高中数学奥林匹克竞赛训练题

数学奥林匹克高中训练题
第一试
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．(训练题29)
1?sin
2
1997?1?cos
2
1997等于
(D)．
(A)
cos1997?sin1997
(B)
?cos1997?sin1997
(C)
?cos1997?sin1997

(D)
cos1997?sin1997

2．(训练题29)复数
z
满足
z??R
且
z?2?2
，则这样的复数有(D)．
1
z
(A) 1个 (B) 2个 (C) 3个
(D) 4个
3．(训练题29)已知a,b
都是正实数．则
x?y?a?b
且
xy?ab
是
x?a
且
y?b
的(B)．
(A)充分不必要条件 (B)必要不充分件 (C)充要件
(D)既不充分也不必要条件
4．(训练题29)
a,b
是两个正整数，最小公倍数为465696．则这样的有< br>序正整数对
(a,b)
共有(D) 个．
(A)144 (B)724 (C)1008
(D)1155
5．(训练题29)方程
2x
2
?px?q?0< br>的根是
sin
?
和
cos
?
．则在
poq< br>坐标平面上，
点
(p,q)
的图形是(B)．
1
．
-2
q
q
2. 5
1
．
q
．
．
2
q
．
．
1
2
． ．

o
．
-1
1
．
．
2
p

． ．
-2
o
．
-1
1
22
p

． ．
-2
-1
o
p

． ．
-2
-1
o
．
．
1
2
p



(A)
(B)
(C)
-2. 5
(D)

6．(训练题29) 对一个棱长为1的正方体木块
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
，在过顶
点
A
1
的三条棱上分别取点
P,Q,R
，使
A
1
P?A
． 削掉四面体
1
Q?A
1
R
A
1
?PQR
后 ，以截面
?PQR
为底面，在立方体中打一个三棱柱形的洞，
使棱柱侧面都平行于体对 角线
A
1
C
．当洞打穿后，顶点C处被削掉，
出口是一个空间多边形 ．则这个空间多边形共有(B) 条边．
(A)3 (B)6 (C)8
(D) 9
二、填空题（本题满分54分，每小题9分） 1．(训练题29)
n?111
1999个1
11
，
f(n)? 90n
2000
?20n?1997
．则
f(n)
被3除的
余数是 1 ．
2．(训练题29)函数
f(x),g(x)
是
R< br>上定义的函数，且
f(x)?0
的解集为
{x|1?x?2},g(x)?0< br>的解集是空集，则不等式
f(x)g(x)?0
的解集是
{x|x?或1x?2

}
．
3．(训练题29 )棱锥
S?ABC
的底面是正三角形
ABC
，侧面
SAC
垂 直于
底面，另两个侧面同底面所成的二面角都是
45
o
，则二面角
A ?SC?B
的
值是
arctan

7
( 用反三角函数表示)．
4．(训练题29)若
2x?y?1
，则函数
u?y
2
?2y?x
2
?4x
的最小值等于
9
?
．
5

5．(训练题29)六个 正方形
A,B,C,D,E,F
放置如图所
示，若
A,B,C
三个正 方形面积之和为
S
1
,D,E,F
三个正
方形面积之和为
S
2
，则
S
1
?
3 ．
S
2
C
F
A
E
D
B
6．(训练题29)已知
a,b,c
是一个直角三角形三边之
长，且对大于２的自然数
n
，成立
(a
n
?b
n
?c
n
)
2
?2(a
2n
?b
2n
?c
2n
)．则
n?

4 ．
三、(训练题29)(本题 满分20分)棱锥
S?AB
中
C
，
SA?4,S?B7,S?C9, ?AB5,?BC
．试求棱锥
6?AC
S?ABC
体积的最大
值．
四、(训练题29)(本题满分20分)数列
{a
n
}
,适合条件< br>a
1
?1,a
2
?2,a
3
?3,a
4?4,a
5
?5,a
6
?119
，当
n?5
时 ，
a
n?1
?a
1
a
2
a
1
2< br>?a
2
2
??a
70
2
?a
1
a< br>2
a
70
．
a
n
?1
，证明
五、 (训练题29)(本题满分20分)已知
f(x),g(x)
和
h(x)
都是 关于
x
的二次
三项式，证明：方程
f(g(h(x)))?0
不能有 根１，２，３，４，５，６，
７，８．
第二试
一、(训练题29)(本题满分5 0分)有限数集
S
的全部元素的乘积，称为
数集
S
的“积数”．今给 出数集
M?{,,,,
111
234
11
,}
，试确定M
的所
99100
有偶数个（2个，4个，…，98个）元素子集的“积数”之和 的值．24.255
二、(训练题29)(本题满分50分)凸四边形
ABCD
的对 角线交点为
O
．证
明：
ABCD
是圆外切四边形的充分必要条件是< br>?AOB
、
?BOC
、
?COD
、

? DOA
的内切圆半径
r
1
,r
2
,r
3
, r
4
满足关系式
1111
???
．
r
1
r
3
r
2
r
4
三、(训练题29)(本题满分50分) < br>a
1
,a
2
,,a
11
；
b
1,b
2
,,b
11
是1，2，3，4，
5，6，7，8，9，1 0，11的两种不同的排列．证明：
a
1
b
1
,a
2
b
2
,,a
11
b
11
中
至少有两个被11除所 得的余数相同．