高中数学选修2-2综合测试题(全册含答案)

高中数学选修2-2综合测试题
(时间90分钟，满分120分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．设z＝
10i
，则z的共轭复数为( )
3＋i
B．－1－3i
D．1－3i
A．－1＋3i
C．1＋3i
2．若函数f(x)＝e
x
cos x，则此函数的图象在点(1，f(1))处的切线的倾斜角为( )
A．0
π
C.
2
B．锐角
D．钝角
3．用反证法证明命 题“若函数f(x)＝x
2
＋px＋q，那么|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|中至 少有一个
1
不小于”时，反设正确的是( )
2
1
A．假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都不小于
2
1
B．假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小于
2
1
C．假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|至多有两个小于
2
1
D．假设|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|至多有一个小于
2
11
4．设a＝
?
1
x－dx，b＝1－
?
1< br>xdx，c＝
?
1
x
3
dx，则a，b，c的大小关系( )
3
??
2
?
000
A．a＞b＞c
C．a＞c＞b
B．b＞a＞c
D．b＞c＞a
5.由①y＝2x ＋5是一次函数；②y＝2x＋5的图象是一条直线；③一次函数的图象是一
条直线．写一个“三段论” 形式的正确推理，则作为大前提、小前提和结论的分别是( )
A．②①③
C．①②③
B．③①②
D．②③①
6.如图，我们知道，圆环也可 以看作线段AB绕圆心O旋转一周所形成的平面图形，
R＋r
又圆环的面积S＝π(R
2
－r
2
)＝(R－r)×2π×，所以，圆环的面积等于以线段AB＝R－r
2
为宽，以AB中点绕圆心O旋转一周所形成的圆的周长2π×
R＋r
为长的矩形面 积．请你将
2
222
上述想法拓展到空间，并解决下列问题：若将平面区域M＝
{
?x，y?|?x－d?＋y≤r
}
(其中

0A．2πr
2
d B．2π
2
r
2
d
C．2πrd
2
D．2π
2
rd
2

7．观察下列各式：5
5
＝3 125,5
6
＝15 625,5
7
＝78 125，…，则5
2 015
的末四位数字为( )
A．3 125
C．0 625
B．5 625
D．8 125
8．下面给出了关于复数的四种类比推理： ①复数的加减法运算，可以类比多项式的加减法运算法则；②由向量a的性质|a|
2
＝a
2
，
可以类比得到复数z的性质：|z|
2
＝z
2
；③方程ax
2
＋bx＋c＝0，(a，b，c∈R，且a≠0)有两
个不同的实数根 的条件是b
2
－4ac>0，类比可得方程ax
2
＋bx＋c＝0，(a，b ，c∈C且a≠0)
有两个不同的复数根的条件是b
2
－4ac>0；④由向量加法的 几何意义，可以类比得到复数加
法的几何意义．
其中类比得到的结论正确的是( )
A．①③
C．②③
9．设x＞0，y＞0，A＝
A．A＞B B．A≥B
C．A＜B D．A≤B
10．设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′ (x)，且函数f(x)在x＝－2处取得极小值，
则函数y＝xf′(x)的图象可能是( )
B．②④
D．①④
x＋y
xy
，B＝＋，则A与B的大小关系为( )
1＋x＋y1＋x1＋y

二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
3＋i
11．若复数z满足z＋i＝，则|z|＝________.
i
1 2．直线y＝kx＋1与曲线y＝x
3
＋ax＋b相切于点A(1,3)，则2a＋b的值为_ _______．
13．我们把1,4,9,16,25，…这些数称作正方形数，这是因为这些数目 的点可以排成一个
正方形，如下图所示：

第n个正方形数是________．
AO
S
四边形
ABOC14．若O为△ABC内部任意一点，连接AO并延长交对边于A′，则＝，
AA′S
△< br>ABC
AOBOCO
同理连接BO，CO并延长，分别交对边于B′，C′，这样可以推 出＋＋＝
AA′BB′CC′
________；类似地，若O为四面体ABCD内部任意一点 ，连接AO，BO，CO，DO并延长，
AOBOCODO
分别交相对的面于A′，B′，C′ ，D′，则＋＋＋＝________.
AA′BB′CC′DD′
三、解答题(本大题共4 小题，共50分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤)
15．(本小题满分12分)已知F(x)＝
(1)求F(x)的单调区间；
(2)求函数F(x)在[1,5]上的最值．








111
16．(本小题满分12分)在△ABC中，AB⊥A C，AD⊥BC于D，求证：
2
＝
2
＋
2
.
ADA BAC
在四面体A-BCD中，类比上述结论，你能得到怎样的猜想，并说明理由．










?
－1
t(t－4)dt，x∈(－1，＋∞)．
x

17．(本小题满分12分)已知函数f(x)＝x
3
＋ax
2
－3x(a ∈R)．
(1)若函数f(x)在区间[1，＋∞)上是增函数，求实数a的取值范围；
1
(2)若x＝是函数f(x)的极值点，是否存在实数b，使得函数g(x)＝bx的图象与函数f( x)
3
的图象恰有3个交点？若存在，请求出b的取值范围；若不存在，试说明理由．













18．(本小题满分14分)已知数列{a
n
}满足 a
1
＝a，a
n
＋
1
＝
(1)求a
2，a
3
，a
4
；
(2)猜想数列{a
n
}的通项公式，并用数学归纳法证明．
















1
.
2－a
n

高中数学选修2-2综合测试题参考答案
1．选D ∵z＝＝＝1＋3i，∴z＝1－3i.
3＋i?3＋i??3－i?
2．选D f′(x)＝e
x
·cosx＋e
x
·(－sin x)＝e
x
(cos x－sin x)．当x＝1时，cos x－sin x＜0，故
f′(1)＜0，所以倾斜角为钝角．
1
3．选B “|f(1)|，| f(2)|，|f(3)|中至少有一个不小于”的反设为“|f(1)|，|f(2)|，|f(3)|都小< br>2
1
于”．
2
1
1
3
2
1
31x
1
2
3
4．解析：选A 由题意可得a＝
?
x－d x＝＝x＝；b＝1－
?
xdx＝1
122
?
0
3
?
0
00
－＋1
3
10i
10i?3－i?
11
－＋1
3
2
?
1x
1
x
4
1
1
3
?
1
－＝1－
?
3
－0
?
＝；c＝
?
xdx＝＝.综上，a＞b＞c.
3
0
34
0
4
?
0
2
5．选B 该三段论应为：一次函数的图象是一条直线(大前提)，y＝2x＋5是一次函数(小
前提)，y＝2x ＋5的图象是一条直线(结论)．
6．选B 平面区域M的面积为πr
2
，由类比知 识可知：平面区域M绕y轴旋转一周得
到的旋转体类似于为实心的车轮内胎，旋转体的体积等于以圆(面 积为πr
2
)为底，以O为圆
心、d为半径的圆的周长2πd为高的圆柱的体积，所以 旋转体的体积V＝πr
2
×2πd＝2π
2
r
2
d.
7．选D ∵5
5
＝3 125,5
6
＝15 625,5
7
＝8 125，
5
8
＝390 625,5
9
＝1 953 125,5
10
＝9 765 625，… < br>∴5
n
(n∈Z，且n≥5)的末四位数字呈周期性变化，且最小正周期为4，记5n
(n∈Z，且n≥5)
的末四位数字为f(n)，则f(2 015)＝f(502× 4＋7)＝f(7)．
∴5
2 015
与5
7
的末四位数字相同，均为8 125.
8．选D ②中|z|
2
∈R，但z
2
不一定是实数．③中复数集不能比较大小，不能用b
2
－4ac
来确定根的个数．
9．选C
x＋y
xyxy
＋＞＋＝.
1＋x1＋y1＋x＋y1＋x＋y1＋x＋y
3
2

10．选C 由函数f(x)在x＝－2处取得极小值可知x<－ 2，f′(x)<0，则xf′(x)>0；x>
－2，f′(x)>0，则－20时，xf′(x)>0.
3＋i?3＋i??－i?
11．解析：∵z＝－ i＝－i＝－i
2
－3i－i＝1－4i，∴z＝1＋4i.∴|z|＝
2
i
－i
＝17.
答案：17
12．解析：∵直线y＝kx＋1与曲线y＝x
3
＋ax＋b相切于点A(1,3)，y＝x
3
＋ax＋b的导数
y ′＝3x
2
＋a.
3＝k×1＋1
?
?
∴
?
3＝1＋a×1＋b，
?
?
k＝3×1＋a，
3
2
1
2
＋4
2

解得a＝－1，b＝3，
∴2a＋b＝1.
答案：1
13．解析：观察 前5个正方形数，正好是序号的平方，所以第n个正方形数应为n
2
.
答案：n
2

14．解析：根据面积公式，在△ABC中，
OA′
AO
AA′－OA′
＝＝1－
AA′AA′AA′
S
△
OBC
S
四边形
ABOC
＝1－＝，
S△
ABC
S
△
ABC
AOBOCO
所以＋＋
AA′BB′CC′
S
△
OBC
＋S
△
OAC
＋S
△
OAB
＝3－
S
△
ABC
S
△
ABC
＝3－＝2.
S
△
ABC
根据体积分割方法，同理可得在四面体ABCD中，
AOBOCODO
＋＋＋
AA′BB′CC′DD′

VO-ABD
＋V
O-ACD
＋V
O-ABC
＋V
O-B CD
＝4－
V
A-BCD
V
A-BCD
＝4－＝3.
V
A-BCD
答案：2 3
15．解：F(x)＝
?
－1
x
x
1
3
t－2t
2
?
(t
2
－4t)dt＝
?
?
3
?

?1
1
1
－－2
?
＝x
3
－2x
2
－
?
?
3
?
3
17
＝x
3< br>－2x
2
＋(x>－1)．
33
(1)F′(x)＝x
2
－4x，
由F′(x)>0，即x
2
－4x>0，得－14；
由F′(x)<0，即x
2
－4x<0，得0∴F(x)的单调递增区间为(－1,0)和(4，＋∞)，
单调递减区间为(0,4)．
172
(2)由(1)知F(x)在[1,4]上递减，在[4,5]上递增，∵F(1)＝－ 2＋＝，
333
1725
F(4)＝×4
3
－2×4
2< br>＋＝－，
333
17
F(5)＝×5
3
－2×5
2
＋＝－6，
33
225
∴F(x)在[1,5]上的最大值为，最小值为－.
33
16． 证明：如图所示，由射影定理AD
2
＝BD·DC，AB
2
＝
BD·BC，AC
2
＝BC·DC，
11
∴
2
＝
ADBD·DC
BC
2
BC
2
＝＝.
BD·BC ·DC·BCAB
2
·AC
2
又BC
2
＝AB
2< br>＋AC
2
，
AB＋AC
111
∴
2
＝.
22
＝
2
＋
ADAB·ACABAC
2
22

111
所以
2
＝
2
＋
2
.
ADABAC
猜想：类比AB⊥AC，AD⊥BC猜想四面体A-BCD中，AB，AC，AD 两两垂直，AE⊥平面
1111
BCD，则
2
＝
2
＋
2
＋
2
.
AEABACAD
如图，连接BE并延长交CD于F，连接AF.
∵AB⊥AC，AB⊥AD，∴AB⊥平面ACD.而AF?平面ACD，∴AB⊥AF.
在Rt△ABF中，AE⊥BF，
111
∴
2
＝
2
＋
2
.
AEA BAF
111
在Rt△ACD中，AF⊥CD，∴
2
＝
2
＋
2
.
AFACAD
1111
∴
2
＝
2< br>＋
2
＋
2
，故猜想正确．
AEABACAD
17．解：(1)f′(x)＝3x
2
＋2ax－3，
∵f(x)在[1，＋∞)上是增函数，
∴在[1，＋∞)上恒有f′(x)≥0，
a
∴－≤1，且f′(1)＝2a≥0.
3
∴a≥0.
故实数a的取值范围为[0，＋∞)．
1
?
12a
(2)由题意知f′
?
＝0，即＋－3＝0，
?
3
?
33
∴a＝4.
∴f(x)＝x
3
＋4x
2
－3x.
若函数g(x)＝b x的图象与函数f(x)的图象恰有3个交点，即方程x
3
＋4x
2
－3x＝ bx恰有3
个不等实根．
∵x＝0是其中一个根，
∴方程x
2
＋4x－(3＋b)＝0有两个非零不等实根．
?
?
Δ＝16＋4?3＋b?>0，
∴
?

?
?
－?3＋b?≠0.

∴b>－7，且b≠－3.
∴满足条件的b存在，其取值范围是(－7，－3)∪(－3，＋∞)．
111
18 ．解：(1)由a
n
＋
1
＝可得a
2
＝＝，
2－a
n
2－a
1
2－a
a
3
＝＝＝，
2－a
2
2－
1
3－2a
2－a
1
a4
＝＝
2－a
3
3－2a
＝.
2－a4－3a
1
11
2－a
2－
3－2a
?n－1?－?n－2?a
( 2)推测a
n
＝.
n－?n－1?a
下面用数学归纳法证明：①当n＝1时，左边＝a
1
＝a，
?1－1?－?1－2?a
右边＝＝a，结论成立．
1－?1－1?a
?k －1?－?k－2?a
②假设n＝k时等式成立，有a
k
＝，
k－?k－1?a
则当n＝k＋1时，
a
k
＋
1
＝
1
＝
?k－1?－?k－2 ?a
2－
k－?k－1?a
1
2－a
k
＝
2[k －?k－1?a]－[?k－1?－?k－2?a]
k－?k－1?a
k－?k－1?a
＝.
?k＋1?－ka
故当n＝k＋1时，结论也成立．
?n－1?－?n－2?a
由①②可知，对任何n∈N都有a
n
＝.
n－?n－1?a
*