高中数学,充分必要条件习题集锦

例1 已知p：x
1
，x
2
是方程x
2
＋5x－6＝0的两根，q：x
1
＋x
2
＝－5，则p是q的
[ ]
A．充分但不必要条件 B．必要但不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
分析 利用韦达定理转换．
解 ∵x
1
，x
2
是方程x
2
＋5x－6＝0的两根，
∴x
1
，x
2
的值分别为1，－6，
∴x
1
＋x
2
＝1－6＝－5．

因此选A．
说明：判断命题为假命题可以通过举反例．
例2 p是q的充要条件的是
[ ]
A．p：3x＋2＞5，q：－2x－3＞－5
B．p：a＞2，b＜2，q：a＞b
C．p：四边形的两条对角线互相垂直平分，q：四边形是正方形
D．p：a≠0，q：关于x的方程ax＝1有惟一解
分析 逐个验证命题是否等价．
解 对A．p：x＞1，q：x＜1，所以，p是q的既不充分也不必要条件；
对B．pq但qp，p是q的充分非必要条件；
对C．pq且qp，p是q的必要非充分条件；
对D．p?q且q?p，即p?q，p是q的充要条件．选D．

说明：当a＝0时，ax＝0有无数个解．
例3 若A是B成立的充分条件，D是C成立的必要条件，C是B成立的充要条件，则D是
A成立的
[ ]
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
分析 通过B、C作为桥梁联系A、D．
解 ∵A是B的充分条件，∴AB①
∵D是C成立的必要条件，∴CD②
∵C是B成立的充要条件，∴C?B③

由①③得AC④
由②④得AD．
∴D是A成立的必要条件．选B．

说明：要注意利用推出符号的传递性．
例4 设命题甲为：0＜x＜5，命题乙为|x－2|＜3，那么甲是乙的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
分析 先解不等式再判定．
解 解不等式|x－2|＜3得－1＜x＜5．
∵0＜x＜5－1＜x＜5，但－1＜x＜50＜x＜5
∴甲是乙的充分不必要条件，选A．
说明：一般情况下，如果条件甲为x∈A，条件乙为x∈B．
当且仅当A?B时，甲为乙的充分条件；
当且仅当A?B时，甲为乙的必要条件；

当且仅当A＝B时，甲为乙的充要条件．
例5 设A、B、C三个集合，为使A(B∪C)，条件AB是
A．充分条件 B．必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
分析 可以结合图形分析．请同学们自己画图．

∴A(B∪C)．
但是，当B＝N，C＝R，A＝Z时，
显然A(B∪C)，但AB不成立，
综上所述：“AB”“A(B∪C)”，而
“A(B∪C)”“AB”．
即“AB”是“A(B∪C)”的充分条件(不必要)．选A．
说明：画图分析时要画一般形式的图，特殊形式的图会掩盖真实情况．
例6 给出下列各组条件：
(1)p：ab＝0，q：a
2
＋b
2
＝0；
(2)p：xy≥0，q：|x|＋|y|＝|x＋y|；
(3)p：m＞0，q：方程x
2
－x－m＝0有实根；
(4)p：|x－1|＞2，q：x＜－1．
其中p是q的充要条件的有
A．1组 B．2组
C．3组 D．4组
分析 使用方程理论和不等式性质．
[ ]
[ ]
[ ]

解 (1)p是q的必要条件
(2)p是q充要条件
(3)p是q的充分条件
(4)p是q的必要条件．选A．
说明：ab＝0指其中至少有一个为零，而a
2< br>＋b
2
＝0指两个都为零．
?
x
1
＞3
?
x
1
?x
2
＞6
例7
?
是
??
x
2
＞3
?
x
1
x
2
＞9
的条件．

分析 将前后两个不等式组分别作等价变形，观察两者之间的关系．
解 x
1
＞3且x
2
＞3?x
1
＋x
2
＞6且x
1
x
2
＞9，但当取x
1
＝10，x2
＝2时，
?
x
1
?x
2
＞6
?x
1
＞3
成立，而
?
不成立(x
2
＝2与x< br>2
＞3矛盾)，所以填“充分不

?
xx＞9x＞3
?
12
?
2
必要”．
?
x
1
＞3
?
x
1
－3＞0

说明：
?
?
?
x＞3 x－3＞0
?
2
?
2
?
(x
1
－3)＋( x
2
－3)＞0
?
?
?
?
(x
1
－3)(x
2
－3)＞0

?
x
1
＋x
2
＞6
这一等价变形方法有时会用得上．
?
xx－3(x＋x)＋9＞0
12
?
12

例8 已知真命题“a≥b
件．
分析 ∵a≥bc＞d(原命题)，
∴c≤da＜b(逆否命题)．
而a＜be≤f，
∴c≤de≤f即c≤d是e≤f的充分条件．
答 填写“充分”．
说明：充分利用原命题与其逆否命题的等价性是常见的思想方法．
例9 ax
2
＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是
[ ]
A．0＜a≤1 B．a＜1
C．a≤1 D．0＜a≤1或a＜0
分析 此 题若采用普通方法推导较为复杂，可通过选项提供的信息，用排除法解之．当a＝1
时，方程有负根x＝ －1，当a＝0时，x＝
c＞d”和“a＜be≤f”，则“c≤d”是“e≤f”的_______ _条
1
－．故排除A、B、D选C．

2
1
解 常规方法：当a＝0时，x＝－．

2
当a≠0时

?2?4 ?4a
1．a＞0，则ax＋2x＋1＝0至少有一个负实根?＜0
2a

2
??21－a＜2?0＜a≤1．
2．a＜0，则ax
2
＋2x＋1＝0至少 有一个负实根?
?2＞21－a＞2?1－a＞1?a＜0．
综上所述a≤1．
即ax
2
＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是a≤1．
说明：特殊值法、排除法都是解选择题的好方法．
例10 已知p、q都是r的必要条件， s是r的充分条件，q是s的充分条件，那么s，r，p
分别是q的什么条件？
分析 画出关系图1－21，观察求解．
?2?4?4a
＜0
2a


解 s是q的充要条件；(srq，qs)
r是q的充要条件；(rq，qsr)
p是q的必要条件；(qsrp)
说明：图可以画的随意一些，关键要体现各个条件、命题之间的逻辑关系．
例11 关于x的不等式
(a?1)
2
(a?1)
2
|x－|≤与x
2
－3(a＋1)x＋2(3a＋1)≤0的解集依次为A

22
与B，问“A?B”是“1≤a≤3或a＝－1”的充要条件吗？
分析 化简A和B，结合数轴，构造不等式(组)，求出a．
解 A＝{x|2a≤x≤a
2
＋1}，B＝{x|(x－2)[x－(3a＋1)]≤0}
1
当2≤3a＋1即a≥时，

3
B＝{x|2≤x≤3a＋1}．
?
2a≥2
A?B?
?
2
?1≤a≤3
a+1≤3 a+1
?

1
当2＞3a＋1即a＜时，
3
B＝{x|3a＋1≤x≤2}
?
2a≥3a+1
A?B?
?
2
?a＝－1．
?
a+ 1≤2
综上所述：A?B?a＝－1或1≤a≤3．
∴“A?B”是“1≤a≤3或a＝－1” 的充要条件．

说明：集合的包含关系、命题的真假往往与解不等式密切相关．在解题时要理清 思路，表达

准确，推理无误．
例12 x＞y，xy＞0是
11
＜的必要条件还是充分条件，还是充

xy
要条件？
分析 将充要条件和不等式同解变形相联系．
1111y?x
解 1．当＜时，可得－＜0即＜0

xyxyxy
?
y－x＞0
?
y－x＜0
则
?
或
?
x y＜0
??
xy＞0，

?
x＜y
?
x＞y
即
?
或
?
x y＜0
??
xy＞0，
?
x＜y
11
故＜不能推得x＞y且 xy＞0(有可能得到
?
)，即x＞y且xy
xy
xy＜0
?
11
＞0并非＜的必要条件．
xy
?
x＞y
?
x＞y??
2．当x＞y且xy＞0则分成两种情况讨论：
?
x＞0或
?
x＜0
??
y＞0
??
y＜0
11

不论哪一种 情况均可化为＜．
xy
11
∴x＞y且xy＞0是＜的充分条件．
xy
说明：分类讨论要做到不重不漏．

例13 设α，β是方程x
2
－a x＋b＝0的两个实根，试分析a＞2且b＞1是两根α，β均大
于1的什么条件？
分析 把充要条件和方程中根与系数的关系问题相联系，解题时需
要搞清楚条件p与结论q分别指什么．然后再验证是p?q还是q?p还是
p?q．

?
a＞2
解 据韦达定理得：a＝α＋β，b＝αβ，判定的条件是p：
?
?
b＞1
?
α＞1
结论是q：
?
(还要注意条件p 中，a，b需要满足大前提Δ＝a
2
－4b

?
β＞1
≥0 )

(1)由
?
?
α＞1
得a＝α＋β＞2，
?
β＞1
b＝αβ＞1，

∴qp．

上述讨论可知：a＞2，b＞1是α＞1，β＞1的必要但不充分条件．
说明：本题中的讨论内容在二次方程的根的分布理论中常被使用．
例14 (1991 年全国高考题)设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必要条件，丙是乙的充
分条件，但不是乙的必要 条件，那么
[ ]
A．丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件
B．丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件
C．丙是甲的充要条件
D．丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件
分析1：由丙乙甲且乙丙，即丙是甲的充分不必要条件．
分析2：画图观察之．
答：选A．
说明：抽象命题之间的逻辑关系通常靠画图观察比较方便