2005-2016高中数学联赛试题汇总

2005年全国高中数学联赛试卷
1．使关于x的不等式x－3+6－x≥k有解的实数k的最大值是
→→→→→→
2．空间四点A、B、C、D满足|AB|＝3，|BC|＝7，|CD|＝11 ，|DA|＝9．则AC·BD的取值有 个
3．△ABC内接于单位圆，三个内角A、B 、C的平分线延长后分别交此圆于A
1
、B
1
、C
1
，则< br>ABC
AA
1
·cos+BB
1
·cos+CC
1< br>·cos
222
的值为
sinA+sinB+si nC
4．如图，ABCD－A?B?C?D?为正方体，任作平面α与对角线AC?垂直，使得α与正方 体的每个面都有公共点，
D'
记这样得到的截面多边形的面积为S，周长为l，则 ( )
C'
B'
A'
A．S为定值，l不为定值 B．S不为定值，l为定值
C．S与l均为定值 D．S与l均不为定值
x
2
y
2
C
5．方程+＝1表示的曲线是焦点在 轴上的
D
sin2－sin3cos2－cos3A
B
a
1
a
2
a
3
a
46．记集合T＝{0，1，2，3，4，5，6}，M＝{+
2
+
3
+< br>4
| a
i
∈T，i＝1，2，3，4}，将
7777
M中的 元素按从大到小排列，则第2005个数是 ( )
5563556211041103
A．+
2
+
3
+
4
B．+
2
+
3
+
4
C．+
2
+
3
+
4
D．+
2
+
3
+
4

7777777777777777
7．将关于x 的多项式f(x)＝1－x+x
2
－x
3
+…－x
19
+ x
20
表为关于y的多项式g(y)＝a
0
+a
1
y+a< br>2
y
2
+…+a
19
y
19
+a
2 0
y
20
，
其中y＝x－4，则a
0
+a
1
+…+a
20
＝ ；
8．已知f(x)是定义 在(0，+∞)上的减函数，若f(2a
2
+a+1)＜f(3a
2
－4a+ 1)成立，则a的取值范围 是 ；
9．设α、β、γ满足0＜α＜β＜γ＜ 2π，若对于任意x∈R，cos(x+α)+cos(x+β)+cos(x+γ)＝0，则γ－α＝
1AC
10．如图，四面体DABC的体积为，且满足∠ACB＝45?，AD+BC+＝3， 则CD＝
6
2
11．若正方形ABCD的一条边在直线y ＝2x－17上，另外两个顶点在抛物线
y＝x
2
上，则该正方形面积的最小值为
12．如果自然数a的各位数字之和等于7，那么称a为“吉祥数”．将所有“吉
祥数”从小 到大排成一列a
1
，a
2
，a
3
，…，若a
n＝2005，则a
5n
＝
D
C
45°< br>A
B
7a
n
+45a
2
n
－36
1 3．数列{a
n
}满足a
0
＝1，a
n+1
＝，n∈N，证 明：
2
⑴ 对任意n∈N，a
n
为正整数；⑵ 对任意n∈N，a
n
a
n+1
－1为完全平方数．



14．将编号为1，2，3，…，9的九个小球随机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点 上各放一个小球，
设圆周上所有相邻两个球号码之差的绝对值之和为S，求使S达到最小值的放法的概率 ．(注：如果某种放
法，经旋转或镜面反射后与另一种放法重合，则认为是相同的放法)



15．过抛物线y＝x
2
上一点A(1，1)作抛物线的切线， 分别交x轴于点D，交y轴于点B，点C在抛物线上，
AEBF
点E在线段AC上，满足＝λ< br>1
；点F在线段BC上，满足＝λ
2
，且λ
1
+λ
2
＝1，线段CD与EF交于点P，
ECFC
当点C在抛物线上移动时，求点P的轨迹方 程．

加试卷
一、如图，在△ABC中，设AB＞AC，过点A作 △ABC的外接圆的切线l，又以点A为圆心，AC为半
径作圆分别交线段AB于点D；交直线l于点E 、F．
证明：直线DE、DF分别通过△ABC的内心与一个旁心．

FAE
l

C

D



B





x
2
y
2
z
2
二、设正数a、b、c、x、y、z满足cy+bz＝a，az+cx＝b，bx +ay＝c．求函数f(x，y，z)＝++的最
1+x1+y1+z
小值．













?
?
0，当n为完全平方数，
三、对每个正整数 n，定义函数f(n)＝
?
1
(其中[x]表示不超过x的最大整数，
[]， 当n不为完全平方数．
?
{n}
?
{x}＝x－[x])．试求
∑< br>f(k)的值．
k＝1
240

2006年全国高中数学联合竞赛试题
→→→
1．已知△ABC，若对任意t∈R，BA－tBC≥AC，则△ABC形状为 ．
||
||
2．设log
x
(2x
2
＋x－1)＞log
x
2－1，则 x的取值范围为
3． A＝{x|5x－a≤0}，B＝{x|6x－b＞ 0}，a，b∈N，且A∩B∩N＝{2，3，4}，则整数对(a，b)的个数为 ．
π
4．在直三棱柱A
1
B
1
C
1
－ABC 中，∠BAC＝，AB＝AC＝AA
1
＝1．已知G与E分别为A
1
B
1
和CC
1
的中点，
2
D与F分别为线段AC和AB上的动点(不 包括端点)．若GD⊥EF，则线段DF的长度的取值范围为 ．
5．设f(x)＝x< br>3
＋log
2
(x＋x
2
＋1)，则对任意实数a，b，a＋ b≥0是f(a)＋f(b)≥0的 条件
－
6．数码a
1
，a
2
，a
3
，…，a
2006
中有奇数个9，则2007 位十进制数2a
1
a
2
…a
2006
的个数为 ．
7. 设f(x)＝sin
4
x－sinxcosx＋cos
4
x，则f(x)的值域是 ．
8. 若对一切θ∈R，复数z＝(a＋cosθ)＋(2a－sinθ)i的模不超过2，则实数a的取值范围为 ．
x
2
y
2
9．已知椭圆＋＝1的左右焦点分别为F
1< br>与F
2
，点P在直线l：x－3y＋8＋23＝0上. 当∠F
1
PF
2
取最
164
|PF
1
|
大值时，比的值为 ．
|PF
2
|
1
10．底面半径为1cm的圆柱形容器里放有四个 半径为cm的实心铁球，四个球两两相切，其中底层两球与
2
容器底面相切. 现往容器里注水，使水面恰好浸没所有铁球，则需要注水 cm
3
． < br>11．方程(x
2006
＋1)(1＋x
2
＋x
4
＋ …＋x
2004
)＝2006x
2005
的实数解的个数为 ．
12. 袋内有8个白球和2个红球，每次从中随机取出一个球，然后放回1个白球，则第4次恰好 取完所有红
球的概率为 ．
13. 给定整数n≥2，设M
0
(x
0
，y
0
)是抛物线y
2
＝nx－1与直线 y＝x的一个交点. 试证明对于任意正整数m，
2
m
必存在整数k≥2，使(xm
0
，y
0
)为抛物线y＝kx－1与直线y＝x的一个交点．





14．将2006表示成5个正整数x
1
，x
2
，x
3
，x
4
，x
5
之 和．记S＝
1≤i＜j≤5
Σ
x
i
x
j
．问：
⑴ 当x
1
，x
2
，x
3
，x
4
，x
5
取何值时，S取到最大值；
⑵ 进一步对任意1≤i，j≤5有
|< br>x
i
－x
j
|
≤2，当x
1
，x
2
，x
3
，x
4
，x
5
取何值时，S取到最小值.说 明理由．






－
15．设 f(x)＝x
2
＋a. 记f
1
(x)＝f(x)，f
n
( x)＝f(f
n1
(x))，n＝1，2，3，…，
1
M＝{a∈R|对所 有正整数n，
|
f
n
(0)
|
≤2}．证明，M＝[－2， ]．
4

2006年全国高中数学联合竞赛加试试题
一、以B
0
和B
1为焦点的椭圆与△AB
0
B
1
的边AB
i
交于点Ci
(i＝0，1). 在AB
0
的延长线上任取点P
0
，以B< br>0
为
⌒⌒
圆心，B
0
P
0
为半径作圆弧P< br>0
Q
0
交C
1
B
0
的延长线于Q
0
；以C
1
为圆心，C
1
Q
0
为半径作圆弧Q
0
P
1
交B
1
A的延长
⌒
线于点P
1< br>；以B
1
为圆心，B
1
P
1
为半径作圆弧P
1
Q
1
交B
1
C
0
的延长线于Q
1
；以C
0
为圆心，C
0
Q
1
为半径作圆弧
⌒Q
1
P
0
?，交AB
0
的延长线于P
0
?. 试证：
⌒⌒
⑴ 点P
0
?与点P
0
重合，且圆弧 P
0
Q
0
与P
0
Q
1
相内切于点P
0
；
⑵ 四点P
0
，Q
0
，Q
1
，P
1
共圆．













A
P
1
C
1
B
1
C
0
B
0
P
0
Q
1
Q
0
a
n
a
n
－
1
＋1
二、已知无穷数列{a
n
}满足a
0
＝x，a
1
＝y，a
n
＋< br>1
＝，n＝1，2，…．
a
n
＋a
n
－
1
⑴ 对于怎样的实数x与y，总存 在正整数n
0
，使当n≥n
0
时a
n
恒为常数？
⑵ 求通项a
n
．










x－y＋z－w＝2，
x
2
－y
2
＋z
2
－w
2
＝6，
三、解方程组
x
3
－y
3
＋z
3
－w
3
＝20，
x
4
－y
4
＋z
4
－w
4
＝66，?
?
?

2007年全国高中数学联合竞赛一试试卷
P
1. 如图，在正四棱锥P?ABCD中，∠APC=60°，则二面角A?PB?C
D
C
的平面角的余弦值为_______
2. 设实数a使得不等式|2x?a|+|3x?2a|≥a
2
对任意实数
AB
x恒成立，则满足条件的a所组成的集合是_______
3. 将号码分别为 1、2、…、9的九个小球放入一个袋中，这些小球仅号码不同，其余完全相同。甲从袋中
摸出一个球， 其号码为a，放回后，乙从此袋中再摸出一个球，其号码为b。则使不等式a?2b+10>0成
立的事 件发生的概率等于_______
4. 设函数f(x)=3sinx+2cosx+1。若实数a、 b、c使得af(x)+bf(x?c)=1对任意实数x恒成立，则
bcosc
=_____ __
a
5. 设圆O
1
和圆O
2
是两个定圆，动圆P与这 两个定圆都相切，则圆P的圆心轨迹不可能是（ ）

6. 已知A与B是集合{1， 2，3，…，100}的两个子集，满足：A与B的元素个数相同，且A∩B为空集。若
n∈A时总有2 n+2∈B，则集合A∪B的元素个数最多为_______
7. 在平面直角坐标系内，有四个定点 A(?3，0)，B(1，?1)，C(0，3)，D(?1，3)及一个动点P，则|PA|+|PB|+|P C|+|PD|
的最小值为__________。
8. 在△ABC和△AEF中，B是E F的中点，AB=EF=1，BC=6，
CA?33
，若
AB?AE?AC?AF?2
，则
EF
与
BC
的夹角的余弦值等于________。
9. 已知正方体ABCD?A
1
B
1
C
1
D1
的棱长为1，以顶点A为球心，
23
为半径作一个球，则球面与正方体的
3
表面相交所得到的曲线的长等于__________。
10. 已知等差数列{an
}的公差d不为0，等比数列{b
n
}的公比q是小于1的正有理数。若a1
=d，b
1
=d
2
，且
22
a
1< br>2
?a
2
?a
3
是正整数，则q等于________。 < br>b
1
?b
2
?b
3
sin(
πx
) ?cos(
πx
)?215
(?x?)
，则f(x)的最小值为______ __。 11. 已知函数
f(x)?
44
x
12. 将2个a和2个b共4 个字母填在如图所示的16个小方格内，每个小方格内至多填1个字母，若使相
同字母既不同行也不同列 ，则不同的填法共有________种（用数字作答）。
13. 设
a
n
?




14. 已知过点(0，1)的直线l与曲线C：
y?x?
切线的交点轨迹。







15. 设函数f(x)对所有的实数x都满足 f(x+2π)=f(x)，求证：存在4个函数f
i
(x)(i=1，2，3，4)满足：（ 1）对
i=1，2，3，4，f
i
(x)是偶函数，且对任意的实数x，有f
i
(x+π)=f
i
(x)；（2）对任意的实数x，有
f(x)=f
1
(x)+f
2
(x)cosx+f
3
(x)sinx+f
4
(x)sin2x。
1
，求证：当正整数n≥2时，a
n+1
n
。
?
k(n?1?k)
k?1
n
1
(x?0)
交于两个不同 点M和N。求曲线C在点M、N处
x

2007年全国高中数学联合竞赛加试试卷
一、如图，在锐角△ABC中，AB为E，做PF⊥AB，垂足为F。O< br>1
、O
2
分别是△BDF、△CDE的外心。求证：O
1
、O
2
、E、F四点共圆的充
要条件为P是△ABC的垂心。


AAA

EEE

FFF

PPP

O
2
O
2
O
2

O
1
O
1
O
1

DCDCDC

BBB








二、如图，在7×8的长方形棋盘的每个小方格的中心点各放一个棋子。如果两个棋子所在的小方格共边或共顶点，那么称这两个棋子相连。现从这56个棋子中取出一些，使得棋盘上剩下的棋子，没有五个在一条< br>直线（横、竖、斜方向）上依次相连。问最少取出多少个棋子才可能满足要求？并说明理由。



















三、设集合P ={1，2，3，4，5}，对任意k∈P和正整数m，记f(m，k)=
?
k?1
?
m
??
，其中[a]表示不大于
?
i?1
?
i?1
?
5
a的最大整数。求证：对任意正整数n，存在k∈P和正整数m，使得f(m，k )=n。

2008年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）
1．函数
f(x)?
5 ?4x?x
在
(??,2)
上的最小值是
2?x
2
2．设
A?[?2,4)
，
B?{xx
2
?ax?4?0 }
，若
B?A
，则实数
a
的取值范围为
3．甲乙两人进行乒乓球比赛，约定每局胜者得1分，负者得0分，比赛进行到有一人比对方多2分或打满
6局时停止．设甲在每局中获胜的概率为
2
1
，乙在每局中获胜的概率为，且各局胜 负相互独立，则比
3
3
2
赛停止时已打局数
?
的期望
E
?
为
4若三个棱长均为整数（单位：cm）的正方体的表面积之和为564 cm，则这三个正方体的体积之和为
?
x?y?z?0,
5．方程组
?
的有理数解
(x,y,z)
的个数为 ?
xyz?z?0,
?
xy?yz?xz?y?0
?
6．设?ABC
的内角
A,B,C
所对的边
a,b,c
成等比数列，则
sinAcotC?cosA
的范围是
sinBcotC?cos B
7．设
f(x)?ax?b
，
f
1
(x)?f(x)，
f
n?1
(x)?f(f
n
(x))
，
n? 1,2,3,
，若
f
7
(x)?128x?381
，则
a? b?

1
8．设
f(x)?cos2x?2a(1?cosx)的最小值为
?
，则
a?
.
2
9． 将24个志愿者名额分配给3个学校，则每校至少有一个名额且各校名额互不相同的分配方法共有 种 10．设数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
满足：
S
n
?a
n
?
n?1
，
n?1,2,
n(n?1)
，则通项
a
n
= ．
11．若
f(0)?2008
，
f(x?2)?f(x)?3?2
x
，
f(x?6)?f(x)?63?2
x
，则
f(2008)= ．
12．一个半径为1的小球在一个内壁棱长为
46
的正 四面体容器内可向各个方向自由运动，则该小球永远
不可能接触到的容器内壁的面积是 ．
13．已知函数
f(x)?|sinx|
的图像与直线
y?kx

(k?0)
有且仅有三
个交点，交点的横坐标的最大值为
?
，求证：
cos
?
1?
?
2
．
?
sin
?
?sin3
?
4
?


14．解不等式
log
2
(x
12
?3x
10?5x
8
?3x
6
?1)?1?log
2
(x
4
?1)
．


15．如题15图，
P
是抛物线
y
2
?2x
上的动点，点
B,C
在
y
轴上 ，圆
(x?1)
2
?y
2
?1

内切于
?PBC
，求
?PBC
面积的最小值．
答13图
题15

2008年全国高中数学联合竞赛加试（A卷）试题
一、如题一图，给定凸四边形
ABCD
，
?B??D?180
，
P
是平面上的动点，令
f(P)?PA?BC?PD?CA?PC?AB
．
（Ⅰ）求证：当
f(P)
达到最小值时，
P,A,B,C
四点共圆；
（Ⅱ）设
E
是
?ABC
外接圆
O
的
AB< br>上一点，满足：
，
?ECB?








二、设
f(x)
是周期函数，
T
和 1是
f(x)
的周期且
0?T?1
．证明：
（Ⅰ）若
T< br>为有理数，则存在素数
p
，使
AE3
BC
，
?
?3?1

AB2
EC
题一图1
1
?ECA
， 又
DA,DC
是
O
的切线，
AC?2
，求
f(P)
的最小值．
2
1
是
f(x)
的周期；
p
（Ⅱ）若
T
为无理数，则存在各项均为无理数的数列
{a
n
}满足
1?a
n
?a
n?1
?0

(n?1 ,2,???)
，且每个
a
n
(n?1,2,???)
都是
f(x)
的周期．







三、设
a
k
?0
，
k?1,2,,2008
．证明：当且仅当
?
a
k
?1
时，存在数列
{x
n
}
满足以下条件：
k? 1
2008
（ⅰ）
0?x
0
?x
n
?x
n ?1
，
n?1,2,3,
2008
k?1
2007
k?0< br>； （ⅱ）
limx
n
存在；
n??
（ⅲ）
x
n
?x
n?1
?
?
a
k
x
n? k
?
?
a
k?1
x
n?k
，
n?1,2, 3,



．

2009年全国高中数学联合竞赛一试试题
1． 若函数
f
?
x< br>?
?
x
1?x
2
且
f
(n)
?x
?
?f
?
?
f
?
f
?
n< br>?
99
?
f
，则
f
?
x
?
?
?
1
?
?
．
?
?
?
2． 已知直线
L:x?y?9?0
和圆
M :2x
2
?2y
2
?8x?8y?1?0
，点
A
在 直线
L
上，
B
，
C
为圆
M
上两
点 ，在
?ABC
中，
?BAC?45?
，
AB
过圆心
M
，则点
A
横坐标范围为 ．
3．
?< br>y≥0
在坐标平面上有两个区域
M
和
N
，
M
为
?
，
N
是随
t
变化的区域，它由不等式
t≤x≤ t?1
?
y≤x
?
y≤2?x
?
所确定，
t
的取值范围是
0≤t≤1
，则
M
和
N
的公共面积是函数< br>f
?
t
?
?
．
1111

????a?2007
对一切正整数
n
都成立的最小正整数
a
的值为 ．
n?1n?22n?13
x
2
y
2
5． 椭圆
2
?
2
?1
?
a?b?0
?
上任意两点
P< br>，
Q
，若
OP?OQ
，则乘积
OP?OQ
的最小值为 ．
ab
6． 若方程
lgkx?2lg
?
x?1
?
仅有一个实根，那么
k
的取值范围是 ．
4． 使不等式
7． 一个由若干行数字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和， 最后一
行仅有一个数，第一行是前
100
个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的 数是 （可以用
指数表示）
8． 某车站每天
8∶00~9∶00
，
9∶00~10∶00
都恰有一辆客车到站，但到站的时刻是随机的，且两者到
站的 时间是相互独立的，其规律为
8∶10

8∶30

8∶50

到站时刻
9∶10

9∶30

9∶50

11
1

概率
62
3
一旅客
8
．
∶20
到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）
x
2
y
2
9.（本小题满分14分）设直线
l:y?kx?m
（其中
k
，
m
为整数）与椭圆
??1
交于不同两点
A，
B
，
1612
x
2
y
2
与双曲线< br>??1
交于不同两点
C
，
D
，问是否存在直线
l，使得向量
AC?BD?0
，若存在，指出这样
412
的直线有多少条？ 若不存在，请说明理由．






10（本 小题15分）已知
p
，
q
?
q?0
?
是实数，方程
x
2
?px?q?0
有两个实根
?
，
?
， 数列
?
a
n
?
满足
a
1
?p
，< br>4，
a
2
?p
2
?q
，
a
n
?pa
n?1
?qa
n?2
?
n?3，
；
?< br>(Ⅰ)求数列
?
a
n
?
的通项公式（用
?
，
?
表示）
1
(Ⅱ)若
p?1
，
q?
，求< br>?
a
n
?
的前
n
项和．
4





11、（本小题满分15分）求函数
y?x?27?13?x?x
的最大和最小值．

2009年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）
AC
的中点．一、如图，（?A??B
）的外接圆
?
上弧
BC
、过点
C
作
PC∥MNN
分别为锐角三角形
?ABC
M
，
交圆
?
于
P
点，
I
为
?ABC
的内心，连接
P I
并延长交圆
?
于
T
．⑴求证：
MP?MT?NP?NT< br>；
⑵在弧
AB
（不含点
C
）上任取一点
Q
（
Q≠A
，
T
，
B
），记
?AQC
，△QCB
的内心分别为
I
1
，
I
2
，

求证：
Q
，
I
1
，
I
2
，
T
四点共圆．
C
P


N
M


I

B

T


A
Q

1
?
n
k
?
?lnn≤
二、 求证不等式：
?1?
?
?
2
，
n?1
，2，…
?
k?12
?
k?1
?










三、设
k
，
l
是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数
m≥k
，使得
C
k
m
与
l
互素．









?
x
11
x
12
x
13
x
14
x
15
x
16
x
17
x
18
x
19
?
??
四、 在非负数构成的
3?9
数表
P?
?
x
21
x22
x
23
x
24
x
25
x
26x
27
x
28
x
29
?
中每行的数互不相 同，前6
?
xxxxxxxxx
?
?
3373839
?列中每列的三数之和为1，
x
17
?x
28
?x
39< br>?0
，
x
27
，
x
37
，
x
18
，
x
38
，
x
19
，
x
2 9
均大于．如果
P
的前
?
x
11
x
12< br>x
13
??
x
1k
?
????
三列构成的数 表
S?
?
x
21
x
22
x
23
?
满足下面的性质
(O)
：对于数表
P
中的任意一列
?
x
2k
?
（
k?1
，
?
xxx
??x
?
?
313233
??
3k
?
3
?
使得
x
ik
≤u
i
?min
?
x
i1
，x
i2
，x
i3
?
． 2，…，9）均存在某个< br>i?
?
1，2，
求证：（ⅰ）最小值
u
i
?min< br>?
x
i1
，x
i2
，x
i3
?
，< br>i?1
，2，3一定自数表
S
的不同列．
?
x
1k
*
??
x
11
x
12
x
1k
*< br>?
????
（ⅱ）存在数表
P
中唯一的一列
?
x2k
*
?
，
k
*
≠1
，2，3使得
3 ?3
数表
S
?
?
?
x
21
x
22
x
2k
*
?
仍然具有性质
(O)
．
??
?
x
?
??
x
31
x
32
x?
?
3k
*
??
3k
*
??

2010年高中数学联赛试题A卷（一试）
1.函数
f(x)?x?5?24?3x
的值域是
2
2.已知函数
y?(acosx?3)sinx
的最小值为-3，则实a的取值范围 是
3.双曲线
x?y?1
的右半支与直线
x?10 0
围成的区域内部（不含边界）整点的个数是
4.已知
?
a
n
?
是公差不为0的等差数列，
?
b
n
?
是等比数列，其中
a
1
?3,b
1
?1,a
2
?b
2
,3a
5
?b
3
，且存在常数
22
?
,
?
使得对每一个正整数
n
都有
a
n< br>?log
?
b
n
?
?
,
则
?
?
?
?

5.函数
f(x)?a
2 x
?3a
x
?2(a?0,a?1)
在区间
x?
?
?1,1
?
上的最大值为8，则它在这个区间上的最小值是
6 .两人轮流投掷骰子，每人每次投掷两颗，第一个使两颗骰子点数和大于6者为胜，否则轮由另一人投掷。，先投掷的人获胜概率是
7.正三棱柱
AB C?A
1
B
1
C
1
的9条棱长都相等，
P
是
CC
1
的中点，二面角
B?A
1
P?B
1
?
?
，则
sin
?
?

8.方程
x?y?z?2010
满足
x?y?z
的正整数解
?x,y,z
?
的个数是
9.已知函数
f (x)?ax?bx?cx?c(a?0),
当
0?x?1
时，
f'(x)? 1
,试求
a
的最大值





10.已知抛物线
y?6x
上的两个动点
A
?
x
1
,y
1
?
和
B
?
x
2
,y
2< br>?
，其中
x
1
?x
2
且
x
1
?x
2
?4
，线段
AB
的垂直
2
32
平 分线与
x
轴交于点
C
，求
?ABC
面积的最大值。







11.证明：方程
2x?5x?2?0
恰有一个实数根
r
，且存在唯一的严格递增正整数数列
?
a
n
?
，使得
3
2
?
r
a1
?
r
a
2
?
r
a
3
??< br>
5

2010年高中数学联赛试题（加试）
一、如图，锐角
?ABC
的外心为< br>O
，
K
是边
BC
上一点（不是边
BC
的中点 ），
D
是线段
AK
延长线上一
点，直线
BD
与AC
交于点
N
，直线
CD
与
AB
交于点
M
，求证：若
OK?MN
，则
A,B,D,C
四点共圆。










二、设
k
是给定飞正整数，
r?k?
整数
m,
使得
f







三、给定整数
n?2,
，设正实数
a
1
,a
2
,
?,a
n
满足
a
k
?1,
k
?1,2,?,n
，记
?
m
?
A
O
B
K
D
M
N
C
1
?
1
??
l
??
l?1
?
(r)),l?2
证明：存在正，记
f
?
r
?
?f
?
r
?
?r
?
r< br>?
,f(r)?f(f
2
?
1
?
(r)
为一 个整数，这里，
?
x
?
表示不小于实数
x
的最小整数，例如 ：
??
?1,
?
1
?
?1.

?
2
?
nn
a
1
?a
2
?
?
?a< br>k
n?1
A
k
?,k?1,2,
?
,n.
求 证：
?
a
k
?
?
A
k
?

k
2
k?1k?1






四、一种密码锁的密码设置是在正
n
边形
A
1
A
2
?A
n
的每个顶点处赋值0和1两个数中的一个，同时在每
个顶点处涂染红、 蓝两种颜色之一，使得任意相邻的两个顶点的数字或颜色至少由一个相同。问该种密码
锁共有多少中不同 的密码设置？

2011年全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）
1．设
A?{a
1,a
2
,a
3
,a
4
}
，若
A
中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为
B?{?1,3,5,8}
，则
A?< br>
2．函数
f(x)?
x
2
?1
的值域为 ．
x?1
3．设
a,b
为正实数，
11
??22
，
(a?b)
2
?4(ab)
3
，则
log
ab?
．
ab
4．如果
cos
5?
?sin
5
?
?7(sin
3
?
?cos< br>3
?
)
，
?
?[0,2
?
)
，那么
?
的取值范围是 ．
5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要 求甲、乙两同学不能参加同一个项目，每个项目都有人参加，
每人只参加一个项目，则满足上述要求的不 同安排方案数为 ．（用数字作答）
6．在四面体
ABCD< br>中，已知
?ADB??BDC??CDA?60?
，
AD?BD?3
，
CD?2
，则四面体
ABCD
的外
接球的半径为 ．
7．
x?2y?1?0
与抛物线
y
2
?4x
交 于
A,B
两点，
C
为抛物线上的一点，
?ACB?90?
， 则点
C
坐标为
8．已知
a
n?
C
n
3
200
?6
??
200?n
?
1
?
?
?
?
??
(n
?
1,2 ,
?
,95)
，则数列
{a
n
}
中整数项的个数为 ．
?
2
?
n
9．设函数
f(x)?|lg(x?1)|< br>，实数
a,b(a?b)
满足
f(a)?f(?






b?1
)
，
f(10a?6b?21)?4 lg2
，求
a,b
的值．
b?2
10．已知数列
{an
}
满足：
a
1
?2t?3(t?
R且
t?? 1)
，
a
n?1
?
(2t
n?1
?3)a
n
?2(t?1)t
n
?1
a
n
?2t?1
n(n?
N
*
)
．
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式； （2）若
t?0< br>，试比较
a
n?1
与
a
n
的大小．








1
x
2
y
2
11．作斜率为的直线
l
与椭圆
C
：
?
（如图所示），且
P(32,2)
在直线
l
的左上方．
?1
交于
A,B
两点
3
364
（1）证明：△
PA B
的内切圆的圆心在一条定直线上；
（2）若
?APB?60?
，求△
PAB
的面积．
y
P
O
A
x
B

2011年全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷）
一、如图，< br>P,Q
分别是圆内接四边形
ABCD
的对角线
AC,BD
的中 点．若
?BPA??DPA
，证明：
?AQB??CQB
．
D
A
Q
P
B

二、证明：对任意整数
n?4
，存在一个
n
次多项式
f(x)?x
n
?a
n?1
x
n?1
?
?
?a
1
x?a
0
具 有如下性质：
（1）
a
0
,a
1
,?,a
n?1
均为正整数；
（2）对任意正整数
m
，及任意
k(k?2)
个互不相同的正整数
r
1
,r
2
,
?
,r
k
，均有
f
(
m
)
?f
(
r
1
)
f
(
r
2
)
?f
(
r
k
)
．







三、设
a
1
,a
2
,
?
,a
n
(n?4)
是给定的正实数，
对任意正实数
r
，满足
a
1< br>?a
2
???a
n
．
n
2
的三元数组
(i,j,k)
的个数记为
f
n
(r)
．证明：
f
n
(r)?
．
4
a
j
?a
i
a
k
?a
j
?r(1?i?j?k?n)
C





四、设A是一个
3?9
的方格表，在每一个小方格内各填一个正 整数．称A中的一个
m?n(1?m?3,1?n?9)
方格表为“好矩形”，若它的所有数的 和为10的倍数．称A中的一个
1?1
的小方格为“坏格”，若它不包含
于任何一个“ 好矩形”．求A中“坏格”个数的最大值．

2012年全国高中数学联赛试题（A卷）
2
(x?0)
上任意一点，过P向直线
y?x
和
y
轴作垂线，垂足为A、B，则< br>PA?PB
=
x
3tanA
2．设ΔABC 的内角A、B、C的对边分别为
a
、
b
、
c
，且满足
acosB?bcosA?c
，则=
5tanB
1．设P是
y?x?
3．设
x
、
y
、
z
∈[0，1]，则< br>M?
2
x?y?y?z?z?x
的最大值是 .
4．抛物线
y?2px
（
p?0
）的焦点为F，准线为
l
，A、B是抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=
线段AB的中点M在
l
上的投影为 N，则
MN
的最大值是 .
AB
?
．设
3
5．设同底的两个正三棱锥P-ABC和Q- ABC内接于同一个球，若正三棱锥P-ABC的侧面与底面所成的角为45
?，则正三棱锥Q- ABC的侧面与底面所成角的正切值是 .
6．设
f(x)
是 定R上的奇函数，且当
x?0
时，
f(x)?x
，若对任意的
x?[ a,a?2]
，不等式
2
f(x?a)?2f(x)
恒成立，则实数
a
的取值范围是 .
7．满足
1
?sin
?
?
1
的所有正整数
n
的和是 .
4 n3
8．某情报站有A、B、C、D四种互不相同的密码，每周使用其中的一种密码，且每周都是从上周 未使用的
三种密码中等可能地随机选用一种．第一周使用A种密码，那么第7周也使用A种密码的概率是
9．
f(x)?asinx?cos2x?a??
，
a?R
且
a?0
．（1）若对任意
x?R
，都有
f(x)?0
，求
a
2a2

的取值范围；（2）若
a?2
，且存在
x?R< br>，使得
f(x)?0
，求
a
的取值范围．


2333
10 非零实数列{
a
n
}，且
(a
1< br>?a
2
?...?a
n
)?a
1
?a
2?...?a
n
（1）当
n?3
时，求所有数列
a
1< br>,a
2
,a
3
；
131
（2）是否存在满足条件的 无穷数列{
a
n
}，使得
a
2013
??2012
？若存在，求出这样的无穷数列的一个通项
公式；若不存在，说明理由．


11．如图，在平面直角坐标系XOY中，菱形ABCD的边长为4，且
OB?OD?6
．
（1）求证：
OA?OC
为定值；
（2）当点A在半圆M：
(x? 2)?y?4(2?x?4)
上运动时，求点C的轨迹．
22

二试
一、（本题满分40分）如图，在锐角ΔABC中，AB>AC，M、N是BC边上不同 的两点，使得∠BAM=∠CAN，设
ΔABC和ΔAMN的外心分别为
O
1
、
O
2
，求证：
O
1
、
O
2
、A 三点共线．






二．试证明：集合A= {2，2，…，2,…}满足：（1）对每个
a?A
，及
b?N
，若
b?2a?1
，，则使
b(b?1)
2n
?
一定不是
2a< br>的倍数；（2）对每个
a?A
（其中
A
表示
A
在N
中的补集）且
a?1
，必存在
b?N
?
，
?
b?2a?1
，使
b(b?1)
是
2a
的倍数．




三．设
P
0
，
P
1
，…，
P
n
是平面上
n?1
个点，它们两两间的距离的最小值为< br>d
（
d?0
）．求证：
?
d
?
P
0
P
1
?P
0
P
2
?
?
?P
0
P
n
?
??
?
3
?





四．设
S
n
?1?
n
(n?1)!

11
???
，
n
是正整数，证明：对满足
0?a?b?1
的任意 实数
a
，
b
，数列
{S
n
?[S
n
]}
2n
中有无穷多项属于（
a
，
b
）．这里
[ x]
表示不超过实数
x
的最大整数．

2013年全国高中数学联合竞赛一试试题
1．设集合
A ={2,0,1,3}
，集合
B={x|-x?A,2x
2
?A}
． 则集合
B
中所有元素的和为____________．
-4
，
F
是抛物线焦点. 则
S
?OFA
?S?OFB
2．直角坐标系
xOy
中，
A、B
在抛物线
y
2
=4x
上，满足
OA?OB
___
3．在
?A BC
中，已知
sinA=10sinBsinC,cosA=10cosBcosC
， 则
tanA
的值为______.
4．已知正三棱锥
P-ABC
底 面边长为
1
，高为
2
，则其内切球半径为________.
5 ．设
a,b
为实数，函数
f(x)=ax+b
满足：对任意
x?[0 ,1]
，有
f(x)?1
. 则
ab
的最大值为___________
6．从
1,2,,20
中任取
5
个不同的数，其中至少有两个是相邻数的概率为__________.
7．若实数
x,y
满足
x-4y=2x-y
，则
x
的取值范 围是____________.
8．其中
a
1
=a
9
=1
，且对
i?{1,2,
{a
n
}
共有
9
项，有
,8}
，
a
i+1
禳
镲
?
睚2,1,
镲
a
i
镲
铪
1
，则这样的数列的个数 为________
2
9．（本题满分16分）给定正数
{
x
n< br>}
满足
S
n
?2S
n-1
,n
使得
x
n
匙C2
n
,n=1,2,


.
2 ,3,
，这里
S
n
=x
1
+
存在常数
C> 0
，
+x
n
. 证明：
x
2
y
2
10．在平面直角坐标系
xOy
中，椭圆的方程为
2
+
2
= 1(a>b>0)
，
A
1
、A
2
分别为椭圆的左、右顶点，
F
1
、F
2
ab
分别为椭圆的左、右焦点，
P为椭圆上不同于
A
1
和
A
2
的任意一点. 若平面中两 个点
Q、R
满足
QA
1
^PA
1
,QA
2
^PA,RF
21
^PF,
1
RF^
2
，试确定线 段
QR
的长度与
b
的大小关系，并给出证明.
PF
2






11．求所 有的正实数对
(a,b)
，使得
f(x)=ax
2
+b
满足 ：对任意实数
x,y
，有
f(xy)+f(x+y)?f(x)f(y)
.

2015年全国高中数学联合竞赛一试试题