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高中数学选修1-1:习题精选

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 04:20
tags:高中数学题

高中数学英语字母书写-高中数学圆锥曲线审题技巧


习题精选
一、选择题
1.过抛物线焦点 的直线与抛物线相交于
, ,则
, 两点,若

, 在
抛物线准线上的射影分别是 为( ).
A.45° B.60° C.90° D.120°
2.过已知点 且与抛物线 只有一个公共点的直线有( ).
A.1条 B.2条 C.3条 D.4条
3.已知
( ).
A. B. C.

D.
( ),则
, 是抛物线 上两点, 为坐标原点,若
的方程是 ,且 的垂心恰好是此抛物线的焦点,则直线
4.若抛物线
弦 的斜率为()
)的弦
PQ
中点为
A.
5.已知

B. C. D.
, 满 是抛物线 的焦点弦,其坐标
,则直线 的斜率是()
A. B. C.

,则
D.
)的焦点弦


6.已知抛物线

的两端点坐标分别为
的值一定等于( )
D.
上,且⊙ 与 轴及 的准
A.4 B.-4 C.
7.已知⊙ 的圆心在抛物线
线相切,则⊙ 的方程是( )
A.
C.
8.当
B.
D.
时,关于 的方程


的实根的个数是( )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个

1


9.将直线 左移1个单位,再下移2个单位后,它与抛物线
仅有一个公共点,则实数 的值等于( )
A.-1 B.1 C.7 D.9
10.以抛物线
关系为( )
( )的焦半径 为直径的圆与 轴位置
A.相交 B.相离 C.相切 D.不确定
11.过抛物线
如果 ,那么
的焦点作直线交抛物线于
长是( )
, 两点,
A.10 B.8 C.6 D.4
12.过抛物线
抛物线顶点,则
A.小于
13.抛物线
( )的焦点且垂直于 轴的弦为
大小( )
C.大于 D.不能确定
对称的曲线的顶点坐标是( )
, 为
B.等于
关于直线
A.(0,0) B.(-2,-2) C.(2,2) D.(2,0)
14.已知抛物线 ( )上有一点
离为5,则 的面积( 为原点)为( )
A.1 B.
15.记定点
C.2 D.
与抛物线
,则当

上的点 之间的距离为 , 到
,它到焦点 的距
此抛物线准线 的距离为
A.(0,0) B.
16.方程
取最小值时 点的坐标为( )


C.(2,2) D.
表示( )
A.椭圆 B.双曲线 C.抛物线 D.圆
17.在 上有一点
小,则 的坐标为()
,它到 的距离与它到焦点的距离之和最
A.(-2,8) B.(2,8) C.(-2,-8) D.(-2,8)
18.设
数为()
为 过焦点的弦,则以 为直径的圆与准线交点的个
A.0 B.1 C.2 D.0或1
或2

2


19.设 , 为抛物线 上两点,则 是
过焦点的()
A.充分不必要 B.必要不充分 C.充要 D.不充分不必要
20.抛物线垂点为(1,1),准线为
A.
21.与
A.
B.
关于
B.
C.
,则顶点为()
D.
对称的抛物线是()
C. D.
二、填空题
1.顶点在原点,焦点在 轴上且通径(过焦点和对称轴垂直的弦)长为6
的抛物线方程是_________.
2.抛物线顶点在原点,焦点在 轴上,其通径的两端点与顶点连成的三角
形面积为4,则此抛物线方程为_________.
3.过点(0,-4)且与直线
4.抛物线
5.已知抛物线
方程是________.
被点
的弦
相切的圆的圆心的轨迹方程是_________.
所平分的弦的直线方程为_________.
过定点(-2,0),则弦 中点的轨迹
6.顶点在原点、焦点在 轴上、截直线
抛物线方程为____________.
7.已知直线 与抛物线 交于
中点坐标是__ _.
8.一条直线 经过抛物线
两点,过

9.

所得弦长为
、 两点,那么线段
与抛物线交于


、 )的焦点
、 、 点分别向准线引垂线
, 为 的中点,则
,垂足为 、 ,如果
=__________.
, ,则 的 是抛物线的一条焦点弦,若抛物线
的距离为_________.
上到直线
中点 到直线
10.抛物线
____________.
11.抛物线
__________.
的距离最近的点的坐标是
上到直线 距离最短的点的坐标为

3


12.已知圆
则 =________.
13.过
=________.
14.抛物线
__________.
15.已知抛物线

与抛物线 ( )的准线相切,
)的焦点
上一点
的弦为 , 为坐标原点,则
的纵坐标为

到焦点的距离为3,则点
( ),它的顶点在直线
上,则 的值为__________.
16.过抛物线 的焦点作一条倾斜角为
的范围是________.
17.已知抛物线 与椭圆
则该圆的方程为__________.

的弦,若弦长不超过8,则
有四个交点,这四个交点共圆,
,过抛物线上一点 18.抛物线
作 于
的焦点为
,则梯形
,准线 交 轴于
的面积为_______________.
19.探照灯的反射镜的纵断面是抛物线的一部分,安装灯源的位置在抛物线
的焦点 处,如果 到灯口平面的距离恰好等于灯口的半径,已知灯口的半
径为30cm,那么灯深为_________.
三、解答题
1.知抛物线
上求一点 ,使
2.若
截直线
的面积为39
所得的弦长 ,试在 轴
的焦点弦长为5,求焦点弦所在直线方程
( )的内 3.已知 是以原点 为直角顶点的抛物线
接直角三角形,求 面积的最小值.
4.若 , 为抛物线 的焦点, 为抛物线上任意一点,求
的坐标. 的最小值及取得最小值时的
5.一抛物 线拱桥跨度为52米,拱顶离水面6.5米,一竹排上一宽4米,高
6米的大木箱,问能否安全通过.
6.抛物线以 轴为准线,且过点 ,( )求证不论点
位置如何变化,抛物线顶点的轨迹是椭圆,且离心率为定值.
7.已知抛物线 ( )的焦点为 ,以
为半径,在 轴上方画半圆,设抛物线与半圆交于不同的两点

为圆心,
、 , 为

4


线段

的中点.①求 的值;②是否存在这样的 ,使 、
成等差数列,若存在,求出 的值;若不存在,说明理由.
和圆
中,一条边
上最近两点之间的距离.
在直线 上,另外两顶点 、
8.求抛物线
9.正方形
在抛物线 上,求正方形的面积.
的一条过焦点的弦被焦点分为 , 两个部分, 10.已知抛物线
求证 .
11.一抛物线型拱桥的跨度为 ,顶点距水面
宽 、高 的货箱,问能否安全通过.
12.已知抛物线 上两点 , (
且 ,求当 点距 轴最近时,
13.
方形
是抛物线
,求动点
.江中一竹排装有
在第二象限),
的面积 .
与 ,以
为原点,
上的动点,连接原点
的轨迹方程.
为边作正
参考答案:
一、1.C;2.C;3.D;4.B;5.C;6.B;7.B;8.D;9.C
10.C;1 1.B;12.C;13.C;14.C;15.C;16.C;17.B;18.B;19.C;
20 .A;21.D
二、1.
5.
7. 或
;2.
;6.
;3.;4.
(在已知抛物线内的部分)
;8.(4,2);9.
10.;11.;12.2;13.-4
14.2;15.0,
17.
三、1.先求得
2.
, ,;16.
;18.3.14;19.36.2cm
,再求得


3.设 , ,则由 得 ,

5


, ,于是


当 ,即


,过


时,


垂直准线于 点,
最小,
点,
4.抛物线
由抛物线定义得

从而

的准线方程为
, ,要使
垂直于准线,
,此时
与抛物线交点为 三点必共线,即
的最小值为 点坐标为(2,2).
,则点(26,-6.5)在抛物线
,当
5.建立坐标系,设抛物线方程为
上,
时,

,则有
抛物线方程为
,所以木箱能安全通过.
,由抛物线定义得 ,
,即
6.设抛物线的焦点为
设顶点为 ,则 ,所以
为椭圆,离心率
7.①设 、 、
为定值.


,将 代入得
、 , 在抛物线的准线上射影分别为
则由抛物线定义得,
又圆的方程为




必在抛物线上,这与点
②假设存在这样的 ,使得

,由定义知点
矛盾,所以这样的 不存在
是弦 的中点

6


8.设 、 分别是抛物线和圆上的点,圆心
最小,则
也最小,因此 、 、
,半径为1,若
共线,问题转化为在抛物线
,则
的最小值是
上求一点 ,使它到点 的距离最小.为此设

9.设


又直线

所在直线方程为

, 消去

与 间距离为

,面积


, ,当
与 轴不垂直时,设




,命题也成立.


或 从而边长为
10.焦点为
直于 轴,则
在直线方程为
这时 ,于是
,设焦点弦 端点
,结论显然成立;当
,代入抛物线方程整理得
11.取抛物线型拱桥的顶点为原点、对称轴为 轴建立直角坐标系,则桥
墩的两端坐标分别为(-26 ,-6.5),(26,-6.5),设抛物线型拱桥的方程

.当
过.
12.设
直线 的方程为
(当且仅当
,所以 .

7
,则
时, ,而
,所以 ,抛物线方程为
,故可安全通
,则
,将
,因为
代入,得点

,所以
的横坐标为


时取等号),此时 ,


13.设
别为 ,

程.












,而证得
,而

,过

,因此
, 分别作为 轴的垂线,垂足分
,则有
,即
, ,即
为所求轨迹方

8

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