2017年全国高中数学联赛模拟试题

数学竞赛培训课程---高中联赛模拟试卷
2017暑期培训课程- 联赛模拟试卷

________班_______号 姓名________________
第一试

一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分
1．不等式
答案：
解：设，

，则原不等式化为，
的解集是．
即
2．设为方程

．结合
的一个虚根，则
得，于是．
．
答案：
解：由题意知
又
所以
而
为方程的一个虚根，故，
，即
，
．

．
3．设，

且，则的最小值为．
答案：
解：令，由
，即
，知，则方程
，解得
，
（
可化为
舍去）．
从而
所以

4．在
答案：
，当且仅当，时取等号．
中随机选取三个数，从小到大排列后能构成等差数列的概率是．
解：设选取的三个数为
．对于给定的
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，由
，可取
知
，

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共种选择．
，三数从小到大排列后能构成等差数列的个数为
．
因此，对所有满足条件的
所以，三数从小到排列后能成等差数列的概率为
5．已知某四面体的四个面都是边长为，
点的 八面体的体积是．
答案：
中，
，，
满足条件，此时，四面体
．


易得，所以
6．锐角、、
是．
答案：
解：由已知得
整理得
即
又
从而
即
7．已知椭圆
．
的左右焦点分别为与，点在直线
、、为锐角，所以，
，又
，
，
满足
．

，
容易验证四面体
解：如图，矩形
，
．
的三角形，则以该 四面体六条棱的中点为顶
六条棱的中点为顶点的八面体是
又
，则的值
，
，
，所以，
上．
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当
答案：
取最大值时，

与的比值等于．
解：由平面几何知，要使
直线交轴于
最大，则过
，则
，，三点的圆必 定与直线相切于点
，
．
，即
从而
而，
……①又由圆幂定理，
，，从而有
……②，
，．
代入①、②得，
8．若形如
答案：
．
，．则
，则若、
，
、中有一个被
的五位数满足：
的个数是．
、、
．
均能被37整除，则满足条件的五位数
解：注意到，
设< br>由于
，
且
，
整除，则其余两个也被
．
整除．
的个数（即相应的的个数）为．
二、解答题：本大题共3小题，共56分
．解答应写 出文字说明、证明过程或演算步骤．

9．（本题满分16分）
证明：为直角三角形的充分必要条件是
证明：（必要性）
不妨设
（充分性）
证法一：若
，．则
．
．
因此，所有满足题意的
，则正弦定理得．
故
因此
同理
，即
，
，．
．
．
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若、、
，
均为正，则
．
……①，
由①得

．
因此，
又由
证法二：

、、
．矛盾．
均非负，知、、中有一个为．



．
由、、
其所对应的角为直角．
10．（本题满分20分）
求所有的函数
均非负，知、、中有一个为，
，对于所有整数，满足
，……①
且
解：将
先考虑
将
所以，
．
代入式①得
的情形．
代入式①得
，，
，即
．
．
．
．由此得或．
另一方面，将代入式①得
此时，对于推出的情形不成立．
因此，
再考虑
用代替
不可能．
的情形．
代入式①得
有
对所有的成立．
． 取，得．故对任一整数
所以，此函数为偶函数．
如前所述，将代入式①得．
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若为正整数，则由数学归纳法可证 明，对所有的正整数，有
（唯一是因为每个函数值取决于先前的两个值）．
是唯一的解
因为函数为偶函数，所以，对于任意的整数，有
数．
11．（本题满分20分）
在抛物线
交于点
的图像上内接一个梯形
，设点到底边、
．
．
，其中，
的中点的线段长分别为
，
，且是满足式①的唯一函．对角线与
、．求梯形的面积．
解：如右图，由题意知
设，
则

从而，
由、分另为边
，
而为梯形
，且
令
过点
所以，
则
表示
作
（或
，
，
、的中点得
．
对角线的交点，易知
轴．
、
，
．

．
、三点共线（如可用塞瓦定理证明），即
）与轴正向的夹角．于是，
．则
，
．
，．
．

．
设．则
．
，
故

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，


．
则，
．
故．









加试
一、（本题满分40分）
设解：由
所以
均为正实数，求
知，同理
的最小值
．

，，
；



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又

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（柯西不等式）

所以
























二、（本题满分40分）
已知的内心为，三个内角的角平分线分别为、、，线段
中垂线分别与、交于点、
．证明 ：、、、四点共圆．
的最小值为，当且仅当时取等号
．

的
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证明：要证
如图，设线段
、、、四点共圆，只需证：．
的中点为，则


下面只需再证
设的外接圆与线段
上）
．
于是
这表明，点
因而，点
故
从而，、、、
与
．从而，
位 于的

中垂线的交点为
．
角平分线上。
、、、
（位于不包含点的弧
重合．所以，
．
四点位于同一圆周上．
四点共圆．














三、（本题满分50分）
组合

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在座城市之间有两种方式的飞行航 线被执行：任意一座城市至少和七座城市有
直航；任意两座城市可以通过有限次直航来连接
．求 最小的整数，使得无论如何安排满足
条件的航线，任意一座城市到任意其他城市最多可以经过次直航到达 ．
解：
首先证明：
若
接路线为
．
．
、间至少经过次到达．设城市到的一个最短连，不妨设有两座城市
．
因为每一座城市 至少和七座城市有直航连接，所以城市
市有直航连接，
设
有直航连接，且不属于城市< br>，
又
故
所以，
其次证明：
对
；当
．对
、集合与
，取
．
．
座城市
时，
，城市
，且对
、、
、
与城市集合
，
，否则，城市、
与除
与与除以 外至少六座城
以外至少五座城市有直航连接．
、、、、、、、、、，分别与城市
的所有城市组成的集合为
．
．易知，
之间有更短连接路线．
，矛盾．
．当
，
时，
，
与集合
与集合
中不包括城市
中的所有城市有直航连接；城市
中所有城市有直航 连接；集合
中其余城市有直航
中所有城市有直航连接；城市
中任意一座城市除与上述的 城市
连接；城市与有直航连接
有直航连接，与且仅与集合
．
这样，城市直航连接，且城市
至少与七座城市有直航连接，集合
至少经过次直航来连接．因此，
中任意一座城市均只与七座城市有
．











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四、（本题满分50分）

求所有的实数，使得、
解：首先证明：为正整数．
由已知，设
则，
，
．显然，
均为完全平方数．
．
不是解．
故．
设
必有
又
当
当
时，
时，
……①
．所以，
，则
，
．
．则．
，且为正整数．
．满足条件．
．
再验证
即
事实上，

故
因此，只有当为奇数时，才可能有解
代入①式有，
，即
．
．
．
．
，
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即
两边同乘以并模
这与
故当
综上，只有
得
矛盾．
时，无解．
满足题意．
．
，即．
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