高中数学压轴题试卷整合

2017届北京市海淀区高三下学期期中考试数学理卷
18.已知函数
f(x )?x
2
?2ax?4(a?1)ln(x?1)
，其中实数
a?3
．
（Ⅰ）判断
x?1
是否为函数
f(x)
的极值点，并说明理由；
（Ⅱ）若
f(x)?0
在区间
?
0,1
?
上恒成立 ，求
a
的取值范围．
x
2
19.已知椭圆
G
：< br>?y
2
?1
，与
x
轴不重合的直线
l
经过左 焦点
F
1
，且与椭圆
G
相交于
A
，
B两点，
2
弦
AB
的中点为
M
，直线
OM
与椭圆
G
相交于
C
，
D
两点．
（Ⅰ）若直线
l
的斜率为1，求直线
OM
的斜率；
（Ⅱ） 是否存在直线
l
，使得
|AM|
2
?|CM|?|DM|
成 立？若存在，求出直线
l
的方程；若不存在，
请说明理由．
西城区高三统一测试

18．（本小题满分13分）
已知函数
f( x)?e
x
?x
2
．设
l
为曲线
y?f(x)在点
P(x
0
,f(x
0
))
处的切线，其中
x
0
?[?1,1]
．
（Ⅰ）求直线
l
的方程（用
x
0
表示）；
（Ⅱ） 设
O
为原点，直线
x?1
分别与直线
l
和
x
轴交于
A,B
两点,求△
AOB
的面积的最小值．
19．（本小题满分14分）
x
2
y
2
1
如图， 已知椭圆
C:
2
?
2
?1(a?b?0)
的离心率为
，
A(?a,0)
，
|AF|?3
．
F
为椭圆
C
的右焦点．
ab
2
1
2
（Ⅰ）求椭圆
C
的方程；
（Ⅱ）设
O
为原点，
P
为椭圆上一点，
AP的中点为
M
．直线
OM
与直线
x?4
交于点
D
，过
O
且平行于
AP
的直线与直线
x?4
交于点< br>E
．求证：
?ODF??OEF
．
2017年南通市高考数学全真模拟试卷一

13.已知角
?
,
?
满足
tan
?
7
2
?
，若
s in(
?
?
?
)?
，则
sin(
?
??
)
的值为．
3
tan
?
13
14.将圆的 六个等分点分成相同的两组，它们每组三个点构成的两个正三角形除去内部的六条线段后可以形成一
个正 六角星.如图所示的正六角星的中心为点
O
，其中
x,y
分别为点
O
到两个顶点的向量.若将点
O
到正六角星
12个顶点的向量都写成
a x?by
的形式，则
a?b
的最大值为．
18.已知椭圆
C:mx
2
?3my
2
?1
(m?0)
的长轴长为
26
，
O
为坐标原点.
（1）求椭圆
C
的方程和离心率.
（2）设点
A(3,0)
，动点
B
在
y
轴上，动点
P
在椭圆
C
上，且点
P
在
y
轴的右侧.若
BA?BP
，求四边形
OPAB
面积的最小值.
19.已知函数
f(x)?ax?bx?cx?b?a
(a?0)
.
（1）设
c?0
.
①若
a?b
，曲线
y?f(x )
在
x?x
0
处的切线过点
(1,0)
，求
x0
的值；
②若
a?b
，求
f(x)
在区间
[ 0,1]
上的最大值.
32
（2）设
f(x)
在
x?x< br>1
，
x?x
2
两处取得极值，求证：
f(x
1
)?x
1
，
f(x
2
)?x
2
不同时成立.
13.
?
14.5
1
5
x
2
y
2
??1
， 18.（1）由 题意知椭圆
C:
11
m3m
所以
a
2
?
1 1
，
b
2
?
，
m3m
故
2a?2
1
?26
，
m
1
，
6
解得
m?

x
2
y
2
所以椭圆
C
的方程为
??1
.
62
因为
c?a
2
?b
2
?2
，
c6
.
?
a3
所以离心率
e?
（2）设线段AP
的中点为
D
.
因为
BA?BP
，所以
BD?AP
.
由题意知直线
BD
的斜率存在，
设点
P
的坐标为
(x
0
,y
0
)(y
0
?0)
，
则点< br>D
的坐标为
(
x
0
?3y
0
y
,)
，直线
AP
的斜率
k
AP
?
0
，
22
x
0
?3
所以直线
BD
的斜率
k
B D
??
3?x
0
1
，
?
k
AP
y
0
故直线
BD
的方程为
y?
y
0
3?x
0
x?3
?(x?
0
)
.
2y
0
2
2222
x
0
?y
0
?9x
0
?y< br>0
?9
令
x?0
，得
y?
，故
B(0,)< br>.
2y
0
2y
0
2
22
?2y
0
?3
x
0
y
0
22
)
.
??1
，得
x
0
?6?3y
0
，化简得
B(0,
由
2
2y
0
62
因此，
S
四边形OPAB
?S
?OAP
?S
?OAB

?33
．
3
3
时，即
y
0
???[?2,2]
时等号成立．
2
2|y
0
|
当且仅当
2|y
0
|?故四边形
OPAB
面积的最小值为
33
．

19 .解：（1）当
c?0
时，
f(x)?ax
3
?bx
2?b?a
.
①若
a?b
，则
f(x)?ax?ax
，
32
从而
f'(x)?3ax?2ax
，
2
故曲线
y?f(x)
在
x?x
0
处的切线方程为
y?(ax
0< br>3
?ax
0
2
)?(3ax
0
2
?2ax< br>0
)(x?x
0
)
.
将点
(1,0)
代入 上式并整理得
x
0
2
(1?x
0
)?
x
0
(1?x
0
)(3x
0
?2)
，
解得
x
0
?0
或
x
0
?1
. < br>2
②若
a?b
，则令
f'(x)?3ax?2bx?0
，解得
x?0
或
x?
2b
?1
.
3a
（ⅰ）若
b?0
，则当
x?[0,1]
时，
f'(x)?0
，
所以
f(x)
为区间
[0,1]
上的增函数，
从而
f(x)
的最大值为
f(1)?0
.
（ii）若
b?0
，列表：
所以
f(x)
的最大值为
f(1)?0
.
综上，
f(x)
的最大值为0.
（2）假设存在实数
a,b,c< br>，使得
f(x
1
)?x
1
与
f(x
2
)?x
2
同时成立.
不妨设
x
1
?x
2
，则
f(x
1
)?f(x
2
)
.
因为
x?x
1
，
x?x
2
为
f(x)
的两个极值点，
2
所以
f'(x)?3ax?2bx?c
?3a(x?x
1
)(x?x
2
)
.
因为
a?0
，所以当
x?[x
1
,x
2
]
时，
f'(x)?0
，
故< br>f(x)
为区间
[x
1
,x
2
]
上的减函数 ，

从而
f(x
1
)?f(x
2
)
，这与
f(x
1
)?f(x
2
)
矛盾，故假设不成立. < br>既不存在实数
a
，
b
，
c
，使得
f(x1
)?x
1
，
f(x
2
)?x
2
同时 成立.
深圳市2017年高三年级第二次调研考试
（12）设实数
?
?0
，若对任意的
x?
?
0,??
?
，不等式
e
?
x
?
1
（A）

e
lnx
?0
恒成立，则
?
的最小值为()
?
（B）
1

2e
（C）
2

e

e
（D）
3
（20）（本小题满分12分）
平面直角坐标系中，动圆C与圆
?
x?1
?
?y
2
?
2
11
外切，且与直线
x??
相切，记圆心C的轨迹为
4 2
曲线T.
（Ⅰ）求曲线T的方程；
（Ⅱ）设过定点
Q
?
m,0
?
(m为非零常数)的动直线l与曲线T交于A、B两点，问：在曲线T上是否
存在点P（与A、B两点相异），当直线PA、PB的斜率存在时，直线PA、PB的斜率之和为定值.
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
（21）（本小题满分12分）
已知 函数
f
?
x
?
?
?
x?2
?
e< br>x
?
a
2
x
，其中
a?R
,e为自然对数的 底数.
2
（Ⅰ）函数
f
?
x
?
的图象能否与x轴 相切？若能与x轴相切，求实数a的值；否则，请说明理由；
（Ⅱ）若函数
y?f
?
x
?
?2x
在R上单调递增，求实数a能取到的最大整数值．