高中数学竞赛模拟试题(一)

最新高中数学竞赛模拟试题（一）
一、选择题：
1.设集合
M? {?2,0,1},N?{1,2,3,4,5}
，映射
f:M?N
使得对任意的x?M
，都有
x?f(x)?xf(x)
是奇数，则这样的映射
f
的个数是 （ A ）
（A）45 （B）27 （C）15 （D）11
提示：当
x??2
时，
x? f(x)?xf(x)??2?f(?2)
为奇数，则
f(?2)
可取1、3、5，有 3种
取法；当
x?0
时，
x?f(x)?xf(x)?f(0)
为奇 数，则
f(0)
可取1、3、5，有3种取法；当
x?1
时，
x?f (x)?xf(x)?1?2f(1)
为奇数，则
f(1)
可取1、2、3、4、5， 有5种取法。由乘法原
理知共有
3?3?5?45
个映射。
2.设平面上有 四个互异的点A、B、C、D，已知
(DB?DC?2DA)?(AB?AC)?0
，则△AB C
的形状是 （ A ）
（A）等腰三角形 （B）直角三角形 （C）等腰直角三角形 （D）等边三角形
提示：
DB?DC?2DA?DB?DC?2AD?AB?AC
.
3.设函 数
f(x)?lnx,g(x)?ax?
b
，它们的图象在
x
轴上的 公共点处有公切线，则当
x?1
时，
x
f(x)
与
g(x)
的大小关系是 （ B ）
（A）
f(x)?g(x)
（B）
f(x)?g(x)
（C）
f(x)?g(x)
（D）
f(x)
与
g(x)
的大 小不确定
提示：
f(x)
与
g(x)
的图象在
x
轴上有公共点
(1,0)
，∴
g(1)?0,即a?b?0
.
1< br>'
b11
''
,
g(x)?a?
2
,由题意
f(1)?g(1)?1,即a?b?1
,∴
a?,b?.

x22
x
1111111
令
F(x)?f(x)?g(x)?lnx?(x?)
,则
F
'
(x)???
2
??(?1)
2
?0

22xx2
2x
2x
∵
f'(x)?
∴
F(x)< br>在其定义域内单调递减.由∵
F(1)?0
,∴当
x?1
时,
F(x)?0
,即
f(x)?g(x)
.
x
2
y
2
4.设AB是椭圆
2
?
2
?1
（
a?b?0）的长轴，若把AB100等分，过每个分点作AB的垂线，
ab
交椭圆的上半部分于P< br>1
、P
2
、… 、P
99
，F
1
为椭圆的 左焦点，则
F
1
A?F
1
P
1
?F
1P
2
+…
?F
1
P
99
?F
1
B
的值是 （ D ）
（A）
98a
（B）
99a
（C）
100a
（D）
101a

提示：（方法一）由椭圆的定 义知
F
1
P
i
?F
2
P
i
?2a
(
i?1,2,?,99
)，

?
?
(F< br>1
P
i
?F
2
P
i
)?2a?99?198 a.
由题意知
P
1
,P
2
,?,P
99
关 于
y
轴成对称分布，
i?1
99
99
1
99?
?
(F
1
P
i
)?
?
(F
1
P
i
?F
2
P
i
)?99a.
又
?F
1
A?F
1
B?2a
，故所求的值为
101a
.
2
i?1i?1
（方法二）
F
1
A?F
1< br>P
1
?F
1
P
2
+…
?F
1
P
99
?F
1
B

?(a?ex
A
)? (a?ex
1
)??
?(a?ex
99
)?(a?ex
B< br>)

?101a?e(x
A
?x
1
?x
2< br>??x
99
?x
B
)?101a.
（A,
P
1
,P
2
,?,P
99
,B关于
y
轴成对称分布）
5.已知正方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
，过顶点A
1
在空间作直线
l
，使直线
l
与直 线AC和BC
1
所成的
角都等于60
0
，这样的直线
l可以作 （ B ）
（A）4条（B）3条（C）2条（D）1条
提示：易知异面直线AC与BC
1
所成的角为60
0
，因此，本题等价于：已知直线
a
与
b
所成的角为
60
0
，则过空间一点P且与
a
、
b
所成的角都是60
0
的直线有且仅有多少条？这不难可判断有3条。
2n?1
6.
(26?5)
的小数表示中，小数点后至少连续有 （ A ）
（A）
2n?1
个零（B）
2n?2
个零（C）
2n?3
个零（D）
2n?4
个零
2n?1
?(26?5)2n?1
]?Z
，因此
(26?5)
2n?1
与提示：由二项式 定理知易证
[(26?5)
(26?5)
2n?1
的小数部分完全相同。 < br>?0?26?5?
1
26?5
?
1
1
2n?1
，即
(26?5)
的小数表示
?0?(26?5)
2n?1
?()
2n?1
，
10
10
2n?1
中小数点后面至少接连有2n?1
个零，因此，
(26?5)
的小数表示中，小数点后至少连续有
2n?1
个零。
二、填空题：
tan(
?
?1
0
)
7.已知
5sin2
?
?sin2
，则的值是________ _____________.
tan(
?
?1
0
)
0< br>【答案】
?
3
.提示：弦切变换,构造齐次式解题.
2
5 sin[(
?
?1
0
)?(
?
?1
0
]? sin[(1
0
?
?
)?(1
0
?
?
)]

?4sin(
?
?1
0
)cos(
?
? 1
0
)??6cos(
?
?1
0
)sin(
??1
0
)
.
8.乒乓球比赛采用7局4胜制，若甲、乙两人实力相当， 获胜的概率各占一半，则打完5局后仍
不能结束比赛的概率等于__________________ ___.

5
. 提示：（方法一）打完5局后仍不能结束比赛的情况是甲、乙 两人中任意某个人任
8
1
2
5
13
1
3
意 胜3局，另一个人胜2局，其概率为
C
2
?C（）（1?）?
.
5
228
【答案】
（方法二）打完5局后能结束比赛的情况是：甲、乙两人中任意某个人 任意胜4局或5局全胜，
其概率等于
C
2
?[C
5
()(1 ?
14
1
2
4
13
5
1
5
)?C
5
()]?
，所以，打完5局后仍不能结束比赛的概率等于
228
1 ?
35
?
.
88
9.不等式
4x
2
(1 ?1?2x)
1
2
2
?2x?9
的解集为____________ ___________.
【答案】
[?，0)?(0,
45
)
. 提示：原不等式等价于
4x
2
?(2x?9)?(2?2x?21?2x)

8
2
设
1?2x?t
，则
t?0且t?1
，
2x?t?1
，从而原不等式可化为
?
t?0
?
?
?< br>t?1
?
2222
?
(t?1)?(1?t)(t?8)
?< br>t?0
7
?
t?1?0?t?1或1?t?
.
?
2
?
22
?
(t?1)?t?8
10.把半径为1的4个小球装入一个 大球内，则此大球的半径的最小值为_______________.
【答案】
1?
6
.提示：4个小球在大球内两两相切，4个小球的球心连线构成1个正四面体，正
2
四面体的中心与大球的球心重合，大球的半径等于正四面体的外接球半径加上小球的半径，所以
大球半 径为
33666
h?1???a?1??2?1?1?
.(其中,
h
表示正四面体的高,
a
表示
44342
正四面体的棱长.)
11. 设
a
1
,a
2
,?,a
2002
均为正实数，且< br>最小值为____________________.
【答案】
4002
2 002
1111
?????
，则
a
1
?a
2
???a
2002
的
2?a
1
2?a
2
2?a< br>2002
2
. 提示：令
1?x
i
2
?x
i
，则
a
i
?2?
，且
x
1
?x
2
???x
i
?1
，
x
i
2?a
i
其中
i?1,2,?,2002.

?a
1
?a
2
???a
2002
?2
20 02
?
1
?(x
2
?x
3
???x
200 2
)
x
1
x
2
?x
2002
?(x
1
?x
3
???x
2002
)???(x
1
?x
2
???x
2001
)

?2
20 02
?
1
?2001?
2001
x
2
x
3
?x
2002
?2001?
2001
x
1
x
3
?x
2002
???2001?
2001
x
1
x
2
?x
2001

x
1
x
2
? x
2002
?2
2002
?2001
2002
?4002< br>2002

12.关于
x
的三次函数
y?f(x)
的 两个极值点为P、Q，其中P为原点，Q在曲线
y?1?
上，则曲线
y?f(x)的切线斜率的最大值的最小值为_______________.
【答案】
2x?x
2
3
32
'
. 提示：设
f(x)?ax?bx?cx?d
，依题意知：
f(0)?0且f(0)?0
，4
32'2
∴
c?d?0
，故
f(x)?ax?bx
，
f(x)?3ax?2bx
，由
y?1?2x?x
2
及点Q在其上，
可设Q点的坐标为
(1?cos
?
,1?sin
?
),?
?[0,
?
]
. 由Q为
y?f(x)
的一个极值点 得
32
?
?
1?sin
?
?a(1?cos
?)?b(1?cos
?
)
，
?
2
?
?
0?3a(1?cos
?
)?2b(1?cos
?
)
?
a ?
?
2b
?
显然
cos
?
??1,
??
?
，∴
1?cos
?
??
，∴
?
3 a
?
b?
?
?
'
∵
a?0
，∴
f (x)?3ax?2bx
存在最大值
f(?
'2
?2(1?sin
?
)
(1?cos
?
)
3
，
3(1?sin
?
)
(1?cos
?
)
2
2b1?cos
?31?sin
?
，
)?f
'
()??
3a221?c os
?
31?sin
?
33
数形结合可求得
???k
OQ
，其最小值为.
21?cos
?
2
4
三、解答题：
x
2
y
2
13.已知椭圆
2
?
2
?1
（
a?b?0
），过椭圆中心O作互相垂直的两条弦AC、BD，设点A、
ab
B的离心角分别为
?
1
和
?
2
，求
cos(
?
1
?
?
2
)
的取值范围。
解 ：当AC、BD与坐标轴重合时，
cos(
?
1
?
?
2)?0
；当AC、BD与坐标轴不重合时，令
?xOA?
?
1
, ?xOB?
?
2
，则
?
1
?
?
2
?
?
2
?2k
?
(k?Z)
，∴
tan
?
1
?tan
?
2
??1
.
由题意知,
A (bcos
?
1
,asin
?
1
)
,
B( bcos
?
2
,asin
?
2
)
,
则< br>tan
?
1
?
aa
tan
?
1
,< br>tan
?
2
?tan
?
2
.
bb