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高中数学-《小题大做》

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 04:20
tags:高中数学题

高中数学联赛 题-高中数学试卷打印




培养学生数学思维之“小”题大做

郭恒武

对于数学教师而言,一方面要培养学生具备较好的数学思维能力,另一方面
要在高考中,让学生 在有限的两个小时内高质量高水平地完成150分的试卷。对
考试而言,我赞同“不要小题大做,要小题 巧做”的观点。也正是为了考试中学
生能够考出自己最高水平,获得满意分数。对于平时而言,我支持“ 小”题大做
的观点,培养和提高学生的数学思维能力。本文根据自己的浅显认识,从习题的
多解 、变式以及知识结构建构两方面出发,谈一些简单的看法,希望能够抛砖引
玉。

一、梳理知识,加强学生对知识的掌握和理解
通过梳理知识,不仅可以增强学生对新知识的理 解,而且有利于学生对所学
知识的融会贯通。在梳理知识的过程中,学生可以理清知识脉络,架构知识网 络,
以点带面,抓住知识点的本质,从而起到事半功倍的效果。本文以高中数学教材
选修2-2 第一章“导数及其应用”的前4节为例,做以下剖析。

(一)“小”题大做之知识点生成过程分析
高中数学教材选修2-2第一章“导数及其应用”的前4节的内容为:

知识点之间的衔接如同美丽的音符,只有衔接的恰到好处,才能谱出华美的
乐章,深入人心。
1.1.1(变化率问题)节主要是从生活实例抽象出数学概念平均变化率,对其
求极限得瞬时 变化率即导数,从而引出导数的概念,自然地过渡到1.1.2(导数
的概念)节。通过1.1.2节对 导数的学习,我们当然好奇导数有何意义,这节知
识点与以前学的知识有没有相似的地方,进而我们学习 1.1.3(导数的几何意义)
节。这节中,我们发现导数是一个极限状态值,它表示曲线上某点处切线 的斜率,
接着定义了曲线在某点处的切线,我们会想:这样定义的切线与以前在平面几何


中的切线有何不同?通过举例,发现该切线可以与曲线有多于一个交点,甚至无
数个交点。当曲 线上的点变化时,由对应关系得到导函数
f'(x)
。对于一个函数,
我们希望知道它 具有什么性质,导函数是我们接下来研究的目标,那常见函数的
导函数怎么求呢?我们开启了1.2节的 学习。
1.2.1(几个常见函数的导数)节分别从极限角度和图像角度再次理解导数的
几何 意义,自然地过渡到高中阶段学过的所有基本初等函数的导数,研究基本初
等函数的导数公式及导数的运 算法,即1.2.2(基本初等函数的导数公式及导数
的运算法则)节。通过对这节内容的学习,我们同 时也掌握了将基本初等函数用
加、减、乘、除组合的这类函数的导数。那对于由基本初等函数组成的复合 函数
'
有没有求导公式?即
y?f(u(x))
,其中函数
f(u)

u(x)
是基本初等函数,那么
y
x
?y?y?u
'''
??,故y
x
?y
u
?u
x
。那么,学习 导数有什么
?x?u?x

用呢?这促使我们思考导数的概念,发现它的几何意义是“ 曲线在某点处切线的
斜率”,斜率的正负代表直线的单调性,从而搭建了函数的单调性与导数的桥梁,< br>这部分也是高考试题中关键性的内容。紧接着开启了1.3节的学习。
1.3.1(函数的单调 性与导数)节,我们学习了函数的单调性与导数的联系,
等于什么。通过探究,发现
发现导数< br>f'(x)?0
是函数单调递增的一个条件。在数学中,我们当然期望它是
一个充分必 要条件(等价条件),但很遗憾这只是充分不必要条件。单调性是函
数的局部性质,从局部看,单调性改 变的位置是一个值得研究的特殊位置,我们
称之为极值点,所以紧接着学习1.3.2(函数的极值与导 数)节。从局部研究了
一个函数的性质后,我们再从整体角度入手,进一步学习1.3.3(函数的最大 (小)
值与导数)节。函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型,生活中经常涉及
利润最大 、用料最省、效率最高等问题,学习了用导数求解函数最值后,我们便
可以用它来解决生活中的一些实际 问题,即1.4(生活中的优化问题举例)节。
通过1.4节的学习,学生们可以充分体会到数学是来源 于生活,服务于生活的工
具学科,同时能够辨证地理解数学知识与现实世界的联系。

(二)“小”题大做之典型例题分析
?yf(x
0
??x)?f(x
0
)
?
1.1.1节学习函数的平均变化率 ,要求理解概念,会求函
?x?x
数在某点附近的平均变化率。
例1:(形成训练)求
y?3x
2
在x?x
0
附近的平均变化率。
1.1.2节学习导数的概念
lim
?yf(x
0??x)?f(x
0
)
?lim
,要求能够理解概念,
?x? 0
?x
?x?0
?x
体会极限的思想,会求函数在某点处的导数。
例2:(形成训练)求
y?3x
2
在x?1
处的导数。
1.1.3节学习导数的几何意义、曲线的切线、导函数,掌握导数的几何意义,会
求曲线的切线方程及 相关问题。


例3:(简单应用)求
y?
3
2
3处的切线的斜率(倾斜角)。
x在点(1,)
22
例4:(灵活运用)已知函数
y?x
3
,求过点A(1,1)的切线方程。
例5:(灵活运用)已知函数
y?x
3
求过点B(1,0)的切线方程。
1.2.1节学习常用函数的导数,会推导常用函数的导数,归纳猜想幂函数的导数
公式。 < br>例6:(复习巩固)求函数
y?f(x)?x
的导数。结合图像,理解导数的几何
意义
例7:(探究新知)结合几个常见幂函数的导数,归纳猜想函数
y?f(x)?x?
的导数。
1.2.2节学习基本初等函数的导数公式及导数的运算法则,鉴于高中学生 的知识
储备,这节的公式以验证为辅,记忆为主,灵活应用为目的,复合函数求导是难
点。 < br>例8:(简单应用)求函数的导数,(1)
y?2x
5
?3x
2
?4x
(2)
y?xlnx


3
x?1
2
例9:(灵活运用)求函数的导数,(1)
y?
(2)
y?
3
?e
2x

x
sinx

例10:(灵活运用)求函数的导数,(1)
y?sin3x
(2)
y?ln(2x?1)


1.3.1节学习函数的单调性与导数, 本章重点内容,掌握导数判断函数单调性的
方法,画函数简图帮助解决综合类问题是难点。
例11:(基础落实)求函数
y?x
3
?x
2
?x
的单调区间,并画出函数的简图。
例12:(灵活运用)已知函数
y??x
3
?ax
2
?x?1
在R上是单调函数,求a
的取值范围。
1. 3.2节学习函数的极值与导数,理解极值的概念及取极值的条件,会求函数的
极值,体会函数的局部性 质,进一步培养数形结合解决问题的能力。
例13:(基础落实)求函数
y?
1
3
x?4x?4
的极值。
3
例14:(灵活运用)已知函数
y?x
3
?3ax2
?bx?a
2

x?1
时有极值0,求
a,b的值。
1.3.3节学习函数的最大(小) 值与导数,区分函数的极值与最值,应用函数最
值解决参数范围问题和生活中的优化问题。
例15:(基础落实)求函数
y?
1
3
x?4x?4
在[0,3]的最大值与最小值。
3
x
2
?2x?a
,对任意x?[1,??)

f(x)?0
例16:(灵活运用)已知函数
f(x)?
x
恒成立,求a的取 值范围。


例17:(灵活运用)证明不等式:
e
x
?x?1

1.4节学习生活中的优化问题举例,主要是函数最值的应用。

二、一题多解,培养学生思维的灵活性
例(2014年全国卷1第11题)已知函数
f(x)?ax
3
?3x
2
?1
,若
f(x)
存在 唯一
的零点
x
0
,且
x
0
?0
,则
a
的取值范围是 ( )
A.(2,+∞) B.(1,+∞) C.(-∞,-2) D.(-∞,-1)
【答案C】分析:这是一个中等难度题,主要考查学生 数形结合能力、转化与化
归能力,考查知识点为导数与函数的零点,要求学生审清题意,挖掘出函数f(x)
在定义域
R
上存在唯一零点(等价说法“方程
f(x)?0有且仅有一个实根”),而
且是大于零的零点。若在考试中,学生完全不必用常规解法,因为这样会 耗费大
量的时间,而且准确性不高。根据题干和选项特点,本题可以采用排除法,对参

a
分别赋值-2、3,这样函数
f(x)
的解析式完全已知,从而降低试题难度,排
除错误选项。

(一)“小”题大做之常规解法
本题若是作为填空题或者 解答题出现,主要是应用
数形结合思想来解决,这对学生由函数性质画简图的能
力要求较高,所 以平时应该加强培养学生由函数性质
(奇偶性、单调性、周期性等)画函数简图的意识和能
力。 分析:当
x?0
时,
f(x)?1
,则
x?0
不是函数的< br>零点;当
x?0
时,令
f(x)?0
,解得参数
a?
31
?
3
,

xx
图1
函数
f(x)< br>在
R
上存在唯一零点问题等价于函数
h(x)?a

函数31
?
3
(x?0)
图像有唯一交点问题。显然,函数
g(x)
是奇函数,对其求导,
xx
3331

g'(x)?
4?
2
?
2
(
2
?1)
,于是可知道函数
g(x)

y
轴右侧的单调增区间为
xxxx
g(x)?
(0,1),减区间为(1,+∞),再结合奇偶性,可得到函数
g(x)
在定义域上的图像,如图1所示。根据图像,解得
a?(??,?2)


(二)“小”题大做之题意变式


1. 若此问题改为“已知函数
f( x)?ax
3
?3x
2
?1
,若
f(x)
存在两个 不同的零点,

a
的取值范围”。根据图1,解得
a??2或0

类似地,我们还可以讨论当函数f(x)存在三个不同的零点时,
a
的取值范围
问题。
2. 若此问题改为“已知函数
f(x)?ax
3
?3x
2
?1
,若
f(x)
在正实数集上存在唯一
的零点
x
0
,求
a
的取值范围”。根据图1,解得
a?2或a?0
类似地,我们不仅可以讨论在正实数集上存在两个不同的零点,求
a
的取值
范围问 题,还可以讨论函数
f(x)
在负实数集上的情况,本文不再赘述。

结束语
通过对章节的基础例题以及习题变式的训练,相信学生对这儿的知识本身有
了 更加深刻的理解和清晰的认识,培养学生思考知识间的关系,活跃他们的数学
思维,最终达到对知识融会 贯通的运用,逐步建立高中数学知识体系,期望能够
灵学活用。

[参考文献]

[1]杨云霞,田京爱,刘丹.提高学生高考数学选择题的答题正确率的方法和技巧[J]. 东北师
大附中教育科研学刊-争鸣,2014.10.
[2]雷玲.中学数学名师教学艺术[M].华东师范大学出版社,2014.2.
[3]鲍果.重视“小题大做”训练数学思维[J].数学教学研究.2010.1.
[4]普通高中课程标准实验教科书-数学选修2-2 A版,人民教育出版社,2007.1.

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