高中数学二项式定理练习题

选修2-3 1.3.1 二项式定理

一、选择题
1．二项式(a＋b)
2n
的展开式的项数是( )
A．2n B．2n＋1
C．2n－1 D．2(n＋1)
2．(x－y)
n
的二项展开式中，第r项的系数是( )
A．C
r
n

r
＋
1
B．C
n

r
－
1
C．C
n

－
1
D ．(－1)
r
－
1
C
r
n

3．在(x－3)
10
的展开式中，x
6
的系数是( )
4
A．－27C
6
10
B．27C
10

6
C．－9C
10
D．9C
4
10
3
4．(2010·全国Ⅰ理，5)(1＋2x)
3
(1－x)
5
的展开式中x的系数是( )
A．－4
C．2
B．－2
D．4
1
??
5．在
?
2x
3
＋
x
2
?
n
(n∈N
*
)的展开式中，若存在常数项，则n 的最小值是( )
??
A．3
C．8


B．5
D．10
6．在(1－x
3
)(1＋x)
1 0
的展开式中x
5
的系数是( )
A．－297
C．297
B．－252
D．207
?
2
1
?
n
7．(2009·北京)在
?
x－
x
?< br>的展开式中，常数项为15，则n的一个值可以是
??
( )
A．3
C．5


B．4
D．6
a
8．( 2010·陕西理，4)(x＋
x
)
5
(x∈R)展开式中x
3的系数为10，则实数a等于
( )
A．－1
1
B.
2
C．1

1
D．2

9．若(1＋2x)
6
的展开式中的第 2项大于它的相邻两项，则x的取值范围是
( )
11
A.
12
＜x＜
5

12
C.
12
＜x＜
3

11
B.
6
＜x＜
5

12
D.
6
＜x＜
5

?
3
1< br>?
20
10．在
?
2x－
?
的展开式中，系数是有理 数的项共有( )
2
??
A．4项
C．6项
二、填空题
11．(1＋x＋x
2
)·(1－x)
10
的 展开式中，x
5
的系数为____________．
12．(1＋x)
2
(1－x)
5
的展开式中x
3
的系数为________．
5
?
2
1
?
63
x＋
??
13．若则a ＝________(用数字作答)．
ax
?
的二项展开式中x的系数为
2
，
?
1
14．(2010·辽宁理，13)(1＋x＋x
2
)(x－
x
)
6
的展开式中的常数项为________．
三、解答题
15．求二项式(a＋2b)
4
的展开式．





16．m、n∈N
*
，f(x)＝(1＋ x)
m
＋(1＋x)
n
展开式中x的系数为19，求x
2
的 系
数的最小值及此时展开式中x
7
的系数．





1
n
3
17．已知在(x－)的展开式中，第6项为常数项．
3
2x

2
B．5项
D．7项

(1)求n；
(2)求含x
2
的项的系数；
(3)求展开式中所有的有理项．












1
??
x＋
??
n
展开式中前三项系数成等差数列．求：展开式中系数最18．若
?
4
?
2x
??
大的项．
















3

1.[答案] B 2[答案] D 3 [答案] D
10r
[解析] ∵T
r
＋
1
＝C
r
(－3)
r
.令10－r＝6，
10
x
－
4< br>解得r＝4.∴系数为(－3)
4
C
4
10
＝9C
1 0
.
4[答案] C
33
[解析] (1＋2x)
3
( 1－x)
5
＝(1＋6x＋12x＋8xx)(1－x)
5
，
33
30
故(1＋2x)
3
(1－x)
5
的展开式中含x的项为 1×C
3
所以x的系数为
5
(－x)＋12xC
5
＝－10 x＋12x＝2x，
2.
5[答案] B
3n
[解析] T
r< br>＋
1
＝C
r
n
(2x)
－
r
(x
1
)
＝2
2
rn
－
r3n
·Cr
n
x
－
5r
.
令3n－5r＝0，∵0≤r≤n，r、n∈Z.
∴n的最小值为5.
6[答案] D
[解析] x
5
应是(1＋x)
10
中含x
5
项与含x
2
项．
2
∴其系数为C
5
10
＋C10
(－1)＝207.
7[答案] D
1
－
rr2n
－
3r
[解析] 通项T
r
＋
1
＝C
10
(x
2
)
nr
(－)
r
＝(－1)
r
C
n
x，常数项是15，则2n＝3r，且Cr
n
＝15，验证n＝6
x
时，r＝4合题意，故选D.
8[答案] D
a
－
r5
－
r2r
－
5
[解析] Cr
x
r
()
5r
＝C
5
·ax，令2r－5＝ 3，∴r＝4，
5
·
x
由C
4
a＝10，得a＝2.
5
·
9[答案] A
1
?
T
2
>T1
?
C
6
2x>1
11
[解析] 由
?
得
?
122
∴
12
＜x＜
5
.
?T
2
>T
3
?
C
6
2x>C
6
(2x)

10[答案] A
1
r
33
－－
20
－
r
?
－
?
＝
?
－
2
?
r
·[解析] T
r
＋
1
＝C
r
(2 x)(2)
20r
C
r
x
20r
，
2020·
?
2
??
2
?
∵系数为有理数，
∴(2)与2
r
20
－
r
3
均为有理数，
∴r能被2整除，且20－r能被3整除，
故r为偶数，20－r是3的倍数，0≤r≤20.
∴r＝2,8,14,20.
11[答案] －162
12[答案] 5
[解析] 解法一：先变形( 1＋x)
2
(1－x)
5
＝(1－x)
3
·(1－x
2
)
2
＝(1－x)
3
(1＋x
4
－2x
2
)，展开式中x
3
的系数为－
1＋(－2)·C
1
3< br>(－1)＝5；
31221
解法二：C
3
C
2
5< br>(－1)＋C
2
·
5
(－1)＋C
2
C
5< br>(－1)＝5.

4

13[答案] 2
1
23
[解析] C
3
(x)·
6
ax
14[答案] －5
5
x＝x，∴a＝2.
()
＝
20
a2
3
3
33
()

111
＝
(
x－
x
)
＋x
(
x－
x
)
＋x
(
x－
x
)
，
111
∴要找出
(
x－
)
中的常数项，项的系数，项的系数，T< br>1
[解析] (1＋x＋x
2
)
x－
x
66
6
26
6
2
－
r6
－
rr6
－
2 r
(－1)
r
x
r
＝C
r
，
r
＋
1
＝C
6
x
6
(－1)x
x
xx
令6－2r＝0，∴r＝3，
令6－2r＝－1，无解．
令6－2r＝－2，∴r＝4.
∴常数项为－C
3
6
＋C
4
6
＝－5.
15[解析] 根据二项式定理
(a＋b)
n
＝C
0n1n
－
1n
－
n
a＋C
n
ab＋…＋C
k
n
a
k
b
k
＋…＋C
n
n
b
nn
得
(a＋2b)
4
＝C
0
4
a
4
＋C
1
4
a
3
(2b)＋C
2
4
a
2
(2b)
2
＋C
3
4
a(2b)
3< br>＋C
4
4
(2b)
4
＝a
4
＋8a
3
b＋24a
2
b
2
＋32ab
3
＋16b
4
.
16[解析] 由题设m＋n＝19，∵m，n∈N
*
.
∴
?
?
m＝1
?
n＝18

，
?
?
m＝2
?
n＝17

，…，
?
?
m＝18
?
n＝1

. x
2
的系数C
2
1
m
＋C
2
n
＝
2
(m
2
－m)＋
1
2
(n
2
－n)＝m
2
－19m＋171.
∴当m＝9或10时，x
2
的 系数取最小值81，此时x
7
的系数为C
7
9
＋C
7
10
＝156.
17[解析] (1)T
r
＋
1
＝C< br>r
3
－
1
n
·(x)
nr
·(－)
r

2
3
x
＝C
r
n
·(x
1< br>3
)
n
－
r
·(－
11
2
·x－< br>3
)
r

＝(－
1
n－2
2
)r
·C
r
r
n
·x
3
.
∵第6项为常数项，
∴r＝5时有
n－2r
3
＝0，∴n＝10.
(2)令
n－2r
3
＝2，得r＝
1
2
(n－6) ＝2，
∴所求的系数为C
2
1
10
(－
2
)2
＝
45
4
.
?
10－2r
3
∈Z
(3)根据通项公式，由题意得：
?
?
0≤r≤10
r∈Z


令
10－2r
3
＝k(k∈Z)，则10－2r＝3k，
即r＝
10－3k
2
＝5－
3
2
k.
5

∵r∈Z，∴k应为偶数，∴k可取2,0，－2，
∴r＝2,5,8，∴第3项、第6项与第9项为有理项．
1
2
1
它们分别为C
2
(－)
2
·x，C
5
(－)
5，
10
·
10
22
1
－
2
C
8
(－)
8
·x.
10
·
2
[解析] 通项为 ：T
r
＋
1
＝C
r
(
n
·x)
n
－
r
?
1
?
r
·
?
4
?
.
?
2x
?
2
1
1
1
由已知条 件知：C
0
2
＝2C
n
·，解得：n＝8.
n
＋ C
n
·
22
记第r项的系数为t
r
，设第k项系数最大，则 有：
t
k
≥t
k
＋
1
且t
k
≥ t
k
－
1
.
1
又t
r
＝C
r< br>2
8
·
－
－－＋
－
r
＋
1
，于是有：
－
k1k
2
k1
≥C
8
·2
k
?
C
8
·
?
k
－
1
－
k
＋
1

k
－
2
－
k
＋
2
2≥C
8
·2
?
C
8
·

?< br>即
?
8！8！
≥×2.
?
(k－1)！·(9－k)！(k－ 2)！·(10－k)！
?
2
≥
1
?
9－k
k，
∴
?
12
≥
?
?
k－110－k
.
8！8！
×2≥，
(k－1)！·(9－k)！k！(8－k)！



解得3≤k≤4.
∴系数最大项为第3项T
3
＝7·x
5
和第4项T
4
＝7·x
4
.
37



6