(2020年整理)全国高中数学联赛试题及答案.doc

学 海 无 涯
二〇〇五年高中数学联赛试卷

一、选择题
1. 使关于x的不等式
x?3?6?x?k
有解的实数k的最大值是
A.
6?3
B.
3
C.
6?3
D.
6

2. 空间四点A、B、C、D，满足
|AB|?3
、
|BC|?4
、
|CD|?11
、
|DA|?9
，则
AC? BD
的取值
A. 只有一个 B. 有两个 C. 有四个 D. 有无穷多个
3. △ABC内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线交此圆于A
1
、B
1
、C
1
三点，则
D'C'
AA
1
?cosABC
?BB
1
?cos?CC
1
?cos
222的值是
sinA?sinB?sinC
A'
D
B'
C
B
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
A
4. 如图，ABCD－A'B'C 'D'为正方体，任作平面α与对角线AC'垂直，使α与正方体的
每个面都有公共点，记这样得到的截 面多边形的面积为S，周长为l，则
A. S是定值，l不是定值 B. S不是定值，l是定值 C. S、l均是定值 D. S、l均不是定值
x
2
y
2
??1
表示的曲线是 5. 方程
sin2?sin3cos2?cos3
A. 焦点在x轴上的椭圆
C. 焦点在y轴上的椭圆
6. 记集合
T??0,1,2,3,4,5,6}
，
M?
?
到小顺序排列，则第XXXX个数是
A.
B. 焦点在x轴上的双曲线
D. 焦点在y轴上的双曲线
?
a
1
a< br>2
a
3
a
4
?
?
2
?
3< br>?
4
a
i
?T,i?1,2,3,4
?
，将M中的元 素按从大
?
7777
?
5563556211041103
?
2
?
3
?
4
B.
?
2
?
3
?
4
C.
?
2
?
3
?
4
D.
?
2
?
3
?
4

7777777777777777

二、填空题
7. 将多项式
f(x)?1?x?x?x???x?x
2
231920
表示为关于y的多项式
g(y)?

2
a
0
?a
1
y?a
2< br>y
2
???a
19
y
19
?a
20
y
20
，且
y?x?4
，则
a
0
?a
1< br>???a
20
=__________。
8. f(x)是定义在(0,+∞ )上的减函数，若
f(2a?a?1)?f(3a?4a?1)
成立，则实数a的取值范围是< br>_____________。
9. 设α、β、γ满足
0?
?
?< br>?
?
?
?2
?
，若对任意
x?R
，
cos(x?
?
)?cos(x?
?
)?cos(x?
?
) ?0
成立，则
?
?
?
=_____。
AC
1
?2
，则CD=_________。 ，∠ACB=45°，
AD?BC?
6
2
2
11. 正方形ABCD 的一条边在直线
y?2x?17
上，另外两顶点在
y?x
上，则正方
10. 如图，四面体DABC的体积为
形面积的最小值为_____________。
12. 若自然数a的各位数字之和为7，则称a是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小
到大排 成一列：a
1
、a
2
、a
3
…，若a
n
= XXXX，则a
5n
=______。
D
C
A
B

三、解答题
2
7a
n
?45a
n
?36
13. 数列{an
}满足a
0
=1，
a
n?1
?
，
n ?N
，证明：(1)对于任意
n?N
，a为整数；
2
(2)对于任意
n?N
，
a
n
a
n?1
?1
为完全平方数 。

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14. 将编号为1、2、3、…9的九个小球随 机放置在圆周的九个等分点上，每个等分点上各一个小球，
设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和 为S，求值S达到最小值的方法的
概率（若某种方法，经旋转或镜面反射可与另一种方法重合，则认为是相同方法）。
15. 过抛物线y=x
2
一点A(1,1)作抛物线的切线交x轴于D，交y轴于B，C在抛物线上， E在线段
AC上，
AEBF
?
?
1
，F在线段BC上，?
?
2
，且λ
1
+λ
2
=1，线段CD与EF 交于P，当C在抛物
ECFC
线上移动时，求P的轨迹方程。

学 海 无 涯
二○○五年全国高中数学联合竞赛
试题参考答案及评分标准


说明：
1． 评阅试卷时，请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档，填空题只设9分 和0分两档；
其他各题的评阅，请严格按照本评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次。
2． 如果考生的解题方法和本解答不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准
适当划分档次评分，5分为一个档次，不要再增加其他中间档次。

一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
本题共有6小题，每小题均给出A，B，C，D 四个结论，其中有且仅有一个是正确的。请将正确
答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分 ；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不
论是否写在括号内），一律得0分。
1．使关于
x
的不等式
x?3?6?x?k
有解的实数
k
的最大值是（ ）
A．
6?3
B．
3
C．
6?3
D．
6

解：令
y?x?3? 6?x,3?x?6,
则
y
2
?(x?3)?(6?x)?2(x?3)(6 ?x)?2[(x?3)

?(6?x)]?6.
?0?y?6,?实数k
的 最大值为
6
。选D。
2．空间四点A、B、C、D满足
|AB|?3,|B C|?7,|CD|?11,|DA|?9,
则
AC?BD
的
取值（ ）
A．只有一个 B．有二个 C．有四个 D．有无穷多个
?
2
2
解：注意到
3?11?1130?7?9,
由于
AB?BC?CD?DA?0,
则
DA?DA
=
22 22
(AB?BC?CD)
2
?AB
2
?BC
2
? CD
2
?2(AB?BC?BC?CD?CD?AB)?AB
2
?

BC
2
?CD
2
?2(BC?AB?BC?BC?CD?CD?AB )?AB
2
?BC
2
?CD
2
?2(AB?
2
BC)?(BC?CD),
即
2AC?BD?AD
2
?BC< br>2
?AB
2
?CD
2
?0,?AC?BD
只有一个值 得0，故选
A。
3．
?ABC
内接于单位圆，三个内角A、B、C的平分线 延长后分别交此圆
于
A
1
、
B
1
、
C1
。则
AA
1
?cos
ABC
?BB
1
?cos?CC
1
?cos
222
的值为（ ）
sinA?sinB?sinC
AA?B?CBC
)?2sin(??)

2222
A．2 B．4 C．6 D．8
解：如图，连
BA
1
，则
AA
1
?2si n(B?