1
，则有
?
2
,
④
?
?
4y
1
?x
1
?1
由③、④得< br>x
1
?
2
x
1
?1
?m
1
2
, 于是
(8x
1
?1)
2
?(8m
1< br>)
2
?17
,
4
即
(8x
1
? 1?8m
1
)(8x
1
?1?8m
1
)?17
,
所以
8x
1
?1?8m
1
?17
；
8x
1
?1?8m
1
?1
，
得
x
1
?m
1
?1
,故
y
1
?0
,有
y?py
1
?0
，
但C上的点满足
y?0
,矛盾!
因此，C上任意点到原点的距离不为整数.
11、解：（1）设所给等差数列的公差为d，则d =
n?(?1)
= 1
(n?2)?1
∴ f(a
n
) = (-1) + [(n+1) – 1 ]d = -1 + n
即
log
a
1
??1?n
（a ＞ 1）
a
n
∴ a
n
= a
1-n
（n ∈ N）
.

（2）根据题意，函数g(x)的定义域应为 ：
{ S
0
}∪
?
S
0
，S
1
?
∪
?
S
1
，S
2
?
∪……∪
?
S
n?1
，S
n?
∪……
∵ a ＞ 1 ∴ a
n
＞ 0，且由（1）知，a
n
= a
1-n
= 1·a
–(n-1)

∴ { a
n
}是首项为1，公比为
1
的等比数列；
a
a
1
∴
lim
= ，
S
n
=
n??
1
a?1
1?
a
a
??
?
.

a?1
??
y
P
1
·
O
S
0
∴ g(x)的定义域是：
?
0，
（3）由（1）知，{ a
n
}是首项为1，公比为
1
的等比数列；
a
∵ S
0
= 0 ， S
1
= a
1
= 1 ， ∴ P
1
（1，1）.
P
2
·
S
2
P
3
·
S
3
x
S
1

7

1
n
1?（）
a
n
?1
a
∴ S
n
= =
n
，
n?1
1
a?a
y
1?
a
又两点P
i
、P
i+1
( i = 1, 2, 3, … )所确定的直线的斜率
为：
O
S
0
P
1
·
P
2
·
S
2
P
3
·
S
3
x
g(S
i?1
)?g(S
i
)

k
PP

=


ii?1
S
i?1
?S
i
=
S
1
a
i?1
?a
i
a
= 1 -
i
= 1 – a ( i = 1, 2, 3, … )
a
i?1
a
i?1
可见，
k
PP
与i无关，所以，所有点P
i
( i = 1, 2, 3, … )都共线，而A
1
就是Rt△OS
1
P
1
的ii?1
面积. ∴ A
1
=
11
·1·1 = ；
22
当n ≥ 2时，A
n
是一个直角三角形（即A
1
）与一个梯形面积之和，
∴ A
n
= A
1
+
1
[ g(S
1
) + g(S
n
) ]( S
n
- S
1
)
2
a
n
?1
11
= +(a
1
+ a
n
)[
n
- 1 ]
22
a?a
n?1
11
a
2n?2
?1
= + ；
2
22
a
2n?
（a?1)
11
a< br>2n?2
?1
∴
limA
n
=
lim
[+·
2n?2
] (a ＞ 1)
n??
n??
22
a（a?1)
111
+
22a?1
a
=
.

（2a?1）
=








8

第二试
一、证明：如图，设△ABC的内切圆⊙I切三边于D、E、F，AM交⊙I于P、Q，连IA、
IM、 IC、IE、IP.作IN⊥PQ于N，则PN=QN，
又AP=MQ，则AN=NM，有IA=IM ，∠ACI=∠MCI，
A
在△ACI与△MCI中，
P
D
EC
I
N
Q
M
F
B
CIIAIMCI
；
???
sin?CAIsin?ACIsin?MCIsin?CMI
则
sin?CAI?sin?CMI
；
又 ∠CAI+∠CMI≠180°，所以∠ CAI=∠CMI，△ACI≌△MCI，CA=CM，且C、I、N共
线；不妨设CA=CM=1，A B=x，IE=IP= r，
则BC=2，CE=
1
3?x
，
AM ?2x
2
?2
；
2
2
IEAN
，即
?< br>ICAC
r
3?x
2
r
2
?()
2
1
2x
2
?2
?
4
，
1
由△CAN∽△CIE 得
(x
2
?1)(3?x)
2
所以
r?
；
4(9?x
2
)
2
而CI+IN=CN，即
(
3 ?x
22
11
)?r?r
2
?(2x
2
?2)2
?1?(2x
2
?2)
2
；
2124
把r
2
的值代入并化简得
29?x
2
?
2
11
(3?x)(x
2
?1)(51?19x)?(3?x)2
(9?x
2
)
，
62
22
即
(9?x)(9?3x?12)?(3?x)(x?1)(51?19x)
，
整理
2(x?3)(x?1)(5x?13)?0
，
解得 x
1< br>=-3（舍），x
2
=1（舍），x
3
=
故AC:CB:AB =1:2:
2
13
；
5
13
= 5:10:13.
5
二、解：先证一个引理，

9

引理 ：若p、q、r是有理数，且
S?p?q?r
也是有理数，则
p
、
q
、
r
都
是有理数.
引理的证明：注意到
S(p?q)
2
?(S?r)
2
，
得
2pq?S
2
?r?p?q?2Sr
，
设
M? S
2
?r?p?q?0
，则
2pq?M?2Sr
，两边平方得 4pq?M
2
?4S
2
r?4Mr
，所以
r?
M
2
?4S
2
r?4pq
4MS
是有理数，
同理，
q
、
r
也是有理数.
下面证明原题，
假 设x、y、z是满足条件的正整数，又
111111
x?y
?
y?z
?
z?x
是整数，
由引理知
1111
11
x?y
、
y?z
、
z?x
是有理数，
设
11a11a
1 1
x?y
?
b
，且(a，)=1，
y?z
?
c，
z?x
?
a
d
，
则
11b
2
?(x?y)a
2
， 因此
a
2
|11
，所以 a =1，
从而x + y =11b
2
①
同理y + z =11c
2
②
z + x=11d
2
③
?
?
x?
11< br>(b
2
?d
2
?
2
?
2
c)
①，②，③式联立，可解得
?
?
y?
11
(b
2
?c
2
?
2
?
2
d)

?
?
?
z?
11
2
(c
2
?d
2
? b
2
)
由于
111
a
?
b
?
c
是不大于3的正整数，可分一下三种情况讨论：

10

111
???3
，则b=c=d=1，代入④式，x、y、z没有正整数解；
abc
111
（2）若
???2
，则b、c、d中必有一个等于1，另外两 个等于2，此时亦不存
abc
（1）若
在满足条件的x、y、z；
111
???1
，不妨设
b?c?d?1
，
abc
3111
则
???
，所以d =2或d =3；
dbcd
（3）若
(i)当d =3时，b=c=3，此时不存在满足条件的x、y、z；
(ii)当d =2时， c>2，且
2111
???
，所以c =3或c =4；
cbc2
a) 若c =3，则b =6，此时不存在满足条件的x、y、z；
b) 若c =4，则b =4，代入④式可得
?
x?22
?
?
y?154

?
z?22
?
所以， x、y、z中一个是154，另外两个都是22满足条件.
三、证明：注意到
2n?1?( 2n?1)?2?(2n?2)?3?
而
a
i
?a
j
?2n ?1
，
?(n?1)?n
，
{2,2n?1}、{3,2n?2}、、{n, n?1}
， 所以可将集合E划分为n个子集：
{1,2n}、
那么，集合F的元素只 能在这n个子集中各取1个；
为了方便确定F中奇数的个数，再将这n个子集分成两类：
一类是：每个子集中，偶数是4k型，奇数是4k+1型的；
另一类是：每个子集中，偶数是4k+2型，奇数是4k+3型的；
设集合F的n个元素中4k+1型的奇数有x个，4k+3型的奇数有y个，
则集合F中4k型的偶数有n-x个，4k+2型的偶数有n-y个，
于是F奇数个数共有
x?y
个，
由
x?y?(4k?1)x?4k (n?x)?(4k?3)y?(4k?2)(n?y)


?
?
a
i?1
n
i
?M?0(mod4)
知，4｜
(x?y)
.
再证明集合F中所有数的平方和为定值.

11

设有两个符合条件的不同的集合：
F
1
?{a< br>1
,a
2
,a
3
,
若
F
1
则
F
1
,a
n
}
和
F
2
?{b< br>1
,b
2
,b
3
,,b
n
}
，
F
2
中有n-k个元素，其和为m，
F
2
关于F
1
的补集有k个元素，从小到大排成
a
i
1
?a
i
2
?
F
2
关于F
2
的补集也有k个元素，从大到小排成b
i
1
?b
i
2
?
?a
i
k
?b
i
k
?2n?1
，
kkkk
?a
i
k
；
F
1
?b
i
k
；
于是应有
a
i
1
?b
i
1
?a
i
2
?b
i2
?
所以
?
a?
?
b
2
i
i ?1i?1
nn
2
i
?(2n?1)(
?
a
ij
?
?
b
i
j
)?(2n?1)[(
?
a
i
j
?m)?(
?
b
i
j
?m)]< br>
j?1j?1j?1j?1
?(2n?1)(M?M)?0

即
?
a?
?
b
2
i
i?1i?1
nn2
i
，所以，集合F中所有数的平方和为定值.
四、解：设第i列中有x
i
个点( i = 1 ,2 , …,13) ，则
点对(若x
i
< 2 ，则规定
C
x
i
?0
)；
2
?
x
i?1
13
i
2
?k
，第i列的x
i
个点构成< br>C
x
个不同
i
若在13 ×13 的正方形边再加一列，将每个点对投 影到这一列上，由于任4个不同点不是
矩形的顶点，故不同点对在新画出的一列上的投影点对是不同的， 而新画出的一列上共有
2
C
个不同点对，从而得到
?
C
x< br>2
i
?C
13
，即
2
13
13
i? 1
?
x(x?1)?13?12
，亦即
?
x
ii
i ?1
i?1
13
2
i
1313
2
i
?15 6?k
，
1
13
k
2
2
(
?
x
i
)?
∵
?
x?
，
13
i?1
13
i?1
∴
k?13k?13?156?0
，解得
?39?k?52
，
当k = 52 时，可以构造出一个符合条件的图（如图），所以k的最大值为52.



12
2

13