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高中数学好题经典题总结400题(101—150)含答案

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 04:18
tags:高中数学题

高中数学教法-高中数学定义域知识点


好题速递101
1.在
?ABC

?AEF
中,< br>B

EF
的中点,
AB?EF?1

BC?6

CA?33
,若
ABAE?ACAF?2
,则
EF
与< br>BC
的夹角余弦值为 。
解法一:ABAE?ACAF?2
,则
ABAB?BE?ACAB?BF?2

????
AB?ABBE?ACAB?ACBF?2

因为
AB?1

ABAC?33?1?
所以
1?BFAC?AB?1?2

所以
BFBC?2

所以
?6cos
?
?2
,所以
cos
?
?
2
2
??
33?1?36??1

BE??BF

233
??
1
2
2

3
解法二:设
AE?x,AF?y,CF?z

1?x
2< br>?

1?x?
1
22
4
?33y
33?y? z
?2

2x
233y
3
x
2
?y
2
?z
2
?29?0

4
又因为
AB

?AEF
中线,所以
4AB?EF?2AE?AF
所以
z
2
?32

22
?
22
?
,即
x?y
22
?
5

2
1
4
36?

? CBF
中,
cos
?
?
11
?32
44
?
2

1
3
2??6
2
2.一个口袋里装着一个红球 、一个黄球、一个蓝球、一个白球,这些小球除了颜色之外,
没有区别,从中一次性摸出2个球。若摸得 红球记3分,摸得黄球记2分,摸得蓝球记1
分,摸得白球得0分,则得分和至少为4分的概率是 。
解:得分和至少为4分的情况为摸出红和黄或摸出红和蓝,故
P?




21
?

2
C
4
3


好题速递102
1.将正方形的 四个角(四个全等的小等腰直角三角形)分别沿其底边向同侧折起,使其与
原所在平面成直二面角,则所 形成的空间图形的12条棱所在的直线中,共有异面直线
对。
解:可以将空间图形放回正方体内,问题就转化为8条侧面对角线与底面4条棱所在直线
组成几对异面直线。
以对角线
BE
为一条,共有
AH,GD,FC
三条对角线异面,共有
还有
AD,CD
两条底边棱异面,共有
2?8?16< br>对
所以共有28对。
2.某次中俄军演中,中方参加演习的有4艘军舰,3架飞机; 俄方有5艘军舰,2架飞
机。从中俄两方中各选2个单位(1艘军舰或1架飞机都作为一个单位,所有的 飞机和军
舰都是不同的),则选出的四个单位中恰有一架飞机的不同选法共有 种.
112112
解:
C
4
C
3
C
5< br>?C
5
C
2
C
4
?120?60?180

3?8
?12

2


好题速递103
1.正
?ABC

DE?3

DF?23

?E DF?90
,则满足条件的正
?ABC
边长的最大值
是 .
解:
23
sin
?
3
?
BD
?
2
?
?
?
?
?
,解得
BD?4sin
?
?
2
?
?
?
3
?
sin
??
?
?
?
3
?
3
sin
?
3
?
?
?
CD
?
,解得
CD?23sin
?
?
?
?

?
?
6
?
?
?
sin
?
?
?
?
6
??
?
3??
3
?
11

cos
?
?sin
?
?23sin
?
?cos
?
???
?
2
? ?
2
?
22
????
所以
BC?BD?CD?4
?
?5sin
?
?33cos
?
?213sin
?
?
?
?
?


BC
max
?213

2.用1,2,3,4,5,6组成数字不重复的六位数,满足1不在左右两端,2,4,6三个
偶数中有且仅有两个偶数相邻,则这样的六位数共有 个.
解:288个


好题速递104
1.已知函数
y?f
?
x
?

R
上的奇函数,且
f?
x
?
在区间
?
??,0
?
上单调递增,f
?
?1
?
?0


??
?
?
?
g
?
x
?
?cos
2
x?msinx ?2m
,集合
M?
?
m|?x?
?
0,
?
,g
?
x
?
?0
?
,集合
?
2
?
??
??
?
?
?
N?
?
m|?x?
?
0,
?
,f?gx??0
??
?
,则
MN?< br> 。
??
2
??
??
解析: 易得
f
?
1
?
?f
?
?1
?
?0
,,所以
f
?
x
?
?0?x??1

0? x?1

??
?
?
?
由此
N?
?
m|?x?
?
0,
?
,g
?
x
?
??1或 0?g
?
x
?
?1
?

?
2
?< br>??
所以
M
??
?
?
?
N?
?m|?x?
?
0,
?
,g
?
x
?
?? 1
?

?
2
?
??
?
?
?

?x?
?
0,
?

g
?
x
?
?cos
2
x?msinx?2m??1
恒成立
?
2?

1?sin
2
x?msinx?2m?1?0
,即
sin
2
x?msinx?2m?2?0


t?sinx?
?
0,1
?
,则
t
2
?mt?2m?2?0
对< br>t?
?
0,1
?
恒成立
?
2?t
2
?
所以
m?
??

2 ?t
??
max
2?t
2
2?
?
2?s
?
?s
2
?4s?22
??

2?t?s?
?
1,2
?
,所以
???4?
?
s?
?
?4?22

2?tsss
??
所以
M
2
N?m|m?4?22

??
2.有四名志愿者到三个景点服务,每个景点至少1名大学生,则甲乙两名志愿者被分到不
同景点的情况有 种.
211
C
4
C
2
C
1
312
A?CA
2
?36?6?30< br> 解:
33
2
A
2


好题速递105 < br>1.如图,已知正方体
ABCD?A
1
B
1
C
1D
1
的棱长为4,点
H
在棱
AA
1
上,且HA
1
?1
,在侧面
BCC
1
B
1
内 作边长为1的正
方形
EFGC
1

P
是侧面
BCC
1
B
1
内一动点,且点
P
到平面
CDD
1
C
1
的距离等于线段
PF
的长,则当点
P
运动时,
HP
的最小值是 。
【解析】依题意知点
P
到点
F
的距离与点直线
CC
1
的距离相
等,所以点
P
的轨迹是以
F
为焦点,
CC
1
为准线 的抛物线。



HQ?BB
1

Q
,则
PQ
最小时
HP
2
最小。
再由解析几何可得
PQ
min
?6
,所以
HP
2
最小值为22,即
HP
min
?22

2.某教师一天上3个班级的课,如果一天共9节课,上午5节,下午 4节,并且教师不能
连上3节课(第5和第6节不算连上),那么这位教师一天的课的所有排法有 种.
333
解:
A
9
?3A
3
?2A
3
?474


好题速递106
1.在平面直角坐标系中有两点A?1,33,B1,3
,以原点为圆心,以
r
?
r?0
?为半径作
圆,与射线
y??3x
?
x?0
?
交于点M
,与
x
轴正半轴交于点
N
,则当
r
变化时,
????
AM?BN
的最小值为 。
解:设
M
?
?,
?
r
?
2
?3r
?
?
,N
?
r,0
?

2
?
?
2
2
?
?
r
?
?
3
r?33?
所以
AM?BN?
?
??1
?
?
??
??
22
??
??
?
r?1
?
2
?3?
?
r?5
?
2
?3?
?
r?1
?< br>2
?3

问题等价于点
E5,3,F1,3

x轴上的点
P
?
r,0
?
连线段长的和最短

E'5,?3
,则
EP?FP?E'P?FP?E'F?27

当且仅当
r?3
时,取得最小值。
2.一副扑克牌(有四色,同一色有13 张不同牌)共52张.现随机抽取3张牌,则抽出的
3张牌有且仅有2张花色相同的概率为 (用数值作答).
121
C
4
C
13
C
39234
?
解:
3
C
52
425
????
??

好题速递107
1.在
?ABC
中,
AC?2AB?2

BC?3

P

?ABC
内部一点,且满足
SS< br>S
?PAB
?
?PBC
?
?PCA
,则
PA ?PB?PC?

PA?PBPB?PCPC?P A
解:由
SS
S
?PAB
?
?PBC
?
? PCA

PA?PBPB?PCPC?PA
tan?APC?tan?BPC?tan?APB



?APC??BPC??APB?360


?APC??BPC??APB?120


?BCP?
?
,则
?PCB?60?
?

?ABP?30?
?

?PAB?30?
?

故在
?PBC
中由正弦定理得
BP?
3sin
?

sin120
CP?
3sin
?
60?
?
?
sin120


?PBA
中由正弦定理得
BP?
所以< br>sin
?
30?
?
?
sin120

AP?
sin
?
30?
?
?
sin120

3< br>3sin
?
sin
?
30?
?
?
,解得tan
?
?

?
9
sin120sin120
所以
sin
?
?
7321
,cos
?
?

1414
所以
PA?PB?PC?
sin
?
30?
?
?
sin120
?
3sin
?
60?
?
?
3sin
?
??7

sin120sin120
2.五位 同学各自制作了一张贺卡,分别装入5个空白信封内,这五位同学每人随机地抽取
一封,则恰好有两人抽 取到的贺卡是其本人制作的概率是 。
C
5
2
?2
1
?
解:
5
A
5
6

好题速递108
1.已知实数< br>x,y
满足
x?y?0
,且
x?y?2
,则
21?
的最小值为 。
x?3yx?y
解:令x?3y?a

x?y?b
,则
a?b?0

a?b? 4

2121121
?
1
?
2ba
?
13 ?22
??????3???3?22?
?
a?b
?
?
?? ??
x?3yx?yaba?bab
?
a?b4
?
ab
?< br>a?b
?
??
当且仅当
a?b?4,a?2b
,即
a ?8?42,b?42?4
,即
x?22?1,y?3?22
时取得
等号。
选题理由:在解决不等式问题时,如果出现分母里的字母较多较复杂时,不妨考虑先换元
使得分 母简单,更容易看清题目考查的本质。这里其实是以往我们非常熟悉的一次和与倒
数和的不等式应用,只 是将等式转化为不等式,注重考查了等号能否取到的问题。
同类题:已知正数
a,b
满足
?
2a?3
??
2b?3
?
?9
,则
14
的最小值为 。
?
a?1b?1
x? 4
?
1
?
x?
??

2x?1
?
2
?
解:令
a?1?x

b?1?y
,则
?
2x?1
??
2y?1
?
?9
,所以
y?



1414136
??????8

a?1b?1xyxx?4
问题转化为分式函数求值域的问题。
易得当
x?
4
?
7
49
?
1
,即
a?,b?9
时,
?

??
?
55
?
a?1b?1
?
min
4
2.从集合{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}中任取两个数,欲使取到的一个数大于k,另一个数小
于k(其中k?{5, 6, 7, 8, 9})的概率是
11
C
k
2
?1
C
10?k
解:,解得
k?7

?
2
C
10
5
2
,则k= .
5


好题速递109
1.在直角坐标系
xOy中,若直线
y?kx?1
与曲线
y?x?
k
的取值范围是 。
11
?x?
有四个交点,则实数
xx
?
2x,x??
0,1
?
11
?
解:
y?x??x?
是偶函 数,故只需画出
x?0
时的图象,
f
?
x
?
??
2
,再
xx
?
,x?
?
1,??
?
?
x
关于
y
轴对称作出整个图象
易求得
y?kx?1

y?
斜率
k??

故由图可知
k?0,k?,k??
时,恰有四个交点。
选题理由:遇到一个 未知函数时,一定要充分利用奇偶性和单调性画出函数图象。考试中
遇到的函数图象往往是几段能画的图 象拼接而成,画好图象是解决函数问题的王道!
2.甲、乙、丙、丁四位同学各自在周五、周六、周日 三天中任选一天参加公益活动,则每
天都有同学参加公益活动的概率是_________。
211
C
4
C
2
C
1
3
A
32
A
2
4
解:
?
4
39
2
相切时,
x
1
8
1
8
1
8




好题速递110
2
1.设
y?f
?x
?
是定义在
R
上的函数,对任意的
x?R
,恒有f
?
x
?
?f
?
?x
?
?x
成立,
x
2
g
?
x
?
?f
?
x< br>?
?
,若
y?f
?
x
?

?
??,0
?
上单调递增,且
f
?
2?a
?
?f< br>?
a
?
?2?2a
,则
a
2
的取值范围是 。
x
2
解:令
g
?
x
?
?f
?
x
?
?
,得
g
?
?x
?
?g?
x
?
?0

2
又因为
y?f
?x
?

?
??,0
?
上单调递增,故
y?g< br>?
x
?

?
??,0
?
上也单调递增, < br>又
g
?
x
?
是奇函数,故
y?g
?
x
?

R
上单调递增,
2
2
a
?
2?a
?
f
?
2?a
?
?f
?
a
?
?2?2a?f
?
2?a
?
?
?
?0

?
?f
?
a
?
?
2
?
2
?

g
?
2?a
?
?g
?
a
?< br>?0

所以
g
?
2?a
?
?g
?< br>a
?

所以
2?a?a
,得
a?1

2.已知
a,b?
?
?3,?2,?1,1,2,3
?

a?b
,则复数
z?a?bi
对应点在第二象限的概率
为 。(用最简分数表示)
11
C
3
C
3
解:
23
?

A
6
10

好题速递111
?
1
?
1.已知
f(x)?ln(x?1),g(x)?
??
?m
,若
?x
1
?
?
0,3
?
,?x< br>2
?
?
1,2
?
,使得
f(x
1
) ?g(x
2
)

?
2
?
2
x
则实 数
m
的取值范围是 。
解:要使命题成 立需满足
f(x
1
)
min
?g(x
2
)
min
,函数
f(x)?ln(x
2
?1)

?
0 ,3
?
上是增函数,
所以
f(x
1
)
min
?
1
?
?f(0)?0
,函数
g(x)?
??
? m

?
1,2
?
上是减函数,所以
?
2
?
22
x
g(x
2
)
min
1
?
1
??
1
?
?g(2)?
??
?m
,所以
0 ?
??
?m,?m?

4
?
2
??
2< br>?
6

A

6

B

6

C


走廊
6

D

6

E


窗口

2
.一家
5
口春节回老家探亲,买到了如下图的一排
5
张车票:

窗口


其中爷爷行动不便要坐 靠近走廊的位置,小孙女喜欢热闹要坐在左侧三个连在一起的座
位之一,则座位的安排方式一共有
__________
种。

解:30


好题速递112
1.若实数
x,y
满足
x?6x? 1?8y?2?y
,则
x?y
的最大值是 。
解:令
x?1?a

y?2?b


?
a?3
?
?
?
b?4
?
?28
?
a?0 ,b?0
?

x?y?a
2
?b
2
?3

问题转变求为圆弧上一点到原点的距离的平方减3的最大值

x?y?a
2
?b
2
?3?5?27
2.设集合
A?
22
??< br>2
?3?50?207

?
?
x,x,x,
123< br>,x
6
?
|x
i
?
?
?1,0,1
?
,i?1,2,3,,6
?
,则集合A中满足条件

1?x
1
?x
2
?x
3
?
(用数字作答)
?x
6
?5
”的元素个数为 。
解:十个字母中有
k
?
1?k?5
?
个字母是
? 1
,有
6?k
个字母是0,
1506
故有
C
6< br>?2
1
?C
6
2
?2
2
?L?C
6
?2
5
?
?
1?2
?
?C
6
?2
0
?C
6
?2
6
?664

6

好题速递113
1.在平面直角坐标系中,定义点
P
?
x
1
,y
1
?

Q
?
x
2
,y2
?
之间的“直角距离”为
d
?
P,Q
?
?x
1
?x
2
?y
1
?y
2
,若
C< br>?
x,y
?

A
?
1,3
?
B
?
6,9
?
的“直角距离”相等,其中实

x,y< br>满足
0?x?10,0?y?10
,则所有满足条件的
C
的轨迹的长度 之和为 .
解:
x?1?y?3?x?6?y?9

先以
y
为分类指标,当
9?y?10
时,
x?1?6?x? 6
,无解

0?y?3
时,
x?1?6?x?6
,无解

3?y?9
时,
2y?12?x?6?x?1

再以x
为分类指标,若
0?x?1
,则
y?8.5
,线段长度为1;

1?x?6
,则
x?y?9.5
,线段长度为
52


6?x?10
,则
y?3.5
,线段长度为4;

C
的轨迹的长度之和为
52?5

2.用数字“
1,2
”组成一个四位数,则数字“
1,2
”都出现的四位偶数有 个。
解:7




好题速递114
1.在平面直角坐标系中,圆
O:x
2
?y
2
?1
,圆
O
1
:
?
x?3
?
?y
2
? 4
,过
x
轴负半轴上一点
2
M
作圆
O
的切 线,与圆O相切于点A,与圆
O
1
分别相交于点
B,C
,若
AB?BC
,则点
M
的坐标为 。
解:设
M
?
?m,0
?
,AB?CD?2x
,连结
OA,O
1
C,O
1
D
,并作
O
1
D?BC

OF?O
1
D


O
1D?4?x
2

O
1
F?4?x
2
?1


Rt?OO
1
F
中,有
OO
1
?O F?O
1
F

所以
9?
?
3x
?
?
解得
x
2
?
2
222
?
4?x?1
2
?
2
153
,所以
O
1
F?

164

?MAO:?OFO
1
,所以
OM
OO< br>1
2m
?
OA
O
1
F
,即
m1?
,所以
m?4
,所以
M
?
?4,0
?

3
3
4
2m?1
2.设
m
为正整数,
?
x?y
?
展开式的二项式系数的最大值为
a

?
x?y
?
式系数的最大值为
b
,若
13a?7b
,则
m?

mm?1mm?1
解:
a?C
2m< br>,b?C
2m?1
,所以
13C
2m
?7C
2m?1

展开式的二项

13

?
2m
?
!
?7
?
2m?1
?
!
,解得
m?6

m!m!
?
m?1
?
!m!
好题速递115
1. 如图,
O

?ABC
的外心,
AB?4

AC?2

?BAC
为钝角,
M
是边
BC
的中点,则
AMAO
的值为 .
A

解:因为
AM?
AMAO?
1
AB?AC

2
??
B

M

C

111
AB?ACAO?ABAO?ACAO
222
所以
22
11
?AB?AC?5
44
??
O

2.袋子中装有大小、材质都相同的2个绿球、3个白球共5个小
球.随机从袋子中一次性摸取2个小球 ,规定摸到1个绿球得2分、1个白球得1分.问摸
取2个小球的得分之和为几分的概率是最大的?试通 过计算给出回答.


解:摸取
2
个小球的得分之和可能出现
2 ,3,4
三种情况,依次记其发生的事件分别为
A,B,C

C
3
2
3

A
事件表明摸取的
2
个小球都为白球,其概率
P(A)?
2
?

C
5
10
11
C
3
?C
2
6

B
事件表明摸取的
2
个小球为
1
个白球
1
个绿球 ,其概率
P(B)?

?
C
5
2
10
2
C
2
1

C
事件表明摸取的
2
个小球为
2
个绿球,其概率
P (C)?
2
?

C
5
10
通过以上的计算结果可以知道: 摸取
2
个小球的得分之和为
3
分的概率是最大的.
评注:注意一下大题的书写方式。




好题速递116
1.已知
?ABC
中,角
A,B,C
的对 边
a,b,c
满足
c?acos
?
A?C
?
,则< br>tanC
的最大值
是 .
a
2?c
2
?b
2
解:
c?acos
?
A?C?
??acosB??a?

2ac

c
2
?
1
2
b?a
2
?
,且
B
为钝角,
C
为锐角
?
3
a?b?c
?
2ab
222
a
2
?b
2
?
由余弦定理得
cosC?
1
2
b?a
2
??
4a
2
?2b
2
42a b22
3

???
2ab6ab6ab3
222
?
?
?
锐角
C
在区间
?
0,
?
上递减,故当
?
cosC
?
min
?
时,则
?
tanC
?
max
?

34
?
2
?
2.各大学在高考录取时采取专业志愿优先的录取原则.一考生从某大学所给的
7
个专业中,选择
3
个作为自己的第一、二、三专业志愿,其中甲、乙两个专业不能同时兼报,则< br>该考生有
______
种不同的填报专业志愿的方法(用数字作答).

32
?A
3
?5?180
解:
A
7

好题速递117
1.已知
?
,
?
为锐角,且
co s
?
?
?
?
?
?
解法一:
cos
?
?
?
?
?
?
sin
?
,则
ta n
?
的最大值是 .
sin
?
s in
?
sin?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
sin
?
?
?
?
?
cos
?
?cos
?
?
?

?
??
sin
?
sin
?
sin
?



tan
?
?
?
?
?
?2tan
?

tan
?
?tan?
?
?
?
?
??
?
?
?
?
?
当且仅当
tan
??
tan
?
?
?
?
?
?tan
?1?tan
?
?
?
?
?
tan
?
?< br>tan
?
tan
?
2

??
1?2tan< br>2
?
22tan
?
4
2
时取得等号。
2< br>sin
?
sin
?

cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
?

sin
?< br>sin
?
解法二:由
cos
?
?
?
?
?
?
?
1

cos
?
cos
?
?sin
?
?
sin
?
?
sin
?
?
tan
?
?
?
?

?
sin
?
cos
?
sin
?
cos
?
sin
?
cos
?
2

???
1?sin
2
?2sin
2
?
?cos
2
?
22sin
?cos
?
4
2
时取得等号。
2
2.三位同学参加跳高 、跳远、铅球项目的比赛,若每人都选择其中两个项目,则有且仅有
当且仅当
2sin
?
?cos
?
,即
tan
?
?
两人选择的项目完全 相同的概率是 。
11
C
3
2
C< br>3
C
2
2
?
解:
3
3
3

好题速递118
1.已知函数
f
?
x
?
?
是 。
解:这里如果直接代入去解很繁琐,所以进行一次换元有效简化计算。

x?< br>a
?x
对任意
x?
?
0,1
?
都有
f
?
x
?
f
?
1?x
?
?1
,则 实数
a
的取值范围
x
1
1
?
11
?
?m

1?x??m

m?
?
?,
?

2
2
?
22
?
?
1
??
11?
f
?
?m
?
?1

?m?
?
?,
?
恒成立
?
2
??
22
?
?1
?
则问题转化为
f
?
?m
?
?
2< br>?
1
?
3
??
1
???
代入后化简得
a
2
?
?
2m
2
?
?
a?
?< br>m
2
?
??
m
2
?
?
?0

2
?
4
??
4
???
3
1
?11
??
11
?
所以
a?m
2
?
对< br>?m?
?
?,
?
恒成立或
a?m
2
?

?m?
?
?,
?
恒成立
4
4
?22
??
22
?

a??

a?1

2.在“学雷锋,我是志愿者”活动中,有6名志愿者要分配到3个不同的社区参加服务,
每个 社区分配2名志愿者,则甲、乙两人分到同一社区的概率为 。
1
4


22
C
4
C
2
3
A
32
A
2
1
?
解:
222
C
6
C
4
C
2
3
5
A
3
3
A
3

好题速递119
1.在三棱锥
S?ABC
中,
?S AB??SAC??ACB?90

AC?2

BC?13

SB?29
,则直线
SC

AB
所成角的余弦值是 。
解:将三棱锥放入到长方体内, 长方体的高
SA?23

AB?17< br>,
SC?4

BC?13

CD?13?12?5

故在
?DSC
中,
cos?DSC?
16?17?25
2? 4?17
?
17

17
2.如果某年年份的各位数字之和为7,我们 称该年为“七巧
年”。例如,年份2014的各位数字之和为7,恰为“七巧
年”。那么从20 00年到2999年中“七巧年”共有 年。
解:21

好题速递120
?
1?x?y?3
1.已知
?
,则
2x
2
?3y
的最大值为 。
?
?1?x?y?1
2x
2
k
?
,由此可知,
k
越 大,解:设
2x?3y?k?y?
33
2
?
?
1?x?y? 3
?
??
抛物线顶点越低,由于
?
x,y
?
??
?
x,y
?
??
,如
?
?1?x?y?1< br>?
??
?
图所示,当抛物线过点
A
?
2,1
?
时,
k
max
?5

2.两个三口(父母及一个小孩)之 家共同游览黄山,需乘坐两辆不同的缆车,每辆缆车最
多只能乘坐4人,但两个小孩不能单独乘坐同一辆 缆车,则不同的乘坐方法共有 种。
422332422
C
2< br>A
2
?C
6
C
3
A
2
?C
4
C
2
A
2
?48
解:
C
6

好题速递121
1.在
?ABC
中,若
4AB?AC?CB
,则
sinA
的最大值为 。
解:
0? 4AB?ACCB?4AB?AC
??
?????
CA?AB
?
?4 AB
2
?AC?5ABAC

2


?4AB?AC?5 ABACcosA?4ABAC?5ABACcosA?ABAC
?
4?5cosA
?


cosA?
22
4
3
,则
sinA?

5
5
2.现有4人去旅游,旅游地点有A、B两个地方可以选择。但4人都不知道去哪 里玩,于
是决定通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去哪里玩,掷出能被3整除的数时去A地,掷
出其他的则去B地;
(1)求这4个人中恰好有1个人去B地的概率;
(2)求这4个人中去A地的人数大于去B地的人数的概率。
解:依题意,这4个人中,每个 人去A地旅游的概率为,去B地的人数的概率为
设“这4个人中恰有
k
人去A地旅游” 为事件
A
i
?
i?0,1,2,3,4
?

1
3
2

3
?
1
?

P
?
A
i
?
?C
??
?
3
?
i
4
i
?
2
?
??
?
3
?4?i

13
1
4
?
1
??
2
?
32
(1)这4个人中恰有1人去A地游戏的概率为
P
?
A1
?
?C
????
?

?
3
??3
?
81
(2)设“这4个人中去A地的人数大于去B地的人数”为事件B,则< br>B?A
3
1
3
?
1
??
2
?
4
?
1
??
2
?

P?C
4
? C?
4
????????
?
3
??
3
??
3
??
3
?
9

3140
A
4

好题速递122
?
?
x
?
1.已知
A?
?
x
1
,x
2
, x
3
,x
4
?

B?
?
x?R
?
2
?
x?12
?
sin?1
?
,且
x1
?x
2
?x
3
?x
4
的最小值
4< br>??
为 。
解:
y?sin
?x
4
的周期为8,图象关于点
?
12,0
?
中心对称,
y?
1
图象也关于点
2
?
x?12
?
?< br>12,0
?
中心对称,故要
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
最小,在
y
轴右侧最靠近
y
轴的 四个点






x
1
?x< br>2
?x
3
?x
4
?4?12?48

2.将 3个不相同的黑球和3个相同白球自左向右排成一排,如果满足:从任何一个位置
(含这个位置)开始向 右数,数到最末一个球,黑球的个数大于或等于白球的个数,就称
这种排列为“有效排列”,则出现有效 排列的概率为 。


解:“有效数列”要求从后往前数, 黑球数目总是大于或等于白球的个数,有如下五种模式
○○○●●●;
○○●○●●;
○●○○●●;以上三种是后两位都是黑球
○●○●○●;
○○●●○●;以上两种是后三位黑白黑(罗列要有规律)
33
5A
3
A
3
1
故概率为
?

6
A
6
4
评注:在求概率的时候所有的相同不同的球一律视为不同, 从而保证基本事件等概率。



好题速递123
1.自平面上 点
O
引两条射线
OA

OB
,点
P,Q
分 别在射线
OA

OB
上,且
PQ?2
(点
P,Q< br>与点
O
不重合),且
?AOB?
?
3
,则
P QPO
PO
?
QPQO
QO
的取值范围是 。
解:设
?OPQ?
?
,则
?POQ?
2
?2
?

?
?

0?
?
?
33
?
2
?
?
2QOcos?
?
??
PQPO QPQO
2POcos
?
3
??
???
POQOPOQO< br>
?
?
??
2
?
?
?
?
? 2
?
cos
?
?cos
?
?
?
?
?
?2sin
?
?
?
?
?
?
1,2
?
6
??
3
?
?
?
?
2.一个不透明的 袋中装有大小形状完全相同的黑球10个、白球6个(共16个),经过充分
混合后,现从中任意摸出3 个球,则至少得到1个白球的概率是 (用数值作答).
3
C
10
11
解:
1?
3
?

C
16
14


好题速递124
1.若
?ABC
的内角满足
sinA?2sinB?2sinC
,则
cosC
的最小值是 。
解:由
sinA?2sinB?2 sinC

a?2b?2c
,即
c?
a?2b

2
a
2
?b
2
?c
2
cosC??
2ab< br>a
2
?b
2
?
1
a?2b
4
2ab
??
2
3a1b26?2
??????

8b4a44


2.用红、黄、蓝三种颜色分别去涂图中标号为1,2,3,…,9的9个小正方形
(如图),需满足任意相邻(有公共边的)小正方形所涂的颜色都不相同,且
标号为“1、5、9”的小 正方形涂相同的颜色,则符合条件的所有涂法中,恰好
解:求n(?):
第一步:涂1、5、9,有3种方法;
第二步:涂2、6、3,
类①,2、6同色:涂2、6,有2种(如1涂红,则2、6可黄黄或蓝蓝),
涂3,有2种(3与2不同色,但可与1同色).故有2?2=4种;
类②,2、6不同色:涂2、6,有2种(如1涂红,则2、6可黄蓝或蓝黄),
涂3,只有1种(只能与1同色).故有2种;
第二步:涂4、8、7,与涂2、6、3一样,有4+2=6种.
故共有n(?)=3?6?6=108.
求n(A):
1
4
7
2
5
8
3
6
9
满足“1、3、5、7、9”为同一颜色,“2、4、6、8”为同一颜色的概率为 。
把“1、3、5、7、9”看作一块,“2、4、6、8”看作另一块,用3种颜色涂这2块, < br>2
∴n(A)=
A
3
?6
,∴
P
?
A
?
?
61
?
.
10818


好题速递125
x
2
y
2
1.设
A
是双 曲线
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
在第 一象限内的点,
F
为其右焦点,点
A
关于原
ab
?
??
?

O
的对称点为
B
,若
AF?BF
,设
?ABF?
?

?
?
?
,
?
,则双曲线离心率的取值
?
126
?
范围 。
解:设左焦点为
F'
,令
AF?m

AF'?n
,则
BF?AF'?n

所以
BF?AF?2a
,即
n?m?2a

因为
AF?BF
,所以
OA?OB?OF?c

所以
m
2
?n
2
?4c
2

即< br>?
m?n
?
?2mn?4c
2
?mn?2c
2
?a
2

又因为
S
?ABF
?2S
?AOF?mn?2?c
2
sin2
?
?mn?2c
2
sin2
?

于是
2c
2
sin2
?
?2c
2
?a
2

e
2
sin2
?
?e
2
?1?e
2
?
2
??
1
2
1
2
??
1

1?sin2
?
?
13
??
??
?
因为
?
?
?
,
?
, 所以
sin2
?
?
?
,
?

22
?
126
?
??



e
2
?
1

?
?
2,4?23
?
??
1?sin2
?
?

e?
?
?
2,3?1
?

2.从边长为1的正方形的中心和顶点这五点中,随机(等可能)取两点,则该两点间的距离为
2的概率是 .
2
2
解:
5

好题速递126
1.已知函数
g
?
x
?
?xx?a?2x
,若存在
a?
?
?2,3
?
,使得函数
y?g
?
x
?
?at
有三个零点,
则实数
t
的取值范围是 。
2
?
?
x?
?
2?a
?
x,x?a< br>解:
g
?
x
?
?
?
2

?
?
?x?
?
2?a
?
x,x?a

x?a
,对称轴
x?

x?a
,对称轴
x?
a?2
?a?a??2
时,
g
?
x
?

?
a, ??
?
上递增
2
a?2
?a?a?2
时,
g?
x
?

?
??,a
?
上递增
2< br>所以当
?2?a?2
时,
g
?
x
?

R
上递增,则函数
y?g
?
x
?
?at
不可能有 三个零点,故只需
考虑
2?a?3
的情况
?
a?2
?画出
y?g
?
x
?
的大致图象知,要使得函数
y?g< br>?
x
?
?at
有三个零点,只能
g
??
?g
?
a
?

?
2
?
2
?
a ?2
??

ta?
?
2a,
?
4
?
??
?
a?2
?
2
?
?
,即存在
2?a ?3
,使得
t?
?
2,
?
即可
??
4a
?
???

h
?
a
?
?
a?2< br>?
?
4a
2
a
2
?4a?4
25
? ?2
,只要使
t??
即可,而
?ha??h3?
ha?
? ???
??
??
??
max
max
4a
12

2?t?
25

12
A

D

E

2.如图,沿田字型的路线从
A

N
走,且只能向右或向下走,
随机地选一种走法,则经过点
C
的概率是 .
解:

B

C

M

F

2

3
S

N


好题速递127
1.已知
a,b
是空间相互垂直的单位向量 ,且
c?3,ca?1,cb?2
,则
c?ma?nb
的最小
值是 。
解法一:由
ca?1,cb?2

c

a
方向 上的投影为1,
c

b
方向上的投影为2,
ma?nb
是 在
a,b
组成的平面内的任意向量,
c?ma?nb
表示空间向量
c
的终点到平面上
任一点的距离,最小值就是连线垂直于平面时,即
3
2
?2
2
?1
2
?2

??
解法二:
c? ma?nb?c?ma?nb
2
??
2
?c?m
2
a?n< br>2
b?2cma?nb
22
222
??

?9?m< br>2
?n
2
?2m?4n?4?
?
m?1
?
?
?
n?2
?
?4
2.从集合
?
?1,1,2,3< br>?
中随机选取一个数记为m,从集合
?
1,2,4
?
中随机选 取一个数记为n,
则方程
mx
2
?ny
2
?mn
表 示焦点在
x
轴上的椭圆的概率为 .
1
解:
3

好题速递128
x?1
?
?
2?1,x?0
1.已知函数
f
?
x
?
?
?
2
,若关于
x
的方程
f
2
?
x
?
?
?
m?1
?
f
?
x
?
?2 m
2
?0

?
?
x?2x?1,x?0
五个不同实 根,则
m
的值是 。
解:画出
f
?
x
?
的图象,可知当
f
?
x
?
?1
时,有3个根,把
f
?
x
?
?1
代 入
f
2
?
x
?
?
?
m?1
?f
?
x
?
?2m
2
?0
,得
m?0< br>或
m?

m?0
时,方程有5个根,当
m?
1

2
11
时,
f
?
x
?
?1

f
?
x
?
?
,此时有7个根,舍去。
22
2.袋子中装有大小、材质都相同的2个绿球、3个白球共5个小球.随机从袋子中一次性
摸取2个小 球,规定摸到1个绿球得2分、1个白球得1分.问摸取2个小球的得分之和为
几分的概率是最大的?试 通过计算给出回答.
解:摸取
2
个小球的得分之和可能出现
2,3,4三种情况,依次记其发生的事件分别为
A,B,C
.………………1分
C
3
2
3

A
事件表明摸取的
2
个小球都为白球,其概率
P(A)?
2
?
;…………2分
C
5
10
11
C
3
?C
2
6
?< br>
B
事件表明摸取的
2
个小球为
1
个白球< br>1
个绿球,其概率
P(B)?
……3分
C
5
210


2
C
2
1

C
事 件表明摸取的
2
个小球为
2
个绿球,其概率
P(C)?
2< br>?
.……4分
C
5
10
通过以上的计算结果可以知道: 摸取
2
个小球的得分之和为
3
分的概率是最大
的.………5分

好题速递129
1.已知三棱锥
P?ABC
的侧面
PA C?
底面
ABC
,侧棱
PA?AB
,且
PA?PC?A?C 4A?B
,如图
AB?
平面
?
,以直线
AB
为轴旋 转三棱锥,记该三棱锥在
平面
?
上的俯视图面积为
S
,则
S
的取值范围是 。
解:因为侧面
PAC?
底面
ABC

所以在旋转过程中等 边
?PAC
在底面上的射影总在侧面
PAC
与平面
?
的交线
l
上,且长度范围是
?
23,4
?

??
由已知可推得
AB?l

所以
S
min
?43,S
max
?8

2 .袋子里有3颗白球,4颗黑球,5颗红球.由甲、乙、丙三人依次各抽取一个球,抽取
后不放回.若每 颗球被抽到的机会均等,则甲、乙、丙三人所得之球颜色互异的概率
是 。
解:
3

11


好题速递130
1.已知非零向量
a,b
的夹角为
?

a?b?3

a?b?1
,则
?
的取值范围是 。
解:由
a?b?3

a?b?1

两式平方相加和相减得
a?b?2

ab?
22
1

2
a?b?2?2ab?ab?1

22
1
?
?< br>?
?abcos
?
?cos
?
,得
?
??
0,
?

2
?
3
?
a
??
4
2
2.(1)
?
x?
?
?
a?0
?
的展开式中常数项为240,则
?
x?a
??
x?2a
?
的展开式中
x
项的
x
??
系数为 。
6


(2)2015年5月12日,尼泊尔再次发生强烈地震,世界各国纷纷 派出搜救队员参与到尼
泊尔的抗震救灾中。现要从7名中国籍搜救队员,4名非中国籍搜救队员中选5名 组成一
支特殊搜救队到某地执行任务,求这5名队员中至少有2名非中国籍队员的概率。
解:(1)
?64

51
C
7
?C
74
C
4
43
(2)
1?

?
5
C
11
66

好题速递131
1. 函数
f
?
x
?
?
4x1
?
x?0
?

g
?
x
?
?
?
x?a?x?b
?
,
?
a?b
?
,若对
?x
1
?0
?x
2
?x
1

x?12
g
?x
2
?
?f
?
x
1
?
,则
2 a?b
的最大值为 。
?
1
?
2
?
b?a
?
,x?b
?
a?b
4x4
?
,a?x?b

f
?
x
?
?
解:
g
?
x
?
?
?
x?
?4?
?
x? 0
?

2
x?1x?1
?
?
1
?
2
?
a?b
?
,x?a
?
若使对
?x
1< br>?0

?x
2
?x
1

g
?
x
2
?
?f
?
x
1
?
成立首先需使且线段
y?x?
11
?
b?a
?
?4

?
a?b
?
?0

22
a?b4x
,a?x?b
与曲线
f
?
x
?
?
?
x?0
?< br>无交点
2x?1
a?b
?
y?x?
?
a?b
?
a?b
?
?
2
x??0
无正根 由
?

x
2
?
?
3?
?
22
4x
??
?
y?
?
x?1
?
3?
(i)若
a?b< br>2
a?b
??
2
?0
,即
a?b??6
时, 要求
??3?
??
?2
?
a?b
?
?0

2
2
??
解得
?18?a?b??2
,即
?6?a ?b??2

(ii)若
a?b??6
时,满足
?
综上,< br>a?b??2

a?b
?0
,恒成立
2
?
b?a?8
?
故要使对
?x
1
?0

?x
2
?x
1

g
?
x
2
?
?f?
x
1
?
成立只需
?
a?b
,画出可行域可得
?
a?b??2
?
2a?b??7


2.( 1)若复数
z
与其共轭复数
z
满足
z?5

z?z ?2
,则
z?
(2)若函数
f
?
x
?
?< br>解:(1)2
(2)
5
?

z
x?a
的图象总在
F
?
x
?
?x
图象的上 方,求实数
a
的取值集合。
lnx
x?a
?x

x?0

x?1
恒成立,
lnx

a?x?xlnx??
min
,x?1

a?x?xlnx
??
min< br>,0?x?1


g(x)?x?xlnx
,……,得
a?1



好题速递132
1.已知
f
?
x
?
?x
2
?2a1?x
2
?a
2
?4a?5
,若
f
?
x
?
的最大值是
g
?
a
?
,则关于< br>a
的不等

log
1
g
?
a
??3?0
的解集是 。
2
解: 令
1?x
2
?t?
?
0,1
?
,则
x2
?1?t
2

所以
f
?
t
?
??t
2
?2at?a
2
?4a?6??
?
t?a
?
?2a
2
?4a?6


a?0
时,
g
?
a
?
?f
?
0
?
?a
2?4a?6


0?a?1
时,
g
?
a
?
?f
?
a
?
?2a
2
?4a?6
< br>当
a?1
时,
g
?
a
?
?f
?1
?
?a
2
?2a?5

2
log
1
g
?
a
?
?3?0?g
?
a
?
? 8
,解得
a?2?6

a?3

2
2.(1)设< br>a?R
,复数
z
满足:
iz-a=2i-z

|z| =5
(其中
i
为虚数单位),求
a

(2)已知
x?0
是函数
f(x)?x
3
?bx
2
?cx
的 一个极值点,
f(x)
图像经过点
A(3,0)
.设
f(x)
在其图像上不同两点
P(x
1
,y
1
),Q(x
2
,y
2
)
处的切线分别为
l
1
,l
2
. 当
l
1
l
2
时,求证
x
1
+x
2
为定值.
(1)解:由
iz-a=2i-z

z=

a+
再由
|z|=5





2
2
a+2i
(a+2i)(1-i)
a+2+(2-a)i
=

=< br>(1+i)(1-i)
2
1+i
2
2


2 -a
+



2
=25
.
解得
a=?46

(2)解:由
f(x)?x
3
?bx< br>2
?cx

f
?
(x)?3x
2
?2bx? c


x?0
是函数
f(x)
的一个 极值点知
f
?
(0)?c?0


又由
f(x)
图像经过点
A(3,0)

f(3)?27?9b?3 c?0

所以
b=-3

f(x)?x
3
?3x
2

2

l
1
l
2

f< br>?
(x
1
)?f
?
(x
2
)?3x
1
2
?6x
1
?3x
2
?6x
2

化为
3(x
1
-x
2
)(x
1
+x
2
-2)=0
.由于
x
1
-x
2?0
,得
x
1
+x
2
=2

所以当
l
1
l
2
时,
x
1
+x
2
为定值.

好题速递133
1.如图,一条隧道的截面由一个长方形和抛 物线构成,现欲在隧道抛物线拱顶上安装监控
探头,若位置
C
对隧道底
AB< br>的张角
?
最大时,采集效果最好,则采集效果最好时位置
C

AB
的距离是 。
解:以抛物线顶点为原点建 系,则抛物线方程为
x
2
??4y

A
?
?4,? 6
?
,B
?
4,?6
?
,C
?
x,y?


?ACB?
?
,则
cos
?
?
CACB
CACB


S
?ABC
?
11
?8?
?
6?y
?
?CACBsin
?

22
8
?
y?6
?
x
2
?16?
?
y?6
?
2
所以两式相除得
tan
?
??
88
?4
?
y?6
?
?
y?6

当且仅 当
y?22?6
时,即
C

AB
的距离为
22m时,取得
?
tan
?
?
max
?
8
??2
22?4
?
2?2

?
2.(1)某校周四下午第三 、四两节是选修课时间,现有甲、乙、丙、丁四位教师可开课。
已知甲、乙教师各自最多可以开设两节课 ,丙、丁教师各自最多可以开设一节课。现要求
第三、四两节课中每节课恰有两位教师开课(不考虑教师 所开课的班级和内容),则不同
的开课方案共有 种。
解:若只有甲乙两人开课,他们两人每人开设两节,只有一种方案;
111
A
2
A
2
?8
种方案; 若甲乙两人开课, 丙丁中有一人开课,则有
C
2
12
A
2
?4
种方案 ; 若甲乙两人中有一人开课,丙丁两人均开课,有
A
2
22
C
2< br>?6
种方案; 若甲乙丙丁四人全部开课,每人一节,有
C
4
故共有19种


2
??
(2)若二项式
?
3x
2
?
3
?< br>(n?N
*
)
展开式中含有常数项,则
n
的最小取值是 。
x
??
n
解:7

好题速递134
x2
y
2
1.已知双曲线
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
的左、右焦点分别为
F
1
,F
2
,过
F
2
的直线交双曲线
ab
的右支于
P,Q两点,若
PF
1
?F
1
F
2
,且
3P F
2
?2QF
2
,则双曲线的离心率为 。
解:如图所示,标出两个焦点三角形各边的长度,
M

PF
2
的中点,则在
Rt?PF
1
M,Rt?F
1
MQ
中,利用 勾股定理得
2
FM?
?
2c
?
?
?
c? a
?
?
?
3c?a
?
?
?
4c?4a?

1
2222
所以
5c
2
?12ac?7a
2
?0


e?
7

5
2.(1 )将二项式
(x?
1
2
4
x
)
n
的展开式 按
x
的降幂
排列,若前三项系数成等差数列,则该展开式中
x
的指数 是整数的项共有 个。
(2)无重复数字的五位数a
1< br>a
2
a
3
a
4
a
5
, 当a
1
2
, a
2
>a
3
, a
3
4
, a
4
>a
5
时称为波形数 ,
则由1,2,3,4,5任意组成的一个没有重复数字的五位数是波形数的概率为 。
解:(1)3个
5
?120
种不同排法 (2)五个数任意排列,有
A
5
3
?6
种 若将5排在
a< br>2
位置,4排在
a
4
位置,其余三个数任意排,有
A
3
5与4交换位置,又有6种;
若将5排在
a
2
位置,3排在a
4
位置,则4只能排在
a
1
位置,其余两个数有2种排法;5 与3
交换位置,又有2种;
共计6+6+2+2=16种,概率为

162
?

12015
好题速递135
1.已知向量a,b
的夹角为
?
3

a?b?5
,向量
c? a

c?b
的夹角为
2
?

3
c?a?2 3
,则
ac
的最大值为 。
解法一:
OA?a,OB?b,OC?c
,则
AC?c?a?23

AB?a?b?5
,又


?AOB?
?
3

?ACB?
2
?
,此时
O,A,C,B
四点共圆(也可能不四点共圆 ,点C关于AB
3
34
,则
cos?ABC?

55
22
对称点也可,但要使
ac
最大,显然四点共圆时更大)。
由正弦定理得
sin?ABC?

?ACO
中,
?AOC? ?ABC
,由余弦定理得
AC
2
?a?c?2accos?AOC


12?2ac?
8
ac?ac?30

5
所以
ac?accos?AOC?24

解法二:同前,
O,A,C,B
四点共圆
由正弦定理得
R?
5
33

sin?ABC?

tan?ABC?

54
3

ac?accos?AOC?
2S
?OAC
8< br>?S
?OAC

tan
?
3
预 祝 大 家 高 考 满 堂 红
祝 大 家 高 考 满 堂 红
大 家 高 考 满 堂 红
家 高 考 满 堂 红
高 考 满 堂 红
考 满 堂 红
满 堂 红
堂 红

所以当且仅当
?AOC
为等腰三角形时,
?< br>S
?OAC
?
max
?S
?NAC
?9


ac
的最大值为24。
解法三:同前,
O,A,C,B
四点共圆
AC
2
由极化恒等式
ac?OE?

4
2
2
AC
2
?NE?3?24

ac ?OE?
4
2
2.(1)“预祝大家高考满堂红”这句话,如图所示形式排
列 ,从“预”字读起,只允许逐字沿水平向右或竖直向下方
..
向读,则读完整句话的不同读法共 有 种.
答案:
2
8
?256

(2 )
?
x?1
??
x?1
?
的展开式中
x
5
的系数是 。
解:14

8
好题速递136
2015年浙江第18题
2
设函数
f
?
x
?
?x?ax?b
?
a,b?R
?
, 记
M
?
a,b
?

y?f
?
x
?

?
?1,1
?
上的最大值
(1)设
a?2,求证:
M
?
a,b
?
?2

(2)若
M
?
a,b
?
?2
,请求出
a?b
的最值。 < /p>


证明:(1)因为对称轴
x
0
??
aa
??1

x
0
???1

22
f
?
x< br>?
max
?maxf
?
?1
?
,f
?
1
?
?max
?
1?a?b,1?a?b
?

证法一:规划视角
??
a?b?1?1?a?b?
?
b?1
?
?2a
?
b?1
?
?a
2
?
?
b?1
?
?2a
?
b?1
?
?a
2
?a
?
b?1
?
?0
22
?
?
b?1?a,4 a
?
b?1
?
?0
?max1?a?b,1?a?b?
??
?
b?1?a,4ab?1?0
,又结合
a?2

max
??
?
?
可以从规划视角来解题,以
a
为横坐标,
b
为横坐标建系,
?
?
4a
?
b?1
?
?0
画出可行域
?
如图1所示,
?
?
a?2
b? 1?a
目标函数
b?1?a?2
视为可行域内的点
?
a,b
?
到直线
x?y?1?0
的距离的
2
2
倍,显然当
?
a,b
?
取点
?
?2,?1
?

b?1 ?a
min
?2?2?2


f
?
x
?< br>?
?
4a
?
b?1
?
?0
同理,可行域?
如图2所示,
?
?
a?2

目标函数
1? a?b?
2

2
倍,显然当
?
a,b
?
取 点
?
2,?1
?

b?1?a
min
?2

综上,
M
?
a,b
?
?2

证法二:绝对值不等式
2
?a?b?1

视为可行域内的点
?
a,b
?
到直线
?x?y?1?0
的距离
f
?
x
?
max
?maxf
?
?1
?
,f?
1
?
?max
?
1?a?b,1?a?b
?
1?a?b?1?a?b
?
1?a?b
?
?
?
1?a?b< br>?
???a?2
22

??


解法三:
M
?
a,b
?
?max1?a?b,1?a?b


b?1?t
,则
M
?
a,b
?
?g
?
t
?
?maxt?a,t?a

在同一个坐标系中画出
y
1< br>?t?a

y
2
?t?a
的图象,两者取其大,则显然当t?0
时,
??
??
g
?
t
?
min
?a?2


M
?
a,b
?
?2

(2)解法一:规划视角
?
?
?
?
M
?
a,b
?
?2?
?
?
?
?
?
?
f
?
1
?
?a?b?1?2
?
?a?3?b??a?1
??
2?a?b?1?2
?
?
f
?
?1
?
??a?b?1?2?
?
?2??a?b?1?2?
?
a?3?b?a?1
?
?8?a
2
?4b?8
?
a
22
aa1
?
??
?
?2?b??2
f
?
?
?
?a
2
?4b?2
?44
?
2
?
4显然又是一个规划问题了。

a
为横坐标,
b
为横坐标建系, 画出可行域如图中
ABC
的蓝色部分。这里画图时注意到
上下两条抛物线恰与两条直线 相切(这里命题人命题时可能又是两边夹的应用)
?
a?b,a?0,b?0
??a?b,a?0,b?0
?
目标函数
z?a?b?
?
?
?a?b,a?0,b?0
?
?
a?b,a?0,b?0
(当 然这个目标函数也可以理解为一个正方形逐渐变大)

显然当
?
a,b?
在第一象限(含坐标轴)时,目标函数
a?b?
?
0,1
?< br>

?
a,b
?
在第二象限时,目标函数
?a?b?
?
0,3
?


?
a,b
?
在第 三象限时,目标函数
?a?b?
?
0,3
?


?
a,b
?
在第四象限时,目标函数
a?b?
?
0,1
?

综上,
a?b
的最大值为3,最小值为0。
解法二: < /p>


显然
a?b?0
,而
a?b?0
时,
f
?
x
?
?
2

M
?
a,b
?< br>?M
?
0,0
?
?1?2
,所以
x
a?b? 0
可以取到,所以
?
a?b
?
min
?0

又由(1)的逆否命题可知当
M
?
a,b
?
?2
时,必有
a?2

?
?
f
?
1
?
?1? a?b?2

?
?4?1?a?b?1?a?b?2?2b??3?b?1

?
?
f
?
?1
?
?1?a?b?2
(i) 若
0?b?1
,则
a?b?2?1?3

a
(ii)若?3?b?0
,则
??
?
?1,1
?

2a
2
?
a
?
f
?
?
?
??? b??M
?
a,b
?
??2

4
?
2?
2
?a?
a
2
a
2
??
?
?1
?
?3?3
所以
0?b??2?
,从而
a?b?a? 2?
4
4
?
2
?
2
当且仅当
a?2,b? ?1
时,
f
?
x
?
?x?2x?1

M< br>?
a,b
?
?2

a?b?3

综上,
a?b
的最大值为3,最小值为0。
解法三:
显然a?b?0
,而
a?b?0
时,
f
?
x
??
2

M
?
a,b
?
?M
?
0,0
?
?1?2
,所以
x
a?b?0
可以取到,所以?
a?b
?
min
?0

?
?
f
?
?
?
f
1
?
a?
?
f< br>?
1
?
?f
?
?1
?
?
?
?
?
1
?
?1?a?b
?
2
?
?
?

1
?1?1?a?b
??
?
b?
?
f
?
1
?
?f
?
?1
?
?2
??
?
?2
?
1111
f
?
1
?
?f
?
?1
?
?f
?
1
?
?f
?
?1
?
?2?f
?
1
?
?f
?
?1
?
?f
?
1
?
?f
?
?1
?
?1

2222

a?b?1?f
?
1
?

a?b?1?f
?
?1
?


a?b?

f
?
?1
?
?2
,故
a?b?3

这种解法范韡同学考前特地拿来问,硬逼着我去解,难道
他做梦做到这个题了?呵呵!


好题速递137
2015年第20题
已知数列
?< br>a
n
?
满足
a
1
?
(1)求证:
1 ?
1
2

a
n?1
?a
n
?a
n
?
n?N*
?

2
a
n
?2
?
n?N*
?

a< br>n?1
2
(2)若数列
a
n
的前
n
项和为< br>S
n
,证明:
??
S
11
?
n
?< br>
2
?
n?2
?
n2
?
n?1
?< /p>


证明:解法一:综合法
2
(1)
a
n?1
? a
n
??a
n
?0
,故
a
n?1
?an
?a
1
?
1

2
11
a
n ?1
?1?a
n
?0
,故
a
n?1

a< br>n
同号,又因为
a
1
??0
,故
a
n
?0
,即
0?a
n
?

22
a
n
a
a
?
1
?
所以
n?1
?1?a
n?
?
,1
?
,即
1?
n
?2
?
n?N*
?

a
n?1
a
n
?
2
?

解法二:分析法
1
?
11
?
2
a
n?1
?a
n
?a
n
??
?
a
n
?
?
??

2
?
44
?
2
a
n?1
?a
n
?a
n
?a
n?
1?a
n
?
,故
a
n?1

an
同号,又因为
a
1
?
2
1
?0
,故
a
n
?0
,即
2
1
a
,且
n?1
?
n?N*
?

2
a
n?1
aa
n
2
另一端要证
n
?2
,即证
?2
,即证
a
n
?2a
n
?0
,即证
a
n
?
1?2a
n
?
?0
,显然
2
a
n?1a
n
?a
n
a
成立,故
1?
n
?2< br>?
n?N*
?

a
n?1
0?a
n
?
2
本题的几何背景:
a
n?1
?a
n
?a
n
?
n?N*
?
是二次型结构的递推关系式,所以可将
?
a
n
,a
n?1
?
视为抛物线
y??x
2
?x
上的点,则
画出
y??x?x
?
0?x?
2
a
n?1
可视为点
?
a
n
,a
n?1
?与原点连线的斜率。
a
n
1
?
?
的图象,
2
?
1
?
11
?
?
1
?
因为原点 处的导数值
y'|
x?0
?1

?
,
?
点 与原点连线斜率为,故
k?
?
,1
?

2
?
24
?
?
2
?
a

1?
n
?2
?
n?N*
?

a
n?1
?
?
2
(2)由
a
n
?a
n
?a
n?1

可得
S
n
?a
1
?a
2
?
分析法
222
?a
n
?
?
a
1
?a
2< br>?
??
?
a
n
?a
n?1
?
?a< br>1
?a
n?1
?
1
?a
n?1

2
S
11nn
,即证
?
n
??S
n?
2
?
n?2
?
n2
?
n?1
?2
?
n?2
?
2n?2
11111
??a
n? 1
??
即证
?

2n?2222n?2
11
?a
n?1
?
即证(★) 2n?2n?2
2
解法一:由
a
n?1
?a
n
?a
n
?
n?N*
?
的二次型结构,考虑用取倒法证明
要证
11111

????
2
a
n?1
a
n
?a
n
a
n
?
1?a
n
?a
n
1?a
n


111
??

1 ?a
n
a
n?1
a
n
1
11
由(1)知< br>0?a
n
?
,得
??
?
1,2
?

2
a
n?1
a
n
11
11
?a
n ?1
?
累加得
n?

??2n
,即
2n?2n?2
a
n?1
a
1

从而★式得证,原命题得证。
解法二:从第一小题的结论出发,利用单调性放缩
2

a
n
?a
n?1

a
n?1
?a
n
?a
n< br>?a
n
?a
n
a
n?1

所以
a< br>n
?a
n?1
?a
n
a
n?1
,即
故累加得
11
??1

a
n?1
a
n
1
11

?n??n?2< br>,所以
a
n?1
?
n?2
a
n?1
a
1
2
同理,又由第1小题的另一边
a
n
?2a
n?1
a
n?1
?a
n
?a
n
?a
n?2a
n
a
n?1

11
??2

a
n?1
a
n
1
11
故累加得
?2n? ?2n?2
,所以
a
n?1
?
2n?2
a
n?1< br>a
n
11
?a
n?1
?
即,得证。
2n? 2n?2

评注:本解法多次用到了累加,是典型的等变不等的问题。特别是第二小题,如果在 第一
小题的基础上,想到将不等号全部改为等号,那么提示意味就很明显一些了。

考前学生们做了
1、已知数列
?
a
n
?
中,a
1
?1

na
n?1
?2
?
a1
?a
2
??a
n
??
n?N*
?

(I)求
a
2
,a
3
,a
4
; (II)求数列
?
a
n
?
的通项公式
a
n

1
1
2

b
n?1
?b
n
? b
n
,求证:
b
n
?1
?
n?k
?

2
a
k
解:(I)
a
2
?2,a
3< br>?3,a
4
?4

(III)设数列
?
b
n
?
满足
b
1
?
(II)
na
n?1
?2S
n

?
n?1
?
a
n
?2Sn?1

两式相减得
na
n?1
?
?
n?1< br>?
a
n
?2a
n
,即
na
n?1
?
?
n?1
?
a
n
,故累乘得
a
n
?n

1
2
b
n
?b
n
?b
n< br>?b
n?1
??b
2
?b
1
?0

k

?
b
n
?
是单调递增数列,故要证
b
n
?1
?
n?k
?
,只需证
b
k
?1
(III)由(II)得
b
n?1
?
1
?1
,显然成立;
2
1
2
1

k?2
,则
b
n?1
?b
n
?b
n
?b
n
b
n ?1
?b
n

kk
1
111
???
故< br>b
n?1
?b
n
?b
n
b
n?1
, 即
k
b
n?1
b
n
k

k?1
, 则
b
1
?


?
11
?
11
?
11
??
11
?
k?1k?1

?
???????????2?
???
??
b
k
?
b
k
b
k?1
??
b
k?1
b
k?2
?< br>bbbkk
?
21
?
1
k
?1
,所以
b
n
?1
?
n?k
?
所以
b
k
?
k?1



好题速递138
(2015年浙江高考第13题)如图,在三棱锥
A?BCD
中,
AB?AC ?BD?CD?3

AD?BC?2
,若
M,N

别为AD,BC
的中点,则异面直线
AN,CM
所成角的余弦
值为 。
解析:因为三棱锥三组对边相等,故可以将其放入长方
体内,构造长方体模型解决。
宽、高分别为
7,2,2

建系得
A0,0,
D
A
M
B
N
C
N
D
如图所示,根据题中条件
AB?AC?BD?CD?3
,< br>AD?BC?2
,可得构造的长方体长、
??
2

B
?
2,7,2

C0,7,0

???
?
?
2
?
22
?
2
?
,0,N,7,

2, 0,0

M
????
?
2
??
2
?

22
????
?

AN?
?
?
?2
?
22
?
2
?
,7,?,CM?,?7,
? ??
??
2
?

222
????
11
?7 ?
22
7

A0,0,2

cos
?
??

8
8?8
??
当然构建了长方体,用几何法也是易如反掌了,连< br>结
ME
,显然
MEAN
,故所求角即为
?CME
< br>因为
ME?MC?MD
2
?DE
2
?1?7?22

EC?2


cos?CME?


8?8?2
2?8?8
?
7

8
好题速递139
(2015浙江高考第14题)若实数
x,y
满足
x
2
?y
2
?1
,则
2x?y?2?6?x?3y
的最小值
是 。
解:因为
x
2
?y
2
?1
,故
6?x ?3y?0
恒成立,故


?
?
x?2y?4,
?2x?y?2?0,6?x?3y?0
?

2x?y?2?6?x?3y?
?
?3x?4y?8,2x?y?2?0,6?x?3y?0
??
?
?结合
x
2
?y
2
?1
,画出可行域如图,
第一段: 第二段:











目标函数
z?x?2y?4
目标函数
z??3x?4y?8

?
34
??
34
?
此时最小值在点
A
?
,
?
取得为3 此时最 小值在点
A
?
,
?
取得为3(注意到
OA?l

?
55
??
55
?
点评:本题属于去绝对值的常规线性规划 题,大家还记得3
月23日每日征解吗?就是可行域从圆改为正方形。
?
?
a,a?b
?
x?2
3月23日每日征解:定义
max
?
a ,b
?
?
?
,设实数
x,y
满足约束条件
?,则
?
b,a?b
?
?
y?2
z?max
?< br>4x?y,3x?y
?
的取值范围是 .
1
?
4x?y,y?x
?
?
2
解:
z?
?
?
3x?y,y??
1
x
?
2
?< br>作出
?
?
?
x?2
所对应的区域如图所示:
??
y?2
由图可知:
z?max
?
4x?y,3x?y
?
?
?
?7,10
?




好题速递140


(2015浙江高考第15题)已知
e
1< br>,e
2
是空间单位向量,
e
1
e
2
?
be
1
?2

be
2
?
1
,若空间向量
b
满足
2
5
,且对于任意
x,y?R

b ?xe
1
?ye
2
?b?x
0
e
1
?y< br>0
e
2
?1
?
x
0
,y
0
?R
?

2
????

x
0
?

y
0
?

b?

解法一:向量的几何意义角度
如图所示,
OM?2

ON?
5

2
对于 任意
x,y?R

b?xe
1
?ye
2
?b?x< br>0
e
1
?y
0
e
2
?1
?
x
0
,y
0
?R
?
表示空间向量
b
的终点 到
平面上任一点距离的最小值就是连线垂直于平面时,即图中
BC?1

BC ?

MON

故画出底面图如右图,延长
ON

M C
交于点
P
,设
NC?x
,则
NP?3x

故在
?OMP
中,
OP?2OM
,即
CM?3

OC?2
2
?3?7

????
5
3

PC?3

PM?23

?3x?4
,得
x?
2< br>2
C
点恰为
PM
的中点,作
CQOM

CR ON

P

OC?OR?OQ?x
0
e
1
?y
0
e
2
?1?e
1
?2?e
2
< br>故
x
0
?1

y
0
?2

b?7?1?22

N
2.5e
2

C
O
M
2e
1

B





O
?
1
N
Q
C

解法二:向量的坐标运算角度
建立空间直角坐标系,其中
e
1
?< br>?
1,0,0
?
,e
2
?
?
?
,< br>R
M
3
?
,0
?
?
,设
b?< br>?
m,n,t
?

22
??
5
由题中条件
be
1
?2

be
2
?
可知
m? 2,n?3
,故
b?2,3,t

2
??

b?x e
1
?ye
2
?b?x
0
e
1
?y
0
e
2
?1
?
x
0
,y
0
?R
?

2
2
?
?
y
0
y
? ?
?
3y
0
??
?
3y
2

?< br>x??2
?
?
?
?3
?
?t?
?
x
0
??2
?
?
?
?3
?
?t
2< br>?1
对任意
x,y?R
恒成立
??
?
22
??
?
2
??
?
?
?
2
?
22
????


2
2
2
2
?
??
??
?
3y
?
y3y
y
??
?0
?3
?
?t
2
?
?t
2
?
?
x
0
?
0
?2
?
?
?
?3?
?t
2
?1
所以
?
?
x??2
?
?
?
??
??
2222
?
?
?
?
??
??
??
??
min
2
?
y
0
??
?
3y
0

?
x
0
??2
?
?
?
?3
?
?0

?
2
??
?
?
2
?
2
y
0
?
x?? 2?0
0
?
?
x?1
2
?
所以
?
,解得
?
0
,且
t
2
?1
,故
b?22< br>
?
y
0
?2
?
3y
0
?3?0< br>?
?2
解法三:向量的代数运算角度

b?xe
1
?ye
2
?1

x
2
?
?
4?y
?
x?5y?y
2
?b?1?0
对任意
x,y?R
恒成立
这里出现了双任意问题,故用双△法求解
先对任意
x?R

x2
?
?
4?y
?
x?5y?y
2
?b?1?0
恒成立

?
x
?
?
4?y
?
? 4?5y?y
2
?b?1?0
恒成立,
即对任意
y?R

3y
2
?12y?4b?20?0
恒成立

?
y
?12
2
?124b?20?0
,解得
b?22

对于任意
x,y?R

b?xe
1
?ye
2
?b? x
0
e
1
?y
0
e
2
?1
?x
0
,y
0
?R
?

22
2
?4y
0
?4?0

?
?
4?y
0
?
x
0
?5y
0
?y
0
?7?0

y
0

b?22
,此时
x
0< br>2
2
??
2
2
?
2
?
?
2
?
????
解得
y
0
?2

x
0
?2

同学们,你们还记得5月29日每日征解吗?就是这个题的
倒推解法。
5月29日每日征解:已知
a,b
是空间相互垂直的单位向量,且
c?3,c a?1,cb?2
,则
c?ma?nb
的最小值是 。
解法一:由
ca?1,cb?2

c

a
方向 上的投影为1,
c

b
方向上的投影为2,
ma?nb
是 在
a,b
组成的平面内的任意向量,
c?ma?nb
表示空间向量
c
的终点到平面上


任一点的距离,最小值就是连线垂直于平面时,即
3< br>2
?2
2
?1
2
?2

??
解法二 :
c?ma?nb?c?ma?nb
2
??
2
?c?m
2< br>a?n
2
b?2cma?nb
22
222
??
?9?m
2
?n
2
?2m?4n?4?
?
m?1
?
?
?
n?2
?
?4


好题速递141
(2015江苏第12题)在平面直角坐标系
xOy
中,< br>P
为双曲线
x
2
?y
2
?1
右支上一个动< br>点,若点
P
到直线
x?y?1?0
的距离大于
c
恒成 立,则实数
c
的最大值为 。
解法一:代数解法 d?
x?y?1
2
?
x?y?1
2
?
y
2
?1?y?1
2

因为
y
2
?1?y?
1
y
2
?1?y
关于
y
单调递减,故当
y???
时,
y
2
?1?y?0


d
min?
1
2
,故
c
max
?

2
2
这里用到了分子有理化,可以有效解决两个根号相减无法判断单调性的问题。
解法二:本题的几何意义就是双曲线的渐近线,是考查双曲线渐近线的一道好题。
注意到双曲 线
x
2
?y
2
?1
的一条渐近线是
y?x
与直线
x?y?1?0
平行,故双曲线右支上
的点到
x?y?1?0
的距离可以理解为双曲线右支上的动点
P
到渐近线
y?x
的距离加上两
平行线间的距离
1
2
。显然当
P
无限接近渐近线,距离接近于0, 故
d
min
?

2
2
c
max
?
2

2
好题速递142
(2015四川第10题)设直线
l
与抛物线
y
2
?4x
相交于
A,B
两点,与圆< br>?
x?5
?
2
?y
2
?r
2
?r?0
?
相切于点
M
,且
M
为线段
AB
的中点,若这样的直线
l
恰有4
条,则
r
的取值范围是( )
A.
?
1,3
?
B.
?
1,4
?
C.
?
2,3
?
D.
?
2,4
?

22
?
y
1
2
??
y
2
??
y
1
2
?y
2y?y
2
?
解法一:设
A
?
,y
1
?

B
?
,y
2
?

M
?
,
1
?

C
?
5,0
?
为圆心
4482
??????



y
1
??y
2时,
k
AB
?

k
AB
?k
CM4
?
y?y
?
4

k
CM
?
2
1
2
2

y
1
?y
2
y
1
?y
2
?40
6
5
4
3
2
1
y
4
?
y?y
?
4
2
?24
< br>??
2
1
2
2
??1

y
1
2
?y
2
y
1
?y
2
y
1
?y
2
?40
?
?

?
2
A
M
FC
23456789
?
y?y
2
所以
M
?3,
1
2
?

r
2
?CM
2
?4?
x
–1
O
–1
1
?
y
1
? y
2
?
4
2
?10?
1
y
1
y< br>2

2
–2
–3
–4
–5
B
2?2r
2
?20
所以
y
1
2
y
2< br>??
2
–6
2

y
1
2
,y
2
是方程
t
2
?24t?2r
2
?20
??2
?0
的两个不同正根,由
??0

2?r?4
此时满足题意且不垂直于
x
轴的直线有两条,又显然还存在两条垂直于
x
轴的直线满足条
件,故
2?r?4

解法二:设点同上,
x
M
?3

M
在抛物线内,故
?23?y
M
?23

2
2
因为点
M
在圆上,故
?
x
M
?5
?
?y
M
?4?16

?r
2,故
r
2
?y
M
2

y
M
? 4?4
,故
4?r
2
?16
,即
2?r?4

2

好题速递143
(2015四川第9题)如果函数
f
?
x
?
?
1
?
1
?
?
m?2?
x
2
?
?
n?8
?
x?1
?
m?0,n?0
?
在区间
?
2
,2
?
2
??
81

2
上单调递减,则
mn
的最大值为( )
A.16 B.18 C.25 D.
?
m?2?0
?
m?2?0
?
n?8
?
n?81
?
m?2?0
??
?
?2

?
??

?
n?8?0
解法一:画出可行域
?
?
?
m?2
?
m?22
?
m?0,n?0
?
?
?
m?0,n?0
?
?
m?0,n?0
?
m?2n?18? 0
1
?
??
(或用导数
f'
?
x
?
?
?
m?2
?
x?
?
n?8
?
?0
x?
?
,2
?
恒成立,即
?
2m?n?12 ?0

?
2
?
?
m?0,n?0
?
令< br>mn?t
,则
m?
t
tt
,当函数
y?
与可 行域相交变化中,看
t
的变化可得,当
y?

n
nn
1
y?6?n
相切时,取得最大值,则两式联立
??0
,解得
n? 8,t?18

2



解法二:当
m?2?0
时,
?
n?8
?2?2m?n?12
,故
22mn?2m?n?12 ?mn?18

m?2
当且仅当
2m?n,2m?n?12?m?3,n?6
时取得等号 < br>当
m?2?0
时,
?
n?8181
??m?2n?18
,故
22mn?m?2n?18?mn?

m?222
当且仅当
m ?2n,m?2n?18?m?9,n?4.5
时取得等号,因为
m?2
,故取不到。
故要使
mn
取最大值,应有
2n?m?18
?
0?m?2, n?8
?


mn?
?
18?2n
?
n?16

综上,
mn
最大值为18


好题速递144
(2015福建第8题)若
a,b
是函数
f
?
x
?
?x
2
?px?q
?
p?0,q?0
?
的两个不同的零点, 且
a,b,?2
这三个数可适当排序后成等差数列,也可适当排序后成等比数列,则
p ?q
的值等
于( )
A.6 B.7 C.8 D.9
解:因为
a?b?p?0,ab?q?0
,故
a?0,b?0
所以
a,b,?2
这三个数排序成
a,?2,b

b,?2,a
成等比数列,所以
ab?4
(1)
不妨设
a?b?0
,则
a,b,?2

?2,b,a
成等差数列,故
a?2?2b< br> (2)
由(1)(2)得
a?4,b?1
,得
p?q?9





好题速递145


?
3x?1,x? 1
fa
(2015山东第10题)设函数
f
?
x
?
?
?
x
,则满足
f
?
f
?
a
?< br>?
?2
??

a
的取值范围
?
2,x?1< br>是( )
?
2
??
2
?
A.
?
,1
?
B.
?
0,1
?
C.
?
,??
?
D.
?
1,??
?

?
3
??
3
?
解法一:当
a?1
时,有
f
?
a
?
?2
a
?2
,则
f
?
f
?
a
?
?
?2
2
,而
2
a
f
?
a
?< br>?2
2
,等式两段成立
a

a?1
时,有
f
?
a
?
?3a?1


2
fa
?a?1

f
?
f
?
a
?
?
? 2
3a?1

2
??
?2
3a?1
,等式成立 < br>3
2
fa
,则
f
?
f
?
a
?
?
?3
?
3a?1
?
?1

2
??
?2
3a?1
,此时
2
3a?1
?9a?4
, 不成立
3

0?a?
?
2
?

a??
,??
?

?
3
?
?
3x?1,x ?1
解法二:换元法,画出函数
f
?
x
?
?
?x
的图象,可知函数
y?f
?
x
?
单调递增
2,x?1
?

f
?
a
?
?t

f
?
f
?
a
?
?
?2
f
?
a
?
?f
?
t
?
?2
t
?t?1?f< br>?
a
?
?1?a?




2

3
好题速递146
x
2
y
2
(2015山东第15题)平面直角坐标系
xOy
中,双曲线
2
?
2
?1
?
a?0,b?0
?
的渐近线与
ab
抛物线
C
2
:x
2
?2py
?
p?0
?
交于
O

A

B
,若
?OAB
的垂心为< br>C
2
的焦点,则
C
1
的离心
率为 。
2pb
?
x?
?
b
?a
2
解:设渐近 线方程为
y??x
,与
C
2
:x?2py
?
p?0
?
联立得
?

2
a
?
y?
2pb
?
a
2
?
?
2pb2pb
2
?
A
?
,
2
?

aa
??
?
p
?
而抛物线
C
2
的焦点
F
?
0,
?恰为
?OAB
的垂心,故
k
OB
?k
AF
?? 1

?
2
?


2pb
2
p
?
b
a
2
b
2
5
2
??1
,化简得
2
?
所以
??
2pb
a4
a
a
所以
e?


3

2
好题速递147
x
2
y
2
(2015重庆第10题)设双曲线
2
?
2
?1
?a?0,b?0
?
的右焦点为
F
,右顶点为
A
,过点< br>ab
F

AF
的垂线与双曲线交于
B,C
两点,过< br>B,C
分别作
AC,AB
的垂线交于点
D
。若
D
直线
BC
的距离小于
a?a
2
?b
2
,则双曲线的渐近线斜率的取值范围是( )
A.
?
?1,0
?
C.
?2,0
?
0,1
?
B.
?
??,?1
?
D.
??,?2
?
1,??< br>?

???
0,2
?

???
2,??

?
?
b
2
??
b
2
?
解法一:由题意得
A
?
a,0
?
, 直线
BC
方程为
x?c
,则
B
?
c,
?< br>,
C
?
c,?
?

a
??
a
??
不难看出
D
点为
?ABC
的垂心,由于
AB?AC< br>,垂心
D

x
轴上
b
2
ab
2< br>??
由直线
AB
的垂线方程为
y?
?
x?c
?
,令
y?0
,得
x
D
?c?
2
?
c?a
?

aa?ca
b
2

D
点到直 线
BC
的距离为
2
?
c?a
?
?a?a
2
?b
2

a
?
b
2
?
2
b
2
2
化简得
?
2
?1
?
a?b?a?< br>,可得
a
2
?b
2

a
?
a
?
于是渐近线的斜率
k???
?
?1,0
?
b
a
?
0,1
?

b
2
解法二:
BF?

AF?c?a

a
BF
2
b
4

Rt?ABD
中,
DF??
2
?a?c

AFa
?
c?a
?
化简得< br>a
2
?b
2

于是渐近线的斜率
k???
?
?1,0
?

b
a
?
0,1
?


好题速递148
?
??
(2015湖南第9题)将函数f
?
x
?
?sin2x
的图象向右平移
?
?< br>0?
?
?
?
个单位后得到函数
2
??
g?
x
?
的图象,若对满足
f
?
x
1
?
?g
?
x
2
?
?2

x
1
,x
2
,有
x
1
?x
2
min
?
A.
?
3
,则
?
?
( )

5
?
???
B. C. D.
12
346
解:
g
?x
?
?sin
?
2x?2
?
?
,又
f
?
x
?
,g
?
x
?
的最大、最小值为?1
,故
f
?
x
1
?
?g
?
x
2
?
?2
等价

f
?
x
?,g
?
x
?
一个取得1,一个取得
?1

不 妨设
2x
1
?
?
2
?2k
?

2 x
1
?2
?
??
?
?
?
?
k?m
?
?

,所以
?
2
?2m
?
< br>所以
x
1
?x
2
?

x
1
?x
2
?
2
min
?
?
3
?
2< br>?
?
?
?
3
,即
?
?
?
6



好题速递149
(2015湖北第14题)如图,圆
C

x
轴相切于
T
?
1,0
?
,与y
轴正半轴交于
A,B
两点(
B

A
的上方) ,且
AB?2

(1)圆
C
的标准方程为 ;
(2)过点
A
作任一直线与圆
O:x?y?1
相交于
M ,N

点,下列三个结论:


22

y
B
C
NA
NB
?
MA
MB

NB
NA
?
MA
MB
?2

NB
NA
?
MA
MB
?22

N
M
A
O
T
x
其中正确结论的序号是 。
解法一:解析几何代数法
(2)
A0,2?1

B0,2?1
,设
P
?
x,y
?
为圆
C
上任意
一点,则
????
PA
PB
?
x?y?2?1
x
2
2
?
?
?
y?
?
2?1
?
2< br>2
?
4?22?2
4?2
?
2?2
?
??
2
?
2?1
?
y2
?
2?1y
??
2?1
??
2?12?y
?
?
2?y
?
2 ?1


故①
对②
对③
NA
NB
NB
NA
NB
NA
?
?
?
MA
MB
M A
MB
MA
MB
,正确。
?
?
1
?2?1
1
?
2?1
?
?
2?1?2
,正确
2?1?22
,正确
?2?1
,又是熟悉的阿波罗尼斯
?
?
评注:由本解法可以看到
圆!
PA
PB
实际上,从几何意义看 ,过
B
作圆
O
的切线,切点为
C


OA ?OB?
所以
?
2?1
??
2?1?1?OC
2
, 故
CA?OB

?
PA
PB
?
CA
CB< br>?
OA
OB
?2?1

解法二:几何相似三角形法
(1)显然
CT?CB?2
,故圆
C
的标准方程为
?
x?1
?
?y?2
(2)如图所示,由半径相等及圆的切割线定理得

2
??
2
?2

OM
2
?ON
2
?OT
2
?OA?OB

则由
OM
OB
?
OA
OM

?MOA?? MOB
为公共角,

?MOA
又由
?BOM
,得
OM
OB
?
OA
OM
?
MA
MB
?
2?1

1
ON
OB
?
OA
ON
?NOA??NOB
为公共角,

?NOA?BON
,得
ON
OB
?
OA
OM
?
NA
NB
?
2 ?1

1
两者可得①
对②
对③
NA
NB
M A
MB
MA
MB
?
?
?
MA
MB
,正确。
NB
NA
NB
NA
?
?
1
?< br>2?1
1
?
2?1
?
?
2?1?2
,正确
2?1?22
,正确
?
?


好题速递150


(2015四川第15题)已知函数
f
?
x
?
?2
x

g
?
x
?
?x
2
?a x
(其中
a?R
)。对于不相等的
实数
x
1
,x< br>2
,设
m?
现有如下命题:
(1)对于任意不相等的实数
x
1
,x
2
,都有
m?0

(2)对于任意的< br>a
及任意不相等的实数
x
1
,x
2
,都有
n ?0

(3)对于任意的
a
,存在不相等的实数
x
1,x
2
,使得
m?n

(4)对于任意的
a
,存在不相等的实数
x
1
,x
2
,使得
m??n

其中的真命题有 (写出所有真命题的序号)
解:数形结合
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
x
1
?x
2

n?
g< br>?
x
1
?
?g
?
x
2
?
x
1
?x
2

m,n
的几何意义分别是函数
f?
x
?
?2
x

g
?
x
?< br>?x
2
?ax
各自图象上不同两点连线的斜率,
则(1)显然正确,( 2)不正确
(3)若正确,等价于
f
?
x
?
?2
x

g
?
x
?
?x
2
?ax
的图 象总有至少两个交点。
注意到
g
?
x
?
?x
?< br>x?a
?
,若取
a??100
,显然
f
?
x
?

g
?
x
?
的图象只在
y
轴左 边有一个交
点,在
y
轴右边无交点(指数变化比二次变化快得多),故(3)错。 < br>(4)由于
g
?
x
?
图象总过原点,
f
?< br>x
?

g
?
x
?
的图象总有一个横坐标为负 数的交点,以此
交点
E
的横坐标为
x
1
,作竖直的直线x?t
?
t?R,t?x
1
?

f
?
x
?

g
?
x
?
的图象分别交于
A,B< br>两点,如图取线段
AB
的中点为
M
,则在
x?t
移动 的过程中,总存在一条使
EM?AB
,此时取点
A,B
的横坐标为
x
2
,使得(4)成立。
故真命题有(1)(4)。










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