高中数学导数精选题目(附答案)

高中数学导数精选题目（附答案）
(1)函数的单调性与其导数正负的关系
一般地，在区间(a，b)内函数的单调性与导数有如下关系：
导数
f′(x)>0
f′(x)<0
f′(x)＝0
函数的单调
性
单调递增
单调递减
常数函数
(2)函数图象的变化趋势与导数值大小的关系
一般地，设函数y＝f(x)，在区间(a，b)上：
导数的绝对
值
越大
函数值变化 函数的图象
比较“陡峭”(向上或向
下)
比较“平缓”(向上或向
下)
快
越小
(3)极值点与极值
①极小值点与极小值
慢
如图，函数f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点 x＝a附
近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；且在点x＝a附近的左侧
f′(x)＜0， 右侧f′(x)＞0，则称点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数
y＝f(x)的极 小值．
②极大值点与极大值
函数f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近 其他点的函数值都大，
f′(b)＝0；且在点x＝b附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0 ，则称点b叫做函
数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值．
③极值点与极值
极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值．
(4)求可导函数y＝f(x)的极值的方法

解方程f′(x)＝0，当f′(x
0
)＝0时：
①如果在 x
0
附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x
0
)是极 大值．
②如果在x
0
附近的左侧f′(x)<0时，右侧f′(x)>0，那么f( x
0
)是极小值．
(5)函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最值
一 般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那
么它必有最大值和最 小值．
(6)函数最值的求法
求函数y＝f(x)在闭区间[a，b]上的最值的步骤如下：
①求函数y＝f(x)在区间(a，b)内的极值；
②将函数y＝f(x)的各极值与端点处 的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一
个是最大值，最小的一个是最小值．
(7)如果在区间(a，b)内恒有f′(x)＝0，则f(x)有什么特性？
答：f(x)为常数函数，不具有单调性．
(8)在区间(a，b)内，若f′(x)>0， 则f(x)在此区间上单调递增，反之也成立
吗？
答：不一定成立．比如y＝x
3< br>在R上为增函数，但其在x＝0处的导数等于
零．也就是说f′(x)>0是y＝f(x)在某个 区间上单调递增的充分不必要条件．
(9)下图为导函数y＝f′(x)的图象，则函数y＝f(x)的单调区间是什么？

答：单调递增区间：(－∞，－3]，[－2,1]，[3，＋∞)；
单调递减区间：[－3，－2]，[1,3]．

(10):若函数 f(x)为可导函数，且在区间(a，b)上是单调递增(或递减)函数，
则f′(x)满足什么条件？
答：f′(x)≥0(或f′(x)≤0)．
(11):若函数f(x)在(a，b)上满足 f′(x)>0(或f′(x)<0)，则f(x)在(a，b)上具
备什么样的单调性？
答 ：若f′(x)>0，则f(x)在(a，b)上为增函数；若f′(x)<0，则f(x)在(a，b)
上为减函数．
(12):f′(x)>0或f′(x)<0的解集与函数f(x)的单调区间有什么关系？
答：f′(x)>0的解集对应函数f(x)的单调递增区间；f′(x)<0的解集对应函
数f(x) 的单调递减区间．
(13):函数的极大值一定大于极小值吗？
答：不一定，课本P
27
图1.3－11中c处的极小值大于f处的极大值．
(14):函数f(x)的定义域为开区间(a，b)，导函数f′(x)在(a，b)内的图象如图
所示，则函数f(x)在开区间(a，b)内有几个极小值点？

答：一个．x
1< br>，x
2
，x
3
是极值点，其中x
2
是极小值点. x
1
、x
3
是极大值点．
(15)：已知x
0
是 函数f(x)定义域内的一点，当满足什么条件时，f(x
0
)是f(x)
的极大值？ 当满足什么条件时，f(x
0
)是f(x)的极小值？
答：当f′(x
0< br>)＝0，且在x
0
附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0时，f(x
0
)是
极大值；当f′(x
0
)＝0，且在x
0
附近的左侧 f′(x)<0，右侧f′(x)>0时，f(x
0
)是
极小值．

(16):导数为0的点都是极值点吗？
答：不一定，如f(x)＝x
3
，f′(0)＝0，但x＝0不是f(x)＝x
3
的极值点．所以，
当f ′(x
0
)＝0时，要判断x＝x
0
是否为f(x)的极值点，还要看f′( x)在x
0
两侧的
符号是否相反．
(17):函数y＝f(x)在给定区间(a，b)内一定有极值点吗？
答：不一定，若函数y＝f(x)在区间(a，b)内是单调函数，就没有极值点．
(18) :若a≥f(x)恒成立，则a的取值范围是什么？若a≤f(x)恒成立，则a的
取值范围是什么？
答：(1)a≥f(x)恒成立?a≥f(x)
ma
x
.
(2)a≤f(x)恒成立?a≤f(x)
mi
n
.
1．(1)设 函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)
的图象可能为( )

(2)已知f′(x)是f(x)的导函数，f′(x)的图象如图所示，则f(x)的 图象只可能
是( )

2．(1)函数y＝f(x)的图象如图所示，则导函数的图象大致是( )

(2)函数y＝f(x)在定义域R上有导数，其导函数的图象如图所示，则 函数y
＝f(x)的递增区间为____________；递减区间为______________ __．

3．求证：函数f(x)＝e
x
－x－1在(0，＋∞)内是增函 数，在(－∞，0)内是减
函数．
利用导数判断函数f(x)在(a，b)内的单调性的步骤
(1)求f′(x)；
(2)确定f′(x)在(a，b)内的符号；
(3)得出结论．
ln x
4．试证明：函数f(x)＝
x
在区间(0,2)上是单调递增函数．
5．求下列函数的单调区间：

(1)f(x)＝x
3
－2x
2
＋x；
(2)f(x)＝3x
2
－2ln x.
利用导数求函数单调区间的步骤
(1)求函数的定义域；
(2)求f′(x)，解不等式f′(x)>0(或f′(x)<0)；
(3)利用不等式的解集与定义域求交集得单调区间．
注意事项：
①求函数的单调区间，必须在函数的定义域内进行．
②如果函数的单调区间有多个时，单调区 间不能用“∪”符号连接，只能
用“，”或“和”隔开．
③导数法求得的单调区间一般用开区间表示．
e
x
6．求函数f(x)＝
的单调区间．
x－2
7．已知函数f(x)＝x
3
－ax－1.讨论f(x)的单调区间．
提示： 由题意，可先求f′(x)，然后根据a的取值情况，讨论f′(x)>0或
f′(x )<0的解集即可．
8．(1)本例中f(x)不变，若f(x)为单调递增函数，求实数a的取值范围；
(2)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(1，＋∞)内为增函数，求a的取值范围；
(3)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上为减函数，试求a的取值范围；
(4)本例中f(x)不变，若f(x)的单调递减区间为(－1,1)，求a的取值范围；
(5)本例中f(x)不变，若f(x)在区间(－1,1)上不单调，求a的取值范围．
9．求下列函数的极值：
ln x
(1)f(x)＝x
2
e
－
x;
(2)y＝
x
.
10．求下列函数的极值：
1
32
(1)f(x)＝
3
x
－x－3x＋3；
(2)f(x)＝
2x
－2.
x
2
＋1
11．已 知f(x)＝x
3
＋3ax
2
＋bx＋a
2
在x＝－1时有 极值0，求常数a，b的值．
12．已知f(x)＝ax
3
＋bx
2
＋cx(a≠0)在x＝±1处取得极值，且f(1)＝－1.

(1)试求常数a，b，c的值；
(2)试判断x＝±1是函数的极大值点还是极小值点，并说明理由．
13．求函数f(x)＝x
3
－3ax＋b(a≠0)的极值．
提示：分类讨论a取不同值时，函数的单调性，进而求极值．
1
14．设函数f(x )＝－
3
x
3
＋x
2
＋(m
2
－1)x( x∈R)，其中m>0.
(1)当m＝1时，求曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线的斜率；
(2)求函数f(x)的单调区间与极值
15．求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝－x
3
＋3x，x∈[－3，3]；
54
(2)f(x)＝x
2
－
x
(x<0)．
16．求下列各函数的最值．
(1)f(x)＝x
3
－3x
2
＋6x－2，x∈[－1,1]；
1
(2)f(x)＝
2
x＋Sin x，x∈[0,2π]．
17 ．已知函数f(x)＝(4x
2
＋4ax＋a
2
)x，其中a<0.
(1)当a＝－4时，求f(x)的单调递增区间；
(2)若f(x)在区间[1,4]上的最小值为8，求a的值．
18．已知函数f(x)＝ ax
3
－6ax
2
＋b，x∈[－1,2]的最大值为3，最小值为－29，
求a，b的值．
19．已知f(x)＝xln x，g(x)＝－x
2
＋ax－3.
(1)求函数f(x)的最小值；
(2)对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，求实数a的取值范围．
提示： 2f(x)≥g(x)恒成立，可转化为2f(x)－g(x)≥0恒成立，然后利用分
离参数法求a的取值范围．
(1)a≥f(x)(或≤f(x))恒成立?a≥f(x)
m a
x
(或≤f(x)
mi
n
);
(2)a≥f(x)( 或≤f(x))恒有解?a≥f(x)
mi
n
(或≤f(x)
ma
x
)；
(3)f(x)≥g(x)恒成立?F(x)
mi
n
≥0(其 中F(x)＝f(x)－g(x));
(4)f(x)≥g(x)恒有解?F(x)
ma< br>x
≥0(其中F(x)＝f(x)－g(x))．

?
a
?
20．设函数f(x)＝xe
x
－x
?
2
x ＋1
?
＋2.
??
(1)若a＝1，求f(x)的单调区间；
(2)当x≥0时，f(x)≥x
2
－x＋2恒成立，求a的取值范围．
参考答案：

1.解： (1)由函数的图象可知：
当x<0时，函数单调递增，导数始终为正；
当x>0时，函数先增后减再增，
即导数先正后负再正，对照选项，应选D.
a＋b
??
?
内， 导数单调递增；
(2)从f′(x)的图象可以看出，在区间
?
a，
2??
?
a＋b
?
在区间
?
，b
?
内， 导数单调递减．
?
2
?
a＋b
a＋b
??
?内越来越陡，在即函数f(x)的图象在
?
a，
2
，b内越来越平缓，由 此
2
??
可知，只有选项D符合．
2.解析：选D 因为函数f(x)在(0，＋∞)和(－∞，0)上都是单调递减的，即
f′(x)<0.
解析：由f′(x)的图象可知，
当x∈(－2，－1)∪(1,3)∪(4，＋∞)时，f′(x)>0；
当x∈(－∞，－2)∪(－1,1)∪(3,4)时，f′(x)<0.
故函数f(x)的 增区间为(－2，－1)，(1,3)，(4，＋∞)；减区间为(－∞，－2)，
(－1,1)，(3 ,4)．
3.解： 由于f(x)＝e
x
－x－1，
所以f′(x)＝e
x
－1，
当x∈(0，＋∞)时，e
x
＞1，即f′(x)＝e
x
－1>0.
故函数f(x)在(0，＋∞)内为增函数，
当x∈(－∞，0)时，e
x
<1，即f′(x)＝e
x
－1<0.
故函数f(x)在(－∞，0)内为减函数．
1
x
·x－ln x
1－ln x
ln x
4.证明：由于f(x)＝
x
，所以f′( x)＝
x
2
＝
x
2
.

由于0故f′(x)＝
1－ln x
x
2
>0，
即函数f(x)＝
ln x
x
在区间(0,2)上是单调递增函数.
5.解： (1)函数的定义域为R，
∵f(x)＝x
3
－2x
2
＋x，∴f′(x)＝3x
2
－4x＋1.
令f′(x)>0，解得x>1或x<
1
3
.
因此f(x)的单调 递增区间是
?
?
1
?
?
－∞，
3
?
?
，(1，＋∞)．
令f′(x)<0，解得
1
3
因此f(x)的单调递减区间是
?
?
1
?
3
，1< br>?
?
?
.
(2)函数的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝6x－
2
3x
2
－1
x
＝2·
x
.
令 f′(x)>0，即2·
3x
2
－1
33
x
>0，解得－< br>3

3
，又x>0，∴
令f′(x)<0，即2·
3x
2
－1
，解得x<－
33
x
<0
3
或03
，又x>0，∴
∴f(x)的单调递增区间为
?
?3
?
3
，＋∞
?
?
?
；
单调递减区 间为
?
?
?
0，
3
?
3
?
?.
6.解：函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)．
f′(x)＝e
x
?x－2?－e
x
e
x
?x－3?
?x－ 2?
2
＝
?x－2?
2
.
因为x∈(－∞，2)∪(2， ＋∞)，所以e
x
>0，(x－2)
2
>0.
由f′(x)>0得x>3，
所以函数f(x)的单调递增区间为(3，＋∞)；
由f′(x)<0得x<3，又定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，
所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，2)和(2,3).
7.解： f′(x)＝3x
2
－a.
x>
3
3
；
03
3
.

(1)当a≤0时，f′(x)≥0，
所以f(x)在(－∞，＋∞)上为增函数．
3a
(2)当a>0时，令3x
2
－a＝0，得x＝±
3
.
3a3a
当x>
3
或x<－
3
时，f′(x)>0;
3a3a
当－
3
3
时，f′(x)<0.
???
3a
??
3a
3a3a
?
?
，
??
上为增函数，
?
上因此f(x)在
?
－∞，－
f(x)在< br>?
－，＋∞，
3
??
333
????
为减函数．
综上可知， 当a≤0时，f(x)在R上为增函数．
???
3a
??3a
3a3a
?
?
，
???
当a>0时，f(x)在< br>?
－∞，－
上为增函数，在
－
3
，
3
?3
??
3
，＋∞
????
上为减函数．
8.解：(1)由已知得f′(x)＝3x
2
－a，
因为f(x)在(－∞，＋∞)上是单调增函数，
所以f′(x)＝3x
2
－a≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a≤3x
2
对x∈R恒成立．
因为3x
2
≥0，
所以只需a≤0.
又因为a＝0时，f′(x)＝3x
2
≥0，
f(x)＝x
3
－1在R上是增函数，
所以a≤0.
即实数a的取值范围为(－∞，0]．
(2)因为f′(x)＝3x
2
－a，且f(x)在区间(1，＋∞)上为增函数，
所以f′(x)≥0在(1，＋∞)恒成立，
即3x
2
－a≥0在(1，＋∞)恒成立，
所以a≤3x
2
在(1，＋∞)恒成立，
即a的取值范围为(－∞，3]．
(3)由f′(x)＝3x
2
－a≤0在(－1,1)上恒成立，得a≥3x
2
在x∈(－1,1)恒成立．

因为－1所以3x
2
<3，
所以a≥3.
即a的取值范围是[3，＋∞)．
3a3a
(4)由例题可知，f(x)的单调递减 区间为－
3
，
3
，
3a
∴
3
＝1，即a＝3.
(5)∵f(x)＝x
3
－ax－1，
∴f′(x)＝3x
2
－a，
3a
由f′(x)＝0，得x＝±
3
(a≥0)，
∵f(x)在区间(－1,1)上不单调，
3a
∴0<
3
<1，
即0故a的取值范围为(0,3)．
9.解： (1)函数的定义域为 R.f′(x)＝2xe
x
－x
2
e
x
＝x(2－x)e< br>x
.令f′(x)＝0，
－－－
得x＝0或x＝2.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

由上表可以看出，当x＝0时，函数有极小值，且f(0)＝0.
4
当x＝2时，函数有极大值，且f(2)＝
e
2
.
ln x
(2)函数y＝
x
的定义域为(0，＋∞)，
y′＝
1－ln x1－ln x
.令y′＝0，即
2
xx
2
＝0，得x＝e.
当x变化时，y′，y的变化情况如下表：

1
由表可知，当x＝e时，函数有极大值
e
.
10.解：(1)函数的定义域为R，f′(x)＝x
2
－2x－3.
令f′(x)＝0，得x＝3或x＝－1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

∴x＝－1是f(x)的极大值点，x＝3是f(x)的极小值点．
14
∴f(x)
极大值
＝
3
，f(x)
极小值
＝－6.
(2)函数的定义域为R，
2?x
2
＋1?－4x
2
f′(x)＝

?x
2
＋1?
2
＝
－2?x－1??x＋1?
.
?x
2
＋1?
2
令f′(x)＝0，得x＝－1或x＝1.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

由表可以看出：
－2
当x＝－1时，函数f(x)有极小值，且f(－1)＝
2
－2＝－3；
2
当x＝1时，函数f(x)有极大值，且f(1)＝
2
－2＝－1.
11.解： ∵y＝f(x)在x＝－1时有极值为0，
且f′(x)＝3x
2
＋6ax＋b，
?
f′?－1?＝0，?
3－6a＋b＝0，
∴
?
即
?

2
f?－1?＝0，
－1＋3a－b＋a＝0.
??
?
a＝1，
?a＝2，
解得
?
或
?

?
b＝3
?< br>b＝9.
①当a＝1，b＝3时，f′(x)＝3x
2
＋6x＋3＝3(x＋1 )
2
≥0，
y＝f(x)在R上为增函数，无极值，故舍去．
②当a＝2，b＝9时，
f′(x)＝3x
2
＋12x＋9＝3(x＋1)(x＋3)．
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：



由表可知，f(x)在x＝－1处取极小值且f(－1)＝0.
∴a＝2，b＝9.
12.解：f′(x)＝3ax
2
＋2bx＋c，
(1)法一：∵x＝±1是函数的极值点，
∴x＝±1是方程3ax
2
＋2bx＋c＝0的两根．
2b
－
?
?
3a
＝0，
由根与系数的关系知
?
c
?
?
3a
＝－1， ②
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③
①

13
由①②③解得a＝
2
，b＝0，c＝－
2
.
法二：由f′(1)＝f′(－1)＝0，得3a＋2b＋c＝0，①
3a－2b＋c＝0，②
又f(1)＝－1，∴a＋b＋c＝－1，③
13
由①②③解得a＝
2
，b＝0，c＝－
2
.
13333
(2)f(x)＝
2
x
3
－
2
x，∴f ′(x)＝
2
x
2
－
2
＝
2
(x－1)( x＋1)．当x<－1或x>1时
f′(x)>0，当－1数，在(－1,1)上是减函数．∴当x＝－1时，函数取 得极大值，x＝－1为极大值
点；当x＝1时，函数取得极小值，x＝1为极小值点.
13.解： f′(x)＝3(x
2
－a)(a≠0)，当a<0时，f′(x)>0 恒成立，即函数在(－
∞，＋∞)上单调递增，此时函数没有极值；当a>0时，令f′(x)＝0，得 x＝－a
或x＝a.当x变化时，f′(x)与f(x)的变化情况如下表：

∴f(x)的极大值为f(－a)＝2aa＋b，
极小值为f(a)＝－2aa＋b. 1
14.解：(1)当m＝1时，f(x)＝－
3
x
3
＋x2
，f′(x)＝－x
2
＋2x，故f′(1)＝1.所
以曲线y＝f( x)在点(1，f(1))处的切线的斜率为1.
(2)f′(x)＝－x
2
＋2x ＋m
2
－1.令f′(x)＝0，解得x＝1－m或x＝1＋m.因为m>0，
所以1 ＋m>1－m.当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以函数f(x)的单调递减区间为(－∞，1－m)，(1＋m，＋∞)，递增区间为
(1－ m,1＋m)．
函数f(x)在x＝1－m处取得极小值f(1－m)，且f(1－m)
2 1
＝－
3
m
3
＋m
2
－
3
. < br>21
函数f(x)在x＝1＋m处取得极大值f(1＋m)，且f(1＋m)＝
3
m
3
＋m
2
－
3
.
15.解： (1)f′(x)＝3－3x
2
＝3(1－x)(1＋x)．
令f′(x)＝0，得x＝1或x＝－1，
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以x＝1和x＝－1是函数在[－3，3]上的两个极点，
且f(1)＝2，f(－1)＝－2.
又因为f(x)在区间端点处的取值为
f(－3)＝0，f(3)＝－18.
所以f(x)
max
＝2，f(x)
min
＝－18.
5 4
(2)f′(x)＝2x＋
x
2
.令f′(x)＝0得x＝－3.
当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

所以x＝－3时，f(x)取得极小值，也就是最小值，
故f(x)的最小值为f(－3)＝27，无最大值．
16.解：(1)f′(x)＝3x< br>2
－6x＋6＝3(x
2
－2x＋2)＝3(x－1)
2
＋3 ，
因为f′(x)在[－1,1]内恒大于0，
所以f(x)在[－1,1]上为增函数．
故x＝－1时，f(x)取最小值为－12，
x＝1时，f(x)取最大值为2.
1
(2)f′(x)＝
2
＋coS x，令f′(x)＝0，
2π4π
又x∈[0,2π]，解得x＝
3
或x＝
3
. < br>3
?
4π
?
2π3
?
2π
?
π计算得f(0)＝0，f(2π)＝π，f
?
3
?
＝＋，f
?< br>3
?
＝－
.
2
??
32
??
3< br>所以当x＝0时，f(x)有最小值f(0)＝0；
当x＝2π时，f(x)有最大值f(2π)＝π
17.解： (1)当a＝－4时，f′( x)＝
2?5x－2??x－2?
2
??
，令f′(x)>0，得x∈
?
0，
5
?
??
x
2
??
0，
?
或x∈(2，＋∞)，故函数f(x)的单调递增区间为和(2，＋∞)．
5
?< br>??
?10x＋a??2x＋a?
aa
(2)f′(x)＝
，a<0， 由f′(x)＝0得x＝－
10
或x＝－
2
.
2x
a?
aa
?
当x∈
?
0，－
10
?
时， f(x)单调递增；当x∈－
10
，－
2
时，f(x)单调递减；当x
??
?
a
?
∈
?
－
2
，＋∞
?
时，f(x)单调递增．
??
易知f(x)＝(2x＋a)
2
?< br>a
?
x≥0，且f
?
－
2
?
＝0.
??
a
①当－
2
≤1，即－2≤a<0时，f(x)在[1,4]上的最小 值为f(1)，由f(1)＝4＋4a

＋a
2
＝8，得a＝±22－2，均不符合题意．
a1a4
②当1<－
2
≤4，即－8≤a<－2时，此时
5
<－
10
≤
5
，f(x)在[1,4]上的最小值
?
a
?
为 f
?
－
2
?
＝0，不符合题意．
??
a
③当－
2
>4，即a<－8时，f(x)在[1,4]上的最小值可能在x＝1或x＝4处取得 ，
而f(1)＝8时没有符合题意的a值，由f(4)＝2(64＋16a＋a
2
)＝ 8得a＝－10或a
＝－6(舍去)，当a＝－10时，f(x)在(1,4)上单调递减，f(x)在 [1,4]上的最小值为f(4)
＝8，符合题意．
综上知，a＝－10.
18. 解：由题设知a≠0，否则f(x)＝b为常函数，与题设矛盾．f′(x)＝3ax
2
－12 ax＝3ax(x－4)，令f′(x)＝0，得x
1
＝0，x
2
＝4(舍去 )．
(1)当a>0，且x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：

由表可知，当x＝0时，f(x)取得极大值，也就是函数在[－1,2]上的最大值，
∴f(0)＝3 ，即b＝3.
又f(－1)＝－7a＋3，f(2)＝－16a＋3∴f(2)＝－16a＋3＝－29，解得a＝2.
(2)当a<0时，同理可得，当x＝0 时，f(x)取得极小值，也就是函数在[－1,2]
上的最小值，
∴f(0)＝－29，即b＝－29.
又f(－1)＝－7a－29，f(2)＝－16a－29>f(－1)，
∴f(2)＝－16a－29＝3，解得a＝－2.
综上可得，a＝2，b＝3或a＝－2，b＝－29.
19.解： (1)已知函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝ln x＋1，
1
??当x∈
?
0，
e
?
时，f′(x)<0，f(x)单调递减，
??

?
1
?
当x∈
?
e
，＋∞
?
时，f′(x)>0，f(x)单调递增．
??
1
?
1
?
??
所以f(x)
min
＝f
e
＝－
e
.
??
3
(2)2xln x≥－x
2
＋ax－3，则a≤2ln x＋x＋
x
，
3
设h(x)＝2ln x＋x＋
x
(x>0)，
则h′(x)＝
?x＋3??x－1?
，
x
2
①x∈(0,1)，h′(x)<0，h(x)单调递减；
②x∈(1，＋∞)，h′(x)>0，h(x)单调递增；
所以h(x)
min
＝h(1)＝4，
对一切x∈(0，＋∞)，2f(x)≥g(x)恒成立，
所以a≤h(x)
min
＝4，
即a的取值范围是(－∞，4]．
20.解：(1)∵a＝1，
?
1
?
∴f(x)＝xe
x
－x
?
2
x＋1
?
＋2
??
1
＝xe
x
－
2
x
2
－x＋2，
∴f′(x)＝(e
x
－1)(x＋1)，
∴当－1当x<－1或x>0时，f′(x)>0，
∴f(x)在(－1,0)上单调递减，在(－∞，－1)，(0，＋∞)上单调递增．
a＋2
??
?
≥0， (2)由f(x)≥x
2
－x＋2， 得x
?
e
x
－
2
x
??
当x＝0时，显然 成立；
e
x
a＋2
当x>0时，即
x
≥
2
恒成立．
e
x
?x－1?
e
x
记g(x)＝
x
，则g′(x)＝
x
2
，
当0当x>1时，g′(x)>0，g(x)是增函数．

∴g(x)的最小值为g(1)＝e，
a＋2
∴
2
≤e，得a≤2e－2.
即a的取值范围是(－∞，2e－2]．