高中数学解题的21个典型方法与技巧

高中数学解题的21个典型方法与技巧
1、解决绝对值问题(化简、求值、方程、不等 式、函数)的基本思路是：把绝对值的问题转
化为不含绝对值的问题。具体转化方法有：
①分类讨论法：根据绝对值符号中的数或表达式的正、零、负分情况去掉绝对值。
②零点分段讨论法：适用于含一个字母的多个绝对值的情况。
③两边平方法：适用于两边非负的方程或不等式。
④几何意义法：适用于有明显几何意义的情况。

2、根据项数选择方法和按照一般 步骤是顺利进行因式分解的重要技巧。因式分解的一般步
骤是：提取公因式→选择用公式→十字相乘法→ 分组分解法→拆项添项法。

3、利用完全平方式把一个式子或部分化为完全平方式就是配方 法，它是数学中的重要方法
和技巧。配方法的主要根据有：
①
a
2
?2ab?b
2
?
?
a?b
?

②
a2
?b
2
?c
2
?2ab?2bc?2ca?
?
a?b?c
?

1
222
③
a
2
?b< br>2
?c
2
?ab?bc?ca?
?
?
a?b
?
?
?
b?c
?
?
?
c?a
?
?

?
2
?
?
2
bb
2
?
b
2
b
?
b
2
?4ac
?
2
b< br>??
?a
?
x?
?
?
④
ax?bx?c?a
?
x?x
?
?c?a
?
x?2?x??
2
?
?c?

a2a4a2a4a
4a
????
??
2
2
2
2

4、解某些复杂的特型方程要用到换元法。换元法解题的 一般步骤是：设元→换元→解元→
还元。

5、待定系数法是在已知对象形式的条件 下求对象的一种方法。适用于求解点的坐标、函数
解析式、曲线方程等重要问题的解决。其步骤是：①设 ②列③解④写

6、复杂代数等式条件的使用技巧：右边化为零，左边变形。
①因 式分解型：
?
???
?
?
?
???
?
?0
，两种情况为或型。
②配成平方型：
?
???
?
?
?
???
?
?0
，两种情况为且型。

7、数学中两个最伟大的解题思路：
①求值的思路
方程思想与方法
??????
列欲求值字母的方程或方程组
22
不等式思想与方法
???????
欲求范围字母的不等式或不等式组 ②求取值范围的思路

8、化简二次根式
m
的基本思路：把m化成完全平方式。

即

按a的情况分类讨论
m????a
2
?a???????结果
m?a
2
9、化简
a?2b
的方法是观察法：
a?2b?
?
x?y
?
其中
xy?b,x
2
?y
2
?a且x?y?0
。

10、代数式求值的方法有：①直接代入法②化简代入法③适 当变形法(和积代入法)。注意：
当求值的代数式是字母的“对称式”时，通常可以化为字母“和与积” 的形式，从而用和积代入
法求值。

11、方程中除未知数以外，含有的其他字母叫 做参数，这种方程叫做含参方程。解含参方程
一般要用“分类讨论法”，其原则是：①按照类型求解②根 据需要讨论③分类写出结论。

12、恒等成立的条件：
①
ax?b?0
对于任意
x
都成立
?
关于
x
的方程
ax? b?0
有无数个解
?
a?0且b?0
。
?c?0
有无数个 解
?
②
ax
2
?bx?c?0
对于任意
x
都成立
?
关于
x
的方程
ax
2
?bx
a? 0、b?0、c?0
。

13、由一元二次不等式解集为
R
，得到下列恒不等成立条件：
①
ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
对一切
x
恒成立
?
?
②
ax
2
?bx?c?0
?
a?0
?
对一切
x
恒成立
?
?
③
ax2
?bx?c?0
?
a?0
?
对一切
x
恒成立
?
?
④
ax
2
?bx?c?0
?
a?0< br>?
对一切
x
恒成立
?
?
?
a?0
；
??0
?
?
a?0
；
??0
?
?
a?0
；
?
??0
?
a?0
。
?
??0
2

14、图像平移规律是研究复杂函数的重要方法。平移规律是：
h?0左移h个单位；h?0 右移h个单位
y?f
?
x
?
???????????y?f
?
x?h
?
?k

k?0上移k个单位；k?0下移k个单位

15、图像法是讨论函数性质的重要方法 ---看图像、得性质。
图像在x轴上对应的部分
?
①定义域
?
图 像在y轴上对应的部分
?
②值域
?
?
从左向右看，连续上升的一段在 x轴上对应的区间是增区间
?
③单调性
?

?
?
从 左向右看，连续下降的一段在x轴上对应的区间是减区间
?
图像最高点处有最大值，图像最低点 处有最小值
?
④最值
?
⑤奇偶性图像关于y轴对称是偶函数；图像关于原点对 称是奇函数
?
图像每隔定长重复出现是周期函数
?
⑥周期性

16、函数、方程、不等式间的重要关系：
方程的根
?
函数图像于x轴交点横坐标
?
不等式解集端点

17、一元二次不等式的解法：一元二次不等式可以用因式分解法求解。简便的实用解法 是根
据“三个二次”间的关系，利用二次函数图像去解。具体步骤如下：
二次系数化为正→判别且求根→画出示意图→解集横轴中

18、一元二次方程根的 讨论：一元二次方程根的符号问题或m型问题可以利用根的判别式
和根与系数的关系来解决，但根的一般 问题、特别是区间根的问题要根据“三个二次”间的关
系，利用二次函数图像去解。一般思路：题意→二 次函数图像→不等式组(a的符号、△的情
况、对称轴的位置、区间端点函数值的符号)。

19、基本函数在区间上的值域：①定义域没有特别限制时--- 记忆法或结论法；②定义域有特
别限制时---图像截断法，即画出图像→截出一段→得出结论

20、最值型应用题的解法：解决最值型应用题的基本思路是函数方程法，其解题步骤是：设
变量→列函数→求最值→写结论

21、穿线法是解高次不等式和分式不等式的最好 方法。其一般思路是：首项系数化为正→求
根标根→右上起穿→奇穿偶回。注意：①高次不等式首先要用 移项和因式分解的方法化为“左
边乘积、右边是零”的形式。②分式不等式一般不能用两边都乘以公分母 的方法来解，要通
过移项、同分合并、因式分解的方法化为“商零式”，用穿线法解。