高中数学曲线方程经典习题

圆锥曲线方程

●知识网络

●范题精讲
【例1】 已知椭圆的两焦点为F
1
(0，－1)、F
2
(0，1) ，直线y=4是椭圆的一条准线.
(1)求椭圆方程；
(2)设点P在椭圆上，且|PF< br>1
|－|PF
2
|=1，求tan∠F
1
PF
2的值.
解析:本题考查椭圆的基本性质及解题的综合能力.
(1)设椭圆方程为
由题设知c=1，
x
b
2
2
2
+
y
a< br>2
2
=1(a>b>0).
a
c
=4,∴a
2=4,b
2
=a
2
－c
2
=3.
x
2
∴所求椭圆方程为
3
+
y
2
4
=1.
(2)由(1)知a
2
=4,a=2.
由椭圆定义知|PF
1|+|PF
2
|=4，又|PF
1
|－|PF
2
|=1 ,
∴|PF
1
|=
5
2
，|PF
2
|=
3
2
.
又|F
1
F
2
|=2c=2,
由余弦定理cos∠F
1
PF
2
=
|PF
1
|?|PF
2
|?|F
1
F
2
|
2|PF
1
||PF
2
|
222
?4
3
44
== .
53
5
2??
22
25
?
9
∴tan ∠F
1
PF
2
=
1
cos?F
1
PF2
2
2
?1
=
25
9
?1
=
4
3
.
【例2】 已知双曲线x－
y
2
2
=1, 过点A(2，1)的直线l与已知双曲线交于P
1
、P
2
两点.
(1)求线段P
1
P
2
的中点P的轨迹方程；
(2)过点 B(1，1)能否作直线l′,使l′与已知双曲线交于两点Q
1
、Q
2
，且 B是线段Q
1
Q
2
的中点?请说明理由.
(1)解法一:设点P< br>1
、P
2
的坐标分别为(x
1
，y
1
)、( x
2
，y
2
)，中点P的坐标为(x,y),则有x
1
2< br>－
y
1
2
2
=1,x
2
－
2
y
2
2
2
=1,两式相减，得
2(x
1
+x< br>2
)(x
1
－x
2
)=(y
1
+y
2
)(y
1
－y
2
).

当x
1
≠x
2
,y≠0时,
由x
1
+x
2
=2x,y
1
+y
2
=2y,
得
2x
y
=
y
1
?y
2
x
1
?x
2
. ①
又由P
1
、P
2
、P、A四点共线，
得
y?1< br>x?2
=
y
1
?y
2
x
1
?x2
2x
y
. ②
由①②得
2
=
y?1
x?2
,
即2x－y－4x+y=0.
当x
1
=x
2
时，x=2, y=0满足此方程，故中点P的轨迹方程是2x－y－4x+y=0.
解法二:设点P
1、P
2
、中点P的坐标分别为(x
1
,y
1
)、(x< br>2
,y
2
)、(x,y),
直线l的方程为y=k(x－2)+1, 将l方程代入双曲线x－
得(2－k)x+2k(2k－1)x+2k－3=0,
则x
1
+x
2
=
2k(2k?1)
k?2
2
2
22
2
y
2
2
=1中，
222
,x
1
x
2
=
2
3?2k
2
2
k?2
,
y
1
+y
2
=k(x
1
+x
2
) +2－4k=
4(2k?1)
k?2
.
x
1
?x
2
k(2k?1)
?
x??,
2
?
?
2
k ?2
于是
?

y?y2(2k?1)
2
?
y?
1
?.
2
?
2
k?2
?
①
②




当y≠0时，由①②得k=
2x
y
.将其代入①，整理得2x
2
－y
2
－4x+y=0 .当l倾斜角为90°
时，P点坐标为(2，0)仍满足此方程，故中点P的轨迹方程为2x
2
－y
2
－4x+y=0.
(2)解:假设满足题设条件的直线l′存在，Q
1
、Q
2
的坐标分别为(x
3
,y
3
)、 (x
4
,y
4
),同(1)得
2(x
3
+x
4
)(x
3
－x
4
)=(y
3
+y
4< br>)(y
3
－y
4
).
∵x
3
+x
4
=2,y
3
+y
4
=2,
∴
y
3?y
4
x
3
?x
4
=2(x
3
≠x< br>4
),
即l′的斜率为2.
∴l′的直线方程为y－1=2(x－1)，
即y=2x－1.
?
y?2x?1,
?
∵方程组
?
2
y
2
无解，与假设矛盾,
?1
?
x?
2
?
∴满足条件的直线l′不存在.
【例3】 如下图，已知△OFQ的面积为S，且
OF
?
FQ
=1，

Q
O
?
F

(1)若 S的范围为OF
与
FQ
的夹角θ的取值范围；
2
1
(2)设|
OF
|=c(c≥2),S=
值时，求此椭圆的方程.
3
4
c,若以O为中心，F为焦点的椭圆经过点Q，当|
OQ
|取得 最小
分析:本题考查向量的基本知识、三角知识及最值问题在解析几何中的综合运用.
解:( 1)∵
OF
?
FQ
=1,∴|
OF
|?|
FQ|?cosθ=1.
又
1
2
|
OF
|?|
F Q
|?sin(180°－θ)=S,
tan
?
2
∴tanθ=2 S,S=
又
∴
1
2
.
<2,即11
2
<
tan
?
2
?
4
<θ(2)以
OF
所在的直线为x轴，以
OF
的过O点的垂线为y轴建立直角坐标系(如下图).
y
Q
O
F
x

∴O(0,0),F(c,0),Q(x
0
,y
0
).
设 椭圆方程为
x
a
2
2
+
y
b
2
2
=1.
c,


1
c
又
OF
?
FQ
=1，S=
3
4
∴(c,0)?(x
0
－c ,y
0
)=1.
1
2


.




















①
② ?c?|y
0
|=
3
4
c.
由①得c( x
0
－c)=1
?
x
0
=c+
由②得|y
0
|=
3
2
.
1
c
9
4
∴|< br>OQ
|=
x
0
?y
0
=
(c?)
2
?

22
.

∵c≥2,
∴当 c=2时，|
OQ
|
min
=
(2?
此时Q(
5< br>2
1
2
)?
2
9
4
=
34
2
,
，±
3
2
)，F(2，0).
9
?
25
?
4
?
4
代入椭圆方程得
?
2
?< br>2
?1,

ab
?
22
?
?
a?b ?4.
∴a=10,b=6.
∴椭圆方程为
x
2
22
10
?
y
2
6
?1
.
评析:新知识(向量)在几何中的应用是值得关注的趋势.
●试题详解
高中同步测控优化训练(十一)

第八章 圆锥曲线方程(一)(A卷)

说明:本试卷分为第Ⅰ、Ⅱ卷两部分，请将第Ⅰ卷选择题的答案填入题后括号内，第Ⅱ
卷可在各 题后直接作答.共100分，考试时间90分钟.
第Ⅰ卷(选择题 共30分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)
1.椭圆2x
2
+3y
2
=6的焦距是
A.2

22








x


2


+
y
2
B.2(
3
－
2
)
D.2(
3
+
2
)
=1，
C.2
5

解析:将2x+3y=6化为标准方程为
∴a
2
=3,b
2
=2,c
2
=3－2=1，
焦距2c=2?1=2.
答案:A
32
2.方程4x
2
+Ry
2
=1的曲线是焦点在y轴上的椭圆，则R的取值范围是
A.R>0 B.0C.0x
2

+
y
2

1
1
R
4
D.2,∴01
4
1
R
=1,由已知可得<
答案:C
3.已知点M在椭圆上，椭圆方程为
点的距离为
A.7.5
C.2.5

x
2
25
+
y
2
16
=1,M 点到左准线的距离为2.5，则它到右焦
















B.12.5
D.8.5

解析:∵a=5,b=4,∴c=3.
两准线间的距离为2?
a
2
c
=2?
5
2
3
=
50
3
.
5 0
3
M到左准线的距离为2.5，则M到右准线的距离为
设椭圆右焦点为F，
则
|MF|
85
6
－2.5=
85
6
.
=
c
a
=
3
5
,∴|MF|=8.5.
答案:D
4.若双曲线
A.2
C.
4
3
x
a
2
2
－


y
b
2
2
=1的实轴长、虚轴长、焦距成等差数列，则双曲线的离心 率是










B.3
D.
5
3




解析:由2b=a+c得4b
2
=a
2
+2ac+c
2,
即3c
2
－2ac－5a
2
=0,∴3e
2
－2e－5=0.∴e=
答案:D
5.双曲线
之差为
?
3
x
2
5
3
.
9
－
y
2
16< br>=1的两焦点为F
1
、F
2
，点P在双曲线上，且直线PF
1
、PF
2
倾斜角
,则△PF
1
F
2
的面积 为














?
3
A.16
3

C.32
B.32
3

D.42
,|F
1
F
2
|=10. 解析:由题意可知|PF
1|－|PF
2
|=6，∠F
1
PF
2
=
22< br>由余弦定理，得|F
1
F
2
|=(|PF
1
|－|P F
2
|)+|PF
1
|?|PF
2
|,
∴|PF
1
|?|PF
2
|=64.
∴S=
1< br>2
?64sin
?
3
y
2
=16
3
,选A.
答案:A
6.以椭圆
A.
C.
x
x
2
x
y
y
2
25
2
+
9
=1的焦点 为焦点，离心率e=2的双曲线方程是


2
6
2
－
－
2
12
2
=1
=1
2










B.
D.
x
x
2
6
2
－
－
y
y
2
14
2
=1
=1
414412
解析:a=25,b=9,则c=16,c=4,椭圆焦点坐标为 (4，0)、(－4，0).
双曲线的焦点仍为(4，0)、(－4，0)，由于e=2,c=4,
∴a=2,b
2
=c
2
－a
2
=12.
∴双曲线方程为
x
2
4
－
y
2
12
=1.

答案:D
7.已知双曲线
x
a
2
2
－
y
b
2
2
=1和椭圆
x
m
2
2
+
y
b
2
2
=1(a>0,m>b >0)的离心率互为倒数，那么以a、
b、m为边的三角形是
A.锐角三角形
C.钝角三角形
解析:双曲线
x
a
2
2


y
2
2






c
a


=
B.直角三角形
D.等腰三角形
a?b
a
22

－
b
=1的离心率e
1
=，
椭圆的离心率e
2
=
m?b
m
22
.
∵ e
1
与e
2
互为倒数，∴e
1
e
2
=1,
即
a?b
a
22
?
m?b
m
22
=1,整理得a
2
+b
2
=m
2
.
∴以a、b、m为边的三角形是直角三角形.
答案:B
8.方程
3(x? 1)
2
?3(y?1)
2
=|x+y－2|表示的曲线是
A.椭圆
C.抛物线














B.双曲线
D.不能确定
6
2
解析:数形结合法.动点P(x,y)到定点(－1,－1)和定直线x+y－2 =0距离之比为
答案:B
9.若椭圆
x
2
.
m
+
y
2
n
=1(m>n>0)和双曲线
x
a
22
－
y
b
2
2
=1(a>b>0)有相同的焦点F1
、F
2
，P是两
条曲线的一个交点，则|PF
1
|? |PF
2
|的值是
A.m－a
C.m
2
－a
2














B.
1
2
(m－a)
D.
m
－
a

解析:|PF
1
|+|PF
2
|=2
m
,|PF
1
|－|PF
2
|= 2
a
,
∴|PF
1
|=
m
+
a
,|PF
2
|=
m
－
a
.
∴|PF
1
|?|PF
2
|=m－a.
答案:A
10.已知F
1
、F
2
为椭圆
x
a
2
2
+
y
b
2
2
=1(a＞b＞0)的焦点,M为椭圆上一点, MF
1
垂直于x轴,且
∠F
1
MF
2
=60°,则 椭圆的离心率为
A.
1
2
B.
2
2

C.
3
3
D.
3
2

分析:本题考查如何求椭圆的离心率.
解:∵MF
1
⊥x轴,∴M点的横坐 标为x
M
=－c.把x
M
代入椭圆方程
如下图所示.
y< br>M
x
a
2
2
+
y
b
2
2< br>=1中,得y
M
=
b
a
2
2
,
F< br>1
O
F
2
x

在Rt△MF
1
F< br>2
中,tan∠F
1
MF
2
=
F
1
F
2
MF
1
=
2c
b
a
2
2=
3
,
即2ac=
3
b
2
.∴
3< br>a
2
－2ac－
3
c
2
=0.
每一项都除 以a
2
,得
3
－2e－
3
e
2
=0,
解得e
1
=
答案:C
第Ⅱ卷(非选择题 共70分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分)
11.若椭圆的两个焦点为F
1
(－4，0)、F
2
(4，0)，椭圆的弦AB过点F
1
，且△ ABF
2
的周长
为20，那么该椭圆的方程为__________.
解析 :△ABF
2
的周长:|AF
2
|+|AF
1
|+|BF< br>2
|+|BF
1
|=2a+2a=4a=20,
∴a=5.又∵c=4,∴b=3.
∴椭圆的方程为
答案:
x
2
3
3
或e
2
=－
3
(舍).
x
2
25
+
y
2
9
=1.
25
+
y
2
9
=1
12.已知P是椭圆上的一点 ，F
1
、F
2
是椭圆的两个焦点，∠PF
1
F
2< br>=90°,∠PF
2
F
1
=30°,
则椭圆的离心率是___ _______.
解析:因为e=
c
a
=
2c
2a
=
2c
|PF
1
|?|PF
2
|
,
s in60?
sin90??sin30?
3
3
于是在△PF
1
F
2
中，由正弦定理知e=
答案:
3
3
=.

8
3
13.经过点M(10, ),渐近线方程为y=±
1
3
x的双曲线方程为__________.

分析:本题考查依据条件求双曲线的方程.
解:设双曲线的方程为(x－3y)(x+3y)=m(m∈R,且m≠0),
因双曲线过点 M(10,
8
3
2
),所以有(10－3?
2
8
3
2
)(10+3?
=1.
8
3
)=m,得m=36.
所以双曲线方程为x－9y=36,即
答案:
x
2
x
2< br>36
－
y
4
36
－
x
2
y
2
4
=1
y
2
14.方程
4?k
+
k? 1
=1表示的曲线为C，给出下列四个命题:
①曲线C不可能是圆；
②若1③若曲线C为双曲线，则k<1或k>4；
④若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则1其中正确的命题是__________.
解析:当4－k=k－1,即k=
5
2
5
2
.
时表示圆，否定命题①,显然k=
5
2
5
2
∈(1,4),
∴否定命题②；若曲线C为双曲线，则有(4－k)(k－1)<0,即4若曲线C表示焦点在x轴上的椭圆，则4－k>k－1>0,解得1答案:③④
三、解答题(本大题共5小题，共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)
15 .(本小题满分8分)设椭圆的中心为坐标原点，它在x轴上的一个焦点与短轴两端点连
成60°的角， 两准线间的距离等于8
3
，求椭圆方程.
y
B
O
A
F
x

解:依题意，设所求椭圆 方程为
x
a
2
2
+
y
b
2
2=1,
∵椭圆右焦点F(c,0)与短轴两端点A、B连成60°的角，
如图，则∠AFB=60°,△AFB为等边三角形，
于是有a=2b.
2a
2

2
2












①
② 又由两准线间的距离等于8
3
，得
联立①②两方程，解得a=6,b=3.
故所求椭圆方程为
x
2
=8
3
.
a?b
36
+
y
2
9
=1.

16.(本小题满分10分)已知椭圆
求此弦所在的直线方程.
y
2
A(x y
1
,
1
)
P
-4
O
-2
B(x ,y )
x
22
x
2
16
+
y
2
4
=1,过点P(2，1)引一条弦，使它在这点被平分，

解:如图，设弦与椭圆的 两交点坐标为A(x
1
,y
1
)、B(x
2
,y
2
).又P(2,1),
22
?
?
x
1
?4y1
?16,
∴
?

22
??
x
2
?4y
2
?16.
①
②


①－②得(x
1
－x
2
)(x
1
+x< br>2
)+4(y
1
－y
2
)(y
1
+y
2
)=0,
∴
y
1
?y
2
x
1
?x
2
=－
x
1
?x
2
4(y
1
?y
2
)
=－
2?
4?2?1
=－
1
2
=k
AB
.
∴l
AB
的方程为y－1=－
1
2
(x－2).
x
2
17.(本小题满分12分)求以椭圆
64
+
y
216
=1的顶点为焦点,且一条渐近线的倾斜角为
5
?
6
的双曲 线方程.
分析:已知渐近线方程为bx±ay=0,中心在原点,求双曲线的方程.可设双曲线方程为
22
bx－a
2
y
2
=λ(λ≠0),根据其他条件,确定 λ的正负.
解:椭圆的顶点坐标为(±8,0)、(0,±4).
∵双曲线渐近线方程为x±
3
y=0,
则可设双曲线方程为x
2
－3y
2
=k(k≠0)，
即< br>x
2
k
－
y
2
k
3
=1.
若以(±8,0)为焦点,则k+
若以(0,±4)为焦点,则－
k
3
=6 4,得k=48,双曲线方程为
x
2
48
－
y
2
2
16
4
=1；
－
x
2
k
3
－k =16,得k=－12,双曲线方程为
x
2
y
12
=1.
18.(本小题满分12分)如下图，双曲线
4
－
y
b
2
2
=1(b∈N
*
)的两个焦点为F
1
、F
2
，P为 双
曲线上一点，|OP|<5,|PF
1
|、|F
1
F
2< br>|、|PF
2
|成等差数列，求此双曲线方程.
y
P
F
1
O
F
x
2

解:∵|PF
1
|、|F
1
F
2
|、|PF
2
|成等差数列，
∴|PF
1
|+|PF2
|=2|F
1
F
2
|=4c.
又|PF
1
|－|PF
2
|=2a=4,
∴|PF
1
|=2c+2,|PF
2
|=2c－2.
根据 中线定理有|PF
1
|
2
+|PF
2
|
2
=2(|PO|
2
+|F
1
O|
2
)<2(5
2< br>+c
2
),
∴(2c+2)+(2c－2)<2(5+c).
∴8c
2
+8<50+2c
2
.
∴c<7,
即 4+b
2
<7.∴b
2
<3.又b∈N
*
,∴b=1. < br>∴所求双曲线方程为
x
2
2222
2
4
－y
2
=1.
19.(本小题满分12分)在△ABC中,已知B(－2,0)、C(2,0), AD⊥BC于点D,△ABC的垂心
为H,且
AH
=
1
3
H D
.
y
A
H
B
O
DC
x

(1)求点H(x,y)的轨迹G的方程；
(2)已知P(－1,0)、Q(1,0),M是 曲线G上的一点,那么
吗?若能,求出M点的坐标；若不能,请说明理由.
(1)解:∵H点坐标为(x,y),则D点坐标为(x,0),
由定比分点坐标公式可知, A点的坐标为(x,
∴
BH
=(x+2,y),
CA
=(x－2,< br>由BH⊥CA知x－4+
∴G的方程为
x
2
1
|MP|
|PQ||MQ|
,
1
,
1
能成等差数列
4
3< br>y).
4
3
y).
x
2
2
4
3
y=0,即
2
4
+
y
2
3
=1,
4
+
y
2
3
=1(y≠0).
(2)解法一:显然P、Q恰好为G的两个焦点,
∴|
MP
|+|
MQ
|=4,|
PQ
|=2. < br>若
1
|MP|
|PQ||MQ|
,
1
,
1< br>成等差数列,则
1
|MP|
+
1
|MQ|
=
2
|PQ|
=1.
∴|
MP
|?|
MQ
|=|
MP
|+|
MQ
|=4.

由
?
?
?
|MP|?|MQ|?4,
?
?
|MP|? |MQ|?4,
x
2
可得|
MP
|=|
MQ
|=2 ,
∴M点为
4
+
y
2
3
=1的短轴端点.
3
)或(0,－
3
)时,∴当M点的坐标为(0,
1
|M P|
|PQ||MQ|
,
1
,
1
成等差数列.
解法二:设M点的坐标为(x,y),
显然P、Q恰好为
x
2
4
+
y
2
3
=1的两个焦点,
∴|
MP
|+|
MQ
|=4,|
PQ
|=2.
∵
1
|MP|
|PQ||MQ|
1
|MP|
1|MQ|
2
|PQ|
,
1
,
1
成等差数列,
∴+==1.
由椭圆第二定义可得|
MP
|=a+ex,|
MQ
|=a－ex,
∴
1
1
2
(x?4)
+
1
1
2< br>(4?x)
=1.解得x=0.
∴M点的坐标为(0,
3
)或(0,－
3
).
∴当M点的坐标为(0,



3
)或(0,－
3
)时,
1
|MP|
|PQ||MQ|
,
1
,
1
成等差数列.