黄冈高中数学-高中数学第几册讲的相关系数
学 海 无 涯
二〇〇五年高中数学联赛试卷
一、选择题
1. 使关于x的不等式
x?3?6?x?k
有解的实数k的最大值是
A.
6?3
B.
3
C.
6?3
D.
6
2. 空间四点A、B、C、D,满足
|AB|?3
、
|BC|?4
、
|CD|?11
、
|DA|?9
,则
AC?
BD
的取值
A. 只有一个 B. 有两个 C. 有四个 D. 有无穷多个
3. △ABC内接于单位圆,三个内角A、B、C的平分线交此圆于A
1
、B
1
、C
1
三点,则
D'C'
AA
1
?cosABC
?BB
1
?cos?CC
1
?cos
222的值是
sinA?sinB?sinC
A'
D
B'
C
B
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
A
4. 如图,ABCD-A'B'C
'D'为正方体,任作平面α与对角线AC'垂直,使α与正方体的
每个面都有公共点,记这样得到的截
面多边形的面积为S,周长为l,则
A. S是定值,l不是定值 B. S不是定值,l是定值
C. S、l均是定值 D. S、l均不是定值
x
2
y
2
??1
表示的曲线是 5.
方程
sin2?sin3cos2?cos3
A. 焦点在x轴上的椭圆
C.
焦点在y轴上的椭圆
6. 记集合
T??0,1,2,3,4,5,6}
,
M?
?
到小顺序排列,则第XXXX个数是
A.
B.
焦点在x轴上的双曲线
D. 焦点在y轴上的双曲线
?
a
1
a<
br>2
a
3
a
4
?
?
2
?
3<
br>?
4
a
i
?T,i?1,2,3,4
?
,将M中的元
素按从大
?
7777
?
5563556211041103
?
2
?
3
?
4
B.
?
2
?
3
?
4
C.
?
2
?
3
?
4
D.
?
2
?
3
?
4
7777777777777777
二、填空题
7. 将多项式
f(x)?1?x?x?x???x?x
2
231920
表示为关于y的多项式
g(y)?
2
a
0
?a
1
y?a
2<
br>y
2
???a
19
y
19
?a
20
y
20
,且
y?x?4
,则
a
0
?a
1<
br>???a
20
=__________。
8. f(x)是定义在(0,+∞
)上的减函数,若
f(2a?a?1)?f(3a?4a?1)
成立,则实数a的取值范围是<
br>_____________。
9. 设α、β、γ满足
0?
?
?<
br>?
?
?
?2
?
,若对任意
x?R
,
cos(x?
?
)?cos(x?
?
)?cos(x?
?
)
?0
成立,则
?
?
?
=_____。
AC
1
?2
,则CD=_________。
,∠ACB=45°,
AD?BC?
6
2
2
11. 正方形ABCD
的一条边在直线
y?2x?17
上,另外两顶点在
y?x
上,则正方
10. 如图,四面体DABC的体积为
形面积的最小值为_____________。
12. 若自然数a的各位数字之和为7,则称a是“吉祥数”。将所有“吉祥数”从小
到大排
成一列:a
1
、a
2
、a
3
…,若a
n
=
XXXX,则a
5n
=______。
D
C
A
B
三、解答题
2
7a
n
?45a
n
?36
13. 数列{an
}满足a
0
=1,
a
n?1
?
,
n
?N
,证明:(1)对于任意
n?N
,a为整数;
2
(2)对于任意
n?N
,
a
n
a
n?1
?1
为完全平方数
。
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14. 将编号为1、2、3、…9的九个小球随
机放置在圆周的九个等分点上,每个等分点上各一个小球,
设圆周上所有相邻两球号码之差的绝对值之和
为S,求值S达到最小值的方法的
概率(若某种方法,经旋转或镜面反射可与另一种方法重合,则认为是相同方法)。
15.
过抛物线y=x
2
一点A(1,1)作抛物线的切线交x轴于D,交y轴于B,C在抛物线上,
E在线段
AC上,
AEBF
?
?
1
,F在线段BC上,?
?
2
,且λ
1
+λ
2
=1,线段CD与EF
交于P,当C在抛物
ECFC
线上移动时,求P的轨迹方程。
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二○○五年全国高中数学联合竞赛
试题参考答案及评分标准
说明:
1. 评阅试卷时,请依据本评分标准。选择题只设6分和0分两档,填空题只设9分
和0分两档;
其他各题的评阅,请严格按照本评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次。
2. 如果考生的解题方法和本解答不同,只要思路合理、步骤正确,在评卷时可参考本评分标准
适当划分档次评分,5分为一个档次,不要再增加其他中间档次。
一、选择题(本题满分36分,每小题6分)
本题共有6小题,每小题均给出A,B,C,D
四个结论,其中有且仅有一个是正确的。请将正确
答案的代表字母填在题后的括号内。每小题选对得6分
;不选、选错或选出的代表字母超过一个(不
论是否写在括号内),一律得0分。
1.使关于
x
的不等式
x?3?6?x?k
有解的实数
k
的最大值是(
)
A.
6?3
B.
3
C.
6?3
D.
6
解:令
y?x?3?
6?x,3?x?6,
则
y
2
?(x?3)?(6?x)?2(x?3)(6
?x)?2[(x?3)
?(6?x)]?6.
?0?y?6,?实数k
的
最大值为
6
。选D。
2.空间四点A、B、C、D满足
|AB|?3,|B
C|?7,|CD|?11,|DA|?9,
则
AC?BD
的
取值(
)
A.只有一个 B.有二个 C.有四个
D.有无穷多个
?
2
2
解:注意到
3?11?1130?7?9,
由于
AB?BC?CD?DA?0,
则
DA?DA
=
22
22
(AB?BC?CD)
2
?AB
2
?BC
2
?
CD
2
?2(AB?BC?BC?CD?CD?AB)?AB
2
?
BC
2
?CD
2
?2(BC?AB?BC?BC?CD?CD?AB
)?AB
2
?BC
2
?CD
2
?2(AB?
2
BC)?(BC?CD),
即
2AC?BD?AD
2
?BC<
br>2
?AB
2
?CD
2
?0,?AC?BD
只有一个值
得0,故选
A。
3.
?ABC
内接于单位圆,三个内角A、B、C的平分线
延长后分别交此圆
于
A
1
、
B
1
、
C1
。则
AA
1
?cos
ABC
?BB
1
?cos?CC
1
?cos
222
的值为( )
sinA?sinB?sinC
AA?B?CBC
)?2sin(??)
2222
A.2 B.4 C.6
D.8
解:如图,连
BA
1
,则
AA
1
?2si
n(B?