关键词不能为空

当前您在: 主页 > 数学 >

浙江省第二届高中数学说题比赛题目及解答

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-15 04:30
tags:高中数学题

2020福建高中数学竞赛预赛-高中数学关于真假命题的应用


个人赛:
1. 设集合
M?{(a,b)|a??1
,且
b ?m}
,其中
m?R
.若任意
(a,b)?M
,均有
a?2 ?b?3a?0

求实数
m
的最大值.
解法1:(纯代数解法)
由题意得:
a?(2?3)?b?0
对于
?a??1
恒成立.(这里 看做
a
的一次函数)
b
?
?
2?3?0
b
于是有
?

?2?b?3
b
?
?
(?1)?(2 ?3)?b?0
x
b
b
(2
b
?3)
(*) 构造函数
g(x)?2?x
,显然
g(x)

R
上单调 递增,(*)式转化为
g(b)?g(1)

也就是
b?1
恒成立,
所以
m?1
,即实数
m
的最大值为
1
.

解法2:(数形结合)

b
由题意得:
a?(2?3)?b
?2?3?
b
b
对于
?a??1
恒成立.(再把b
看做
x

a
这里
y?2?3
是不变的,而
y?
x

y

y?2
x
?3

x
是一条绕着原点
a
m

x

旋转的直线 ,其斜率范围是
1
?[?1,0)
,要使得
a
O

y?
x

a
2
x
?3?
x
(??,m)
上恒成立,也就是在
(??,m)
上无
a
论斜率怎 样变化,都要满足直线在曲线上方,那么直线最
“陡”时,满足题意即可,也就是当
a??1< br>时,不等式
2
b
?3??b
恒成立. 以下同解法一.

解法3:(用必要条件减少范围)
由题意得:当
a??1
时,不等式a?2?b?3a?0
也应成立,即
2?b?3
,解得
b?1
( 过程
b
bb
同解法一),此时
2?3?0
,从而有
a?也就是
bb
对于恒成立,也就是恒成立,
a?
?a??1
max
bb
2?32?3
b
??1
恒成立,即
2
b
?b?3
,得
b?1
.
b
2?3
所以
m? 1
,即实数
m
的最大值为
1
.


2. 在非等腰直角
?ABC
中,已知
?C?90?

D

BC
的一个三等分点,若
cos?BAD?
25,求
5
sin?BAC
的值.

解法1:
由于点< br>D

BC
的三等分点,若点
D
靠近点
B
,则
?BAD?30?
,即
cos?BAD?
3
,又因为
22
5
?
3
,所以点
D
靠近点
C
. < br>2
1

2

?BAD?
?

?DA C?
?
,设
BC?3x,AC?h
,则由题意可得
tan
?
?
x
1
x3x
x
h
,因为
tan
?
?tan(
,得到
?1

?
?
?
??
)
,所以可得
?
tan
?
?,tan(
?< br>?
?
)?
x
2
hh
h
1?3()
2
h
2
310310
x1
. 综上所述,
sin?BAC?
.
?
. 因为
h?3x
,所 以
h?x
,所以
sin?BAC?
1010
h3
解法2(代 数方法):
AB
2
?AD
2
?BD
2

BC?3a,AC?b
,运用余弦定理可得,
cos?BAD?
,即
225AB
2
?AD
2
?BD
2
b
2
? 9a
2
?b
2
?a
2
?a
2
???b2
?9a
2
或者
b
2
?a
2
. 因为
b?3a
,从
52AB?AD
2b
2
?9a
2?b
2
?a
2
而得到
b?a
,又因为
cosB ?
3a
b
2
?9a
2
,从而得到
sin?BAC? cosB?
310
.
10


3. 如图,在矩形
AB CD
中,
AB?a,BC?b(a?0,b?0),E
为边
BC
的中 点,设
P,Q
分别是
BC,CD

的点,且满足




DQCP
?
,连接
AQ

DP
交于点
M
,求动点
M
的轨迹方程,并指出它的形状.
QCPE< br>D
Q
M
C
P
E
解法1:如图建系,设
l
AQ
DQCP
??
?
?[0,1)

DCC E
bb
?
:y?x

l
dp
:y?b??x

?
a2a
AB
b
2
2
x
两式相乘得
y(y?b)??
2
2a
D
Q
M
C
PE
b
(y?)
2
22
x
2
2
化简得,
x?[0,a),y?(b,b]

??1
33
b
2
a
2
42
b?2a
时,是圆的一部分,
b?2a
时,是椭 圆的一部分,


解法2:构造新长方形,取
b?
AB
2 a
,设
DQCP
??
?
?[0,1)

DCCE< br>则
DQ?
?
a
,
CP?
2
?
a
2
D
Q
M
C
P
E
DQCP
此时,即
?
ADQ?
?
DCP

?
ADDC

DP?AQ
,所以M点轨迹为以
AD
为直径的圆弧
2
2
a
2
222
x?(y?a)?a,2a]

x?[0,a),y?(
2233
2
AB

b?2a
时,则原题可看作新模型的纵方向上的伸缩变换,
2a2
2
a
2
2a
2
y?a)?

y
乘以即可,得到
x?(
< br>b22
b
b
(y?)
2
x
2
2
?< br>2
?1
,圆经过纵向伸缩之后得到的自然是椭圆。 化简得
2
ba
42


团体赛:
1. 已知
a ,b,c?R
,对任意实数
x
均有
ax
2
?bx?c?x< br>2
?3x?2
.求
b
2
?4ac
的最小值.


解法1:不妨令
a?0

22
1. 当b?4ac?0
时,
ax?bx?c

x?3x?2
有相同的< br>2
3
2
零点,即
b??3a,c?2a

1
此时,要使得
ax?bx?c?x?3x?2
恒成立,
只需a?1
,此时
b
2
?4ac?a
2
?1

2. 当
b?4ac?0
时,从图像可知,不成立;
2
3.当b?4ac?0
时,只需保证
y?ax?bx?c
同时在
2
24
22
2
1
2
5
y?x?3x?2

y ??x?3x?2
的上方即可,
22
4
3
?
(ax
2
?bx?c)?(x
2
?3x?2)?0

?
恒成立
22
(ax?bx?c)?(?x?3x?2)?0
?
2
1
?
1
?(b?3)
2
?4(a?1)(c?2)?0

?
2
?(b?3)
2
?4(a?1)(c?2)?0
1
246
两式相加得
b
2
?4ac?5
(注:此为充分不必要关系).
2
4


综上,
b
2
?4ac
的 最小值为1.
3
2
1
246
1
2



2. 已知函数
f(x)?x?(m?2)x?(2m?1)x
32
(m?R )
.设函数
f(x)
除零外还有两个不同的零点
x
1
x
2
(x
1
x
2
?0
,且
x
1
?x
2
)
.若对任意的
x?[x
1

x
2
]

f(x)?f(?4)
恒成立,求实数
m
的 取值范围.

解法:有题意得
f(x)?x?[x?(m?2)x?(2m?1)]
,可知
x
1
,x
2
是方程
x?(m?2)x?(2 m?1)?0

两个不等非零根,于是有
??(m?2)?4(2m?1)?0
,解得
m?(??,?)?(?
下对
m
进行讨论:
1?

m?4
时,有韦达定理
?
解得
4?m?
2
22
1
2
1
,0)?(4,??)
,以
2
?
x
1
?x
2
??(m?2)?0
,有
x
1
?x
2
?0
,借助图象有
f(?4)?0

xx?2m?1?0
?
12
9

2
< br>2?

m?0
时,易知
x
1
?0?x
2,借助图象有
f(x)
的极小值大于
f(?4)
,于是
2m?1 2m?1
)
,即有
f(?)?f(?4)
,解之,得
?8?m?0< br>;
33
119
综上所述,实数
m
的取值范围是
(?8,?)?(?,0)?(4,)
.
222
f'(x)?3(x?1)(x?


3. 已知函数< br>f(x)?x?
3
3
(1?a)x
2
?3ax?b
.
2
(Ⅰ)求
f(x)
的单调区间;
(Ⅱ)是否存在实数对(a,b)
,使得不等式
?1?f(x)?1

x?[0,3]
恒成立?若存在,试求出所有的
实数对
(a,b)
;若不存在,请说明理由.
解法:(Ⅰ)
f'(x)?3(x?1)(x?a)


a??1
时,增区间
(??,a)

(?1,??)
;减 区间
(a,?1)






a??1
时,增区间
R
;减区间不存在;

a ??1
时,增区间
(??,?1)

(a,??)
;减区间
(?1,a)
.
?
?1?f(0)?1
?
(Ⅱ)由题 知
?
?1?f(1)?1
,直接得到
(a,b)?(1,1)
.
?
?
?1?f(3)?1

2015高中数学联赛上海试题-高中数学必修1同步答案解析


高中数学教学设计的亮点-高中数学配餐作业


高中数学排列a和c-高中数学必修二圆的综合题


高中数学数学思想方法教材-初中高中数学书全套


高中数学选修1-2全部教案-高中数学课程标准目标


河北省学业水平测试高中数学-高中数学选修课安排


高中数学第一次月考试题分析-全国高中数学联赛2018分数线


高中数学教科书b版区别-高中数学会很难吗



本文更新与2020-09-15 04:30,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/395731.html

浙江省第二届高中数学说题比赛题目及解答的相关文章