高中数学数列专题大题训练

~
高中数学数列专题大题组卷



一．选择题（共9小题）

1．等差数列{a
n
}的前m项和为30 ，前2m项和为100，则它的前3m项和为（ ）

A．130 B．170 C．210 D．260

2．已知各项均为正数的等比数列{a
n
}，a
1a
2
a
3
=5，a
7
a
8
a
9
=10，则a
4
a
5
a
6
=（ ）

A． B．7 C．6 D．

3．数列{a
n
}的前n项和为S< br>n
，若a
1
=1，a
n
+
1
=3S
n
（n≥1），则a
6
=（ ）

A．3×4
4
B．3×4
4
+1 C．4
4
D．4
4
+1
< br>4．已知数列{a
n
}满足3a
n
+
1
+a
n
=0，a
2
=﹣，则{a
n
}的前10项和等于（ ）

A．﹣6（1﹣3
﹣
10
） B． C．3（1﹣3
﹣
10
） D．3（1+3
﹣
10
）

5．等比数列{a
n
} 的前n项和为S
n
，已知S
3
=a
2
+10a
1< br>，a
5
=9，则a
1
=（ ）

A． B． C． D．

6．已知等差数列{a
n
}满足a
2
+a
4
=4，a
3
+a
5
=10，则它的前10项的和S
10=（ ）

A．138 B．135 C．95 D．23

7．设等 差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若S
m
﹣
1< br>=﹣2，S
m
=0，S
m
+
1
=3，则m=（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

8．等差数列{a
n
}的公差为2，若a
2
，a
4
，a
8
成等比数列，则{a
n
}的前n项和S
n
=
（ ）

A．n（n+1） B．n（n﹣1） C． D．

9．设{a
n
}是等差数列，下列结论中正确的是（ ）

A．若 a
1
+a
2
＞0，则a
2
+a
3
＞0
C．若0＜a
1
＜a
2
，则a
2


二．解答题（共14小题）

10．设数列{a
n
}（n=1，2， 3，…）的前n项和S
n
满足S
n
=2a
n
﹣a
1
，且a
1
，a
2
+1，
a
3
成等差数列．

B．若a
1
+a
3
＜0，则a
1
+a< br>2
＜0

D．若a
1
＜0，则（a
2
﹣a
1
）（a
2
﹣a
3
）＞0

··

~
（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T
n
，求使得|T
n
﹣1|成立的n的最小值 ．

11．设等差数列{a
n
}的公差为d，前n项和为S
n
，等比数列{b
n
}的公比为q，已
知b
1
=a
1
，b
2
=2，q=d，S
10
=100．

（1）求数列{a
n
}，{b
n
}的通项公式

（ 2）当d＞1时，记c
n
=，求数列{c
n
}的前n项和T
n
．

12．已知数列{a
n
}满足a
1
=1，a
n
+
1
=3a
n
+1．

（Ⅰ）证明{a
n
+}是等比数列，并求{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）证明：++…+＜．

13．已知等差数列{a
n
}的公差不 为零，a
1
=25，且a
1
，a
11
，a
13成等比数列．

（Ⅰ）求{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ ）求a
1
+a
4
+a
7
+…+a
3n
﹣< br>2
．

14．等差数列{a
n
}中，a
7
= 4，a
19
=2a
9
，

（Ⅰ）求{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）设b
n
=，求数列{b
n
}的前n项和S
n
．

15．已知等比数列{a
n
}中，a
1
=，公比q=．
< br>（Ⅰ）S
n
为{a
n
}的前n项和，证明：S
n
=< br>
（Ⅱ）设b
n
=log
3
a
1
+log< br>3
a
2
+…+log
3
a
n
，求数列{b< br>n
}的通项公式．

16．已知数列{a
n
}满足a
n
+
2
=qa
n
（q为实数，且q≠1），n∈N
*
，a
1
=1，a
2
=2，且
a
2
+a
3
，a
3
+a
4
，a
4
+a
5
成等 差数列

（1）求q的值和{a
n
}的通项公式；

（2） 设b
n
=，n∈N
*
，求数列{b
n
}的前n项和．

}的前n项和为．

17．已知数列{a
n
}是首项为正数的等 差数列，数列{
（1）求数列{a
n
}的通项公式；

··

~
（2）设b
n
=（a
n
+1）?2，求 数列{b
n
}的前n项和T
n
．

18．已知数列{an
}和{b
n
}满足a
1
=2，b
1
=1，a
n
+
1
=2a
n
（n∈N
*
），
b
1
+b
2
+b
3
+…+b
n
=b
n
+
1
﹣1（n∈N
*
）

（Ⅰ）求a
n
与b
n
；

（Ⅱ）记数列{a
n
b
n
}的前n项和为T
n
，求T
n
．

19．已知数列{a
n
}是递增的等比数列，且a
1
+a
4
=9，a
2
a
3
=8．

（1）求数列{a
n
}的通项公式；

（2）设S
n
为数列{a
n
}的前n项和，b
n
=，求数列{b
n
}的 前n项和T
n
．

20．设数列{a
n
}的前n项和为S< br>n
，已知2S
n
=3
n
+3．

（Ⅰ）求{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b
n}，满足a
n
b
n
=log
3
a
n
， 求{b
n
}的前n项和T
n
．

21．设数列{a
n
}的前n项和为S
n
．已知a
1
=a，a
n
+< br>1
=S
n
+3
n
，n∈N
*
．由

（Ⅰ）设b
n
=S
n
﹣3
n
，求数列{b
n
}的通项公式；

（Ⅱ）若a
n
+
1
≥a
n
，n∈N
*
，求a的取值范围．

22．已知等差数列{an
}的公差为2，前n项和为S
n
，且S
1
，S
2，S
4
成等比数列．

（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）令b
n
=（﹣1）
n
﹣
1
，求数列{b
n
}的前n项和T
n
．

23．数列{a
n
}满足a
1
=1，na
n
+
1
=（n+1）a
n
+n（n+1），n∈N
*
．

（Ⅰ）证明：数列{
（Ⅱ）设b
n
=3
n
?


}是等差数列；

，求数列{b
n
}的前n项和S
n
．

··

~

高中数学数列专题大题组卷

参考答案与试题解析



一．选择题（共9小题）
1．（1996?全国）等差数列{a
n
}的前m项和为30，前2m项和为100，则它 的前
3m项和为（ ）

A．130 B．170 C．210 D．260

【分析】利用等差数列的前n项和公式，结合已知条件列出关于a
1，d的方程组，
用m表示出a
1
、d，进而求出s
3m
；或利用 等差数列的性质，s
m
，s
2m
﹣s
m
，s
3m< br>﹣
s
2m
成等差数列进行求解．

【解答】解：解法1：设等 差数列{a
n
}的首项为a
1
，公差为d，

由题意得方程组，

解得d=，a
1
=，

d=3m+=210．

∴s
3m
=3ma
1
+
故选C．

解法2：∵设{a
n
}为等差数列，

∴s
m
，s
2m
﹣s
m
，s
3m
﹣s
2m
成等差数列 ，

即30，70，s
3m
﹣100成等差数列，

∴30+s
3m
﹣100=70×2，

解得s
3m
=210．

故选C．

【点评】解法 1为基本量法，思路简单，但计算复杂；解法2使用了等差数列的
一个重要性质，即等差数列的前n项和 为s
n
，则s
n
，s
2n
﹣s
n
，s3n
﹣s
2n
，…成等差
数列．



··

~
2．（2010?大纲版Ⅰ）已知各项均为正数的等比数列 {a
n
}，a
1
a
2
a
3
=5，a
7
a
8
a
9
=10，
则a
4
a
5
a
6
=（ ）

A． B．7 C．6 D．

【分析】由数列{a
n
}是等比数列，则有a
1
a
2
a< br>3
=5?a
2
3
=5；a
7
a
8
a
9
=10?a
8
3
=10．

【解答】解：a1
a
2
a
3
=5?a
2
3
=5；
a
7
a
8
a
9
=10?a
8
3
=10，

a
5
2
=a
2
a
8
，

∴
故选A．

【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式 与指数式的互化
等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．



3．（2011?四川）数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若a
1< br>=1，a
n
+
1
=3S（，则a
6
=（ ）

n
n≥1）
A．3×4
4
B．3×4
4
+1 C．4
4
D．4
4
+1

，∴，

【分析】根据已知的a
n
+
1
=3Sn
，当n大于等于2时得到a
n
=3S
n
﹣
1
，两者相减，根
据S
n
﹣S
n
﹣
1
=a
n
，得到数列的第n+1项等于第n项的4倍（n大于等于2），所以
得到此数列除去第1项，从 第2项开始，为首项是第2项，公比为4的等比数列，
由a
1
=1，a
n+
1
=3S
n
，令n=1，即可求出第2项的值，写出2项以后各项的通 项公式，
把n=6代入通项公式即可求出第6项的值．

【解答】解：由a
n
+
1
=3S
n
，得到a
n
=3S
n
﹣
1
（n≥2），

两式相减得：a
n
+
1﹣a
n
=3（S
n
﹣S
n
﹣
1
）=3 a
n
，

则a
n
+
1
=4a
n< br>（n≥2），又a
1
=1，a
2
=3S
1
=3a1
=3，

得到此数列除去第一项后，为首项是3，公比为4的等比数列，

所以a
n< br>=a
2
q
n
﹣
2
=3×4
n
﹣2
（n≥2）

则a
6
=3×4
4
．

故选A

【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法，会根据首项和公比写出等比 数
列的通项公式，是一道基础题．



··

~
4．（2013?大纲版）已知数列{a
n
}满足3a< br>n
+
1
+a
n
=0，a
2
=﹣，则{an
}的前10项和
等于（ ）

A．﹣6（1﹣3
﹣
10
） B． C．3（1﹣3
﹣
10
） D．3（1+3
﹣
10
）

可【分析】由已知可知，数列{a
n
}是以﹣为公比的等比数列，结合已知
求a
1
，然后代入等比数列的求和 公式可求

【解答】解：∵3a
n
+
1
+a
n
=0

∴

∴数列{a
n
}是以﹣为公比的等比数列

∵
∴a
1
=4

由等比数列的求和公式可得，S
10
=
故选C

【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，属于基础
试题



5．（2013?新课标Ⅱ）等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知S
3
=a
2
+10a
1
，a5
=9，则
a
1
=（ ）

A． B． C． D．


=3（1﹣3
﹣
10
）

【分析 】设等比数列{a
n
}的公比为q，利用已知和等比数列的通项公式即可得到
，解出即 可．

【解答】解：设等比数列{a
n
}的公比为q，

∵ S
3
=a
2
+10a
1
，a
5
=9，
··

~
∴，解得．

∴．

故选C．

【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键．



6．（2008?全国卷Ⅰ）已知等差数列{a
n
}满足a
2+a
4
=4，a
3
+a
5
=10，则它的前10项的和S
10
=（ ）

A．138 B．135 C．95 D．23

【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质，及等差数列前n项和，根据
a
2
+a
4
=4，a
3
+a
5
=10我们 构造关于基本量（首项及公差）的方程组，解方程组求出
基本量（首项及公差），进而代入前n项和公式 ，即可求解．

【解答】解：∵（a
3
+a
5
）﹣（a2
+a
4
）=2d=6，

∴d=3，a
1
=﹣4，

∴S
10
=10a
1
+
故选C

【点评】 在求一个数列的通项公式或前n项和时，如果可以证明这个数列为等差
数列，或等比数列，则可以求出其 基本项（首项与公差或公比）进而根据等差或
等比数列的通项公式，写出该数列的通项公式，如果未知这 个数列的类型，则可
以判断它是否与某个等差或等比数列有关，间接求其通项公式．



7．（2013?新课标Ⅰ）设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
，若S
m
﹣
1
=﹣2，S
m
=0，S
m
+
1
=3，
则m=（ ）

A．3 B．4 C．5 D．6

=95．

【分析】由a
n
与S
n
的关系可求得a
m
+
1
与a
m
，进而得到公差d，由前n 项和公式
及S
m
=0可求得a
1
，再由通项公式及a
m=2可得m值．

【解答】解：a
m
=S
m
﹣S
m
﹣
1
=2，a
m
+
1
=S
m
+
1
﹣S
m
=3，

所以公差d=a
m
+
1
﹣a
m
=1，

··

~
S
m
==0，得a
1
=﹣2，

所以a
m
=﹣2+（m﹣1）?1=2，解得m=5，

故选C．

【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a
n
与S
n
的关系，
考查学生的计算能力．


8．（2014?新课标Ⅱ）等差数列{a
n
}的公差为2，若a
2
，a
4
，a
8
成等比数列，则{a
n
}
的前n项和S< br>n
=（ ）

A．n（n+1） B．n（n﹣1） C． D．

【分析】由题意可得a
4
2
=（a
4
﹣4）（a
4
+8），解得a
4
可得a
1
，代入求和公式可得．

【解答】解：由题意可得a
4
2
=a
2
?a
8
，

即a
4
2
=（a
4
﹣4）（a
4
+8），

解得a
4
=8，

∴a
1
=a
4
﹣3×2=2，

∴S
n
=na
1
+
=2n+
故选：A．

【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式，属基础题．



9．（2015?北京）设{a
n
}是等差数列，下列结论中正确的是（ ）

A．若a
1
+a
2
＞0，则a
2
+a
3
＞0
C．若0＜a
1
＜a
2
，则a
2
B．若a
1
+a
3
＜0，则a
1
+a
2< br>＜0

D．若a
1
＜0，则（a
2
﹣a
1
）（a
2
﹣a
3
）＞0

d，

×2=n（n+1），

【分析】对选项分别进行判断，即可得出结论．
< br>【解答】解：若a
1
+a
2
＞0，则2a
1
+d＞0 ，a
2
+a
3
=2a
1
+3d＞2d，d＞0时，结论成立 ，
即A不正确；

若a
1
+a
3
＜0，则a
1
+a
2
=2a
1
+d＜0，a
2
+a
3
=2a
1
+3d＜2d，d＜0时，结论成立，即B
不正确；
< br>{a
n
}是等差数列，0＜a
1
＜a
2
，2a
2
=a
1
+a
3
＞2
··
，∴a
2
＞，即C正确；

~
若a
1
＜0，则（a
2
﹣a
1
）（a
2
﹣a
3
）=﹣d
2
≤0，即D不正确．

故选：C．

【点评】本题考查等差数列的通项，考查学生的计算能力，比较基础．



二．解答题（共14小题）

10．（2015?四川）设数列{a
n
}（n=1，2，3，…）的前n项和S
n
满足S
n
=2a
n﹣a
1
，
且a
1
，a
2
+1，a
3< br>成等差数列．

（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T
n
，求使得|T
n
﹣1|成立的n的最小 值．

【分析】（Ⅰ）由已知数列递推式得到a
n
=2a
n
﹣
1
（n≥2），再由已知a
1
，a
2
+1，a
3
成等差数列求出数列首项，可得数列{a
n
}是首项为2，公比为2的等比数列，则< br>其通项公式可求；

（Ⅱ）由（Ⅰ）求出数列{
结合
}的通项公式，再 由等比数列的前n项和求得T
n
，
求解指数不等式得n的最小值．

【解答】解：（Ⅰ）由已知S
n
=2a
n
﹣a
1
，有

a
n
=S
n
﹣S
n
﹣
1
=2 a
n
﹣2a
n
﹣
1
（n≥2），

即a
n
=2a
n
﹣
1
（n≥2），
从而a
2
=2a
1
，a
3
=2a
2
= 4a
1
，

又∵a
1
，a
2
+1，a
3
成等差数列，

∴a
1
+4a
1
=2（2a
1
+1），解得：a< br>1
=2．

∴数列{a
n
}是首项为2，公比为2的等比数列 ．故
（Ⅱ）由（Ⅰ）得：，

；

∴．

，即2
n
＞1000．

由，得
∵2
9
= 512＜1000＜1024=2
10
，

∴n≥10．

··

~
于是，使|T
n
﹣1|成立的n的最小值为10．

【点评】本题考 查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和
公式等基础知识，考查运算求解能力，是 中档题．



11．（2015?湖北）设等差数列{a
n
}的公差为d，前n项和为S
n
，等比数列{b
n
}的
公比为q， 已知b
1
=a
1
，b
2
=2，q=d，S
10=100．

（1）求数列{a
n
}，{b
n
}的通项公式

（ 2）当d＞1时，记c
n
=，求数列{c
n
}的前n项和T
n
．

【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可；

（2）当d＞1时，由（1）知c
n
=，写出T
n
、T
n< br>的表达式，利用错位相减
法及等比数列的求和公式，计算即可．

【解答】解： （1）设a
1
=a，由题意可得
解得
当
当
，或，

，

时，a
n
=2n﹣1，b
n
=2
n< br>﹣
1
；

时，a
n
=（2n+79），b
n
=9?；

（2 ）当d＞1时，由（1）知a
n
=2n﹣1，b
n
=2
n
﹣
1
，

∴c
n
==，

+7?
+5?
+
．

+
+9?
+7?+…+
+…+（2n﹣1）?
+…+（2n﹣3）?
﹣（2n﹣1）?
，

+（2n﹣1）?
=3﹣，

，

∴T
n
=1+3?+5?
∴T
n
=1?+3?
∴T
n
= 2++
∴T
n
=6﹣
【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法 是解决本题的关键，注
··

~
意解题方法的积累，属于中档题．



12．（2014?新课标 Ⅱ）已知数列{a
n
}满足a
1
=1，a
n
+
1< br>=3a
n
+1．

（Ⅰ）证明{a
n
+}是等比数列 ，并求{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）证明：++…+＜．

=常【分析】（Ⅰ）根据等比数列的定义，后一项与前一项的比是常数，即
数，又首项不为0，所以为 等比数列；

再根据等比数列的通项化式，求出{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）将
明不等式．

进行放大，即将分母缩小，使得构成一个等比数列，从 而求和，证
【解答】证明（Ⅰ）==3，

∵≠0，

∴数列{a
n
+}是以首项为，公比为3的等比数列；

∴a
n
+==，即；

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，

当n ≥2时，∵3
n
﹣1＞3
n
﹣3
n
﹣
1
， ∴
∴当n=1时，成立，

＜=，

当n≥2时，++…+＜1+…+==＜．

∴对n∈N
+
时，++…+＜．

【点评】本题考查的是等比数列，用放缩法证明不等式，证明数列为等比数列，
··

~
只需要根据等比数列的定义就行；数列与不等式常结合在一起考，放缩法是 常用
的方法之一，

通过放大或缩小，使原数列变成一个等比数列，或可以用裂项相消 法求和的新数
列．属于中档题．



13．（2013?新课标Ⅱ ）已知等差数列{a
n
}的公差不为零，a
1
=25，且a
1
，a
11
，a
13
成等比数列．

（Ⅰ）求{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）求a
1
+ a
4
+a
7
+…+a
3n
﹣
2
．

【分析】（I）设等差数列{a
n
}的公差为d≠0，利用成等比数列的定义可得，< br>，再利用等差数列的通项公式可得
（2a
1
+25d）=0，解出d即可得到通 项公式a
n
；

（II）由（I）可得a
3n
﹣
2
=﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此数列是以25为首项，
﹣6为公差的等差数 列．利用等差数列的前n项和公式即可得出a
1
+a
4
+a
7
+…+a
3n
﹣
2
，化为d
．

【解答】解：（I）设等差数列{a
n
}的公差为d≠0，

由题意 a
1
，a
11
，a
13
成等比数列，∴
∴
，

，化为d（2a
1
+25d）=0，

∵d≠0，∴2×25+25d=0，解得d=﹣2．

∴a
n
=25+（n﹣1）×（﹣2）=﹣2n+27．

（II） 由（I）可得a
3n
﹣
2
=﹣2（3n﹣2）+27=﹣6n+31，可知此 数列是以25为首项，
﹣6为公差的等差数列．

∴S
n
=a
1
+a
4
+a
7
+…+a
3n
﹣
2=
=
=﹣3n
2
+28n．

【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关
键．



··

~
14．（20 13?大纲版）等差数列{a
n
}中，a
7
=4，a
19
= 2a
9
，

（Ⅰ）求{a
n
}的通项公式；
< br>（Ⅱ）设b
n
=，求数列{b
n
}的前n项和S
n
．

【分析】（I）由a
7
=4，a
19
=2a
9< br>，结合等差数列的通项公式可求a
1
，d，进而可求
a
n

（II）由==，利用裂项求和即可求解

【解答】解：（I）设等差数列{a
n
}的公差为d

∵a
7
=4，a
19
=2a
9
，

∴
解得，a
1
=1，d=

∴
（II）∵
∴s
n
=
==


=
=

=


【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用，试题比较
容易



15．（2011?新课标）已知等比数列{a
n
}中，a1
=，公比q=．

（Ⅰ）S
n
为{a
n
}的 前n项和，证明：S
n
=

（Ⅱ）设b
n
=log
3
a
1
+log
3
a
2
+…+log
3< br>a
n
，求数列{b
n
}的通项公式．

【分析】（I ）根据数列{a
n
}是等比数列，a
1
=，公比q=，求出通项公式a
n
和前
n项和S
n
，然后经过运算即可证明．

（II） 根据数列{a
n
}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{b
n
}的通项公 式．

【解答】证明：（I）∵数列{a
n
}为等比数列，a
1=，q=

··

~
∴a
n
=×=，

S
n
=

又∵
∴S
n
=
（II）∵a
n
=
=


=S
n

∴b
n
=log
3
a
1
+log
3
a
2
+…+log
3
a
n=﹣log
3
3+（﹣2log
3
3）+…+（﹣nlog
3< br>3）

=﹣（1+2+…+n）

=﹣


∴数列{b
n
}的通项公式为：b
n
=﹣
【点评】本题主要考查等比 数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质．



16．（201 5?天津）已知数列{a
n
}满足a
n
+
2
=qa
n
（q为实数，且q≠1），n∈N
*
，a
1
=1，
a2
=2，且a
2
+a
3
，a
3
+a
4
，a
4
+a
5
成等差数列

（1）求q的值和{a
n
}的通项公式；

（2）设b
n< br>=，n∈N
*
，求数列{b
n
}的前n项和．

【分 析】（1）通过a
n
+
2
=qa
n
、a
1
、a
2
，可得a
3
、a
5
、a
4
，利用a
2
+a
3
，a
3
+a
4
，a
4< br>+a
5
成等差数列，计算即可；

（2）通过（1）知b
n< br>=，n∈N
*
，写出数列{b
n
}的前n项和T
n
、 2T
n
的表达
式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可．
【解答】解：（1）∵a
n
+
2
=qa
n
（q为实数， 且q≠1），n∈N
*
，a
1
=1，a
2
=2，

∴a
3
=q，a
5
=q
2
，a
4
=2q，

又∵a
2
+a
3
，a
3
+a< br>4
，a
4
+a
5
成等差数列，

··

~
∴2×3q=2+3q+q
2
，

即q
2
﹣3q+2=0，

解得q=2或q=1（舍），

∴a
n
=；

（2）由（1）知b
n
===，n∈N
*
，

记数列{b
n
}的前n项和为T
n
，

则T
n
=1+2?+3?
∴2T
n
=2+2+3?+4?
+4?
+5?
+
+…+（n﹣1）?
+…+（n﹣1）?
+…+﹣n?
+ n?
+n?

，

，

两式相减，得T
n
=3++
=3+
=3+1﹣
=4﹣
﹣n?
．

﹣n?


【点评】本题考查求数列的通项与前n项和，考查分类讨论的思想 ，利用错位相
减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题．



17．（2015?山东）已知数列{a
n
}是首项为正数的等差数列，数 列{
n项和为．

}的前
（1）求数列{a
n
}的通项公式；

（2）设b< br>n
=（a
n
+1）?2
【分析】（1）通过对c
n
=
前n项和为
，求数列{b
n
}的前n项和T
n
．

分离分母，并项相加并利用数列{}的
即得首项和公差，进而可得结论；

··

~
（2）通过b
n
=n?4
n，写出T
n
、4T
n
的表达式，两式相减后利用等比数列的求和公
式即得结论．

【解答】解：（1）设等差数列{a
n
}的首项为a
1
、公差为d，则a
1
＞0，

∴a
n
=a1
+（n﹣1）d，a
n
+
1
=a
1
+nd，

令c
n
=
则c
n
=
，

=[﹣]，

∴c
1
+c
2
+…+c
n< br>﹣
1
+c
n
=[
=[
=
=
又∵数列 {
∴，

﹣

﹣+﹣+…+﹣]

]

，

}的前n项和为，

∴a
1
=1或﹣1（舍），d=2，

∴a
n
=1+2（n﹣1）=2n﹣1；

（2）由（1）知bn
=（a
n
+1）?2=（2n﹣1+1）?2
2n
﹣
1
=n?4
n
，

∴T
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
=1?4
1
+2?4
2
+…+n?4
n
，

∴4T
n
=1?4
2
+2?4
3
+…+（n﹣1）?4
n
+n?4
n
+
1
，

两式相减，得﹣3T
n
=4
1
+4
2
+…+4
n
﹣n?4
n
+
1
=
∴Tn
=．

?4
n
+
1
﹣，

【点评】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注
意解题方法的积累，属于 中档题．



··

~
18．（201 5?浙江）已知数列{a
n
}和{b
n
}满足a
1
=2，b
1
=1，a
n
+
1
=2a
n
（n∈N*
），
b
1
+b
2
+b
3
+…+b< br>n
=b
n
+
1
﹣1（n∈N
*
）

（Ⅰ）求a
n
与b
n
；

（Ⅱ）记数列{a
n
b
n
}的前n项和为T
n
，求T
n
．

【分析】（Ⅰ）直接由a
1
=2，a
n
+
1
=2a
n
，可得数列{a
n
}为等比数列，由等比数列的
通项公式求得数列 {a
n
}的通项公式；

再由b
1
=1，b
1+b
2
+b
3
+…+b
n
=b
n
+< br>1
﹣1，取n=1求得b
2
=2，当n≥2时，得另一
递推式，作差得 到
的通项公式；

（Ⅱ）求出，然后利用错位相减法求数列{a
n
b
n
}的前n项和为T
n
．

．

，整理得 数列{}为常数列，由此可得{b
n
}
【解答】解：（Ⅰ）由a
1
= 2，a
n
+
1
=2a
n
，得
由题意知，当n=1时 ，b
1
=b
2
﹣1，故b
2
=2，

当n ≥2时，b
1
+b
2
+b
3
+…+
，整理得：∴；

，


=b
n
﹣1，和原递推式作差得，

，

（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
因此
，

两式作差得：
（n∈N
*
）．

【点评】本题主要考查等差 数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识，
同时考查数列求和等基本思想方法，以及推理论证能 力，是中档题．



19．（2015?安徽）已知数列{a
n< br>}是递增的等比数列，且a
1
+a
4
=9，a
2
a< br>3
=8．

，

··

~
（1）求数列{a
n
}的通项公式；

（2）设S
n
为数列{a
n
}的前n项和，b
n
=，求数列{b
n
}的 前n项和T
n
．

【分析】（1）根据等比数列的通项公式求出首项和公比即 可，求数列{a
n
}的通项
公式；

（2）求出b
n
=，利用裂项法即可求数列{b
n
}的前n项和T
n
．

【解答】解：（1）∵数列{a
n
}是递增的等比数列，且a
1
+a
4
=9，a
2
a
3
=8．

∴a
1
+a
4
=9，a
1
a
4
=a
2
a
3
=8．

解得a
1
=1，a
4
=8或a
1
=8，a
4
=1（舍），

解得q=2，即数列{a
n
}的通项公式a
n
=2
n
﹣
1
；

（2）S
n
==2
n
﹣1，

∴b
n
===﹣，

+…+﹣=﹣=1﹣∴数列{b
n}的前n项和T
n
=
．

【点评】本题主要考查数列的通项公式 以及数列求和的计算，利用裂项法是解决
本题的关键．



20． （2015?山东）设数列{a
n
}的前n项和为S
n
，已知2S
n
=3
n
+3．

（Ⅰ）求{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{b
n}，满足a
n
b
n
=log
3
a
n
， 求{b
n
}的前n项和T
n
．

【分析】（Ⅰ）利用2S< br>n
=3
n
+3，可求得a
1
=3；当n＞1时，2S
n
﹣
1
=3
n
﹣
1
+3，两式相
减2a< br>n
=2S
n
﹣2S
n
﹣
1
，可求得a
n
=3
n
﹣
1
，从而可得{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ）依题意，a
n
b
n
=log
3
a
n
，可得b
1
=，当n＞1时，b
n
=3
1
﹣
n
?log
3
3
n
﹣
1
=（n﹣1）
×3
1
﹣
n
，于是可求得T
1
=b
1=；当n＞1时，T
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
=+（1×3
﹣
1
+2×3
﹣
2
+…+
··

~
（n﹣1）×3
1
﹣
n
），利用 错位相减法可求得{b
n
}的前n项和T
n
．

【解答】解 ：（Ⅰ）因为2S
n
=3
n
+3，所以2a
1
=3
1
+3=6，故a
1
=3，

当n＞1时，2S
n
﹣
1
=3
n
﹣
1
+3，

此时，2an
=2S
n
﹣2S
n
﹣
1
=3
n﹣3
n
﹣
1
=2×3
n
﹣
1
，即a< br>n
=3
n
﹣
1
，

所以a
n
=．

（Ⅱ）因为a
n
b
n=log
3
a
n
，所以b
1
=，

当 n＞1时，b
n
=3
1
﹣
n
?log
3
3
n
﹣
1
=（n﹣1）×3
1
﹣
n
，

所以T
1
=b
1
=；

当n＞1时，T
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
=+（1×3
﹣
1
+2×3
﹣
2
+…+（n﹣1）×3
1
﹣< br>n
），

所以3T
n
=1+（1×3
0
+2 ×3
﹣
1
+3×3
﹣
2
+…+（n﹣1）×3
2< br>﹣
n
），

两式相减得：2T
n
=+（3
0
+3
﹣
1
+3
﹣
2
+…+3
2
﹣
n
﹣（n﹣1）×3
1
﹣
n
）=+
﹣1）×31
﹣
n
=
所以T
n
=﹣
﹣
﹣，

，经检验，n=1时也适合，

．

﹣（n
综上可得T
n
=
【点评】本题考查数列的求和，着重考查数列递推关系的应用，突出考查“错位< br>相减法”求和，考查分析、运算能力，属于中档题．



21．（2 008?全国卷Ⅱ）设数列{a
n
}的前n项和为S
n
．已知a
1< br>=a，a
n
+
1
=S
n
+3
n
，n ∈
N
*
．由

（Ⅰ）设b
n
=S
n
﹣3
n
，求数列{b
n
}的通项公式；

（Ⅱ）若an
+
1
≥a
n
，n∈N
*
，求a的取值范围．

【分析】（Ⅰ）依题意得S
n
+
1
=2S
n+3
n
，由此可知S
n
+
1
﹣3
n
+
1
=2（S
n
﹣3
n
）．所以b
n
=S< br>n
﹣3
n
=（a﹣3）2
n
﹣
1
，n∈N< br>*
．

（Ⅱ）由题设条件知S
n
=3
n
+（ a﹣3）2
n
﹣
1
，n∈N
*
，于是，a
n
=S
n
﹣S
n
﹣
1
=，由此可以求得a的取值范围是[﹣ 9，+∞）．

··

~
【解答】解：（Ⅰ）依题意，S< br>n
+
1
﹣S
n
=a
n
+
1
=S
n
+3
n
，即S
n
+
1
=2S
n
+3
n
，

由此得S
n
+
1
﹣3
n
+
1
=2S
n
+3
n
﹣3
n
+
1
=2（S
n
﹣3
n
）．（4分）

因此，所求通项公式为b
n
=S
n
﹣3
n
=（a﹣ 3）2
n
﹣
1
，n∈N
*
．①（6分）

（Ⅱ）由①知S
n
=3
n
+（a﹣3）2
n
﹣
1< br>，n∈N
*
，

于是，当n≥2时，

a
n
=S
n
﹣S
n
﹣
1
=3
n
+（a ﹣3）×2
n
﹣
1
﹣3
n
﹣
1
﹣（a﹣3 ）×2
n
﹣
2
=2×3
n
﹣
1
+（a﹣3 ）2
n
﹣
2
，

a
n
+
1
﹣a
n
=4×3
n
﹣
1
+（a﹣3）2
n
﹣
2
=
当n≥2时，
又a
2
=a
1
+3 ＞a
1
．

综上，所求的a的取值范围是[﹣9，+∞）．（12分）

【点评】本题考查数列的综合运用，解题时要仔细审题，注意挖掘题设中的隐含
条件．



22．（2014?山东）已知等差数列{a
n
}的公差为2， 前n项和为S
n
，且S
1
，S
2
，S
4
成 等比数列．

（Ⅰ）求数列{a
n
}的通项公式；

（Ⅱ） 令b
n
=（﹣1）
n
﹣
1
，求数列{b
n
}的前n项和T
n
．

，

?a≥﹣9．

【分析】（Ⅰ）利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出；

（Ⅱ）由（Ⅰ）可得b
n
=
即可得出．

【解答】解：（Ⅰ ）∵等差数列{a
n
}的公差为2，前n项和为S
n
，

∴S
n
==n
2
﹣n+na
1
，

．对n分类讨论“裂项求和”
∵S
1
，S
2
，S
4
成等比数列，

∴
∴
，

，化为，解得a
1
=1．

∴a
n
=a
1
+（n﹣1）d=1+2（n﹣1）=2n﹣1．

（
··
Ⅱ）由（Ⅰ）可得b
n
=（﹣1）
n
﹣

~
1
=
﹣++…+
﹣
=．

=．

．

++…+﹣
∴T
n
=
当n为偶数时，T
n
=
=1﹣
当n为奇数时，T
n
=
+=1+=
﹣
．

++…﹣
∴Tn=．

【点评】本题考查了等差数列与 等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知
识与基本技能方法，考查了推理能力、计算能力、“裂项 求和”、分类讨论思想方
法，属于难题．



23．（2014? 安徽）数列{a
n
}满足a
1
=1，na
n
+
1< br>=（n+1）a
n
+n（n+1），n∈N
*
．

（ Ⅰ）证明：数列{
（Ⅱ）设b
n
=3
n
?
}是等差数列；< br>
，求数列{b
n
}的前n项和S
n
．

， 【分析】（Ⅰ）将na
n
+
1
=（n+1）a
n
+n（n+ 1）的两边同除以n（n+1）得
由等差数列的定义得证．

（Ⅱ）由（Ⅰ）求出b< br>n
=3
n
?
S
n
．

【解答】证明 （Ⅰ）∵na
n
+
1
=（n+1）a
n
+n（n+1），< br>
∴
∴
∴数列{
，

，

}是以1为首项，以1为公差的等差数列；

，

=n?3
n
，利用错位相减求出数列{b
n
}的前n项和
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
··

~
∴
b
n
=3
n
?
∴
，

=n?3
n
，

?3
n
﹣
1
+n?3
n
①

?3
n
+n?3
n
+
1
②

①﹣②得
=
=
∴


3
n
﹣n?3
n
+
1


【点评 】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列；考查数列求和的方
法：错位相减法．求和的关键是 求出通项选方法．



··