2020福建高中数学竞赛预赛-高中数学关于真假命题的应用
个人赛:
1. 设集合
M?{(a,b)|a??1
,且
b
?m}
,其中
m?R
.若任意
(a,b)?M
,均有
a?2
?b?3a?0
,
求实数
m
的最大值.
解法1:(纯代数解法)
由题意得:
a?(2?3)?b?0
对于
?a??1
恒成立.(这里
看做
a
的一次函数)
b
?
?
2?3?0
b
于是有
?
,
?2?b?3
b
?
?
(?1)?(2
?3)?b?0
x
b
b
(2
b
?3)
(*) 构造函数
g(x)?2?x
,显然
g(x)
在
R
上单调
递增,(*)式转化为
g(b)?g(1)
,
也就是
b?1
恒成立,
所以
m?1
,即实数
m
的最大值为
1
.
解法2:(数形结合)
b
由题意得:
a?(2?3)?b,
?2?3?
b
b
对于
?a??1
恒成立.(再把b
看做
x
)
a
这里
y?2?3
是不变的,而
y?
x
y
y?2
x
?3
x
是一条绕着原点
a
m
x
旋转的直线
,其斜率范围是
1
?[?1,0)
,要使得
a
O
y?
x
a
2
x
?3?
x
在(??,m)
上恒成立,也就是在
(??,m)
上无
a
论斜率怎
样变化,都要满足直线在曲线上方,那么直线最
“陡”时,满足题意即可,也就是当
a??1<
br>时,不等式
2
b
?3??b
恒成立. 以下同解法一.
解法3:(用必要条件减少范围)
由题意得:当
a??1
时,不等式a?2?b?3a?0
也应成立,即
2?b?3
,解得
b?1
(
过程
b
bb
同解法一),此时
2?3?0
,从而有
a?也就是
bb
对于恒成立,也就是恒成立,
a?
?a??1
max
bb
2?32?3
b
??1
恒成立,即
2
b
?b?3
,得
b?1
.
b
2?3
所以
m?
1
,即实数
m
的最大值为
1
.
2. 在非等腰直角
?ABC
中,已知
?C?90?
,
D
是
BC
的一个三等分点,若
cos?BAD?
25,求
5
sin?BAC
的值.
解法1:
由于点<
br>D
是
BC
的三等分点,若点
D
靠近点
B
,则
?BAD?30?
,即
cos?BAD?
3
,又因为
22
5
?
3
,所以点
D
靠近点
C
. <
br>2
1
,
2
设
?BAD?
?
,
?DA
C?
?
,设
BC?3x,AC?h
,则由题意可得
tan
?
?
x
1
x3x
x
h
,因为
tan
?
?tan(
,得到
?1
或
?
?
?
??
)
,所以可得
?
tan
?
?,tan(
?<
br>?
?
)?
x
2
hh
h
1?3()
2
h
2
310310
x1
.
综上所述,
sin?BAC?
.
?
. 因为
h?3x
,所
以
h?x
,所以
sin?BAC?
1010
h3
解法2(代
数方法):
AB
2
?AD
2
?BD
2
设
BC?3a,AC?b
,运用余弦定理可得,
cos?BAD?
,即
225AB
2
?AD
2
?BD
2
b
2
?
9a
2
?b
2
?a
2
?a
2
???b2
?9a
2
或者
b
2
?a
2
. 因为
b?3a
,从
52AB?AD
2b
2
?9a
2?b
2
?a
2
而得到
b?a
,又因为
cosB
?
3a
b
2
?9a
2
,从而得到
sin?BAC?
cosB?
310
.
10
3. 如图,在矩形
AB
CD
中,
AB?a,BC?b(a?0,b?0),E
为边
BC
的中
点,设
P,Q
分别是
BC,CD
上
的点,且满足
DQCP
?
,连接
AQ
与
DP
交于点
M
,求动点
M
的轨迹方程,并指出它的形状.
QCPE<
br>D
Q
M
C
P
E
解法1:如图建系,设
则l
AQ
DQCP
??
?
?[0,1)
DCC
E
bb
?
:y?x
,
l
dp
:y?b??x
?
a2a
AB
b
2
2
x
两式相乘得
y(y?b)??
2
2a
D
Q
M
C
PE
b
(y?)
2
22
x
2
2
化简得,
x?[0,a),y?(b,b]
??1
33
b
2
a
2
42
b?2a
时,是圆的一部分,
b?2a
时,是椭
圆的一部分,
解法2:构造新长方形,取
b?
AB
2
a
,设
DQCP
??
?
?[0,1)
DCCE<
br>则
DQ?
?
a
,
CP?
2
?
a
2
D
Q
M
C
P
E
DQCP
此时,即
?
ADQ?
?
DCP
?
ADDC
即
DP?AQ
,所以M点轨迹为以
AD
为直径的圆弧
2
2
a
2
222
x?(y?a)?a,2a]
,
x?[0,a),y?(
2233
2
AB
当
b?2a
时,则原题可看作新模型的纵方向上的伸缩变换,
2a2
2
a
2
2a
2
y?a)?
即
y
乘以即可,得到
x?(
<
br>b22
b
b
(y?)
2
x
2
2
?<
br>2
?1
,圆经过纵向伸缩之后得到的自然是椭圆。
化简得
2
ba
42
团体赛:
1. 已知
a
,b,c?R
,对任意实数
x
均有
ax
2
?bx?c?x<
br>2
?3x?2
.求
b
2
?4ac
的最小值.
解法1:不妨令
a?0
,
22
1. 当b?4ac?0
时,
ax?bx?c
与
x?3x?2
有相同的<
br>2
3
2
零点,即
b??3a,c?2a
1
此时,要使得
ax?bx?c?x?3x?2
恒成立,
只需a?1
,此时
b
2
?4ac?a
2
?1
;
2. 当
b?4ac?0
时,从图像可知,不成立;
2
3.当b?4ac?0
时,只需保证
y?ax?bx?c
同时在
2
24
22
2
1
2
5
y?x?3x?2
与
y
??x?3x?2
的上方即可,
22
4
3
?
(ax
2
?bx?c)?(x
2
?3x?2)?0
即
?
恒成立
22
(ax?bx?c)?(?x?3x?2)?0
?
2
1
?
1
?(b?3)
2
?4(a?1)(c?2)?0
即
?
2
?(b?3)
2
?4(a?1)(c?2)?0
1
246
两式相加得
b
2
?4ac?5
(注:此为充分不必要关系).
2
4
综上,
b
2
?4ac
的
最小值为1.
3
2
1
246
1
2
2. 已知函数
f(x)?x?(m?2)x?(2m?1)x
32
(m?R
)
.设函数
f(x)
除零外还有两个不同的零点
x
1
,x
2
(x
1
x
2
?0
,且
x
1
?x
2
)
.若对任意的
x?[x
1
,
x
2
]
,
f(x)?f(?4)
恒成立,求实数
m
的
取值范围.
解法:有题意得
f(x)?x?[x?(m?2)x?(2m?1)]
,可知
x
1
,x
2
是方程
x?(m?2)x?(2
m?1)?0
的
两个不等非零根,于是有
??(m?2)?4(2m?1)?0
,解得
m?(??,?)?(?
下对
m
进行讨论:
1?
当
m?4
时,有韦达定理
?
解得
4?m?
2
22
1
2
1
,0)?(4,??)
,以
2
?
x
1
?x
2
??(m?2)?0
,有
x
1
?x
2
?0
,借助图象有
f(?4)?0
,
xx?2m?1?0
?
12
9
;
2
<
br>2?
当
m?0
时,易知
x
1
?0?x
2,借助图象有
f(x)
的极小值大于
f(?4)
,于是
2m?1
2m?1
)
,即有
f(?)?f(?4)
,解之,得
?8?m?0<
br>;
33
119
综上所述,实数
m
的取值范围是
(?8,?)?(?,0)?(4,)
.
222
f'(x)?3(x?1)(x?
3. 已知函数<
br>f(x)?x?
3
3
(1?a)x
2
?3ax?b
.
2
(Ⅰ)求
f(x)
的单调区间;
(Ⅱ)是否存在实数对(a,b)
,使得不等式
?1?f(x)?1
对
x?[0,3]
恒成立?若存在,试求出所有的
实数对
(a,b)
;若不存在,请说明理由.
解法:(Ⅰ)
f'(x)?3(x?1)(x?a)
当
a??1
时,增区间
(??,a)
,
(?1,??)
;减
区间
(a,?1)
;
当
a??1
时,增区间
R
;减区间不存在;
当
a
??1
时,增区间
(??,?1)
,
(a,??)
;减区间
(?1,a)
.
?
?1?f(0)?1
?
(Ⅱ)由题
知
?
?1?f(1)?1
,直接得到
(a,b)?(1,1)
.
?
?
?1?f(3)?1
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