高中数学好题经典题总结400题(101—150)含答案

好题速递101
1．在
?ABC
和
?AEF
中，< br>B
是
EF
的中点，
AB?EF?1
，
BC?6
，
CA?33
，若
ABAE?ACAF?2
，则
EF
与< br>BC
的夹角余弦值为 。
解法一：ABAE?ACAF?2
，则
ABAB?BE?ACAB?BF?2

????
AB?ABBE?ACAB?ACBF?2

因为
AB?1
，
ABAC?33?1?
所以
1?BFAC?AB?1?2

所以
BFBC?2

所以
?6cos
?
?2
，所以
cos
?
?
2
2
??
33?1?36??1
，
BE??BF

233
??
1
2
2

3
解法二：设
AE?x,AF?y,CF?z

1?x
2< br>?
则
1?x?
1
22
4
?33y
33?y? z
?2

2x
233y
3
x
2
?y
2
?z
2
?29?0

4
又因为
AB
为
?AEF
中线，所以
4AB?EF?2AE?AF
所以
z
2
?32

22
?
22
?
，即
x?y
22
?
5

2
1
4
36?
在
? CBF
中，
cos
?
?
11
?32
44
?
2

1
3
2??6
2
2．一个口袋里装着一个红球 、一个黄球、一个蓝球、一个白球，这些小球除了颜色之外，
没有区别，从中一次性摸出2个球。若摸得 红球记3分，摸得黄球记2分，摸得蓝球记1
分，摸得白球得0分，则得分和至少为4分的概率是 。
解：得分和至少为4分的情况为摸出红和黄或摸出红和蓝，故
P?




21
?

2
C
4
3

好题速递102
1．将正方形的 四个角（四个全等的小等腰直角三角形）分别沿其底边向同侧折起，使其与
原所在平面成直二面角，则所 形成的空间图形的12条棱所在的直线中，共有异面直线
对。
解：可以将空间图形放回正方体内，问题就转化为8条侧面对角线与底面4条棱所在直线
组成几对异面直线。
以对角线
BE
为一条，共有
AH,GD,FC
三条对角线异面，共有
还有
AD,CD
两条底边棱异面，共有
2?8?16< br>对
所以共有28对。
2．某次中俄军演中，中方参加演习的有4艘军舰，3架飞机； 俄方有5艘军舰，2架飞
机。从中俄两方中各选2个单位（1艘军舰或1架飞机都作为一个单位，所有的 飞机和军
舰都是不同的），则选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有 种．
112112
解：
C
4
C
3
C
5< br>?C
5
C
2
C
4
?120?60?180

3?8
?12
对
2


好题速递103
1．正
?ABC
，
DE?3
，
DF?23
，
?E DF?90
，则满足条件的正
?ABC
边长的最大值
是 ．
解：
23
sin
?
3
?
BD
?
2
?
?
?
?
?
，解得
BD?4sin
?
?
2
?
?
?
3
?
sin
??
?
?
?
3
?
3
sin
?
3
?
?
?
CD
?
，解得
CD?23sin
?
?
?
?

?
?
6
?
?
?
sin
?
?
?
?
6
??
?
3??
3
?
11

cos
?
?sin
?
?23sin
?
?cos
?
???
?
2
? ?
2
?
22
????
所以
BC?BD?CD?4
?
?5sin
?
?33cos
?
?213sin
?
?
?
?
?

故
BC
max
?213

2．用1，2，3，4，5，6组成数字不重复的六位数，满足1不在左右两端，2，4，6三个
偶数中有且仅有两个偶数相邻，则这样的六位数共有 个．
解：288个

好题速递104
1．已知函数
y?f
?
x
?
是
R
上的奇函数，且
f?
x
?
在区间
?
??,0
?
上单调递增，f
?
?1
?
?0
。
设
??
?
?
?
g
?
x
?
?cos
2
x?msinx ?2m
，集合
M?
?
m|?x?
?
0,
?
,g
?
x
?
?0
?
，集合
?
2
?
??
??
?
?
?
N?
?
m|?x?
?
0,
?
,f?gx??0
??
?
，则
MN?< br> 。
??
2
??
??
解析： 易得
f
?
1
?
?f
?
?1
?
?0
，，所以
f
?
x
?
?0?x??1
或
0? x?1

??
?
?
?
由此
N?
?
m|?x?
?
0,
?
,g
?
x
?
??1或 0?g
?
x
?
?1
?

?
2
?< br>??
所以
M
??
?
?
?
N?
?m|?x?
?
0,
?
,g
?
x
?
?? 1
?

?
2
?
??
?
?
?
即
?x?
?
0,
?
，
g
?
x
?
?cos
2
x?msinx?2m??1
恒成立
?
2?
即
1?sin
2
x?msinx?2m?1?0
，即
sin
2
x?msinx?2m?2?0

令
t?sinx?
?
0,1
?
，则
t
2
?mt?2m?2?0
对< br>t?
?
0,1
?
恒成立
?
2?t
2
?
所以
m?
??

2 ?t
??
max
2?t
2
2?
?
2?s
?
?s
2
?4s?22
??
令
2?t?s?
?
1,2
?
，所以
???4?
?
s?
?
?4?22

2?tsss
??
所以
M
2
N?m|m?4?22

??
2．有四名志愿者到三个景点服务，每个景点至少1名大学生，则甲乙两名志愿者被分到不
同景点的情况有 种．
211
C
4
C
2
C
1
312
A?CA
2
?36?6?30< br> 解：
33
2
A
2


好题速递105 < br>1．如图，已知正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1D
1
的棱长为4，点
H
在棱
AA
1
上，且HA
1
?1
，在侧面
BCC
1
B
1
内 作边长为1的正
方形
EFGC
1
，
P
是侧面
BCC
1
B
1
内一动点，且点
P
到平面
CDD
1
C
1
的距离等于线段
PF
的长，则当点
P
运动时，
HP
的最小值是 。
【解析】依题意知点
P
到点
F
的距离与点直线
CC
1
的距离相
等，所以点
P
的轨迹是以
F
为焦点，
CC
1
为准线 的抛物线。

作
HQ?BB
1
于
Q
，则
PQ
最小时
HP
2
最小。
再由解析几何可得
PQ
min
?6
，所以
HP
2
最小值为22，即
HP
min
?22

2．某教师一天上3个班级的课，如果一天共9节课，上午5节，下午 4节，并且教师不能
连上3节课（第5和第6节不算连上），那么这位教师一天的课的所有排法有 种．
333
解：
A
9
?3A
3
?2A
3
?474


好题速递106
1．在平面直角坐标系中有两点A?1,33,B1,3
，以原点为圆心，以
r
?
r?0
?为半径作
圆，与射线
y??3x
?
x?0
?
交于点M
，与
x
轴正半轴交于点
N
，则当
r
变化时，
????
AM?BN
的最小值为 。
解：设
M
?
?,
?
r
?
2
?3r
?
?
,N
?
r,0
?

2
?
?
2
2
?
?
r
?
?
3
r?33?
所以
AM?BN?
?
??1
?
?
??
??
22
??
??
?
r?1
?
2
?3?
?
r?5
?
2
?3?
?
r?1
?< br>2
?3

问题等价于点
E5,3,F1,3
与
x轴上的点
P
?
r,0
?
连线段长的和最短
作
E'5,?3
，则
EP?FP?E'P?FP?E'F?27

当且仅当
r?3
时，取得最小值。
2．一副扑克牌（有四色，同一色有13 张不同牌）共52张．现随机抽取3张牌，则抽出的
3张牌有且仅有2张花色相同的概率为 （用数值作答）．
121
C
4
C
13
C
39234
?
解：
3
C
52
425
????
??

好题速递107
1．在
?ABC
中，
AC?2AB?2
，
BC?3
，
P
是
?ABC
内部一点，且满足
SS< br>S
?PAB
?
?PBC
?
?PCA
，则
PA ?PB?PC?
。
PA?PBPB?PCPC?P A
解：由
SS
S
?PAB
?
?PBC
?
? PCA
得
PA?PBPB?PCPC?PA
tan?APC?tan?BPC?tan?APB

又
?APC??BPC??APB?360

故
?APC??BPC??APB?120

设
?BCP?
?
，则
?PCB?60?
?
，
?ABP?30?
?
，
?PAB?30?
?

故在
?PBC
中由正弦定理得
BP?
3sin
?
，
sin120
CP?
3sin
?
60?
?
?
sin120

在
?PBA
中由正弦定理得
BP?
所以< br>sin
?
30?
?
?
sin120
，
AP?
sin
?
30?
?
?
sin120

3< br>3sin
?
sin
?
30?
?
?
，解得tan
?
?

?
9
sin120sin120
所以
sin
?
?
7321
,cos
?
?

1414
所以
PA?PB?PC?
sin
?
30?
?
?
sin120
?
3sin
?
60?
?
?
3sin
?
??7

sin120sin120
2．五位 同学各自制作了一张贺卡，分别装入5个空白信封内，这五位同学每人随机地抽取
一封，则恰好有两人抽 取到的贺卡是其本人制作的概率是 。
C
5
2
?2
1
?
解：
5
A
5
6

好题速递108
1．已知实数< br>x,y
满足
x?y?0
，且
x?y?2
，则
21?
的最小值为 。
x?3yx?y
解：令x?3y?a
，
x?y?b
，则
a?b?0
，
a?b? 4

2121121
?
1
?
2ba
?
13 ?22
??????3???3?22?
?
a?b
?
?
?? ??
x?3yx?yaba?bab
?
a?b4
?
ab
?< br>a?b
?
??
当且仅当
a?b?4,a?2b
，即
a ?8?42,b?42?4
，即
x?22?1,y?3?22
时取得
等号。
选题理由：在解决不等式问题时，如果出现分母里的字母较多较复杂时，不妨考虑先换元
使得分 母简单，更容易看清题目考查的本质。这里其实是以往我们非常熟悉的一次和与倒
数和的不等式应用，只 是将等式转化为不等式，注重考查了等号能否取到的问题。
同类题：已知正数
a,b
满足
?
2a?3
??
2b?3
?
?9
，则
14
的最小值为 。
?
a?1b?1
x? 4
?
1
?
x?
??

2x?1
?
2
?
解：令
a?1?x
，
b?1?y
，则
?
2x?1
??
2y?1
?
?9
，所以
y?

故
1414136
??????8

a?1b?1xyxx?4
问题转化为分式函数求值域的问题。
易得当
x?
4
?
7
49
?
1
，即
a?,b?9
时，
?

??
?
55
?
a?1b?1
?
min
4
2．从集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}中任取两个数，欲使取到的一个数大于k，另一个数小
于k(其中k?{5, 6, 7, 8, 9})的概率是
11
C
k
2
?1
C
10?k
解：，解得
k?7

?
2
C
10
5
2
，则k= ．
5


好题速递109
1．在直角坐标系
xOy中，若直线
y?kx?1
与曲线
y?x?
k
的取值范围是 。
11
?x?
有四个交点，则实数
xx
?
2x,x??
0,1
?
11
?
解：
y?x??x?
是偶函 数，故只需画出
x?0
时的图象，
f
?
x
?
??
2
，再
xx
?
,x?
?
1,??
?
?
x
关于
y
轴对称作出整个图象
易求得
y?kx?1
与
y?
斜率
k??

故由图可知
k?0,k?,k??
时，恰有四个交点。
选题理由：遇到一个 未知函数时，一定要充分利用奇偶性和单调性画出函数图象。考试中
遇到的函数图象往往是几段能画的图 象拼接而成，画好图象是解决函数问题的王道！
2．甲、乙、丙、丁四位同学各自在周五、周六、周日 三天中任选一天参加公益活动，则每
天都有同学参加公益活动的概率是_________。
211
C
4
C
2
C
1
3
A
32
A
2
4
解：
?
4
39
2
相切时，
x
1
8
1
8
1
8

好题速递110
2
1．设
y?f
?x
?
是定义在
R
上的函数，对任意的
x?R
，恒有f
?
x
?
?f
?
?x
?
?x
成立，
x
2
g
?
x
?
?f
?
x< br>?
?
，若
y?f
?
x
?
在
?
??,0
?
上单调递增，且
f
?
2?a
?
?f< br>?
a
?
?2?2a
，则
a
2
的取值范围是 。
x
2
解：令
g
?
x
?
?f
?
x
?
?
，得
g
?
?x
?
?g?
x
?
?0

2
又因为
y?f
?x
?
在
?
??,0
?
上单调递增，故
y?g< br>?
x
?
在
?
??,0
?
上也单调递增， < br>又
g
?
x
?
是奇函数，故
y?g
?
x
?
在
R
上单调递增，
2
2
a
?
2?a
?
f
?
2?a
?
?f
?
a
?
?2?2a?f
?
2?a
?
?
?
?0

?
?f
?
a
?
?
2
?
2
?
得
g
?
2?a
?
?g
?
a
?< br>?0

所以
g
?
2?a
?
?g
?< br>a
?

所以
2?a?a
，得
a?1

2．已知
a,b?
?
?3,?2,?1,1,2,3
?
且
a?b
，则复数
z?a?bi
对应点在第二象限的概率
为 。（用最简分数表示）
11
C
3
C
3
解：
23
?

A
6
10

好题速递111
?
1
?
1．已知
f(x)?ln(x?1),g(x)?
??
?m
，若
?x
1
?
?
0,3
?
,?x< br>2
?
?
1,2
?
，使得
f(x
1
) ?g(x
2
)
，
?
2
?
2
x
则实 数
m
的取值范围是 。
解：要使命题成 立需满足
f(x
1
)
min
?g(x
2
)
min
，函数
f(x)?ln(x
2
?1)
在
?
0 ,3
?
上是增函数，
所以
f(x
1
)
min
?
1
?
?f(0)?0
，函数
g(x)?
??
? m
在
?
1,2
?
上是减函数，所以
?
2
?
22
x
g(x
2
)
min
1
?
1
??
1
?
?g(2)?
??
?m
，所以
0 ?
??
?m,?m?
。
4
?
2
??
2< br>?
6
排
A
座
6
排
B
座
6
排
C
座

走廊
6
排
D
座
6
排
E
座

窗口

2
．一家
5
口春节回老家探亲，买到了如下图的一排
5
张车票：

窗口


其中爷爷行动不便要坐 靠近走廊的位置，小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座
位之一，则座位的安排方式一共有
__________
种。

解：30

好题速递112
1．若实数
x,y
满足
x?6x? 1?8y?2?y
，则
x?y
的最大值是 。
解：令
x?1?a
，
y?2?b

则
?
a?3
?
?
?
b?4
?
?28
?
a?0 ,b?0
?
，
x?y?a
2
?b
2
?3

问题转变求为圆弧上一点到原点的距离的平方减3的最大值
故
x?y?a
2
?b
2
?3?5?27
2．设集合
A?
22
??< br>2
?3?50?207

?
?
x,x,x,
123< br>,x
6
?
|x
i
?
?
?1,0,1
?
,i?1,2,3,,6
?
，则集合A中满足条件
“
1?x
1
?x
2
?x
3
?
（用数字作答）
?x
6
?5
”的元素个数为 。
解：十个字母中有
k
?
1?k?5
?
个字母是
? 1
，有
6?k
个字母是0，
1506
故有
C
6< br>?2
1
?C
6
2
?2
2
?L?C
6
?2
5
?
?
1?2
?
?C
6
?2
0
?C
6
?2
6
?664

6

好题速递113
1．在平面直角坐标系中，定义点
P
?
x
1
,y
1
?
、
Q
?
x
2
,y2
?
之间的“直角距离”为
d
?
P,Q
?
?x
1
?x
2
?y
1
?y
2
，若
C< br>?
x,y
?
到
A
?
1,3
?
、B
?
6,9
?
的“直角距离”相等，其中实
数
x,y< br>满足
0?x?10,0?y?10
，则所有满足条件的
C
的轨迹的长度 之和为 ．
解：
x?1?y?3?x?6?y?9

先以
y
为分类指标，当
9?y?10
时，
x?1?6?x? 6
，无解
当
0?y?3
时，
x?1?6?x?6
，无解
当
3?y?9
时，
2y?12?x?6?x?1

再以x
为分类指标，若
0?x?1
，则
y?8.5
，线段长度为1；
若
1?x?6
，则
x?y?9.5
，线段长度为
52
；
若
6?x?10
，则
y?3.5
，线段长度为4；
故
C
的轨迹的长度之和为
52?5

2．用数字“
1,2
”组成一个四位数，则数字“
1,2
”都出现的四位偶数有 个。
解：7

好题速递114
1．在平面直角坐标系中，圆
O:x
2
?y
2
?1
，圆
O
1
:
?
x?3
?
?y
2
? 4
，过
x
轴负半轴上一点
2
M
作圆
O
的切 线，与圆O相切于点A，与圆
O
1
分别相交于点
B,C
，若
AB?BC
，则点
M
的坐标为 。
解：设
M
?
?m,0
?
,AB?CD?2x
，连结
OA,O
1
C,O
1
D
，并作
O
1
D?BC
，
OF?O
1
D

则
O
1D?4?x
2
，
O
1
F?4?x
2
?1

在
Rt?OO
1
F
中，有
OO
1
?O F?O
1
F

所以
9?
?
3x
?
?
解得
x
2
?
2
222
?
4?x?1
2
?
2
153
，所以
O
1
F?

164
又
?MAO:?OFO
1
，所以
OM
OO< br>1
2m
?
OA
O
1
F
，即
m1?
，所以
m?4
，所以
M
?
?4,0
?

3
3
4
2m?1
2．设
m
为正整数，
?
x?y
?
展开式的二项式系数的最大值为
a
，
?
x?y
?
式系数的最大值为
b
，若
13a?7b
，则
m?
。
mm?1mm?1
解：
a?C
2m< br>,b?C
2m?1
，所以
13C
2m
?7C
2m?1

展开式的二项
即
13

?
2m
?
!
?7
?
2m?1
?
!
，解得
m?6

m!m!
?
m?1
?
!m!
好题速递115
1． 如图，
O
为
?ABC
的外心，
AB?4
，
AC?2
，
?BAC
为钝角，
M
是边
BC
的中点，则
AMAO
的值为 ．
A

解：因为
AM?
AMAO?
1
AB?AC

2
??
B

M

C

111
AB?ACAO?ABAO?ACAO
222
所以
22
11
?AB?AC?5
44
??
O

2．袋子中装有大小、材质都相同的2个绿球、3个白球共5个小
球．随机从袋子中一次性摸取2个小球 ，规定摸到1个绿球得2分、1个白球得1分．问摸
取2个小球的得分之和为几分的概率是最大的？试通 过计算给出回答．

解：摸取
2
个小球的得分之和可能出现
2 ,3,4
三种情况，依次记其发生的事件分别为
A,B,C
．
C
3
2
3

A
事件表明摸取的
2
个小球都为白球，其概率
P(A)?
2
?
；
C
5
10
11
C
3
?C
2
6

B
事件表明摸取的
2
个小球为
1
个白球
1
个绿球 ，其概率
P(B)?
；
?
C
5
2
10
2
C
2
1

C
事件表明摸取的
2
个小球为
2
个绿球，其概率
P (C)?
2
?
．
C
5
10
通过以上的计算结果可以知道： 摸取
2
个小球的得分之和为
3
分的概率是最大的．
评注：注意一下大题的书写方式。




好题速递116
1．已知
?ABC
中，角
A,B,C
的对 边
a,b,c
满足
c?acos
?
A?C
?
，则< br>tanC
的最大值
是 ．
a
2?c
2
?b
2
解：
c?acos
?
A?C?
??acosB??a?

2ac
即
c
2
?
1
2
b?a
2
?
，且
B
为钝角，
C
为锐角
?
3
a?b?c
?
2ab
222
a
2
?b
2
?
由余弦定理得
cosC?
1
2
b?a
2
??
4a
2
?2b
2
42a b22
3

???
2ab6ab6ab3
222
?
?
?
锐角
C
在区间
?
0,
?
上递减，故当
?
cosC
?
min
?
时，则
?
tanC
?
max
?

34
?
2
?
2．各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则．一考生从某大学所给的
7
个专业中，选择
3
个作为自己的第一、二、三专业志愿，其中甲、乙两个专业不能同时兼报，则< br>该考生有
______
种不同的填报专业志愿的方法（用数字作答）．

32
?A
3
?5?180
解：
A
7

好题速递117
1．已知
?
,
?
为锐角，且
co s
?
?
?
?
?
?
解法一：
cos
?
?
?
?
?
?
sin
?
，则
ta n
?
的最大值是 ．
sin
?
s in
?
sin?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
cos
?
?cos
?
?
?

?
??
sin
?
sin
?
sin
?

即
tan
?
?
?
?
?
?2tan
?

tan
?
?tan?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
当且仅当
tan
??
tan
?
?
?
?
?
?tan
?1?tan
?
?
?
?
?
tan
?
?< br>tan
?
tan
?
2

??
1?2tan< br>2
?
22tan
?
4
2
时取得等号。
2< br>sin
?
sin
?
得
cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?

sin
?< br>sin
?
解法二：由
cos
?
?
?
?
?
?
?
1
即
cos
?
cos
?
?sin
?
?
sin
?
?
sin
?
?即
tan
?
?
?
?

?
sin
?
cos
?
sin
?
cos
?
sin
?
cos
?
2

???
1?sin
2
?2sin
2
?
?cos
2
?
22sin
?cos
?
4
2
时取得等号。
2
2．三位同学参加跳高 、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个项目，则有且仅有
当且仅当
2sin
?
?cos
?
，即
tan
?
?
两人选择的项目完全 相同的概率是 。
11
C
3
2
C< br>3
C
2
2
?
解：
3
3
3

好题速递118
1．已知函数
f
?
x
?
?
是 。
解：这里如果直接代入去解很繁琐，所以进行一次换元有效简化计算。
令
x?< br>a
?x
对任意
x?
?
0,1
?
都有
f
?
x
?
f
?
1?x
?
?1
，则 实数
a
的取值范围
x
1
1
?
11
?
?m
，
1?x??m
，
m?
?
?,
?

2
2
?
22
?
?
1
??
11?
f
?
?m
?
?1
对
?m?
?
?,
?
恒成立
?
2
??
22
?
?1
?
则问题转化为
f
?
?m
?
?
2< br>?
1
?
3
??
1
???
代入后化简得
a
2
?
?
2m
2
?
?
a?
?< br>m
2
?
??
m
2
?
?
?0

2
?
4
??
4
???
3
1
?11
??
11
?
所以
a?m
2
?
对< br>?m?
?
?,
?
恒成立或
a?m
2
?
对
?m?
?
?,
?
恒成立
4
4
?22
??
22
?
即
a??
或
a?1

2．在“学雷锋，我是志愿者”活动中，有6名志愿者要分配到3个不同的社区参加服务，
每个 社区分配2名志愿者，则甲、乙两人分到同一社区的概率为 。
1
4

22
C
4
C
2
3
A
32
A
2
1
?
解：
222
C
6
C
4
C
2
3
5
A
3
3
A
3

好题速递119
1．在三棱锥
S?ABC
中，
?S AB??SAC??ACB?90
，
AC?2
，
BC?13
，
SB?29
，则直线
SC
与
AB
所成角的余弦值是 。
解：将三棱锥放入到长方体内， 长方体的高
SA?23
，
AB?17< br>，
SC?4
，
BC?13
，
CD?13?12?5
，
故在
?DSC
中，
cos?DSC?
16?17?25
2? 4?17
?
17

17
2．如果某年年份的各位数字之和为7，我们 称该年为“七巧
年”。例如，年份2014的各位数字之和为7，恰为“七巧
年”。那么从20 00年到2999年中“七巧年”共有 年。
解：21

好题速递120
?
1?x?y?3
1．已知
?
，则
2x
2
?3y
的最大值为 。
?
?1?x?y?1
2x
2
k
?
，由此可知，
k
越 大，解：设
2x?3y?k?y?
33
2
?
?
1?x?y? 3
?
??
抛物线顶点越低，由于
?
x,y
?
??
?
x,y
?
??
，如
?
?1?x?y?1< br>?
??
?
图所示，当抛物线过点
A
?
2,1
?
时，
k
max
?5

2．两个三口（父母及一个小孩）之 家共同游览黄山，需乘坐两辆不同的缆车，每辆缆车最
多只能乘坐4人，但两个小孩不能单独乘坐同一辆 缆车，则不同的乘坐方法共有 种。
422332422
C
2< br>A
2
?C
6
C
3
A
2
?C
4
C
2
A
2
?48
解：
C
6

好题速递121
1．在
?ABC
中，若
4AB?AC?CB
，则
sinA
的最大值为 。
解：
0? 4AB?ACCB?4AB?AC
??
?????
CA?AB
?
?4 AB
2
?AC?5ABAC

2

?4AB?AC?5 ABACcosA?4ABAC?5ABACcosA?ABAC
?
4?5cosA
?

即
cosA?
22
4
3
，则
sinA?

5
5
2．现有4人去旅游，旅游地点有A、B两个地方可以选择。但4人都不知道去哪 里玩，于
是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里玩，掷出能被3整除的数时去A地，掷
出其他的则去B地；
（1）求这4个人中恰好有1个人去B地的概率；
（2）求这4个人中去A地的人数大于去B地的人数的概率。
解：依题意，这4个人中，每个 人去A地旅游的概率为，去B地的人数的概率为
设“这4个人中恰有
k
人去A地旅游” 为事件
A
i
?
i?0,1,2,3,4
?

1
3
2

3
?
1
?
∴
P
?
A
i
?
?C
??
?
3
?
i
4
i
?
2
?
??
?
3
?4?i

13
1
4
?
1
??
2
?
32
（1）这4个人中恰有1人去A地游戏的概率为
P
?
A1
?
?C
????
?

?
3
??3
?
81
（2）设“这4个人中去A地的人数大于去B地的人数”为事件B，则< br>B?A
3
1
3
?
1
??
2
?
4
?
1
??
2
?

P?C
4
? C?
4
????????
?
3
??
3
??
3
??
3
?
9

3140
A
4
，
好题速递122
?
?
x
?
1．已知
A?
?
x
1
,x
2
, x
3
,x
4
?
，
B?
?
x?R
?
2
?
x?12
?
sin?1
?
，且
x1
?x
2
?x
3
?x
4
的最小值
4< br>??
为 。
解：
y?sin
?x
4
的周期为8，图象关于点
?
12,0
?
中心对称，
y?
1
图象也关于点
2
?
x?12
?
?< br>12,0
?
中心对称，故要
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
最小，在
y
轴右侧最靠近
y
轴的 四个点






x
1
?x< br>2
?x
3
?x
4
?4?12?48

2．将 3个不相同的黑球和3个相同白球自左向右排成一排，如果满足：从任何一个位置
（含这个位置）开始向 右数，数到最末一个球，黑球的个数大于或等于白球的个数，就称
这种排列为“有效排列”，则出现有效 排列的概率为 。

解：“有效数列”要求从后往前数， 黑球数目总是大于或等于白球的个数，有如下五种模式
○○○●●●；
○○●○●●；
○●○○●●；以上三种是后两位都是黑球
○●○●○●；
○○●●○●；以上两种是后三位黑白黑（罗列要有规律）
33
5A
3
A
3
1
故概率为
?

6
A
6
4
评注：在求概率的时候所有的相同不同的球一律视为不同， 从而保证基本事件等概率。



好题速递123
1．自平面上 点
O
引两条射线
OA
，
OB
，点
P,Q
分 别在射线
OA
，
OB
上，且
PQ?2
（点
P,Q< br>与点
O
不重合），且
?AOB?
?
3
，则
P QPO
PO
?
QPQO
QO
的取值范围是 。
解：设
?OPQ?
?
，则
?POQ?
2
?2
?

?
?
，
0?
?
?
33
?
2
?
?
2QOcos?
?
??
PQPO QPQO
2POcos
?
3
??
???
POQOPOQO< br>
?
?
??
2
?
?
?
?
? 2
?
cos
?
?cos
?
?
?
?
?
?2sin
?
?
?
?
?
?
1,2
?
6
??
3
?
?
?
?
2．一个不透明的 袋中装有大小形状完全相同的黑球10个、白球6个(共16个)，经过充分
混合后，现从中任意摸出3 个球，则至少得到１个白球的概率是 （用数值作答）．
3
C
10
11
解：
1?
3
?

C
16
14


好题速递124
1．若
?ABC
的内角满足
sinA?2sinB?2sinC
，则
cosC
的最小值是 。
解：由
sinA?2sinB?2 sinC
得
a?2b?2c
，即
c?
a?2b

2
a
2
?b
2
?c
2
cosC??
2ab< br>a
2
?b
2
?
1
a?2b
4
2ab
??
2
3a1b26?2
??????

8b4a44

2．用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1,2,3,…,9的9个小正方形
（如图），需满足任意相邻（有公共边的）小正方形所涂的颜色都不相同，且
标号为“1、5、9”的小 正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法中，恰好
解：求n(?)：
第一步：涂1、5、9，有3种方法；
第二步：涂2、6、3，
类①，2、6同色：涂2、6，有2种(如1涂红，则2、6可黄黄或蓝蓝)，
涂3，有2种(3与2不同色，但可与1同色).故有2?2=4种；
类②，2、6不同色：涂2、6，有2种(如1涂红，则2、6可黄蓝或蓝黄)，
涂3，只有1种(只能与1同色).故有2种；
第二步：涂4、8、7，与涂2、6、3一样，有4+2=6种.
故共有n(?)=3?6?6=108.
求n(A)：
1
4
7
2
5
8
3
6
9
满足“1、3、5、7、9”为同一颜色，“2、4、6、8”为同一颜色的概率为 。
把“1、3、5、7、9”看作一块，“2、4、6、8”看作另一块，用3种颜色涂这2块， < br>2
∴n(A)=
A
3
?6
，∴
P
?
A
?
?
61
?
.
10818


好题速递125
x
2
y
2
1．设
A
是双 曲线
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
在第 一象限内的点，
F
为其右焦点，点
A
关于原
ab
?
??
?
点
O
的对称点为
B
，若
AF?BF
，设
?ABF?
?
且
?
?
?
,
?
，则双曲线离心率的取值
?
126
?
范围 。
解：设左焦点为
F'
，令
AF?m
，
AF'?n
，则
BF?AF'?n

所以
BF?AF?2a
，即
n?m?2a

因为
AF?BF
，所以
OA?OB?OF?c

所以
m
2
?n
2
?4c
2

即< br>?
m?n
?
?2mn?4c
2
?mn?2c
2
?a
2

又因为
S
?ABF
?2S
?AOF?mn?2?c
2
sin2
?
?mn?2c
2
sin2
?

于是
2c
2
sin2
?
?2c
2
?a
2
得
e
2
sin2
?
?e
2
?1?e
2
?
2
??
1
2
1
2
??
1

1?sin2
?
?
13
??
??
?
因为
?
?
?
,
?
， 所以
sin2
?
?
?
,
?

22
?
126
?
??

故
e
2
?
1

?
?
2,4?23
?
??
1?sin2
?
?
故
e?
?
?
2,3?1
?

2．从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为
2的概率是 .
2
2
解：
5

好题速递126
1．已知函数
g
?
x
?
?xx?a?2x
，若存在
a?
?
?2,3
?
，使得函数
y?g
?
x
?
?at
有三个零点，
则实数
t
的取值范围是 。
2
?
?
x?
?
2?a
?
x,x?a< br>解：
g
?
x
?
?
?
2

?
?
?x?
?
2?a
?
x,x?a
若
x?a
，对称轴
x?
若
x?a
，对称轴
x?
a?2
?a?a??2
时，
g
?
x
?
在
?
a, ??
?
上递增
2
a?2
?a?a?2
时，
g?
x
?
在
?
??,a
?
上递增
2< br>所以当
?2?a?2
时，
g
?
x
?
在
R
上递增，则函数
y?g
?
x
?
?at
不可能有 三个零点，故只需
考虑
2?a?3
的情况
?
a?2
?画出
y?g
?
x
?
的大致图象知，要使得函数
y?g< br>?
x
?
?at
有三个零点，只能
g
??
?g
?
a
?

?
2
?
2
?
a ?2
??
即
ta?
?
2a,
?
4
?
??
?
a?2
?
2
?
?
，即存在
2?a ?3
，使得
t?
?
2,
?
即可
??
4a
?
???
令
h
?
a
?
?
a?2< br>?
?
4a
2
a
2
?4a?4
25
? ?2
，只要使
t??
即可，而
?ha??h3?
ha?
? ???
??
??
??
max
max
4a
12
故
2?t?
25

12
A

D

E

2．如图，沿田字型的路线从
A
往
N
走，且只能向右或向下走，
随机地选一种走法，则经过点
C
的概率是 ．
解：

B

C

M

F

2

3
S

N

好题速递127
1．已知
a,b
是空间相互垂直的单位向量 ，且
c?3,ca?1,cb?2
，则
c?ma?nb
的最小
值是 。
解法一：由
ca?1,cb?2
知
c
在
a
方向 上的投影为1，
c
在
b
方向上的投影为2，
ma?nb
是 在
a,b
组成的平面内的任意向量，
c?ma?nb
表示空间向量
c
的终点到平面上
任一点的距离，最小值就是连线垂直于平面时，即
3
2
?2
2
?1
2
?2

??
解法二：
c? ma?nb?c?ma?nb
2
??
2
?c?m
2
a?n< br>2
b?2cma?nb
22
222
??

?9?m< br>2
?n
2
?2m?4n?4?
?
m?1
?
?
?
n?2
?
?4
2．从集合
?
?1,1,2,3< br>?
中随机选取一个数记为m，从集合
?
1,2,4
?
中随机选 取一个数记为n，
则方程
mx
2
?ny
2
?mn
表 示焦点在
x
轴上的椭圆的概率为 ．
1
解：
3

好题速递128
x?1
?
?
2?1,x?0
1．已知函数
f
?
x
?
?
?
2
，若关于
x
的方程
f
2
?
x
?
?
?
m?1
?
f
?
x
?
?2 m
2
?0
有
?
?
x?2x?1,x?0
五个不同实 根，则
m
的值是 。
解：画出
f
?
x
?
的图象，可知当
f
?
x
?
?1
时，有3个根，把
f
?
x
?
?1
代 入
f
2
?
x
?
?
?
m?1
?f
?
x
?
?2m
2
?0
，得
m?0< br>或
m?
当
m?0
时，方程有5个根，当
m?
1

2
11
时，
f
?
x
?
?1
或
f
?
x
?
?
，此时有7个根，舍去。
22
2．袋子中装有大小、材质都相同的2个绿球、3个白球共5个小球．随机从袋子中一次性
摸取2个小 球，规定摸到1个绿球得2分、1个白球得1分．问摸取2个小球的得分之和为
几分的概率是最大的？试 通过计算给出回答．
解：摸取
2
个小球的得分之和可能出现
2,3,4三种情况，依次记其发生的事件分别为
A,B,C
．………………1分
C
3
2
3

A
事件表明摸取的
2
个小球都为白球，其概率
P(A)?
2
?
；…………2分
C
5
10
11
C
3
?C
2
6
?< br>
B
事件表明摸取的
2
个小球为
1
个白球< br>1
个绿球，其概率
P(B)?
……3分
C
5
210

2
C
2
1

C
事 件表明摸取的
2
个小球为
2
个绿球，其概率
P(C)?
2< br>?
．……4分
C
5
10
通过以上的计算结果可以知道： 摸取
2
个小球的得分之和为
3
分的概率是最大
的．………5分

好题速递129
1．已知三棱锥
P?ABC
的侧面
PA C?
底面
ABC
，侧棱
PA?AB
，且
PA?PC?A?C 4A?B
，如图
AB?
平面
?
，以直线
AB
为轴旋 转三棱锥，记该三棱锥在
平面
?
上的俯视图面积为
S
，则
S
的取值范围是 。
解：因为侧面
PAC?
底面
ABC
，
所以在旋转过程中等 边
?PAC
在底面上的射影总在侧面
PAC
与平面
?
的交线
l
上，且长度范围是
?
23,4
?

??
由已知可推得
AB?l

所以
S
min
?43,S
max
?8

2 ．袋子里有3颗白球，4颗黑球，5颗红球．由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球，抽取
后不放回．若每 颗球被抽到的机会均等，则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率
是 。
解：
3

11


好题速递130
1．已知非零向量
a,b
的夹角为
?
，
a?b?3
，
a?b?1
，则
?
的取值范围是 。
解：由
a?b?3
与
a?b?1

两式平方相加和相减得
a?b?2
和
ab?
22
1

2
a?b?2?2ab?ab?1

22
1
?
?< br>?
?abcos
?
?cos
?
，得
?
??
0,
?

2
?
3
?
a
??
4
2
2．（1）
?
x?
?
?
a?0
?
的展开式中常数项为240，则
?
x?a
??
x?2a
?
的展开式中
x
项的
x
??
系数为 。
6

（2）2015年5月12日，尼泊尔再次发生强烈地震，世界各国纷纷 派出搜救队员参与到尼
泊尔的抗震救灾中。现要从7名中国籍搜救队员，4名非中国籍搜救队员中选5名 组成一
支特殊搜救队到某地执行任务，求这5名队员中至少有2名非中国籍队员的概率。
解：（1）
?64

51
C
7
?C
74
C
4
43
（2）
1?

?
5
C
11
66

好题速递131
1． 函数
f
?
x
?
?
4x1
?
x?0
?
，
g
?
x
?
?
?
x?a?x?b
?
,
?
a?b
?
，若对
?x
1
?0，
?x
2
?x
1
，
x?12
g
?x
2
?
?f
?
x
1
?
，则
2 a?b
的最大值为 。
?
1
?
2
?
b?a
?
,x?b
?
a?b
4x4
?
,a?x?b
，
f
?
x
?
?
解：
g
?
x
?
?
?
x?
?4?
?
x? 0
?

2
x?1x?1
?
?
1
?
2
?
a?b
?
,x?a
?
若使对
?x
1< br>?0
，
?x
2
?x
1
，
g
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
成立首先需使且线段
y?x?
11
?
b?a
?
?4
且
?
a?b
?
?0

22
a?b4x
,a?x?b
与曲线
f
?
x
?
?
?
x?0
?< br>无交点
2x?1
a?b
?
y?x?
?
a?b
?
a?b
?
?
2
x??0
无正根 由
?
得
x
2
?
?
3?
?
22
4x
??
?
y?
?
x?1
?
3?
（i）若
a?b< br>2
a?b
??
2
?0
，即
a?b??6
时， 要求
??3?
??
?2
?
a?b
?
?0
，
2
2
??
解得
?18?a?b??2
，即
?6?a ?b??2

（ii）若
a?b??6
时，满足
?
综上，< br>a?b??2

a?b
?0
，恒成立
2
?
b?a?8
?
故要使对
?x
1
?0
，
?x
2
?x
1
，
g
?
x
2
?
?f?
x
1
?
成立只需
?
a?b
，画出可行域可得
?
a?b??2
?
2a?b??7

2．（ 1）若复数
z
与其共轭复数
z
满足
z?5
，
z?z ?2
，则
z?
（2）若函数
f
?
x
?
?< br>解：（1）2
（2）
5
?
。
z
x?a
的图象总在
F
?
x
?
?x
图象的上 方，求实数
a
的取值集合。
lnx
x?a
?x
对
x?0
且
x?1
恒成立，
lnx
故
a?x?xlnx??
min
,x?1
或
a?x?xlnx
??
min< br>,0?x?1

令
g(x)?x?xlnx
，……，得
a?1



好题速递132
1．已知
f
?
x
?
?x
2
?2a1?x
2
?a
2
?4a?5
，若
f
?
x
?
的最大值是
g
?
a
?
，则关于< br>a
的不等
式
log
1
g
?
a
??3?0
的解集是 。
2
解： 令
1?x
2
?t?
?
0,1
?
，则
x2
?1?t
2

所以
f
?
t
?
??t
2
?2at?a
2
?4a?6??
?
t?a
?
?2a
2
?4a?6

当
a?0
时，
g
?
a
?
?f
?
0
?
?a
2?4a?6

当
0?a?1
时，
g
?
a
?
?f
?
a
?
?2a
2
?4a?6
< br>当
a?1
时，
g
?
a
?
?f
?1
?
?a
2
?2a?5

2
log
1
g
?
a
?
?3?0?g
?
a
?
? 8
，解得
a?2?6
或
a?3

2
2．（1）设< br>a?R
，复数
z
满足：
iz-a=2i-z
且
|z| =5
（其中
i
为虚数单位），求
a
．
（2）已知
x?0
是函数
f(x)?x
3
?bx
2
?cx
的 一个极值点，
f(x)
图像经过点
A(3,0)
．设
f(x)
在其图像上不同两点
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)
处的切线分别为
l
1
,l
2
． 当
l
1
l
2
时，求证
x
1
+x
2
为定值．
（1）解：由
iz-a=2i-z
得
z=
骣
a+
再由
|z|=5
得
珑
珑
珑
桫
2
2
a+2i
(a+2i)(1-i)
a+2+(2-a)i
=
．
=< br>(1+i)(1-i)
2
1+i
2
2
鼢
骣
2 -a
+
鼢
鼢
桫
2
=25
.
解得
a=?46
．
（2）解：由
f(x)?x
3
?bx< br>2
?cx
得
f
?
(x)?3x
2
?2bx? c
．
由
x?0
是函数
f(x)
的一个 极值点知
f
?
(0)?c?0
．

又由
f(x)
图像经过点
A(3,0)
得
f(3)?27?9b?3 c?0
．
所以
b=-3
．
f(x)?x
3
?3x
2
．
2
由
l
1
l
2
得
f< br>?
(x
1
)?f
?
(x
2
)?3x
1
2
?6x
1
?3x
2
?6x
2
．
化为
3(x
1
-x
2
)(x
1
+x
2
-2)=0
．由于
x
1
-x
2?0
，得
x
1
+x
2
=2
．
所以当
l
1
l
2
时，
x
1
+x
2
为定值．

好题速递133
1．如图，一条隧道的截面由一个长方形和抛 物线构成，现欲在隧道抛物线拱顶上安装监控
探头，若位置
C
对隧道底
AB< br>的张角
?
最大时，采集效果最好，则采集效果最好时位置
C
到
AB
的距离是 。
解：以抛物线顶点为原点建 系，则抛物线方程为
x
2
??4y
，
A
?
?4,? 6
?
,B
?
4,?6
?
,C
?
x,y?

设
?ACB?
?
，则
cos
?
?
CACB
CACB

且
S
?ABC
?
11
?8?
?
6?y
?
?CACBsin
?

22
8
?
y?6
?
x
2
?16?
?
y?6
?
2
所以两式相除得
tan
?
??
88
?4
?
y?6
?
?
y?6

当且仅 当
y?22?6
时，即
C
到
AB
的距离为
22m时，取得
?
tan
?
?
max
?
8
??2
22?4
?
2?2

?
2．（1）某校周四下午第三 、四两节是选修课时间，现有甲、乙、丙、丁四位教师可开课。
已知甲、乙教师各自最多可以开设两节课 ，丙、丁教师各自最多可以开设一节课。现要求
第三、四两节课中每节课恰有两位教师开课（不考虑教师 所开课的班级和内容），则不同
的开课方案共有 种。
解：若只有甲乙两人开课，他们两人每人开设两节，只有一种方案；
111
A
2
A
2
?8
种方案； 若甲乙两人开课， 丙丁中有一人开课，则有
C
2
12
A
2
?4
种方案 ； 若甲乙两人中有一人开课，丙丁两人均开课，有
A
2
22
C
2< br>?6
种方案； 若甲乙丙丁四人全部开课，每人一节，有
C
4
故共有19种

2
??
（2）若二项式
?
3x
2
?
3
?< br>(n?N
*
)
展开式中含有常数项，则
n
的最小取值是 。
x
??
n
解：7

好题速递134
x2
y
2
1．已知双曲线
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
的左、右焦点分别为
F
1
,F
2
，过
F
2
的直线交双曲线
ab
的右支于
P,Q两点，若
PF
1
?F
1
F
2
，且
3P F
2
?2QF
2
，则双曲线的离心率为 。
解：如图所示，标出两个焦点三角形各边的长度，
M
是
PF
2
的中点，则在
Rt?PF
1
M,Rt?F
1
MQ
中，利用 勾股定理得
2
FM?
?
2c
?
?
?
c? a
?
?
?
3c?a
?
?
?
4c?4a?

1
2222
所以
5c
2
?12ac?7a
2
?0

即
e?
7

5
2．（1 ）将二项式
(x?
1
2
4
x
)
n
的展开式 按
x
的降幂
排列，若前三项系数成等差数列，则该展开式中
x
的指数 是整数的项共有 个。
（2）无重复数字的五位数a
1< br>a
2
a
3
a
4
a
5
， 当a
1
2
， a
2
>a
3
， a
3
4
， a
4
>a
5
时称为波形数 ，
则由1，2，3，4，5任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率为 。
解：（1）3个
5
?120
种不同排法 （2）五个数任意排列，有
A
5
3
?6
种 若将5排在
a< br>2
位置，4排在
a
4
位置，其余三个数任意排，有
A
3
5与4交换位置，又有6种；
若将5排在
a
2
位置，3排在a
4
位置，则4只能排在
a
1
位置，其余两个数有2种排法；5 与3
交换位置，又有2种；
共计6+6+2+2=16种，概率为

162
?

12015
好题速递135
1．已知向量a,b
的夹角为
?
3
，
a?b?5
，向量
c? a
，
c?b
的夹角为
2
?
，
3
c?a?2 3
，则
ac
的最大值为 。
解法一：
OA?a,OB?b,OC?c
，则
AC?c?a?23
，
AB?a?b?5
，又

?AOB?
?
3
，
?ACB?
2
?
，此时
O,A,C,B
四点共圆（也可能不四点共圆 ，点C关于AB
3
34
，则
cos?ABC?

55
22
对称点也可，但要使
ac
最大，显然四点共圆时更大）。
由正弦定理得
sin?ABC?
在
?ACO
中，
?AOC? ?ABC
，由余弦定理得
AC
2
?a?c?2accos?AOC

即
12?2ac?
8
ac?ac?30

5
所以
ac?accos?AOC?24

解法二：同前，
O,A,C,B
四点共圆
由正弦定理得
R?
5
33
，
sin?ABC?
，
tan?ABC?

54
3
又
ac?accos?AOC?
2S
?OAC
8< br>?S
?OAC

tan
?
3
预 祝 大 家 高 考 满 堂 红
祝 大 家 高 考 满 堂 红
大 家 高 考 满 堂 红
家 高 考 满 堂 红
高 考 满 堂 红
考 满 堂 红
满 堂 红
堂 红
红
所以当且仅当
?AOC
为等腰三角形时，
?< br>S
?OAC
?
max
?S
?NAC
?9

故
ac
的最大值为24。
解法三：同前，
O,A,C,B
四点共圆
AC
2
由极化恒等式
ac?OE?

4
2
2
AC
2
?NE?3?24
故
ac ?OE?
4
2
2．（1）“预祝大家高考满堂红”这句话，如图所示形式排
列 ，从“预”字读起，只允许逐字沿水平向右或竖直向下方
．．
向读，则读完整句话的不同读法共 有 种．
答案：
2
8
?256
种
（2 ）
?
x?1
??
x?1
?
的展开式中
x
5
的系数是 。
解：14

8
好题速递136
2015年浙江第18题
2
设函数
f
?
x
?
?x?ax?b
?
a,b?R
?
， 记
M
?
a,b
?
为
y?f
?
x
?
在
?
?1,1
?
上的最大值
（1）设
a?2，求证：
M
?
a,b
?
?2

（2）若
M
?
a,b
?
?2
，请求出
a?b
的最值。 < /p>

证明：（1）因为对称轴
x
0
??
aa
??1
或
x
0
???1

22
f
?
x< br>?
max
?maxf
?
?1
?
,f
?
1
?
?max
?
1?a?b,1?a?b
?

证法一：规划视角
??
a?b?1?1?a?b?
?
b?1
?
?2a
?
b?1
?
?a
2
?
?
b?1
?
?2a
?
b?1
?
?a
2
?a
?
b?1
?
?0
22
?
?
b?1?a,4 a
?
b?1
?
?0
?max1?a?b,1?a?b?
??
?
b?1?a,4ab?1?0
，又结合
a?2
，
max
??
?
?
可以从规划视角来解题，以
a
为横坐标，
b
为横坐标建系，
?
?
4a
?
b?1
?
?0
画出可行域
?
如图1所示，
?
?
a?2
b? 1?a
目标函数
b?1?a?2
视为可行域内的点
?
a,b
?
到直线
x?y?1?0
的距离的
2
2
倍，显然当
?
a,b
?
取点
?
?2,?1
?
时
b?1 ?a
min
?2?2?2

故
f
?
x
?< br>?
?
4a
?
b?1
?
?0
同理，可行域?
如图2所示，
?
?
a?2

目标函数
1? a?b?
2
的
2
倍，显然当
?
a,b
?
取 点
?
2,?1
?
时
b?1?a
min
?2

综上，
M
?
a,b
?
?2

证法二：绝对值不等式
2
?a?b?1

视为可行域内的点
?
a,b
?
到直线
?x?y?1?0
的距离
f
?
x
?
max
?maxf
?
?1
?
,f?
1
?
?max
?
1?a?b,1?a?b
?
1?a?b?1?a?b
?
1?a?b
?
?
?
1?a?b< br>?
???a?2
22

??

解法三：
M
?
a,b
?
?max1?a?b,1?a?b

令
b?1?t
，则
M
?
a,b
?
?g
?
t
?
?maxt?a,t?a

在同一个坐标系中画出
y
1< br>?t?a
和
y
2
?t?a
的图象，两者取其大，则显然当t?0
时，
??
??
g
?
t
?
min
?a?2

故
M
?
a,b
?
?2

（2）解法一：规划视角
?
?
?
?
M
?
a,b
?
?2?
?
?
?
?
?
?
f
?
1
?
?a?b?1?2
?
?a?3?b??a?1
??
2?a?b?1?2
?
?
f
?
?1
?
??a?b?1?2?
?
?2??a?b?1?2?
?
a?3?b?a?1
?
?8?a
2
?4b?8
?
a
22
aa1
?
??
?
?2?b??2
f
?
?
?
?a
2
?4b?2
?44
?
2
?
4显然又是一个规划问题了。
以
a
为横坐标，
b
为横坐标建系， 画出可行域如图中
ABC
的蓝色部分。这里画图时注意到
上下两条抛物线恰与两条直线 相切（这里命题人命题时可能又是两边夹的应用）
?
a?b,a?0,b?0
??a?b,a?0,b?0
?
目标函数
z?a?b?
?
， ?
?a?b,a?0,b?0
?
?
a?b,a?0,b?0
（当 然这个目标函数也可以理解为一个正方形逐渐变大）

显然当
?
a,b?
在第一象限（含坐标轴）时，目标函数
a?b?
?
0,1
?< br>
当
?
a,b
?
在第二象限时，目标函数
?a?b?
?
0,3
?

当
?
a,b
?
在第 三象限时，目标函数
?a?b?
?
0,3
?

当
?
a,b
?
在第四象限时，目标函数
a?b?
?
0,1
?

综上，
a?b
的最大值为3，最小值为0。
解法二： < /p>

显然
a?b?0
，而
a?b?0
时，
f
?
x
?
?
2
，
M
?
a,b
?< br>?M
?
0,0
?
?1?2
，所以
x
a?b? 0
可以取到，所以
?
a?b
?
min
?0

又由（1）的逆否命题可知当
M
?
a,b
?
?2
时，必有
a?2
，
?
?
f
?
1
?
?1? a?b?2
且
?
?4?1?a?b?1?a?b?2?2b??3?b?1

?
?
f
?
?1
?
?1?a?b?2
（i） 若
0?b?1
，则
a?b?2?1?3

a
（ii）若?3?b?0
，则
??
?
?1,1
?
，
2a
2
?
a
?
f
?
?
?
??? b??M
?
a,b
?
??2

4
?
2?
2
?a?
a
2
a
2
??
?
?1
?
?3?3
所以
0?b??2?
，从而
a?b?a? 2?
4
4
?
2
?
2
当且仅当
a?2,b? ?1
时，
f
?
x
?
?x?2x?1
，
M< br>?
a,b
?
?2
，
a?b?3

综上，
a?b
的最大值为3，最小值为0。
解法三：
显然a?b?0
，而
a?b?0
时，
f
?
x
??
2
，
M
?
a,b
?
?M
?
0,0
?
?1?2
，所以
x
a?b?0
可以取到，所以?
a?b
?
min
?0

?
?
f由
?
?
?
f
1
?
a?
?
f< br>?
1
?
?f
?
?1
?
?
?
?
?
1
?
?1?a?b
?
2
?
?
?

1
?1?1?a?b
??
?
b?
?
f
?
1
?
?f
?
?1
?
?2
??
?
?2
?
1111
f
?
1
?
?f
?
?1
?
?f
?
1
?
?f
?
?1
?
?2?f
?
1
?
?f
?
?1
?
?f
?
1
?
?f
?
?1
?
?1

2222
故
a?b?1?f
?
1
?
或
a?b?1?f
?
?1
?

故
a?b?
又
f
?
?1
?
?2
，故
a?b?3

这种解法范韡同学考前特地拿来问，硬逼着我去解，难道
他做梦做到这个题了？呵呵！


好题速递137
2015年第20题
已知数列
?< br>a
n
?
满足
a
1
?
（1）求证：
1 ?
1
2
且
a
n?1
?a
n
?a
n
?
n?N*
?

2
a
n
?2
?
n?N*
?

a< br>n?1
2
（2）若数列
a
n
的前
n
项和为< br>S
n
，证明：
??
S
11
?
n
?< br>
2
?
n?2
?
n2
?
n?1
?< /p>

证明：解法一：综合法
2
（1）
a
n?1
? a
n
??a
n
?0
，故
a
n?1
?an
?a
1
?
1

2
11
a
n ?1
?1?a
n
?0
，故
a
n?1
与
a< br>n
同号，又因为
a
1
??0
，故
a
n
?0
，即
0?a
n
?

22
a
n
a
a
?
1
?
所以
n?1
?1?a
n?
?
,1
?
，即
1?
n
?2
?
n?N*
?

a
n?1
a
n
?
2
?
又
解法二：分析法
1
?
11
?
2
a
n?1
?a
n
?a
n
??
?
a
n
?
?
??
，
2
?
44
?
2而
a
n?1
?a
n
?a
n
?a
n?
1?a
n
?
，故
a
n?1
与
an
同号，又因为
a
1
?
2
1
?0
，故
a
n
?0
，即
2
1
a
，且
n?1
?
n?N*
?

2
a
n?1
aa
n
2
另一端要证
n
?2
，即证
?2
，即证
a
n
?2a
n
?0
，即证
a
n
?
1?2a
n
?
?0
，显然
2
a
n?1a
n
?a
n
a
成立，故
1?
n
?2< br>?
n?N*
?

a
n?1
0?a
n
?
2
本题的几何背景：
a
n?1
?a
n
?a
n
?
n?N*
?
是二次型结构的递推关系式，所以可将
?
a
n
,a
n?1
?
视为抛物线
y??x
2
?x
上的点，则
画出
y??x?x
?
0?x?
2
a
n?1
可视为点
?
a
n
,a
n?1
?与原点连线的斜率。
a
n
1
?
?
的图象，
2
?
1
?
11
?
?
1
?
因为原点 处的导数值
y'|
x?0
?1
，
?
,
?
点 与原点连线斜率为，故
k?
?
,1
?

2
?
24
?
?
2
?
a
即
1?
n
?2
?
n?N*
?

a
n?1
?
?
2
（2）由
a
n
?a
n
?a
n?1
，
可得
S
n
?a
1
?a
2
?
分析法
222
?a
n
?
?
a
1
?a
2< br>?
??
?
a
n
?a
n?1
?
?a< br>1
?a
n?1
?
1
?a
n?1

2
S
11nn
，即证
?
n
??S
n?
2
?
n?2
?
n2
?
n?1
?2
?
n?2
?
2n?2
11111
??a
n? 1
??
即证
?

2n?2222n?2
11
?a
n?1
?
即证（★） 2n?2n?2
2
解法一：由
a
n?1
?a
n
?a
n
?
n?N*
?
的二次型结构，考虑用取倒法证明
要证
11111

????
2
a
n?1
a
n
?a
n
a
n
?
1?a
n
?a
n
1?a
n

111
??

1 ?a
n
a
n?1
a
n
1
11
由（1）知< br>0?a
n
?
，得
??
?
1,2
?

2
a
n?1
a
n
11
11
?a
n ?1
?
累加得
n?

??2n
，即
2n?2n?2
a
n?1
a
1
故
从而★式得证，原命题得证。
解法二：从第一小题的结论出发，利用单调性放缩
2
由
a
n
?a
n?1
得
a
n?1
?a
n
?a
n< br>?a
n
?a
n
a
n?1

所以
a< br>n
?a
n?1
?a
n
a
n?1
，即
故累加得
11
??1

a
n?1
a
n
1
11

?n??n?2< br>，所以
a
n?1
?
n?2
a
n?1
a
1
2
同理，又由第1小题的另一边
a
n
?2a
n?1得
a
n?1
?a
n
?a
n
?a
n?2a
n
a
n?1
，
11
??2
，
a
n?1
a
n
1
11
故累加得
?2n? ?2n?2
，所以
a
n?1
?
2n?2
a
n?1< br>a
n
11
?a
n?1
?
即，得证。
2n? 2n?2
即
评注：本解法多次用到了累加，是典型的等变不等的问题。特别是第二小题，如果在 第一
小题的基础上，想到将不等号全部改为等号，那么提示意味就很明显一些了。

考前学生们做了
1、已知数列
?
a
n
?
中，a
1
?1
，
na
n?1
?2
?
a1
?a
2
??a
n
??
n?N*
?

（I）求
a
2
,a
3
,a
4
； （II）求数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n
；
1
1
2
，
b
n?1
?b
n
? b
n
，求证：
b
n
?1
?
n?k
?

2
a
k
解：（I）
a
2
?2,a
3< br>?3,a
4
?4

（III）设数列
?
b
n
?
满足
b
1
?
（II）
na
n?1
?2S
n
，
?
n?1
?
a
n
?2Sn?1

两式相减得
na
n?1
?
?
n?1< br>?
a
n
?2a
n
，即
na
n?1
?
?
n?1
?
a
n
，故累乘得
a
n
?n

1
2
b
n
?b
n
?b
n< br>?b
n?1
??b
2
?b
1
?0

k
故
?
b
n
?
是单调递增数列，故要证
b
n
?1
?
n?k
?
，只需证
b
k
?1
（III）由（II）得
b
n?1
?
1
?1
，显然成立；
2
1
2
1
若
k?2
，则
b
n?1
?b
n
?b
n
?b
n
b
n ?1
?b
n

kk
1
111
???
故< br>b
n?1
?b
n
?b
n
b
n?1
， 即
k
b
n?1
b
n
k
若
k?1
， 则
b
1
?

?
11
?
11
?
11
??
11
?
k?1k?1

?
???????????2?
???
??
b
k
?
b
k
b
k?1
??
b
k?1
b
k?2
?< br>bbbkk
?
21
?
1
k
?1
，所以
b
n
?1
?
n?k
?
所以
b
k
?
k?1
故


好题速递138
（2015年浙江高考第13题）如图，在三棱锥
A?BCD
中，
AB?AC ?BD?CD?3
，
AD?BC?2
，若
M,N
分
别为AD,BC
的中点，则异面直线
AN,CM
所成角的余弦
值为 。
解析：因为三棱锥三组对边相等，故可以将其放入长方
体内，构造长方体模型解决。
宽、高分别为
7,2,2
。
建系得
A0,0,
D
A
M
B
N
C
N
D
如图所示，根据题中条件
AB?AC?BD?CD?3
，< br>AD?BC?2
，可得构造的长方体长、
??
2
，
B
?
2,7,2
，
C0,7,0
，
???
?
?
2
?
22
?
2
?
,0,N,7,
，
2, 0,0
，
M
????
?
2
??
2
?

22
????
?
故
AN?
?
?
?2
?
22
?
2
?
,7,?,CM?,?7,
? ??
??
2
?

222
????
11
?7 ?
22
7
故
A0,0,2
，
cos
?
??

8
8?8
??
当然构建了长方体，用几何法也是易如反掌了，连< br>结
ME
，显然
MEAN
，故所求角即为
?CME
< br>因为
ME?MC?MD
2
?DE
2
?1?7?22
，
EC?2

故
cos?CME?


8?8?2
2?8?8
?
7

8
好题速递139
（2015浙江高考第14题）若实数
x,y
满足
x
2
?y
2
?1
，则
2x?y?2?6?x?3y
的最小值
是 。
解：因为
x
2
?y
2
?1
，故
6?x ?3y?0
恒成立，故

?
?
x?2y?4,
?2x?y?2?0,6?x?3y?0
?

2x?y?2?6?x?3y?
?
?3x?4y?8,2x?y?2?0,6?x?3y?0
??
?
?结合
x
2
?y
2
?1
，画出可行域如图，
第一段： 第二段：











目标函数
z?x?2y?4
目标函数
z??3x?4y?8

?
34
??
34
?
此时最小值在点
A
?
,
?
取得为3 此时最 小值在点
A
?
,
?
取得为3（注意到
OA?l
）
?
55
??
55
?
点评：本题属于去绝对值的常规线性规划 题，大家还记得3
月23日每日征解吗？就是可行域从圆改为正方形。
?
?
a,a?b
?
x?2
3月23日每日征解：定义
max
?
a ,b
?
?
?
，设实数
x,y
满足约束条件
?，则
?
b,a?b
?
?
y?2
z?max
?< br>4x?y,3x?y
?
的取值范围是 ．
1
?
4x?y,y?x
?
?
2
解：
z?
?
?
3x?y,y??
1
x
?
2
?< br>作出
?
?
?
x?2
所对应的区域如图所示：
??
y?2
由图可知：
z?max
?
4x?y,3x?y
?
?
?
?7,10
?




好题速递140

（2015浙江高考第15题）已知
e
1< br>,e
2
是空间单位向量，
e
1
e
2
?
be
1
?2
，
be
2
?
1
，若空间向量
b
满足
2
5
，且对于任意
x,y?R
，
b ?xe
1
?ye
2
?b?x
0
e
1
?y< br>0
e
2
?1
?
x
0
,y
0
?R
?
，
2
????
则
x
0
?
，
y
0
?
，
b?
。
解法一：向量的几何意义角度
如图所示，
OM?2
，
ON?
5

2
对于 任意
x,y?R
，
b?xe
1
?ye
2
?b?x< br>0
e
1
?y
0
e
2
?1
?
x
0
,y
0
?R
?
表示空间向量
b
的终点 到
平面上任一点距离的最小值就是连线垂直于平面时，即图中
BC?1
且
BC ?
面
MON

故画出底面图如右图，延长
ON
与
M C
交于点
P
，设
NC?x
，则
NP?3x

故在
?OMP
中，
OP?2OM
，即
CM?3
，
OC?2
2
?3?7
，
????
5
3
，
PC?3
，
PM?23
，
?3x?4
，得
x?
2< br>2
C
点恰为
PM
的中点，作
CQOM
，
CR ON

P
则
OC?OR?OQ?x
0
e
1
?y
0
e
2
?1?e
1
?2?e
2
< br>故
x
0
?1
，
y
0
?2
，
b?7?1?22

N
2.5e
2

C
O
M
2e
1

B





O
?
1
N
Q
C

解法二：向量的坐标运算角度
建立空间直角坐标系，其中
e
1
?< br>?
1,0,0
?
,e
2
?
?
?
,< br>R
M
3
?
,0
?
?
，设
b?< br>?
m,n,t
?
，
22
??
5
由题中条件
be
1
?2
，
be
2
?
可知
m? 2,n?3
，故
b?2,3,t

2
??
由
b?x e
1
?ye
2
?b?x
0
e
1
?y
0
e
2
?1
?
x
0
,y
0
?R
?

2
2
?
?
y
0
y
? ?
?
3y
0
??
?
3y
2
得
?< br>x??2
?
?
?
?3
?
?t?
?
x
0
??2
?
?
?
?3
?
?t
2< br>?1
对任意
x,y?R
恒成立
??
?
22
??
?
2
??
?
?
?
2
?
22
????

2
2
2
2
?
??
??
?
3y
?
y3y
y
??
?0
?3
?
?t
2
?
?t
2
?
?
x
0
?
0
?2
?
?
?
?3?
?t
2
?1
所以
?
?
x??2
?
?
?
??
??
2222
?
?
?
?
??
??
??
??
min
2
?
y
0
??
?
3y
0
即
?
x
0
??2
?
?
?
?3
?
?0

?
2
??
?
?
2
?
2
y
0
?
x?? 2?0
0
?
?
x?1
2
?
所以
?
，解得
?
0
，且
t
2
?1
，故
b?22< br>
?
y
0
?2
?
3y
0
?3?0< br>?
?2
解法三：向量的代数运算角度
由
b?xe
1
?ye
2
?1
得
x
2
?
?
4?y
?
x?5y?y
2
?b?1?0
对任意
x,y?R
恒成立
这里出现了双任意问题，故用双△法求解
先对任意
x?R
，
x2
?
?
4?y
?
x?5y?y
2
?b?1?0
恒成立
故
?
x
?
?
4?y
?
? 4?5y?y
2
?b?1?0
恒成立，
即对任意
y?R
，
3y
2
?12y?4b?20?0
恒成立
故
?
y
?12
2
?124b?20?0
，解得
b?22

对于任意
x,y?R
，
b?xe
1
?ye
2
?b? x
0
e
1
?y
0
e
2
?1
?x
0
,y
0
?R
?
，
22
2
?4y
0
?4?0

?
?
4?y
0
?
x
0
?5y
0
?y
0
?7?0
且
y
0
故
b?22
，此时
x
0< br>2
2
??
2
2
?
2
?
?
2
?
????
解得
y
0
?2
，
x
0
?2

同学们，你们还记得5月29日每日征解吗？就是这个题的
倒推解法。
5月29日每日征解：已知
a,b
是空间相互垂直的单位向量，且
c?3,c a?1,cb?2
，则
c?ma?nb
的最小值是 。
解法一：由
ca?1,cb?2
知
c
在
a
方向 上的投影为1，
c
在
b
方向上的投影为2，
ma?nb
是 在
a,b
组成的平面内的任意向量，
c?ma?nb
表示空间向量
c
的终点到平面上

任一点的距离，最小值就是连线垂直于平面时，即
3< br>2
?2
2
?1
2
?2

??
解法二 ：
c?ma?nb?c?ma?nb
2
??
2
?c?m
2< br>a?n
2
b?2cma?nb
22
222
??
?9?m
2
?n
2
?2m?4n?4?
?
m?1
?
?
?
n?2
?
?4


好题速递141
（2015江苏第12题）在平面直角坐标系
xOy
中，< br>P
为双曲线
x
2
?y
2
?1
右支上一个动< br>点，若点
P
到直线
x?y?1?0
的距离大于
c
恒成 立，则实数
c
的最大值为 。
解法一：代数解法 d?
x?y?1
2
?
x?y?1
2
?
y
2
?1?y?1
2

因为
y
2
?1?y?
1
y
2
?1?y
关于
y
单调递减，故当
y???
时，
y
2
?1?y?0

故
d
min?
1
2
，故
c
max
?

2
2
这里用到了分子有理化，可以有效解决两个根号相减无法判断单调性的问题。
解法二：本题的几何意义就是双曲线的渐近线，是考查双曲线渐近线的一道好题。
注意到双曲 线
x
2
?y
2
?1
的一条渐近线是
y?x
与直线
x?y?1?0
平行，故双曲线右支上
的点到
x?y?1?0
的距离可以理解为双曲线右支上的动点
P
到渐近线
y?x
的距离加上两
平行线间的距离
1
2
。显然当
P
无限接近渐近线，距离接近于0， 故
d
min
?
，
2
2
c
max
?
2

2
好题速递142
（2015四川第10题）设直线
l
与抛物线
y
2
?4x
相交于
A,B
两点，与圆< br>?
x?5
?
2
?y
2
?r
2
?r?0
?
相切于点
M
，且
M
为线段
AB
的中点，若这样的直线
l
恰有4
条，则
r
的取值范围是（ ）
A．
?
1,3
?
B．
?
1,4
?
C．
?
2,3
?
D．
?
2,4
?

22
?
y
1
2
??
y
2
??
y
1
2
?y
2y?y
2
?
解法一：设
A
?
,y
1
?
，
B
?
,y
2
?
，
M
?
,
1
?
，
C
?
5,0
?
为圆心
4482
??????

当
y
1
??y
2时，
k
AB
?
由
k
AB
?k
CM4
?
y?y
?
4
，
k
CM
?
2
1
2
2

y
1
?y
2
y
1
?y
2
?40
6
5
4
3
2
1
y
4
?
y?y
?
4
2
?24
< br>??
2
1
2
2
??1
得
y
1
2
?y
2
y
1
?y
2
y
1
?y
2
?40
?
?

?
2
A
M
FC
23456789
?
y?y
2
所以
M
?3,
1
2
?
由
r
2
?CM
2
?4?
x
–1
O
–1
1
?
y
1
? y
2
?
4
2
?10?
1
y
1
y< br>2

2
–2
–3
–4
–5
B
2?2r
2
?20
所以
y
1
2
y
2< br>??
2
–6
2
故
y
1
2
,y
2
是方程
t
2
?24t?2r
2
?20
??2
?0
的两个不同正根，由
??0
得
2?r?4
此时满足题意且不垂直于
x
轴的直线有两条，又显然还存在两条垂直于
x
轴的直线满足条
件，故
2?r?4
．
解法二：设点同上，
x
M
?3
，
M
在抛物线内，故
?23?y
M
?23

2
2
因为点
M
在圆上，故
?
x
M
?5
?
?y
M
?4?16

?r
2，故
r
2
?y
M
2
又
y
M
? 4?4
，故
4?r
2
?16
，即
2?r?4

2

好题速递143
（2015四川第9题）如果函数
f
?
x
?
?
1
?
1
?
?
m?2?
x
2
?
?
n?8
?
x?1
?
m?0,n?0
?
在区间
?
2
,2
?
2
??
81

2
上单调递减，则
mn
的最大值为（ ）
A．16 B．18 C．25 D．
?
m?2?0
?
m?2?0
?
n?8
?
n?81
?
m?2?0
??
?
?2
或
?
??
或
?
n?8?0
解法一：画出可行域
?
?
?
m?2
?
m?22
?
m?0,n?0
?
?
?
m?0,n?0
?
?
m?0,n?0
?
m?2n?18? 0
1
?
??
（或用导数
f'
?
x
?
?
?
m?2
?
x?
?
n?8
?
?0对
x?
?
,2
?
恒成立，即
?
2m?n?12 ?0
）
?
2
?
?
m?0,n?0
?
令< br>mn?t
，则
m?
t
tt
，当函数
y?
与可 行域相交变化中，看
t
的变化可得，当
y?
与
n
nn
1
y?6?n
相切时，取得最大值，则两式联立
??0
，解得
n? 8,t?18

2