高中数学新定义类型题

同步练习

学校:___________姓名：___________班级：

___________考号：
___________

第I卷（选择题）
请点击修改第I卷的文字说明
评卷人

得分
一、选择题（本题共22道小题，每小题5分，共110

分）

1.定义
max{a,b}?
?
?
a,a?b
?
?
b,a?b
，设实数
x,y
满足约束条件
?
x?2
，则 < br>?
?
?
y?2
z?max{4x?y,3x?y}
的取值范围 是（ ）
（A）
[?8,10]
（B）
[?7,10]
（C）
[?6,8]
（D）
2.对于复数
a,b,c,d
,若集合
S=
?
a,b ,c,d
?
具有性质“对任意
x,y?S
,必有
xy?S
” ,则当
?
?
a=1
?
b
2
=1
时,
b+c+d
等于 ( )
?
?
c
2
=b
A、1 B、-1 C、0 D、
i

3.
在实数集
R
中 定义一种运算“
?
”，
?a,b?R
，
a?b
为唯一确定的 实数，且具有性
质：
（1）对任意
a?R
，
a?0?a
； （2）对任意
a,b?R
，
a?b?ab?(a?0)?(b?0)
． 关于函数
f(x)?(e
x
)?
1
e
x
的性质 ，有如下说法：①函数
f(x)
的最小值为
3
；②函数
f(x) 为偶函数；③函数
f(x)
的单调递增区间为
(??,0]
．其中正确 说法的序号为
（ ）
A．① B．①② C．①②③
D．②③
4.设
A
是整数集的一个非空子集，对于
k
∈
A
，如果
k
－1?
A
且
k
＋1?
A
，那么称
k
是集
合
A
的一个“好元素”．给定集合
S
＝{1,2,3,4,5,6,7,8}，由
S
的3个元素构成的所
有集合中，不含 “好元素”的集合共有（ ）
A．2个 B．4个 C．6个 D．8个
5.对于集合
S?{xx?2k?1，k?
N
}
和集合
T?{xx?a?b，a，b?S}
，
若满足
T?S
，则集合
T
中的运算“
?
”可以是
A．加法 B．减法 C．乘法 D．除法
6.设函数
f(x)
的定义域为R，如果存在函数
g(x)?ax (a
为常数），使得
f(x)?g(x)
对于一切实数
x
都成立，那 么称
g(x)
为函数
f(x)
的一个承托函数. 已
x
知对 于任意
k?(0,1)
，
g(x)?ax
是函数
f(x)?e
k
的一个承托函数，记实数a的取
值范围为集合M，则有（ ）
A.
e
?1
?M,e?M
B.
e
?1
?M,e?M
?1
C.
e?M,e?M

D.
e
?1
?M,e?M

7.用
C
(
A)表示非空集合
A
中的元素个数，定义
|A?B|?
?
?
C(A)?C(B),C(A)?C(B)
?
C(B)?C(A),C(A)?C(B).
若
A?{1,2}
，
B?{x|x
2
?2x?3| ?a}
，且|A-B|=1，由a的所有可能值构成的集合
为S，
那么C(S)等于( )
A．1 B．2 C．3 D．4 8.对于集合M、N，定义M－N＝{x|x∈M且x
?
N}，M⊕N＝(M－N)∪(N －M)，设A
＝{y|y＝3
x
， x∈R}，B＝{y|y＝－
x
2
?2x?1
，x∈R}，则A⊕B等于( )
A．[0,2) B．(0,2]
C．(－∞，0]∪(2，＋∞) D．(－∞，0)∪[2，＋∞)
9. 在实数集
R
中定义一种运算“
?
”，
?a,b?R
，
a?b
为唯一确定的实数，且具有
性质：
（1）对任意
a?R
，
a?0?a
；

< /p>

（2）对任意
a,b?R
，
a?b?ab?(a?0)?(b? 0)
．
f(x)?(e
x
)?
1
关于函数
ex
的性质，有如下说法：①函数
f(x)
的最小值为
3
；②函数
f(x)
为偶函数；③函数
f(x)
的单调递增区间为
(??,0]
．
其中所有正确说法的个数为( )
A．
0
B．
1
C．
2

D．
3

x?(m?
11
10.给出定义:若
2
,m?
2
]
（其中
m
为整数）,则
m
叫做与实数
x
“亲密的
整 数”, 记作
{x}?m
,在此基础上给出下列关于函数
f(x)?x?{x}
的四个命题:①函
y?f(x)
x?
k
(k?Z)
数在
x ?(0,1)
上是增函数;②函数
y?f(x)
的图象关于直线
2
对
称;③函数
y?f(x)
是周期函数,最小正周期为1;④当
x?(0,2]
时，函数
g(x)?f(x)?lnx
有两个零点. 其中正确命题的序号是____________.
A．②③④ B．①③ C．①② D．②④
11.定义运算
ab
cd
?ad?bc
，若函数
f
?
x
?
?
x?12
?xx?3
在
(??,m)
上单调递减，
则实数
m
的取值范围是
A．
(?2,??)
B．
[?2,??)
C．
(??,?2)
D．
(??,?2]

12.对于函数f
?
x
?
，若
?a,b,c?R
，
f
?
a
?
,f
?
b
?
,f
?
c?
为某一三角形的三边长，则
称
f
?
x
?
f< br>为“可构造三角形函数”，已知函数
?
x
?
?
e
x< br>?t
e
x
?1
是“可构造三角形函
数”，则实数
t< br>的取值范围是
A．
?
0,??
?
[
1
,2]
B．
?
0,1
?
C．
?
1,2
?
D．
2

13.对于集合
A
，如果定义了一种运算“
?< br>”，使得集合
A
中的元素间满足下列4个
条件：
（ⅰ）
?a,b?A
，都有
a?b?A
；
（ⅱ）
?e?A
，使得对
?a?A
，都有
e?a?a?e?a
；
（ⅲ）
?a?A
，
?a
?
?A
，使得
a?a
?
?a
?
?a?e
；
（ⅳ）
?a,b,c?A
，都有
?
a?b
?
?c?a?
?
b?c
?
，
则称集合
A
对于运算“
?
”构成“对称集”．下面给出三个集合 及相应的运算
“
?
”：
①
A?
?
整数
?
，运算“
?
”为普通加法；②
A?
?
复数
?
，运算“
?
”为普通减法；
③
A?
?
正实数
?
，运算“
?
”为普通乘法．其中可以构成“对称集”的有( )
A①② B①③ C②③ D①②③
14.设
f(x)
与
g(x)
是定义在同一区间[a，b]上的两个 函数，若函数
y?f(x)?g(x)
在
x?[a,b]
上有两个不同的零点 ，则称
f(x)
和
g(x)
在
[a,b]
上是“关联函数” ，区
间
[a,b]
称为“关联区间”．若
f(x)?x
2
? 3x?4
与
g(x)?2x?m
在[0,3]上是“关
联函数”，则m的取值 范围是( )
?
?
?
9
,?2
??
A.
?
4
?
?
B．[－1,0] C．(－∞，－2] D.
?
?
?
9
4
,??
?
?
?

15.设函数
f(x)
的定义域为
D
，如果对于任意的< br>x
1
?D
，存在唯一的
x
2
?D
，使得
f(x
1
)?f(x
2
)
2
?C
成立（ 其中
C
为常数），则称函数
y?f(x)
在
D
上的均值为< br>C
， 现在给出下列4个函数： ①
y?x
3
②
y?4sinx
③
y?lgx
④
y?2
x
，则在其定义域上的均值为 2的所有函数是下面的 （ ）
A. ①② B. ③④ C. ①③④ D. ①③
16.对任意实数
a,b
定义运算
?
如下
a ?b?
?
?
?
a
?
a?b
?

?
a?b
?
，则函数
?
?
b
f(x)?log1
(3x?2)?log
2
x
的值域为（ ）
2
A.
?
0,??
?
B.
?
??,0
?
C.
?
2
??
log
2
3
,0
?
?
?
D.
?
?
?
log
2
?
2
3
, ??
?
?

17.设
A,B
是非空集合，定义
A? B?{x|x?A?B,且x?A?B}
，已知
A?{x|0?x?2}
，
B ?{x|x?0}
，则
A?B
等于（ ）
A.
(2,??)

B.
[0,1]?[2,??)

C.
[0,1)?(2,??)

D.

[0,1]?(2,??)

18.设集合A?R，如果x
0
∈R满 足：对任意a＞0，都存在x∈A，使得0＜|x﹣x
0
|＜a，
那么称x
0
为集合A的一个聚点．则在下列集合中：
（1）Z
+
∪Z
﹣
； （2）R
+
∪R
﹣
；

（3）{x|x=，n∈N}； （4）{x|x=
其中以0为聚点的集合有（ ）
A． 1个 B． 2个
*
，n∈N}．
*
C． 3个 D．4个
19.若一系列函数的解析式相同，值域相同，但定义域不同，则称这些函数为“孪生函
数”，
例如解析式为y＝2x＋1，值域为{9}的“孪生函数”三个：
（1）y＝2x＋1，
x?{?2}
； （2）y＝2x＋1，
x?{2}
； （3）y＝2x＋1，
222
2
x?{?2,2}
。
那么函数解析式为y＝2x＋1，值域为{1，5}的“孪生函数”共有 ( )
A．5个
20.已知
列
B．4个 C．3个 D．2个
若，称排
2
{a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
}?{1,2,3,4,5,6},a
2< br>?a
1
,a
2
?a
3
,a
4
?a< br>3
,a
4
?a
5
为好排列，则好排列的个数为
a< br>1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5A.20B.72C.96
11
21.若
x?A,且
1
?A，则称A是“伙伴关系集合”，在集合
M?{?1,0,,,1,2,3,4}
32
x
的所有非空子集中任选一个集合，则该集合是“伙伴关系集合”的概率为
A．
D.120

1

17
B．
1

51
C．
7
255

D．
4

255
22.在数学拓展课上，老师定义了一种运算“?
”：对于
n?N
，满足以下运算性质：
①
2?2?1
；②
(2n?2)?2?(2n?2)?3
。则
1020?2
的数值为
（ ）
A.
1532
B.
1533
C.
1528
D.
1536

第II卷（非选择题）
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人

得分

二、解答题（本题共15道小题，每小题5分，共75分）

23.在实数集R中，我 们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个“序”
??
.类似的，
我们在平面向量集
D=aa?
?
x,y
?
,x?R,y?R
上也可以定义一个 称“序”的关
系，记为“
??
”.定义如下：对于任意两个向量
a
1
=(x
1
,
1
y)
2
,a=
2
( x
2
，
,
“
a
1
>>a
2
”当且 仅当“
x
1
?x
2
”或“
x
1
?x
2
且y
1
?y
2
”。按上述定义的关系
“
??< br>”，给出如下四个命题：
①若
e
1
?(1,0),e
2?(0,1),0?(0,0)
，则
e
1
>>e
2
>> 0
；
②若
a
1
>>a
2
,a
2
>>a
3
，则
a
1
>>a
3
；
③若a
1
>>a
2
，则对于任意
a?D,a
1
+a >>a
2
+a
；
④对于任意向量
a>>0,0=(0,0)
，若
a
1
>>a
2
，则
a?a
1
>a? a
2
。
其中真命题的序号为__________
24.给定数集
A
,对于任意
a,b?A
，有
a?b?A
且
a?b?A< br>，则称集合
A
为闭集
合．
①集合
A?{?4,?2,0,2,4}
为闭集合；
②集合
A?{nn?3k,k?Z}
为闭集合；
③若集合
A
1
,
A
2
为闭集合，则
A
1
?
A
2
为闭集合；
④若集合
A
1
,
A
2
为 闭集合，且
A
1
?R
，
A
2
?R
，则存在
c?R
,使得
c?
(A
1
?
A
2
)
．
其中，全部正确结论的序号是________．
25.
定义：如 果函数
y?f(x)
在定义域内给定区间
[a，b]
上存在
x
0
(a?x
0
?b)
，满足
f(x
f(a)
0< br>)?
f(b)?
b?a
，则称函数
y?f(x)
是
[ a，b]
上的“平均值函数”，
x
0
是它的
一个均值点．例如y=| x |是
[?2，2]
上的“平均值函数”，0就是它的均值点．给出
以下命题：
① 函数
f(x)?cosx?1
是
[?2
?
，2
?
]
上的“平均值函数”．
② 若
y?f(x)
是
[a ，b]
上的“平均值函数”，则它的均值点x
a?b
0
≥
2
．
③ 若函数
f(x)?x
2
?mx?1
是
[?1，1]
上的“平均值函数”，则实数m的取值范
围是
m?(0，2)
．
④ 若
f(x)?lnx
是区间[a，b] (b>a≥1)上的“平均值函数”，
x0
是它的一个均
值点，则
lnx
1
0
?
ab< br>．
其中的真命题有 ．（写出所有真命题的序号）
26.
下图展示了一个由区间
?
0,1
?
到实数集
R
的映射过程 ：区间
?
0,1
?
中的实数
m
对应数轴
上的点m
，如图①：将线段
AB
围成一个圆，使两端点
A,B
恰好重合 ，如图②：再
将这个圆放在平面直角坐标系中，使其圆心在
y
轴上，点
A的坐标为
?
0,1
?
，如图
③，图③中直线
AM
与
x
轴交于点
N
?
n,0
?
，则
m的象就是
n
，记作
f
?
m
?
?n
．

下列说法中正确命题的序号是 （填出所有正确命题的序号） < br>①
f
?
?
1
?
?
?
4
?< br>?1

②
f
?
x
?
是奇函数
③
f
?
x
?
在定义域上单调递增
④
f< br>?
x
?
是图像关于点
?
?
1
,0
?
?
?
2
?
对称．
27.在平面直角坐标系中，定义d(P ,Q)=
x
1
?x
2
?y
1
?y
2
为两点
P
?
x
1
,y
1
?
,Q
?
x
2
,y
2
?
y)

之间的“折线 距离”，则坐标原点O与直线
2x?y?23?0
上任意一点的“折线距
离”的最小值 是_________.
28.设
S,T
是
R
的两个非空子集，如 果存在一个从
S
到
T
的函数
y?f(x)
满足；
(i)
T?{f(x)|x?S}
；(ii)对任意
x
1
,x
2
?S
，当
x
1
?x
2
时,恒有
f(x
1
)?f(x
2
)
．
那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下4对集合：
①
S?R,T?{?1,1}
；
②
S?N,T?N
*
；
③
S?{x|?1?x?3},T?{x|?8?x?10}
；
④
S?{x|0?x?1},T?R

其中，“保序同构”的集合对的对应的 序号是_________(写出所有“保序同构”的集
合对的对应的序号)．
29.若直角 坐标平面内两点
P,Q
满足条件：①
P,Q
都在函数
y?f(x)< br>的图象上；
②
P,Q
关于原点对称，则称
(P,Q)
是函数< br>y?f(x)
的一个“伙伴点组”（点组
(P,Q)
与
(Q,P)看作同一个“伙伴点组”）．已知函数
f(x)?
?
?
k(x?1),x ?0
?
x
2
?1,x?0
有
两个“伙伴点组”，则实数k
的取值范围是__ ▲ _．
30.已知有限集
A?
?
a
1
,a
2
,a
3
,???,a
n
??n?2,n?N
?
.如果
A
中元素
a
i
?i?1,2,3,???,n
?
满足
a
1
a
2
???a
n
?a
1
?a
2
?????a
n
，就称
A
为“复活集”，给出下列结论：
?
?
?
?1?5 ?1?
①集合
?
?
2
,
5
?
?
2
?
?
?
是“复活集”；②
若a
1
,a
2< br>?R,且
?
a
1
,a
2
?
是“复活集”，则
a
若a
*
1
a
2
?4
；③
1,a
2
?N,则
?
a
1
,a
2
?不可能是“复活集”；④若
a
i
?N
*
，则“复活
集”
A
有且只有一个，且
n?3
.
其中正确的结论是___________________．（填上你认为所有正确的结论序号） < br>31.对于定义在
D
上的函数
f(x)
，若存在距离为
d的两条直线
y?kx?m
1
和
y?kx?m
2
，使得对 任意
x?D
都有
kx?m
1
?f(x)?kx?m
2
恒成立，则称函数
f(x)(x?D)
有一个宽度为
d
的通道.给出下列函 数：
①
f(x)?
1
x
；②
f(x)?sinx
；③
f(x)?x
2
?1
；④
f(x)?
lnx
x

其中在区间
[1,??)
上通道宽度可以为
1
的函数有 (写出所有正确的序号).
32.设S为复数集C的非空子集.若对任意
x,y?S
，都有
x?y,x?y,xy?S
，则称S
为封闭集。下列命题：
①集合S ＝{a＋bi|（
a,b
为整数，
i
为虚数单位）}为封闭集；
②若S为封闭集，则一定有
0?S
；
③封闭集一定是无限集；
④若S为封闭集，则满足
S?T?C
的任意集合
T
也是封闭集.
其中真命题是____________. （写出所有真命题的序号）
33.已知函数f(x)
的自变量取值区间为A，若其值域也为A，则称区间A为
f(x)
的保< br>值区间．若
g(x)?x?m?lnx
的保值区间是
[2,??)
，则
m
的值为
_______________．
34.存在区间
M? [a,b]
（
a?b
），使得
{y|y?f(x),x?M}?M
， 则称区间
M
为
函数
f(x)
的一个“稳定区间”.给出下列4 个函 数：①
f(x)=e
x
；②
f(x)=x
3
；
③< br>f(x)?cos
?
2
x
； ④
f(x)=lnx+1其中存在“稳定区间”的函数有
____________.（把所有正确的序号都填上）
35.若函数f（x）在定义域D内某区间I上是增函数，且在I上是减函数，则
称y=f（x）在I 上是“弱增函数”．已知函数h（x）=x2﹣（b﹣1）x+b在（0，1]
上是“弱增函数”，则实 数b的值为________．
36.
定义一个对应法则
f:P
?
m,n
?
?P
?
?
m,n
?
，
?
m≥0,n≥0
?
．现有点
A
?
2,6
?
与点B
?
6,2
?
，点
M
是线段
AB
上 一动点，按定义的对应法则
f:M?M
?
．当点
M
在线
段A B上从点A开始运动到点B结束时，点M的对应点
M
?
所经过的路线长度
为 ．
37.已知数列
{a}
满足
a (n?N
*
n
n
?log
n?1
(n?2))
，若正整数
k
满足
a
1
a
2
?a
k
为整
数，则称
k
为“马数”，那么，在区间
[1, 2014]
内所有的“马数”之和
为 ．

评卷人


得分

三、解答题（本题共3道小题，每小题10分，共30分）

38.（本小题满分12 分）在R上定义运算
?:p?q??
2
1
?
p?c
??q?b
?
?4bc
（b、c
3
为实常数）.记
f
1
?
x
?
?x?2c,f
2
?
x
??x?2b,x?R
.令
f
?
x
?
?f
1?
x
?
?f
2
?
x
?
.
< br>（I）如果函数
f
?
x
?
在
x?1
处有极值
?
4
，试确定b、c的值；
3
（II）求曲线
y?f?
x
?
上斜率为c的切线与该曲线的公共点；
（III）记
g
?
x
?
?f
?
?
x
??
?1?x ?1
?
的最大值为M. 若
M?k
对任意的b、c恒成
立，试求k的最大值.
39. 己知集 合A={l,2,3,…,2n},
(n?N*)
，对于
A
的一个子集S，若 存在不大于n
的正整
数m，使得对于S中的任意一对元素
s
1
,s
2
，都有
|s
1
?s
2
|?m
，则称S
具有性质P。
(1)当n=10时，试判断集合
B?{x?A|x?9}和
C?{x?A|x?3k?1,k?N*}
是
否一定具有性质P ?并说明理由。
(2)当n=2014时
①若集合S具有性质P，那么集合
T?{4029?x|x?S}
是否一定具有性质P ?说明
理由，
②若集合S具有性质P，求集合S中元素个数的最大值．

40.对于函数
f(x)
，若
f(x)
图象上存在2个点关于原点对称，则 称
f(x)
为“局部中心
对称函数”．
2
f(x)?ax?2ax ?4
(a?R,a?0)
，试判断
f(x)
是否为“局部（Ⅰ）已知二次函数
中心对称函数”？并说明理由；
xx?12
f(x)?4?m?2?m?4
为定义域
R
上的“局部中心对称函数”，求实（Ⅱ）若
f(x)?4
x
?m?2
x?1
?m
2
?4

数m的取值范围．

试卷答案

1.B

2.B

3.B

知识点：命题的真假判断与应用
解析：∵
f(x)?(e
x
)?
1
e
x
=（e
x
）?
1
e
x
+（e
x
）*0+< br>1
x
1
e
x
*0=1+e+
e
x
，
对于①，∵1+e
x
+
1
e
e
x
?
1
x
≥1+
2
e
x
=3（当且仅当x=0时取“=”）， ∴f（x）
min
=3，
故①正确；
对于②，∵f（x）=1+e
x
+
1
e
x
=1+e
x
+e
﹣x
，∴f（﹣x）=1+e
x
+e
﹣x
=1+e
x
+e
﹣x
=f（x），
∴函数f（x）为偶函数，故②正确；
x﹣x
e2x
对于③，∵f′（x）=e﹣e=
?1
e
x
，∴当x≥0时 ，f′（x）≥0，即函数f（x）
的单调递增区间为[0，﹣∞），故③错误；∴正确说法的序号为① ②，故选：B．
【思路点拨】依题意，可得f（x）=1+e
x
+e
﹣x< br>，对于①，可由基本不等式
1+e
x
+
1
e
x
≥1+
2e
x
?
1
e
x
=3判断其正误；对于② ，利用偶函数的定义可判断其正误；
对于③，由f′（x）≥0，求得其单调递增区间，可判断其正误．

4.C
略
5.C

6.C
略
7.A
略
8.C
略
9.C
略
10.A
略
11.D

12.D
略
13.B
略
14.A
略
15.D
略
16.B

17.A

18.B
略
19.C

20.C
略
21.A

22.C

23.①②③
略
24.②

25.

【知识点】新定义型函数 B10
【答案解析】①③④ 解析：解：①容易证明正确．
②不正确．反例：
f(x)?x
在区间[0，6]上．
③正确．由定义：
x
2
0
?mx
m?m
0
?1?
?
2
得
x
2
0
?1?(x
0
?1)m?m?x
0
?1
，
又
x
0
?(?1， 1)
所以实数
m
的取值范围是
m?(0，2)
．
④正确． 理由如下：由题知
lnx
?lna
0
?
lnb
b?a
．
要证明
lnx
1
0
?
ab
，即证明： lnb?lna1bb?a
b?a
?
ab
?ln
a
?< br>ab
?
b
a
?
a
b
，
令
b
a
?t?1
，原式等价于
lnt
2
?t?
11< br>t
?2lnt?t?
t
?0
．
令
h(t)?2ln t?t?
1
t
(t?1)
，则
h
?
(t)?
21?t
2
?2t?1
t
?1?
t
2
?
t
2
??
(t?1)
2
t
2
?0
，
所以
h(t)?2lnt?t?
1
t
?h(1)?0
得证．
【思路点拨】根据新函数的定义可分析每一个选项的正误情况.
26.③④
试题分析：解：如图，因为
M
在以
?
?
1,1?
1?
?
2
?
?
为圆心，
1
?
2
?
为半径的圆上运动，对于
①当
m?
1
4
时，
M< br>的坐标为
?
?
?
?
1
2
?
,1?< br>1
?
2
?
?
?
，直线
AM
的方程< br>y?x?1
，所以点
N
的坐标为
?
?1,0
?
，故
f
?
?
1
?
?
4
?
???1
，即①错；对于②，因为实数
m
所在的区间
?
0,1?
不关于原点对称，所以
f
?
x
?
不存在奇偶性，故② 错；对于③，当实数
m
越来越大
时，如图直线
AM
与
x轴的交点
N
?
n,0
?
也越来越往右，即
n
越 来越大，所以
f
?
x
?
在
定义域上单调递增，即③对；对于 ④当实数
m?
1
2
时，对应的点在点
A
的正下方，此
时点
N
?
0,0
?
，所以
f
?
?
1
?
1
?
?
2
?
?
?
?0，再由图形可知
f
?
x
?
的图象关于点
?
?< br>2
,0
?
?
对称，即④
对，故答案为③④．

考点：在新定义下解决函数问题．
27.
3

略
28.②③④
略
29.

【知识点】一元二次方程根的分布，对称问题
【答案解析】
k?2? 22
解析：解：设(m，n)为函数当x≥0时图象上任意一点，若
点
(m，n)是 函数
y?f(x)
的一个“伙伴点组”中的一个点，则其关于原点的对称点(－
m，－ n)必在该函数图象上，得
?
?
?
n?m
2
?1
， 消去n得
?
?
?m?1
?
m
2
?km?k?1?0
，若
?
?n?k
函数有两个“伙伴点组”，则该方程有2个不等的正实数根， 得
?
?
??k
2
?4
?
k?1
?
?0
?
k?0
，解得
k?2?22
.
?
?
k?1?0
【思路点拨】对于新定义题，读懂题意是解题的关键，本题通过条件最终转化为一元
二次方程根的分布问题进行解答.
30.①③④
略
31.

32.①②
略
33.
ln2

略
34.② ③
略
35.1
略
2
?
36.
3


37.
2026


38.

39.
(1)略(2)2685解析：解：（1）当n=10时，A={1，2，3，…，19 ，20}，
B={x∈A|x＞9}={10，11，12，…，19，20}；