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高中数学数列专题大题训练

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 04:14
tags:高中数学题

重庆高中数学夏令营安排-高中数学三角函数给角求值问题解法


~
高中数学数列专题大题组卷



一.选择题(共9小题)

1.等差数列{a
n
}的前m项和为30 ,前2m项和为100,则它的前3m项和为( )

A.130 B.170 C.210 D.260

2.已知各项均为正数的等比数列{a
n
},a
1a
2
a
3
=5,a
7
a
8
a
9
=10,则a
4
a
5
a
6
=( )

A. B.7 C.6 D.

3.数列{a
n
}的前n项和为S< br>n
,若a
1
=1,a
n
+
1
=3S
n
(n≥1),则a
6
=( )

A.3×4
4
B.3×4
4
+1 C.4
4
D.4
4
+1
< br>4.已知数列{a
n
}满足3a
n
+
1
+a
n
=0,a
2
=﹣,则{a
n
}的前10项和等于( )

A.﹣6(1﹣3

10
) B. C.3(1﹣3

10
) D.3(1+3

10


5.等比数列{a
n
} 的前n项和为S
n
,已知S
3
=a
2
+10a
1< br>,a
5
=9,则a
1
=( )

A. B. C. D.

6.已知等差数列{a
n
}满足a
2
+a
4
=4,a
3
+a
5
=10,则它的前10项的和S
10=( )

A.138 B.135 C.95 D.23

7.设等 差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若S
m

1< br>=﹣2,S
m
=0,S
m
+
1
=3,则m=( )

A.3 B.4 C.5 D.6

8.等差数列{a
n
}的公差为2,若a
2
,a
4
,a
8
成等比数列,则{a
n
}的前n项和S
n
=
( )

A.n(n+1) B.n(n﹣1) C. D.

9.设{a
n
}是等差数列,下列结论中正确的是( )

A.若 a
1
+a
2
>0,则a
2
+a
3
>0
C.若0<a
1
<a
2
,则a
2


二.解答题(共14小题)

10.设数列{a
n
}(n=1,2, 3,…)的前n项和S
n
满足S
n
=2a
n
﹣a
1
,且a
1
,a
2
+1,
a
3
成等差数列.

B.若a
1
+a
3
<0,则a
1
+a< br>2
<0

D.若a
1
<0,则(a
2
﹣a
1
)(a
2
﹣a
3
)>0

··


~
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;

(Ⅱ)记数列{}的前n项和为T
n
,求使得|T
n
﹣1|成立的n的最小值 .

11.设等差数列{a
n
}的公差为d,前n项和为S
n
,等比数列{b
n
}的公比为q,已
知b
1
=a
1
,b
2
=2,q=d,S
10
=100.

(1)求数列{a
n
},{b
n
}的通项公式

( 2)当d>1时,记c
n
=,求数列{c
n
}的前n项和T
n


12.已知数列{a
n
}满足a
1
=1,a
n
+
1
=3a
n
+1.

(Ⅰ)证明{a
n
+}是等比数列,并求{a
n
}的通项公式;

(Ⅱ)证明:++…+<.

13.已知等差数列{a
n
}的公差不 为零,a
1
=25,且a
1
,a
11
,a
13成等比数列.

(Ⅰ)求{a
n
}的通项公式;

(Ⅱ )求a
1
+a
4
+a
7
+…+a
3n
﹣< br>2


14.等差数列{a
n
}中,a
7
= 4,a
19
=2a
9


(Ⅰ)求{a
n
}的通项公式;

(Ⅱ)设b
n
=,求数列{b
n
}的前n项和S
n


15.已知等比数列{a
n
}中,a
1
=,公比q=.
< br>(Ⅰ)S
n
为{a
n
}的前n项和,证明:S
n
=< br>
(Ⅱ)设b
n
=log
3
a
1
+log< br>3
a
2
+…+log
3
a
n
,求数列{b< br>n
}的通项公式.

16.已知数列{a
n
}满足a
n
+
2
=qa
n
(q为实数,且q≠1),n∈N
*
,a
1
=1,a
2
=2,且
a
2
+a
3
,a
3
+a
4
,a
4
+a
5
成等 差数列

(1)求q的值和{a
n
}的通项公式;

(2) 设b
n
=,n∈N
*
,求数列{b
n
}的前n项和.

}的前n项和为.

17.已知数列{a
n
}是首项为正数的等 差数列,数列{
(1)求数列{a
n
}的通项公式;

··


~
(2)设b
n
=(a
n
+1)?2,求 数列{b
n
}的前n项和T
n


18.已知数列{an
}和{b
n
}满足a
1
=2,b
1
=1,a
n
+
1
=2a
n
(n∈N
*
),
b
1
+b
2
+b
3
+…+b
n
=b
n
+
1
﹣1(n∈N
*


(Ⅰ)求a
n
与b
n


(Ⅱ)记数列{a
n
b
n
}的前n项和为T
n
,求T
n


19.已知数列{a
n
}是递增的等比数列,且a
1
+a
4
=9,a
2
a
3
=8.

(1)求数列{a
n
}的通项公式;

(2)设S
n
为数列{a
n
}的前n项和,b
n
=,求数列{b
n
}的 前n项和T
n


20.设数列{a
n
}的前n项和为S< br>n
,已知2S
n
=3
n
+3.

(Ⅰ)求{a
n
}的通项公式;

(Ⅱ)若数列{b
n},满足a
n
b
n
=log
3
a
n
, 求{b
n
}的前n项和T
n


21.设数列{a
n
}的前n项和为S
n
.已知a
1
=a,a
n
+< br>1
=S
n
+3
n
,n∈N
*
.由

(Ⅰ)设b
n
=S
n
﹣3
n
,求数列{b
n
}的通项公式;

(Ⅱ)若a
n
+
1
≥a
n
,n∈N
*
,求a的取值范围.

22.已知等差数列{an
}的公差为2,前n项和为S
n
,且S
1
,S
2,S
4
成等比数列.

(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;

(Ⅱ)令b
n
=(﹣1)
n

1
,求数列{b
n
}的前n项和T
n


23.数列{a
n
}满足a
1
=1,na
n
+
1
=(n+1)a
n
+n(n+1),n∈N
*


(Ⅰ)证明:数列{
(Ⅱ)设b
n
=3
n
?


}是等差数列;

,求数列{b
n
}的前n项和S
n


··


~

高中数学数列专题大题组卷

参考答案与试题解析



一.选择题(共9小题)
1.(1996?全国)等差数列{a
n
}的前m项和为30,前2m项和为100,则它 的前
3m项和为( )

A.130 B.170 C.210 D.260

【分析】利用等差数列的前n项和公式,结合已知条件列出关于a
1,d的方程组,
用m表示出a
1
、d,进而求出s
3m
;或利用 等差数列的性质,s
m
,s
2m
﹣s
m
,s
3m< br>﹣
s
2m
成等差数列进行求解.

【解答】解:解法1:设等 差数列{a
n
}的首项为a
1
,公差为d,

由题意得方程组,

解得d=,a
1
=,

d=3m+=210.

∴s
3m
=3ma
1
+
故选C.

解法2:∵设{a
n
}为等差数列,

∴s
m
,s
2m
﹣s
m
,s
3m
﹣s
2m
成等差数列 ,

即30,70,s
3m
﹣100成等差数列,

∴30+s
3m
﹣100=70×2,

解得s
3m
=210.

故选C.

【点评】解法 1为基本量法,思路简单,但计算复杂;解法2使用了等差数列的
一个重要性质,即等差数列的前n项和 为s
n
,则s
n
,s
2n
﹣s
n
,s3n
﹣s
2n
,…成等差
数列.



··


~
2.(2010?大纲版Ⅰ)已知各项均为正数的等比数列 {a
n
},a
1
a
2
a
3
=5,a
7
a
8
a
9
=10,
则a
4
a
5
a
6
=( )

A. B.7 C.6 D.

【分析】由数列{a
n
}是等比数列,则有a
1
a
2
a< br>3
=5?a
2
3
=5;a
7
a
8
a
9
=10?a
8
3
=10.

【解答】解:a1
a
2
a
3
=5?a
2
3
=5;
a
7
a
8
a
9
=10?a
8
3
=10,

a
5
2
=a
2
a
8



故选A.

【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式 与指数式的互化
等知识,着重考查了转化与化归的数学思想.



3.(2011?四川)数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若a
1< br>=1,a
n
+
1
=3S(,则a
6
=( )

n
n≥1)
A.3×4
4
B.3×4
4
+1 C.4
4
D.4
4
+1

,∴,

【分析】根据已知的a
n
+
1
=3Sn
,当n大于等于2时得到a
n
=3S
n

1
,两者相减,根
据S
n
﹣S
n

1
=a
n
,得到数列的第n+1项等于第n项的4倍(n大于等于2),所以
得到此数列除去第1项,从 第2项开始,为首项是第2项,公比为4的等比数列,
由a
1
=1,a
n+
1
=3S
n
,令n=1,即可求出第2项的值,写出2项以后各项的通 项公式,
把n=6代入通项公式即可求出第6项的值.

【解答】解:由a
n
+
1
=3S
n
,得到a
n
=3S
n

1
(n≥2),

两式相减得:a
n
+
1﹣a
n
=3(S
n
﹣S
n

1
)=3 a
n


则a
n
+
1
=4a
n< br>(n≥2),又a
1
=1,a
2
=3S
1
=3a1
=3,

得到此数列除去第一项后,为首项是3,公比为4的等比数列,

所以a
n< br>=a
2
q
n

2
=3×4
n
2
(n≥2)

则a
6
=3×4
4


故选A

【点评】此题考查学生掌握等比数列的确定方法,会根据首项和公比写出等比 数
列的通项公式,是一道基础题.



··


~
4.(2013?大纲版)已知数列{a
n
}满足3a< br>n
+
1
+a
n
=0,a
2
=﹣,则{an
}的前10项和
等于( )

A.﹣6(1﹣3

10
) B. C.3(1﹣3

10
) D.3(1+3

10


可【分析】由已知可知,数列{a
n
}是以﹣为公比的等比数列,结合已知
求a
1
,然后代入等比数列的求和 公式可求

【解答】解:∵3a
n
+
1
+a
n
=0



∴数列{a
n
}是以﹣为公比的等比数列


∴a
1
=4

由等比数列的求和公式可得,S
10
=
故选C

【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用,属于基础
试题



5.(2013?新课标Ⅱ)等比数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知S
3
=a
2
+10a
1
,a5
=9,则
a
1
=( )

A. B. C. D.


=3(1﹣3

10


【分析 】设等比数列{a
n
}的公比为q,利用已知和等比数列的通项公式即可得到
,解出即 可.

【解答】解:设等比数列{a
n
}的公比为q,

∵ S
3
=a
2
+10a
1
,a
5
=9,
··


~
∴,解得.

∴.

故选C.

【点评】熟练掌握等比数列的通项公式是解题的关键.



6.(2008?全国卷Ⅰ)已知等差数列{a
n
}满足a
2+a
4
=4,a
3
+a
5
=10,则它的前10项的和S
10
=( )

A.138 B.135 C.95 D.23

【分析】本题考查的知识点是等差数列的性质,及等差数列前n项和,根据
a
2
+a
4
=4,a
3
+a
5
=10我们 构造关于基本量(首项及公差)的方程组,解方程组求出
基本量(首项及公差),进而代入前n项和公式 ,即可求解.

【解答】解:∵(a
3
+a
5
)﹣(a2
+a
4
)=2d=6,

∴d=3,a
1
=﹣4,

∴S
10
=10a
1
+
故选C

【点评】 在求一个数列的通项公式或前n项和时,如果可以证明这个数列为等差
数列,或等比数列,则可以求出其 基本项(首项与公差或公比)进而根据等差或
等比数列的通项公式,写出该数列的通项公式,如果未知这 个数列的类型,则可
以判断它是否与某个等差或等比数列有关,间接求其通项公式.



7.(2013?新课标Ⅰ)设等差数列{a
n
}的前n项和为S
n
,若S
m

1
=﹣2,S
m
=0,S
m
+
1
=3,
则m=( )

A.3 B.4 C.5 D.6

=95.

【分析】由a
n
与S
n
的关系可求得a
m
+
1
与a
m
,进而得到公差d,由前n 项和公式
及S
m
=0可求得a
1
,再由通项公式及a
m=2可得m值.

【解答】解:a
m
=S
m
﹣S
m

1
=2,a
m
+
1
=S
m
+
1
﹣S
m
=3,

所以公差d=a
m
+
1
﹣a
m
=1,

··


~
S
m
==0,得a
1
=﹣2,

所以a
m
=﹣2+(m﹣1)?1=2,解得m=5,

故选C.

【点评】本题考查等差数列的通项公式、前n项和公式及通项a
n
与S
n
的关系,
考查学生的计算能力.


8.(2014?新课标Ⅱ)等差数列{a
n
}的公差为2,若a
2
,a
4
,a
8
成等比数列,则{a
n
}
的前n项和S< br>n
=( )

A.n(n+1) B.n(n﹣1) C. D.

【分析】由题意可得a
4
2
=(a
4
﹣4)(a
4
+8),解得a
4
可得a
1
,代入求和公式可得.

【解答】解:由题意可得a
4
2
=a
2
?a
8


即a
4
2
=(a
4
﹣4)(a
4
+8),

解得a
4
=8,

∴a
1
=a
4
﹣3×2=2,

∴S
n
=na
1
+
=2n+
故选:A.

【点评】本题考查等差数列的性质和求和公式,属基础题.



9.(2015?北京)设{a
n
}是等差数列,下列结论中正确的是( )

A.若a
1
+a
2
>0,则a
2
+a
3
>0
C.若0<a
1
<a
2
,则a
2
B.若a
1
+a
3
<0,则a
1
+a
2< br><0

D.若a
1
<0,则(a
2
﹣a
1
)(a
2
﹣a
3
)>0

d,

×2=n(n+1),

【分析】对选项分别进行判断,即可得出结论.
< br>【解答】解:若a
1
+a
2
>0,则2a
1
+d>0 ,a
2
+a
3
=2a
1
+3d>2d,d>0时,结论成立 ,
即A不正确;

若a
1
+a
3
<0,则a
1
+a
2
=2a
1
+d<0,a
2
+a
3
=2a
1
+3d<2d,d<0时,结论成立,即B
不正确;
< br>{a
n
}是等差数列,0<a
1
<a
2
,2a
2
=a
1
+a
3
>2
··
,∴a
2
>,即C正确;


~
若a
1
<0,则(a
2
﹣a
1
)(a
2
﹣a
3
)=﹣d
2
≤0,即D不正确.

故选:C.

【点评】本题考查等差数列的通项,考查学生的计算能力,比较基础.



二.解答题(共14小题)

10.(2015?四川)设数列{a
n
}(n=1,2,3,…)的前n项和S
n
满足S
n
=2a
n﹣a
1

且a
1
,a
2
+1,a
3< br>成等差数列.

(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;

(Ⅱ)记数列{}的前n项和为T
n
,求使得|T
n
﹣1|成立的n的最小 值.

【分析】(Ⅰ)由已知数列递推式得到a
n
=2a
n

1
(n≥2),再由已知a
1
,a
2
+1,a
3
成等差数列求出数列首项,可得数列{a
n
}是首项为2,公比为2的等比数列,则< br>其通项公式可求;

(Ⅱ)由(Ⅰ)求出数列{
结合
}的通项公式,再 由等比数列的前n项和求得T
n

求解指数不等式得n的最小值.

【解答】解:(Ⅰ)由已知S
n
=2a
n
﹣a
1
,有

a
n
=S
n
﹣S
n

1
=2 a
n
﹣2a
n

1
(n≥2),

即a
n
=2a
n

1
(n≥2),
从而a
2
=2a
1
,a
3
=2a
2
= 4a
1


又∵a
1
,a
2
+1,a
3
成等差数列,

∴a
1
+4a
1
=2(2a
1
+1),解得:a< br>1
=2.

∴数列{a
n
}是首项为2,公比为2的等比数列 .故
(Ⅱ)由(Ⅰ)得:,



∴.

,即2
n
>1000.

由,得
∵2
9
= 512<1000<1024=2
10


∴n≥10.

··


~
于是,使|T
n
﹣1|成立的n的最小值为10.

【点评】本题考 查等差数列与等比数列的概念、等比数列的通项公式与前n项和
公式等基础知识,考查运算求解能力,是 中档题.



11.(2015?湖北)设等差数列{a
n
}的公差为d,前n项和为S
n
,等比数列{b
n
}的
公比为q, 已知b
1
=a
1
,b
2
=2,q=d,S
10=100.

(1)求数列{a
n
},{b
n
}的通项公式

( 2)当d>1时,记c
n
=,求数列{c
n
}的前n项和T
n


【分析】(1)利用前10项和与首项、公差的关系,联立方程组计算即可;

(2)当d>1时,由(1)知c
n
=,写出T
n
、T
n< br>的表达式,利用错位相减
法及等比数列的求和公式,计算即可.

【解答】解: (1)设a
1
=a,由题意可得
解得


,或,



时,a
n
=2n﹣1,b
n
=2
n< br>﹣
1


时,a
n
=(2n+79),b
n
=9?;

(2 )当d>1时,由(1)知a
n
=2n﹣1,b
n
=2
n

1


∴c
n
==,

+7?
+5?
+


+
+9?
+7?+…+
+…+(2n﹣1)?
+…+(2n﹣3)?
﹣(2n﹣1)?


+(2n﹣1)?
=3﹣,



∴T
n
=1+3?+5?
∴T
n
=1?+3?
∴T
n
= 2++
∴T
n
=6﹣
【点评】本题考查求数列的通项及求和,利用错位相减法 是解决本题的关键,注
··


~
意解题方法的积累,属于中档题.



12.(2014?新课标 Ⅱ)已知数列{a
n
}满足a
1
=1,a
n
+
1< br>=3a
n
+1.

(Ⅰ)证明{a
n
+}是等比数列 ,并求{a
n
}的通项公式;

(Ⅱ)证明:++…+<.

=常【分析】(Ⅰ)根据等比数列的定义,后一项与前一项的比是常数,即
数,又首项不为0,所以为 等比数列;

再根据等比数列的通项化式,求出{a
n
}的通项公式;

(Ⅱ)将
明不等式.

进行放大,即将分母缩小,使得构成一个等比数列,从 而求和,证
【解答】证明(Ⅰ)==3,

∵≠0,

∴数列{a
n
+}是以首项为,公比为3的等比数列;

∴a
n
+==,即;

(Ⅱ)由(Ⅰ)知,

当n ≥2时,∵3
n
﹣1>3
n
﹣3
n

1
, ∴
∴当n=1时,成立,

<=,

当n≥2时,++…+<1+…+==<.

∴对n∈N
+
时,++…+<.

【点评】本题考查的是等比数列,用放缩法证明不等式,证明数列为等比数列,
··


~
只需要根据等比数列的定义就行;数列与不等式常结合在一起考,放缩法是 常用
的方法之一,

通过放大或缩小,使原数列变成一个等比数列,或可以用裂项相消 法求和的新数
列.属于中档题.



13.(2013?新课标Ⅱ )已知等差数列{a
n
}的公差不为零,a
1
=25,且a
1
,a
11
,a
13
成等比数列.

(Ⅰ)求{a
n
}的通项公式;

(Ⅱ)求a
1
+ a
4
+a
7
+…+a
3n

2


【分析】(I)设等差数列{a
n
}的公差为d≠0,利用成等比数列的定义可得,< br>,再利用等差数列的通项公式可得
(2a
1
+25d)=0,解出d即可得到通 项公式a
n


(II)由(I)可得a
3n

2
=﹣2(3n﹣2)+27=﹣6n+31,可知此数列是以25为首项,
﹣6为公差的等差数 列.利用等差数列的前n项和公式即可得出a
1
+a
4
+a
7
+…+a
3n

2
,化为d


【解答】解:(I)设等差数列{a
n
}的公差为d≠0,

由题意 a
1
,a
11
,a
13
成等比数列,∴



,化为d(2a
1
+25d)=0,

∵d≠0,∴2×25+25d=0,解得d=﹣2.

∴a
n
=25+(n﹣1)×(﹣2)=﹣2n+27.

(II) 由(I)可得a
3n

2
=﹣2(3n﹣2)+27=﹣6n+31,可知此 数列是以25为首项,
﹣6为公差的等差数列.

∴S
n
=a
1
+a
4
+a
7
+…+a
3n

2=
=
=﹣3n
2
+28n.

【点评】熟练掌握等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式是解题的关
键.



··


~
14.(20 13?大纲版)等差数列{a
n
}中,a
7
=4,a
19
= 2a
9


(Ⅰ)求{a
n
}的通项公式;
< br>(Ⅱ)设b
n
=,求数列{b
n
}的前n项和S
n


【分析】(I)由a
7
=4,a
19
=2a
9< br>,结合等差数列的通项公式可求a
1
,d,进而可求
a
n

(II)由==,利用裂项求和即可求解

【解答】解:(I)设等差数列{a
n
}的公差为d

∵a
7
=4,a
19
=2a
9



解得,a
1
=1,d=


(II)∵
∴s
n
=
==


=
=

=


【点评】本题主要考查了等差数列的通项公式及裂项求和方法的应用,试题比较
容易



15.(2011?新课标)已知等比数列{a
n
}中,a1
=,公比q=.

(Ⅰ)S
n
为{a
n
}的 前n项和,证明:S
n
=

(Ⅱ)设b
n
=log
3
a
1
+log
3
a
2
+…+log
3< br>a
n
,求数列{b
n
}的通项公式.

【分析】(I )根据数列{a
n
}是等比数列,a
1
=,公比q=,求出通项公式a
n
和前
n项和S
n
,然后经过运算即可证明.

(II) 根据数列{a
n
}的通项公式和对数函数运算性质求出数列{b
n
}的通项公 式.

【解答】证明:(I)∵数列{a
n
}为等比数列,a
1=,q=

··


~
∴a
n
=×=,

S
n
=

又∵
∴S
n
=
(II)∵a
n
=
=


=S
n

∴b
n
=log
3
a
1
+log
3
a
2
+…+log
3
a
n=﹣log
3
3+(﹣2log
3
3)+…+(﹣nlog
3< br>3)

=﹣(1+2+…+n)

=﹣


∴数列{b
n
}的通项公式为:b
n
=﹣
【点评】本题主要考查等比 数列的通项公式、前n项和以及对数函数的运算性质.



16.(201 5?天津)已知数列{a
n
}满足a
n
+
2
=qa
n
(q为实数,且q≠1),n∈N
*
,a
1
=1,
a2
=2,且a
2
+a
3
,a
3
+a
4
,a
4
+a
5
成等差数列

(1)求q的值和{a
n
}的通项公式;

(2)设b
n< br>=,n∈N
*
,求数列{b
n
}的前n项和.

【分 析】(1)通过a
n
+
2
=qa
n
、a
1
、a
2
,可得a
3
、a
5
、a
4
,利用a
2
+a
3
,a
3
+a
4
,a
4< br>+a
5
成等差数列,计算即可;

(2)通过(1)知b
n< br>=,n∈N
*
,写出数列{b
n
}的前n项和T
n
、 2T
n
的表达
式,利用错位相减法及等比数列的求和公式,计算即可.
【解答】解:(1)∵a
n
+
2
=qa
n
(q为实数, 且q≠1),n∈N
*
,a
1
=1,a
2
=2,

∴a
3
=q,a
5
=q
2
,a
4
=2q,

又∵a
2
+a
3
,a
3
+a< br>4
,a
4
+a
5
成等差数列,

··


~
∴2×3q=2+3q+q
2


即q
2
﹣3q+2=0,

解得q=2或q=1(舍),

∴a
n
=;

(2)由(1)知b
n
===,n∈N
*


记数列{b
n
}的前n项和为T
n


则T
n
=1+2?+3?
∴2T
n
=2+2+3?+4?
+4?
+5?
+
+…+(n﹣1)?
+…+(n﹣1)?
+…+﹣n?
+ n?
+n?





两式相减,得T
n
=3++
=3+
=3+1﹣
=4﹣
﹣n?


﹣n?


【点评】本题考查求数列的通项与前n项和,考查分类讨论的思想 ,利用错位相
减法是解决本题的关键,注意解题方法的积累,属于中档题.



17.(2015?山东)已知数列{a
n
}是首项为正数的等差数列,数 列{
n项和为.

}的前
(1)求数列{a
n
}的通项公式;

(2)设b< br>n
=(a
n
+1)?2
【分析】(1)通过对c
n
=
前n项和为
,求数列{b
n
}的前n项和T
n


分离分母,并项相加并利用数列{}的
即得首项和公差,进而可得结论;

··


~
(2)通过b
n
=n?4
n,写出T
n
、4T
n
的表达式,两式相减后利用等比数列的求和公
式即得结论.

【解答】解:(1)设等差数列{a
n
}的首项为a
1
、公差为d,则a
1
>0,

∴a
n
=a1
+(n﹣1)d,a
n
+
1
=a
1
+nd,

令c
n
=
则c
n
=


=[﹣],

∴c
1
+c
2
+…+c
n< br>﹣
1
+c
n
=[
=[
=
=
又∵数列 {
∴,



﹣+﹣+…+﹣]

]



}的前n项和为,

∴a
1
=1或﹣1(舍),d=2,

∴a
n
=1+2(n﹣1)=2n﹣1;

(2)由(1)知bn
=(a
n
+1)?2=(2n﹣1+1)?2
2n

1
=n?4
n


∴T
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
=1?4
1
+2?4
2
+…+n?4
n


∴4T
n
=1?4
2
+2?4
3
+…+(n﹣1)?4
n
+n?4
n
+
1


两式相减,得﹣3T
n
=4
1
+4
2
+…+4
n
﹣n?4
n
+
1
=
∴Tn
=.

?4
n
+
1
﹣,

【点评】本题考查求数列的通项及求和,利用错位相减法是解决本题的关键,注
意解题方法的积累,属于 中档题.



··


~
18.(201 5?浙江)已知数列{a
n
}和{b
n
}满足a
1
=2,b
1
=1,a
n
+
1
=2a
n
(n∈N*
),
b
1
+b
2
+b
3
+…+b< br>n
=b
n
+
1
﹣1(n∈N
*


(Ⅰ)求a
n
与b
n


(Ⅱ)记数列{a
n
b
n
}的前n项和为T
n
,求T
n


【分析】(Ⅰ)直接由a
1
=2,a
n
+
1
=2a
n
,可得数列{a
n
}为等比数列,由等比数列的
通项公式求得数列 {a
n
}的通项公式;

再由b
1
=1,b
1+b
2
+b
3
+…+b
n
=b
n
+< br>1
﹣1,取n=1求得b
2
=2,当n≥2时,得另一
递推式,作差得 到
的通项公式;

(Ⅱ)求出,然后利用错位相减法求数列{a
n
b
n
}的前n项和为T
n




,整理得 数列{}为常数列,由此可得{b
n
}
【解答】解:(Ⅰ)由a
1
= 2,a
n
+
1
=2a
n
,得
由题意知,当n=1时 ,b
1
=b
2
﹣1,故b
2
=2,

当n ≥2时,b
1
+b
2
+b
3
+…+
,整理得:∴;




=b
n
﹣1,和原递推式作差得,



(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
因此


两式作差得:
(n∈N
*
).

【点评】本题主要考查等差 数列的通项公式、等差数列和等比数列等基础知识,
同时考查数列求和等基本思想方法,以及推理论证能 力,是中档题.



19.(2015?安徽)已知数列{a
n< br>}是递增的等比数列,且a
1
+a
4
=9,a
2
a< br>3
=8.



··


~
(1)求数列{a
n
}的通项公式;

(2)设S
n
为数列{a
n
}的前n项和,b
n
=,求数列{b
n
}的 前n项和T
n


【分析】(1)根据等比数列的通项公式求出首项和公比即 可,求数列{a
n
}的通项
公式;

(2)求出b
n
=,利用裂项法即可求数列{b
n
}的前n项和T
n


【解答】解:(1)∵数列{a
n
}是递增的等比数列,且a
1
+a
4
=9,a
2
a
3
=8.

∴a
1
+a
4
=9,a
1
a
4
=a
2
a
3
=8.

解得a
1
=1,a
4
=8或a
1
=8,a
4
=1(舍),

解得q=2,即数列{a
n
}的通项公式a
n
=2
n

1


(2)S
n
==2
n
﹣1,

∴b
n
===﹣,

+…+﹣=﹣=1﹣∴数列{b
n}的前n项和T
n
=


【点评】本题主要考查数列的通项公式 以及数列求和的计算,利用裂项法是解决
本题的关键.



20. (2015?山东)设数列{a
n
}的前n项和为S
n
,已知2S
n
=3
n
+3.

(Ⅰ)求{a
n
}的通项公式;

(Ⅱ)若数列{b
n},满足a
n
b
n
=log
3
a
n
, 求{b
n
}的前n项和T
n


【分析】(Ⅰ)利用2S< br>n
=3
n
+3,可求得a
1
=3;当n>1时,2S
n

1
=3
n

1
+3,两式相
减2a< br>n
=2S
n
﹣2S
n

1
,可求得a
n
=3
n

1
,从而可得{a
n
}的通项公式;

(Ⅱ)依题意,a
n
b
n
=log
3
a
n
,可得b
1
=,当n>1时,b
n
=3
1

n
?log
3
3
n

1
=(n﹣1)
×3
1

n
,于是可求得T
1
=b
1=;当n>1时,T
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
=+(1×3

1
+2×3

2
+…+
··


~
(n﹣1)×3
1

n
),利用 错位相减法可求得{b
n
}的前n项和T
n


【解答】解 :(Ⅰ)因为2S
n
=3
n
+3,所以2a
1
=3
1
+3=6,故a
1
=3,

当n>1时,2S
n

1
=3
n

1
+3,

此时,2an
=2S
n
﹣2S
n

1
=3
n﹣3
n

1
=2×3
n

1
,即a< br>n
=3
n

1


所以a
n
=.

(Ⅱ)因为a
n
b
n=log
3
a
n
,所以b
1
=,

当 n>1时,b
n
=3
1

n
?log
3
3
n

1
=(n﹣1)×3
1

n


所以T
1
=b
1
=;

当n>1时,T
n
=b
1
+b
2
+…+b
n
=+(1×3

1
+2×3

2
+…+(n﹣1)×3
1
﹣< br>n
),

所以3T
n
=1+(1×3
0
+2 ×3

1
+3×3

2
+…+(n﹣1)×3
2< br>﹣
n
),

两式相减得:2T
n
=+(3
0
+3

1
+3

2
+…+3
2

n
﹣(n﹣1)×3
1

n
)=+
﹣1)×31

n
=
所以T
n
=﹣

﹣,

,经检验,n=1时也适合,



﹣(n
综上可得T
n
=
【点评】本题考查数列的求和,着重考查数列递推关系的应用,突出考查“错位< br>相减法”求和,考查分析、运算能力,属于中档题.



21.(2 008?全国卷Ⅱ)设数列{a
n
}的前n项和为S
n
.已知a
1< br>=a,a
n
+
1
=S
n
+3
n
,n ∈
N
*
.由

(Ⅰ)设b
n
=S
n
﹣3
n
,求数列{b
n
}的通项公式;

(Ⅱ)若an
+
1
≥a
n
,n∈N
*
,求a的取值范围.

【分析】(Ⅰ)依题意得S
n
+
1
=2S
n+3
n
,由此可知S
n
+
1
﹣3
n
+
1
=2(S
n
﹣3
n
).所以b
n
=S< br>n
﹣3
n
=(a﹣3)2
n

1
,n∈N< br>*


(Ⅱ)由题设条件知S
n
=3
n
+( a﹣3)2
n

1
,n∈N
*
,于是,a
n
=S
n
﹣S
n

1
=,由此可以求得a的取值范围是[﹣ 9,+∞).

··


~
【解答】解:(Ⅰ)依题意,S< br>n
+
1
﹣S
n
=a
n
+
1
=S
n
+3
n
,即S
n
+
1
=2S
n
+3
n


由此得S
n
+
1
﹣3
n
+
1
=2S
n
+3
n
﹣3
n
+
1
=2(S
n
﹣3
n
).(4分)

因此,所求通项公式为b
n
=S
n
﹣3
n
=(a﹣ 3)2
n

1
,n∈N
*
.①(6分)

(Ⅱ)由①知S
n
=3
n
+(a﹣3)2
n

1< br>,n∈N
*


于是,当n≥2时,

a
n
=S
n
﹣S
n

1
=3
n
+(a ﹣3)×2
n

1
﹣3
n

1
﹣(a﹣3 )×2
n

2
=2×3
n

1
+(a﹣3 )2
n

2


a
n
+
1
﹣a
n
=4×3
n

1
+(a﹣3)2
n

2
=
当n≥2时,
又a
2
=a
1
+3 >a
1


综上,所求的a的取值范围是[﹣9,+∞).(12分)

【点评】本题考查数列的综合运用,解题时要仔细审题,注意挖掘题设中的隐含
条件.



22.(2014?山东)已知等差数列{a
n
}的公差为2, 前n项和为S
n
,且S
1
,S
2
,S
4
成 等比数列.

(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;

(Ⅱ) 令b
n
=(﹣1)
n

1
,求数列{b
n
}的前n项和T
n




?a≥﹣9.

【分析】(Ⅰ)利用等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式即可得出;

(Ⅱ)由(Ⅰ)可得b
n
=
即可得出.

【解答】解:(Ⅰ )∵等差数列{a
n
}的公差为2,前n项和为S
n


∴S
n
==n
2
﹣n+na
1


.对n分类讨论“裂项求和”
∵S
1
,S
2
,S
4
成等比数列,





,化为,解得a
1
=1.

∴a
n
=a
1
+(n﹣1)d=1+2(n﹣1)=2n﹣1.


··
Ⅱ)由(Ⅰ)可得b
n
=(﹣1)
n


~
1
=
﹣++…+

=.

=.



++…+﹣
∴T
n
=
当n为偶数时,T
n
=
=1﹣
当n为奇数时,T
n
=
+=1+=



++…﹣
∴Tn=.

【点评】本题考查了等差数列与 等比数列的通项公式及其前n项和公式等基础知
识与基本技能方法,考查了推理能力、计算能力、“裂项 求和”、分类讨论思想方
法,属于难题.



23.(2014? 安徽)数列{a
n
}满足a
1
=1,na
n
+
1< br>=(n+1)a
n
+n(n+1),n∈N
*


( Ⅰ)证明:数列{
(Ⅱ)设b
n
=3
n
?
}是等差数列;< br>
,求数列{b
n
}的前n项和S
n


, 【分析】(Ⅰ)将na
n
+
1
=(n+1)a
n
+n(n+ 1)的两边同除以n(n+1)得
由等差数列的定义得证.

(Ⅱ)由(Ⅰ)求出b< br>n
=3
n
?
S
n


【解答】证明 (Ⅰ)∵na
n
+
1
=(n+1)a
n
+n(n+1),< br>


∴数列{




}是以1为首项,以1为公差的等差数列;



=n?3
n
,利用错位相减求出数列{b
n
}的前n项和
(Ⅱ)由(Ⅰ)知,
··


~

b
n
=3
n
?



=n?3
n


?3
n

1
+n?3
n


?3
n
+n?3
n
+
1


①﹣②得
=
=



3
n
﹣n?3
n
+
1


【点评 】本题考查利用等差数列的定义证明数列是等差数列;考查数列求和的方
法:错位相减法.求和的关键是 求出通项选方法.



··

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本文更新与2020-09-15 04:14,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/395700.html

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